2020高中数学 第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案 新人教A版必修1
人教版A版高中数学必修一_第3章_321几类不同增长的函数模型(有答案)
人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.乙比甲跑的路程多B.甲比乙先出发C.甲比乙先到达终点D.甲、乙两人的速度相同2. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有（）A.y2>y1>y3B.y1>y2>y3C.y2>y3>y1D.y1>y3>y23. 有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是()A. B.C. D.4. 若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5. 如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可增长到原来的倍，则函数的图象大致为() A. B. C. D.参考答案与试题解析人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1.【答案】此题暂无答案【考点】在实三问葡中建湖三量函数模型函数根气居调与导数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函表的透象对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理相验周数极差、使差与标香差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象指数表数层图象对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.1 几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.1 几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1一、教学目标:1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1.观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2.作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
高中数学 322几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1 教案
3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y= log7x+ 1，y= 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1– 0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表1．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有动手尝试提升解题备选例题例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y =ax 2+ bx + c ，y = a21x + b ，y = ab x+ c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2+ bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x+ c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x+1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1
3．2.1 几类不同增长的函数模型[目标] 1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．[重点] 几类不同函数模型增长的含义及差异．[难点] 如何选择数学模型分析解决实际问题.知识点三类不同增长的函数模型的比较[填一填]1．三类函数模型的性质2.函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)或y＝x n(n>0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a 大多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.(2)对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x 的一定范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n<a x.[答一答]1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区别？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图：观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．y＝2x与y＝x2图象在(0，＋∞)上有两个交点(2,4)，(4,16)．当x>4时，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？提示：y＝3x.3．当0<a<1，n<0时，如何比较a x，log a x，x n的大小？提示：总会存在一个x0，使x>x0时，log a x<a x<x n，而当x<x0时，a x，log a x，x n的大小不确定．类型一函数模型增长差异的比较[例1] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 011)，g(2 011)的大小．[分析]观察图象特点找区别→比较同一函数的不同函数值大小→比较相同自变量不同函数的函数值大小→结论[解] (1)曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<8<x2<2 011.由图象可知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2 011)>g(2 011)>g(8)>f(8)．除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.[变式训练1] 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.类型二函数增长模型差异的应用[例2] 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[分析] 作出函数图象→观察图象得到结论[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.[变式训练2] 一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10 000(1＋n×0.8×0.04)＝10 000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10 000(1＋3.6%×0.8)n＝10 000×1.028 8n(元)，列表如下(单位：元)从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( A )A．y＝2x B．y＝1 000x＋50C．y＝x100D．y＝log100x解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．2．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是( C )A．一次函数 B．幂函数C．对数函数 D．指数函数解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．3．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为( A )A ．19 kgB ．16 kgC ．25 kgD ．30 kg解析：将点(30,330)与(40,630)代入y ＝kx ＋b得⎩⎪⎨⎪⎧ 30k ＋b ＝330，40k ＋b ＝630，得k ＝30，b ＝－570，∴y ＝30x －570.令y ＝0得x ＝19. 4．当2<x <4时，log 2x,2x ，x 2的大小关系是x 2>2x >log 2x .解析：令x ＝3得x 2>2x>log 2x .5．