湖北省宜昌市长阳一中2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．在复平面内，复数的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“x＞1”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．等比数列{a n}中，a3=9，前三项和为S3=27，则公比q的值是（）A．.1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．35．若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A．252 B．﹣252 C．84 D．﹣846．已知x，y∈R*，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.57．给出30个数：1，2，4，7，…其规律是第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A．i≤29；p=p+i+1 B．i≤30；p=p+i﹣1 C．i≤30；p=p+i D．i≤31；p=p+i8．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11]9．如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣B．C．﹣D．10．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的概率为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（+）•=0 （其中O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．D． +112．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡上对应位置上. 13．在平面直角坐标系中，已知函数y=log a（x﹣3）+2（a＞0，且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，始边是以x正半轴为始边，则3sin2α+cos2α的值为______．14．设函数y=f（x）在其图象上任意一点（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（3﹣6x0）（x﹣x0），且f（3）=0，则不等式≥0的解集为______．15．某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积______．16．设点M（x0，x0+），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则X0的取值范围______．三、解答题：本大题共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x n}．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）令b n=，设数列的前n项和为s n，求证S n＜．18．前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．选做题(请考生在第22/23/24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．在复平面内，复数的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．【解答】解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．2．“x＞1”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当“x＞1”则“＜1”成立，当x＜0时，满足“＜1”但“x＞1”不成立，故“x＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故选：A3．等比数列{a n}中，a3=9，前三项和为S3=27，则公比q的值是（）A．.1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【考点】等比数列的性质．【分析】根据条件，建立方程组即可求出等比数列的公比q的值．【解答】解：∵a3=9，前三项和为S3=27，∴，即，∴=，即2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或q=，故选：C．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3【考点】余弦定理．【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．==．∴S△ABC故选：C．5．若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A．252 B．﹣252 C．84 D．﹣84【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由题意可得，=36，∴n=9，=•99﹣r•∴（9x﹣）n=（9x﹣）9（n∈N*）的展开式的通项公式为T r+1•，令9﹣=0，求得r=6，故其展开式中的常数项为•93•=84，故选：C．6．已知x，y∈R*，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式和一元二次不等式即可得出．【解答】解：由，化为，∵x＞0，y＞0，∴=．令x+y=t＞0，∴，化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4．∴x+y的最大值是4．故选：C．7．给出30个数：1，2，4，7，…其规律是第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A．i≤29；p=p+i+1 B．i≤30；p=p+i﹣1 C．i≤30；p=p+i D．i≤31；p=p+i【考点】循环结构．【分析】由已知中程序的功能是给出30个数：1，2，4，7，…其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这30个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到①中条件；再根据累加量的变化规则，得到②中累加通项的表达式．【解答】解：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…故②中应填写p=p+i故选C8．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11]【考点】简单线性规划．【分析】==1+2×，设k=，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）==1+2×，设k=，则k=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则BD的斜率k=1，AD的斜率为k=，即1≤k≤5，则2≤2k≤10，3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：D9．如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将，带入，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案．【解答】解：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；又，；∴===．故选A．10．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式；映射．【分析】根据题意，映射f：M→N的数目，用列举法可得构成△ABC且AB=BC的事件数目，由等可能事件的概率计算可得答案．【解答】解：∵集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}．∴映射f：M→N有43=64种，∵由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC，∴f（1）=f（3）≠f（2），∵f（1）=f（3）有四种选择，f（2）有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12种，∴任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的概率为．故选：C．11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（+）•=0 （其中O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．