2016-2017年河南省信阳高中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2016-2017学年河南省信阳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|2．（5分）等比数列{a n}中，a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对3．（5分）已知x＞﹣1，则函数y=x+的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5 D．65．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题C．若非零向量、满足，则与共线D．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件7．（5分）设等比数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，S3=14，且a l+8，3a2，a3+6依次成等差数列，则a l•a3等于（）A．4 B．9 C．16 D．258．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．89．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[7，8） B．（1，8） C．（4，8） D．（4，7）10．（5分）已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的范围为（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，4） D．（3，+∞）11．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足（n∈N*，且n≥2），则a=（）A．638 B．639 C．640 D．64112．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为（）A．B．2πC．4πD．π二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）向量=（1，2），=（1，1），则与的夹角的余弦值为．14．（5分）若实数x，y满足，则的最小值是．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A=，cosB=，若BC=10，D为AB的中点，则CD=．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a ﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）解下列关于x的不等式（1）（2）ax2﹣（a+2）x+2≤0（其中a＞0）．19．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且=．（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．20．（12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正整数的等比数列，且a1=b1=1，a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{d n}满足d n d n+1=（）（n∈N*），且d1=16，试求{d n}的通项公式及其前2n项和S2n．22．（12分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．2016-2017学年河南省信阳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对【解答】解：在等比数列{a n}中，a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，由根与系数关系得：a3a5=64，a3+a5=34＞0，∴a3＞0，a5＞0．再由等比数列的性质得：a42=a3a5=64．∴a4=±8．故选：C．3．（5分）已知x＞﹣1，则函数y=x+的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=2﹣1=1（当且仅当x+1=，即x=0时，等号成立）．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5 D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（2，﹣1）=5最大值故选：C．5．（5分）下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则B．若a＜0，则C．若a＞0，b＞0，则D．若a＜0，b＜0，则【解答】解：A.，当且仅当，即1+sin⁡2x=2，sin⁡2x=1取等号，所以A错误．B．当a＜0时，，当且仅当﹣a=，即a=﹣2时取等号，所以B错误．C．当0＜a＜1，0＜b＜1时，lga＜0．lgb＜0，所以C错误．D．若a＜0，b＜0，则，所以，当且仅当a=b时取等号，所以D正确．故选：D．6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题C．若非零向量、满足，则与共线D．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，所以“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，A错误；对于B，“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”是假命题，如A=150°时，sinA=；所以它的逆否命题也为假命题，B错误；对于C，非零向量、满足，∴+2•+=﹣2||×||+，∴2||•||cosθ=﹣2||×||，θ为、的夹角；∴cosθ=﹣1，则与共线且反向，C正确；对于D，{a n}是公比为q的等比数列，“q＞1”时，“{a n}不一定为递增数列”，如a1＜0时为递减数列；不是充分必要条件，D错误．故选：C．7．（5分）设等比数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，S3=14，且a l+8，3a2，a3+6依次成等差数列，则a l•a3等于（）A．4 B．9 C．16 D．25【解答】解：由求和公式可得S3=a1+a2+a3=14，①由等差中项可得a1+8+a3+6=6a2，②由①可得a1+a3=14﹣a2，代入②可得14﹣a2+14=6a2，化简可得7a2=28，解得a2=4，∴a1•a3==42=16．故选：C．8．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f （n）（n∈N*），且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[7，8） B．（1，8） C．（4，8） D．（4，7）【解答】解：根据题意，a n=f（n）=，要使{a n}是递增数列，必有：，解得，4＜a＜8．故选：C．10．（5分）已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的范围为（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，4） D．（3，+∞）【解答】解：∵，∴不等式，化为＞，由于不等式对一切正整数n 恒成立，∴log2（a﹣1）+a﹣，化为4﹣a＞log2（a﹣1），∴1＜a＜3．故选：B．11．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足（n∈N*，且n≥2），则a=（）A．638 B．639 C．640 D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．12．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为（）A．B．2πC．4πD．π【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，∴﹣≤==，即≤，∴0＜ω≤3．∵f（）=f（）=﹣f（），∴x==，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，∴=•=﹣=，解得ω=2∈（0，3]，∴T==π，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）向量=（1，2），=（1，1），则与的夹角的余弦值为．【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，又由向量=（1，2），=（1，1），则||==，||==，•=1×1+2×1=3，则有cosθ===，故答案为：．14．（5分）若实数x，y满足，则的最小值是2．【解答】解：由不等式组表示的平面区域为，如图所示；目标函数z=的几何意义是平面区域内的点P（x，y）与点O（0，0）连线的直线斜率，由，解得A（1，2），此时z=有最小值为2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A=，cosB=，若BC=10，D为AB的中点，则CD=．【解答】解：如图所示，∵cosB=，B∈（0，π），∴=．sinC=sin（B+）==．由正弦定理可得：=，∴=6，c==14．由中线长定理可得：a2+b2=2CD2+，∴=2CD2+，解得CD=．故答案为：．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+），=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=•=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a ﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）解下列关于x的不等式（1）（2）ax2﹣（a+2）x+2≤0（其中a＞0）．【解答】解：（1）原不等式可化为：≥，x＞1时，x2+1≥x2+2x+2，无解，x＜1时，x2+1≤x2+2x+2，解得：x≥﹣，故不等式的解集是{x|﹣≤x＜1}；（2）原不等式可化为（ax﹣2）（x﹣1）≤0当，即0＜a＜2时，解集为当，即a=2时，解集为{1}当，即a＞2时，解集为综上所述，0＜a＜2时，解集为{x|1≤x≤}，a=2时，解集为{1}，a＞2时，解集为．19．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且=．（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=20．（12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正整数的等比数列，且a1=b1=1，a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{d n}满足d n d n+1=（）（n∈N*），且d1=16，试求{d n}的通项公式及其前2n项和S2n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，且，即，解得，或，由于{b n}各项都为正整数的等比数列，所以，从而a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，；（Ⅱ）∵，∴log2b n+1=n，∴，，两式相除：，由d1=16，，可得：d2=8，∴d1，d3，d5，…是以d1=16为首项，以为公比的等比数列；d2，d4，d6，…是以d2=8为首项，以为公比的等比数列，∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上，，∴S2n=（d1+d3+…+d2n﹣1）+（d2+d4+…+d2n）=．22．（12分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log m a n=2n+2，∴a n=m2n+2∴∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列（2）由题意b n=a n f（a n）=m2n+2log m m2n+2=（2n+2）•m2n+2，当∴S n=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①①式乘以2，得2S n=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②②﹣①并整理，得S n=﹣2•23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣2n+2+（n+1）•2n+3=﹣23﹣[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3==﹣23+23（1﹣2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n（3）由题意c n=a n lga n=（2n+2）•m2n+2lgm，要使c n﹣1＜c n对一切n≥2成立，即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2∴对一切n≥2成立，只需，解得，考虑到0＜m＜1，∴0＜m＜．综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{c n}中每一项恒小于它后面的项。