根据函数f (x )＝2x ，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 给出以下命题：①f (x )，g (x )，h (x )在其定义域上都是增函数；②f (x )的增长速度始终不变；③f (x )的增长速度越来越快；④g (x )的增长速度越来越快；⑤h (x )的增长速度越来越慢． 其中正确的命题序号为①②④⑤.解析：f (x )＝2x 的增长速度始终不变，g (x )的增长速度越来越快，而h (x )的增长速度越来越慢，故只有①②④⑤正确．——本课须掌握的两大问题1．三类函数增长的比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x 0，当x >x 0，就有log a x <x n <a x .2．函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．学习至此，请完成课时作业25图象信息迁移问题开讲啦函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题，下面通过例题体现函数图象的实际应用．[典例] 一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )[解析]观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”，故选C.[答案] C[名师点评] 利用图文中所给的信息灵活地进行分析．[对应训练] 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为( C )解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s＝vt，图象为一条线段；当环岛两周时，s 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离s0；上岸考察时，s＝s0；返回时，s＝s0－vt，图象为一条线段．所以选C.。
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型教学设计新人教A版必修
3.2.1 几类不同增长函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律根本数学模型，不同变化规律需要用不同函数模型来描述．本节教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长函数模型认识及应用，都是通过实例来实现．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用．三维目标1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比拟指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．2．恰当运用函数三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1．(事例导入)一张纸厚度大约为0.01 cm，一块砖厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次厚度与n块砖厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们厚度．你直觉与结果一致吗？解：纸对折n次厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课学习大家对这些问题会有更深了解．思路2．(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数图象与性质，本节我们将通过实例比拟它们增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)如果张红购置了每千克1元蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x函数．(2)正方形边长为x，面积为y，把y表示为x函数．(3)某保护区有1单位面积湿地，由于保护区努力，使湿地面积每年以5%增长率增长，经过x年后湿地面积为y，把y表示为x函数．(4)分别用表格、图象表示上述函数．(5)指出它们属于哪种函数模型．(6)讨论它们单调性．(7)比拟它们增长差异．(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关．活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确学生及时表扬，对答复不准确学生提示引导考虑问题思路．(1)总价等于单价与数量积．(2)面积等于边长平方．(3)由特殊到一般，先求出经过1年、2年…(4)列表画出函数图象．(5)引导学生回忆学过函数模型．(6)结合函数表格与图象讨论它们单调性．(7)让学生自己比拟并体会．(8)其他与对数函数有关函数模型．讨论结果：(1)y＝x.(2)y＝x2.(3)y＝(1＋5%)x.(4)如下表图1 图2 图3(5)它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝ka x＋b(指数型)．(6)从表格与图象得出它们都为增函数．(7)在不同区间增长速度不同，随着x增大y＝(1＋5%)x增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．(8)另外还有与对数函数有关函数模型，形如y＝log a x＋b，我们把它叫做对数型函数．应用例如例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应函数模型，再通过比拟它们增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x天所得回报是y元，那么方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进展描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进展描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进展描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它增长情况进展分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报增长情况.图4由表与图4可知，方案一函数是常数函数，方案二、方案三函数都是增函数，但方案二与方案三函数增长情况很不一样．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三100倍与25倍，但它们增长量固定不变，而方案三是“指数增长〞，其“增长量〞是成倍增加，从第7天开场，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一与方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开场，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累积回报数．通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，那么应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天回报数还是累积回报数．②课本把两种回报数都列表给出意义何在？③由此得出怎样结论．答案：①选择哪种方案依据是累积回报数．②让我们体会每天回报数增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同函数增长模型，其增长变化存在很大差异.销售人员奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进展奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%.现有三个奖励模型：yx，y＝log7x＋1，y x，其中哪个模型能符合公司要求？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进展奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%，由于公司总利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数yx，y＝log7x＋1，y x图象(图6)．图6观察函数图象，在区间[10,1 000]上，模型yx，y x图象都有一局部在直线y＝5上方，只有模型y＝log7x＋1图象始终在y＝5下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进展奖励时才符合公司要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型奖金总数不超过5万．