D． +1【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意双曲线右支上存在一点M，使得（+）•=0判断出∠F1MF2=90°，设出|MF2|=t，则|MF1|=t，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线右支上存在一点M，使得（+）•=0，∴∠F1MF2=90°设|MF2|=t，则|MF1|=t，∴a=t，∵t2+3t2=4c2，∴t=c∴e==+1故选：D．12．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【考点】函数的零点．【分析】先得出函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．再设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡上对应位置上. 13．在平面直角坐标系中，已知函数y=log a（x﹣3）+2（a＞0，且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，始边是以x正半轴为始边，则3sin2α+cos2α的值为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由log a1=0（a＞0，且a≠1）恒成立，可得P点坐标，进而求出sinα=，结合二倍角公式，化简3sin2α+cos2α为1+sin2α，代入可得答案．【解答】解：令x﹣3=1，则x=4，y=log a1+2=2，故P点坐标为（4，2），则sinα=，∴3sin2α+cos2α=1+sin2α=，故答案为：14．设函数y=f（x）在其图象上任意一点（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（3﹣6x0）（x﹣x0），且f（3）=0，则不等式≥0的解集为（﹣∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由函数y=f（x）在其图象上任意一点（x0，y0）处的切线方程得到函数f（x）在（x0，y0）处的导数值，即，进一步得到函数的导函数f′（x）=3x2﹣6x，从而求得原函数f（x）=x3﹣3x2+C．再由f（3）=0求出c的值，则函数f（x）的解析式可求，代入不等式≥0求解分数不等式得答案．【解答】解：∵函数y=f（x）在其图象上任意一点（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（3﹣6x0）（x﹣x0），∴，则f′（x）=3x2﹣6x，f（x）=x3﹣3x2+C．又f（3）=0，得33﹣3×32+c=0，即C=0．∴f（x）=x3﹣3x2，∴不等式≥0⇔．即x2（x﹣1）（x﹣3）≥0 （x≠0，3），解得：x＜0或0＜x≤1或x＞3．∴不等式≥0的解集为（﹣∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．15．某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积20π．【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由三视图还原原几何体，然后找出多面体外接球的球心，求出半径OB，代入球的表面积得答案．【解答】解：由三视图作出原几何体如图，三棱锥A﹣BCD的底面BCD为等腰直角三角形，BC⊥侧面ABD，侧面ABD为等腰三角形，且腰长为2，在△ABD中，由余弦定理求得AD=，由正弦定理得（r为△ABD的外接圆的半径），则r=，设△ABD的外心为G，过G作平面ABD的垂线，与BC的垂直平分线交于O，∴OB2=OG2+BG2=12+22=5．∴几何体的外接球表面积为4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．16．设点M（x0，x0+），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则X0的取值范围．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：点M（x0，x0+）在直线y=x+上，与圆O：x2+y2=1相切，要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时有MN=1，∴x0的取值范围为．故答案为：．三、解答题：本大题共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x n}．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）令b n=，设数列的前n项和为s n，求证S n＜．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得区间；导数小于0，可得减区间；可得极小值，进而得到所求通项公式；（2）求得b n==，=•，运用裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=+sinx，令，得（k∈Z），f'（x）＞0⇒（k∈Z），f'（x）＜0⇒（k∈Z），当（k∈Z）时，f（x）取得极小值，所以（n∈N*）；（2）证明：∵b n==，∴=•=，∴==，∴．18．前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．ξ所以E ξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B （3，），．所以E ξ=．19．如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法． 【分析】（Ⅰ）以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E 、F 、B 、C 点的坐标，易求得此•=0，所以EF ⊥BC ；（Ⅱ）设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），依题意，可求得一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，可求得sin θ的值．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点，进而得到椭圆的半焦距c，再利用离心率及其b2=a2﹣c2即可得出椭圆的标准方程；（2）由椭圆的方程可得A（0，1）．设直线AB的斜率为k，直线AC的斜率为，可得直线AB、AC的方程，分别与椭圆的方程联立可得点B，C的坐标，进而得到直线BC的方程，即可得出定点．【解答】解：（1）由抛物线y2=4x，可得焦点（1，0）又为椭圆的一个焦点，因此c=1，又离心率e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆C的方程为．（2）由椭圆的方程可得A（0，1）．设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为，得到直线AB、AC的方程分别为：y=kx+1，．联立，化为（1+2k2）x2+4kx=0，解得x=0或，∴，∴y B=，∴．把点B的坐标中的k换成可得C．∴k BC=．∴直线AB的方程为：，可得y=+==3．令x=0，得到y=3．因此直线BC一定经过一定点（0，3）．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；（Ⅱ）假设存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到，解此不等式组求得t的取值范围；（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣，由函数在[e2，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e2，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（I）由f（x）=，得．∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴，∴a=1，∴，x＞0，．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（Ⅱ）∵x＞1时，，当x→0时，y→﹣∞，由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：∵函数f（x）在区间（t，t+），t＞0上存在极值和零点．∴，解得．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（）；（III）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，则．∴．∴函数F（x）=f（x）﹣在[e2，+∞）上单调递减，又，∴在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立．在[e2，+∞）上，k≤2．选做题(请考生在第22/23/24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d== [sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m ≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．2016年9月30日。