对于模型yx，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y ＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．图7令f (x )＝log 7xx ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )图象(图7)，由函数图象可知它是递减，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7xx .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样玻璃重叠起来，设光线原来强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．(lg3≈0.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)kk；k2k；2k 3k ；光线经过x x k . ∴y x k (x ∈N *)．xk ＜k 3x ＜13.两边取以10为底对数，x lg 0.9＜lg 13.∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9.∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦面积与时间函数关系图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出以下说法：①此指数函数底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦面积就会超过30 m 2； ③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需时间分别为t 1、t 2、t 3，那么有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延平均速度．哪些说法是正确？图8解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再答复．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从根本知识与根本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生意料，由此使学生产生浓厚学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型应用，而且体会到它们之间差异；我们补充例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用素材．其中拓展提升中问题紧贴本节主题，很好地表达了指数函数性质特点，是不可多得素材．第2课时张建国导入新课思路1．(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋创造者，问他要什么．创造者说：“请在棋盘第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里麦粒数都是前一个格子里放麦粒数2倍，直到第64个格子．请给我足够麦粒以实现上述要求．〞国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足创造者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．思路2．(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数增长是有差异．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)在区间(0，＋∞)上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2单调性.(2)列表并在同一坐标系中画出三个函数图象.(3)结合函数图象找出其交点坐标.(4)请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围.(5)由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：(1)在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．(2)见下表与图9.(3)从图象看出y＝log2x图象与另外两函数图象没有交点，且总在另外两函数图象下方，y＝2x图象与y＝x2图象有交点．(4)不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围分别是(2,4)与(0,2)∪(4，＋∞)．(5)我们在更大范围内列表作函数图象(图10)，容易看出：y＝2x图象与y＝x2图象有两个交点(2,4)与(4,16)，这说明2x与x2在自变量不同区间内有不同大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x图象就像与x 轴垂直一样，2x值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微缺乏道，如图11与下表所示．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x 一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x增长快于x n增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x增大，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x增长慢于x n增长，因此总存在一个x0，当x ＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们增长速度不同，而且不在同一个“档次〞上．随着x增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)增长速度，而y ＝log a x(a＞1)增长速度那么会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸〞．应用例如例1 某市一家报刊摊点，从报社买进晚报价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进份数必须一样，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当xx；②可卖出250份10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进报刊退回给报社收入为10×0.05×(xx.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为yx＋10×0.30×250＋10×0.05×(xxx＋625，x∈[250,400]．因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．图12例2 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y与时间t之间近似满足如图12所示曲线．(1)写出服药后y与t之间函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最正确？解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，那么－23t 1＋203＝4，t 1＝4.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，那么此时血液中含药量应为两次服药量与，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3＞10)，那么此时第一次服进药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次与，－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图13(1)一条折线表示；西红柿种植本钱与上市时间关系用图13(2)抛物线段表示．(1)写出图13(1)表示市场售价与时间函数关系P＝f(t)；写出图13(2)表示种植本钱与时间函数关系式Q＝g(t)；(2)认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市西红柿纯收益最大？(1) (2)图13(注：市场售价与种植本钱单位：元/102 kg ，时间单位：天) 活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生解答，发现问题及时纠正．解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图13(2)可得种植本钱与时间函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300.(2)设t 时刻纯收益为h (t )，那么由题意得h (t )＝f (t )－g (t )．即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开场第50天时，上市西红柿纯收益最大．点评：此题主要考察由函数图象建立函数关系式与求函数最大值问题，考察运用所学知识解决实际问题能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式．②分段函数解析式求法．③函数应用中最大值、最小值问题．举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后国内外市场销售情况进展调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示．其中图14(1)折线表示是国外市场日销售量与上市时间关系；图14(2)抛物线表示是国内市场日销售量与上市时间关系；图14(3)折线表示是每件产品A销售利润与上市时间关系．图14(1)分别写出国外市场日销售量f(t)、国内市场日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t关系式；(2)第一批产品A上市后哪几天，这家公司国内与国外日销售利润之与超过6 300万元？分析：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．3．回忆函数最值求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40. 该公司日销售利润222338,020203()608,203020360240,304020t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜，＜， 当0≤t ≤20时，F (t )＝3t (－320t 2＋8t )，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，那么F (t 1)－F (t 2)＝3t 1(－320t 21＋8t 1)－3t 2(－320t 22＋8t 2)＜0. ∴F (t )在区间[0,20]上为增函数．∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6 300， 那么703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6 300，故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元． 点评：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段．3．二次函数最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数应用．作业课本习题组3,4.设计感想本节设计从精彩故事开场，让学生从故事中体会数学带来震撼，然后借助计算机感受不同函数模型巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式能力，因为这是高考一个重点．本节每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料【备选例题】【例1】某西部山区某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新十年开展规划中加快开展此特产销售，其规划方案为：在规划后对该工程每年都投入60万元销售投资，在未来10年前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元． 问从10年累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．那么10年总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)． 前5年利润与为7958×5＝3 9758(万元)． 设在公路通车后5年中，每年用x 万元投资于本地销售，而用剩下(60－x )万元用于外地区销售投资，那么其总利润为W 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1160(x －40)2＋100×5＋－159160x 2＋1192x ×5 ＝－5(x －30)2＋4 950.当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年总利润为3 9758＋4 950(万元)． ∵3 9758＋4 950＞1 000， ∴该规划方案有极大实施价值．。
高中数学人教A版必修1《3.2.1几类不同增长的函数模型》教学案2
必修一《3.2.1几类不同增长的函数模型》教学案一、教学目标(1)使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识.(2)通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义.(3)体验由具体到抽象及数形结合的思维方法.二、教学重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义.难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.三、教学手段：运用计算机、实物投影仪等多媒体技术.四、教材分析：1、背景(1) 圆的周长随着圆的半径的增大而增大：L=2πR (一次函数)(2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大：S=πR2 (二次函数)(3)某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是y= 2x (指数型函数) .2、例题例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量[来源:学§科§网Z§X§X§K]哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案.根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40 (x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x (x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.Y=0.4×2x-1(x*)N从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三.累积回报表天数方案1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011一4 08121620024028032360400440二1 036010150********450550660图112-1结论投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案.3．例题的启示： 解决实际问题的步骤： (1)实际问题 (2)读懂问题抽象概括 (3)数学问题 (4)演算推理 (5)数学问题的解 (6)还原说明 (7)实际问题的解 4．练习某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y (单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y =0.25x ，y =log 7x +1，y =1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求呢？5．小结(1)解决实际问题的步骤：解决问题。
人教A版高中数学必修一 3-2-1 几类不同增长的函数模型 教案 精品
3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、重点难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程（一）引入实例，创设情景1、有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？2、“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。
陛下，把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”“爱卿，你所求的并不多啊！”（二）互动交流，探求新知.教师引导学生阅读例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？分析：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
为选择投资方案提供依据。
高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1
3.2.1 几类不同增长的函数模型1.知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下,使学生探求函数在实际中的应用,并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题.2.过程与方法(1)培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力;(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力.3.情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,认识事物之间的普遍联系与相互转化,在实践研究中,培养学生的创新精神,团结协作精神,激发学生学习数学的兴趣.重点:将实际问题转化为函数模型,训练学生通过实践探求函数在实际中的应用.难点:怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题.重难点突破:主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解.首先对具体函数y=2x,y=x2,y=log2x 的增长的差异性进行比较.在比较函数y=2x,y=x2的增长的差异性时,分别选择了三个不同的步长进行研究,这样就更能反映这两类函数的增长的特点,在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究,能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择.在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法,然后将结论推广到一般的指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log a x(a>1)、幂函数y=x n(n>0)在区间(0,+∞)的增长的差异性,即存在一个x0,当x>x0时,a x>x n>log a x,充分体现了“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的特点.整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法,培养学生全面分析问题、解决问题的能力.1.澳大利亚的兔子数“爆炸”1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限的环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度(K)后不再增长,曲线呈“S”型.从数学上来看,可以用指数函数描述一个种群的前期增长情况,用对数函数描述后期增长的情况.2.碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14测定含碳物质的年龄的方法,就叫碳14测年法.已故著名考古学家夏鼐先生对碳14测定考古年代的作用,给了极高的评价:“由于碳14测定年代法的采用,使不同地区的各种新石器文化有了时间关系的框架,使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期.”那么,碳14测年法是如何测定古代遗存物的年龄呢?原来,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入,只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳14,在机体内保持一定的水平,而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并逐渐消失,对于任何含碳物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代.碳14测年法分为常规碳14测年法和加速器质谱碳14测年法两种.两者相比,后者具有明显的优点:一是样品用量少,只需1~5毫克样品就可以了,如一小片织物、骨屑、古陶瓷器表面或气孔中的微量碳粉都可测量(常规碳14测年法却需1~5克样品);二是灵敏度高,其测量同位素比值的灵敏度可达10~15至10~16(常规碳14测年法则与之相差5~7个数量级);三是测量时间短,测量现代碳若要达到1%的精度,只需10~20分钟(常规碳14测年法却需12~20小时).可以说,对测定50 000年以内的文物样品,加速器质谱碳14测年法是测定精度最高的一种.。
高中数学新人教版A版精品教案《3.2.1 几类不同增长的函数模型》
教学环境：多媒体教室
教学资源准备：PPT课件，几何画板软件
七．教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
创设问题情景
创设问题情景
例1的教学
多媒体展现例1投资方案的选择问题
1.提问:投资方案选择的标准如何确定？
三种方案中每天的回报量分别是多少？如何计算？
2.模型建立了，如何对模型进行分析研究，比较三个函数的增长差异？
2.通过对模型进行探究，能体会到不同函数的增长差异：常函
数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函
数缓慢增长。
3.通过对问题的分析掌握：解析式法、列表法、图像法是研究
函数模型的基本方法。
（二）过程和方法：在引导学生建立函数模型解决实际问题的过程中，教师采用问题串的形式引导学生思考，同时充分利用信息技术手段通过对图像和表格的分析，了解不同函数模型的增长差异。
学生通过对表格的观察得出：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长。
学生通过图象的平缓与陡峭与函数变化的关系角度指出三类函数的增长差异。
学生做出回答
学生积极审题，并作出思考
学生作出回答
学生思考并积极作出回答
学生提出探究方法利用函数图像
学生根据图像做出判断y=0.25x显然不满足条件。然后通过函数的相关性质及计算得出结论。
（三）情感态度价值观：通过问题的解决让学生体会到数学是有用的，并学会用科学的方法去观察、分析、研究生活中的实际问题，从而提高解决问题的能力。
四．教学重难点
（一）教学重点：1.将实际问题转化为数学模型。
2。通过对模型的探究掌握几类不同增长的函数模型的增长差异：常函
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修1
(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3(x≥0),C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)= 1 000,f(10)=1 024, 所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9), f(10)>g(10). 所以1<x1<2,9<x2<10. 所以x1<8<x2<2 015. 从题中图象上知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x); 当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8).
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型
[目标导航] 课标要求 素养达成
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性. 2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学 模型,通过建立数学模型解决实际问题.
通过掌握常数函数、一次函数、指数函数、对数函数 模型的增长差异及增长状况培养数学抽象、直观想象 的核心素养.
解析:法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y3=log2x, y2=x2和y1=2x的图象,如图,在区间(2,4)内从上往下依次是 y2=x2,y1=2x,y3=log2x 的 图 象 , 所 以 对 于 任 意 x∈(2,4), x2>2x>log2x,即y2>y1>y3.故选B.
2020高中数学 第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案 新人教A版必修1
3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]三种函数模型的性质[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝x 2比y ＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a >1，n >0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x ，总有log a x <x n <a x成立．( ) (3)函数y ＝log 12x 衰减的速度越来越慢．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝x 2D ．y ＝e －xA [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A 正确．] 3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图321所示．图321以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________.【导学号：37102371】②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.][合 作 探 究·攻 重 难]几类函数模型的增长差异(1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝2 018xB ．y ＝x 2 018C ．y ＝log 2 018xD ．y ＝2 018x(2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越慢D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A (2)C [(1)指数函数y ＝a x，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．] 线性函数模型线性函数模型k的增长特点是直线上升，其增长速度不变指数函数模型指数函数模型xa的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸对数函数模型对数函数模型log x a 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓幂函数模型幂函数y ＝nn 的增长速度介于指数增长和对数增长之间[跟踪训练]1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：【导学号：37102372】y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]指数函数、对数函数与幂函数模型的比较函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图322中曲线C1，C2分别对应的函数；图322(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 016)＞g(2 016)．又g(2 016)＞g(6)，∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．[跟踪训练]2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图323所示．图323(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：37102373】[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．需选择函数模型的实际问题[探究问题]1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ab x＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路探究：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．(1)D[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.](2)由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．①设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的． ②设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际． ③设模拟函数为y ＝ab x＋c 时， 将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝由1)，得ab ＝1－c ，代入2)3)，得⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＋c ＝1.2，b2－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b2解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－cb＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数型函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4，模拟比较接近客观实际．此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合 [跟踪训练3．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝kx ＋b ；③y ＝log a x ＋b ；④y ＝a x＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少？【导学号：37102374】[解] (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入到y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，5＝16a ＋4b ，解得a ＝－14，b ＝94，所以函数解析式为y ＝－14x 2＋94x .(x ∈[0.5,8])∵y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋8116，∴当x ＝92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116 L.[当 堂 达 标·固 双 基]1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.] 2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )【导学号：37102375】A ．y ＝1B ．y ＝xC ．y ＝3xD ．y ＝log 3xC [结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x及y ＝log 3x 的图象可知(图略)，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x.] 3．能使不等式log 2x <x 2<2x一定成立的x 的取值区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞)D [当x >4时，log 2x <x 2<2x，故选D.]4．某人投资x 元，获利y 元，有以下三种方案．甲：y ＝0.2x ，乙：y ＝log 2x ＋100，丙：y ＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.【导学号：37102376】乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y 值的大小即可求出．] 5．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．。
部编版2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案含解析新人教A版必修0
3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？ 提示：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值增大． 问题2：函数f (x )，g (x )，h (x )增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f (x )＝2x增长得最快，其次是g (x )＝x 2，最慢的是h (x )＝log 2x .[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n<a x(a >1，n >0)． [化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案] y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 017)，g (2 017)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x. (2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10， ∴x 1<6<x 2,2 014>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )， ∴f (2 014)>g (2 014)． 又∵g (2 014)>g (6)，∴f (2 014)>g (2 014)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较]．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系？[解] 建立年生产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． ①构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0， 则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( )A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形容指数函数． 又∵e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：则关于xA．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x 的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝a x，y2＝x n，y3＝log a x都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，a x>x n>log a x.答案：a x>x n>log a x4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比x ln x增长要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( )A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：A．y＝log a x(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝log a x＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．2x>x 12>lg x B．2x>lg x>x12C．x 12>2x>lg x D．lg x>x12>2x解析：选A 结合y＝2x，y＝x 12及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x12>lg x.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．答案：①②③三、解答题9．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1. 由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (单位：亿)．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．解：(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿．…∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x 年后人口数为13×(1＋1%)x 亿．∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间，∴x ∈N *是此函数的定义域．(3)y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13>0，∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，y 2＝g (x )＝a ·b x＋c . 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝p ＋q ＋r ＝1，f＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f ＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝ab ＋c ＝1，g＝ab 2＋c ＝1.2，g＝ab 3＋c ＝1.3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4. ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35(万件)比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：3.2.1 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a ＝log 3<log 1＝0,0<b ＝0.2<1，c ＝2>1，∴有a <b <c .故选A.1212(13)13答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )＝ax 2＋bx ＋c＝a ln x ＋b由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型答案：B(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二 三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，时，开始y1＝x增长的速度快，所以存在的上方，故此时产生一个实根增长得快，故存在x1，当y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；lg x，g(x)＝0.3x－分别对应哪一个函数；比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对y＝ax＋b，y＝ax以后几个月的产量？【解析】 由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得Error!解得Error!所以有关系式y＝0.1x＋1.跟踪训练3 1626年，有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛，并在借据上注明：归还此岛时，对方要还本付息，年利率是6%，但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年，双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公，要求法院判明是非．法官请数学家作了计算，结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本利用公式来计算.与枝数的关系的函数模型是( )B ．对数函数：y ＝log D ．二次函数：y ＝2解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.答案：A3．已知a ，b ，c ，d 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x 的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝x ，f 3(x )12＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )A ．aB ．b )y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，由此可排除轴上的截距为a ，则选项A 中0<a <1，选项的图象不符，排除A ，B ，选D.由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，________．的图象联想到幂函数y＝更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．xc：y＝ d：c：y＝2－x d：xc：y＝ d：c：y＝2－x d：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，1 h 后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；1212322 h 后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；12321232943 h 后，细胞总数为．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间。
人教A版高中数学必修一学第三章几类不同增长的函数模型目标导学新
3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型问题导学一、一次函数、二次函数或幂函数模型活动与探究1有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p＝110x，q＝25x.现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？迁移与应用1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝x5＋10 B．y＝100x3C．y＝ln(x＋1) D．y＝0.5e x－22．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款．现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买铅笔x支，支付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？(1)用函数模型解实际问题较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)对于给出图象的关于一次函数或二次函数或幂函数的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后再翻译成具体问题作出解答．二、指数函数模型活动与探究2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?迁移与应用1．已知大气压p(百帕)与海拔高度h(米)的关系式为p＝1 000·30007100h⎛⎫⎪⎝⎭，则海拔6 000米处的大气压为______．2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5个小时，1个病毒能繁殖为______个．在实际问题中，指数函数模型如增长率问题、复利计算问题等较为常见，通过归纳法确定函数关系是解决此类问题常用的方法．三、对数函数模型活动与探究3已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y＝k[ln(m＋x)－ln(2 m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料重量为(e－1)m吨(e为自然对数的底数，e≈2.72)时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y＝f(x)；(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？迁移与应用1．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．2．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．当堂检测1．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )A．310元 B．300元C．290元 D．280元2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A．300只 B．400只C．500只 D．600只3．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2012年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)20B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)20D．y＝54.8(x%)214．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.4v＋24.5，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少．5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，由一个分裂成两个，这种细菌由一个分裂成4 096个需要经过的时间为______．答案：课前预习导学【预习导引】1．上升上升上升2．(1)增函数 增长速度 (2)越来越快 越来越慢 (3)log a x ＜x n＜a x预习交流 提示：在区间(0，＋∞)上，有x 2＞log 2x .又当x ＞4时，总有2x ＞x 2， ∴x 0的最小值为4. 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先设投入两种商品的资金额，列出所获得的总利润，通过求函数最值解答问题．解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元． 设利润为y 万元，x ∈[0,9]．∴y ＝110(9－x )＋25x ＝110(－x ＋4x ＋9)＝110[－(x －2)2＋13]，∴当x ＝2， 即x ＝4时，y ma x ＝1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元． 迁移与应用 1．D2．解：由优惠办法(1)得到的函数关系式为y ＝0.5x ＋6(x ≥4且x ∈N )， 由优惠办法(2)得到的函数关系式为y ＝0.46x ＋7.36(x ≥4且x ∈N )． 由0.5x ＋6＜0.46x ＋7.36，得x ＜34.所以，当购买铅笔数少于34支(不少于4支)时，优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34支时，优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34支时，两种优惠办法一样．活动与探究2 解：已知本金为a 元： 1期后的本利和为y 1＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )；2期后的本利和为y 2＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2；3期后的本利和为y 3＝a (1＋r )3； ……x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x .将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式，得y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y ≈1 117.68(元)．所以复利函数式为y ＝a (1＋r )x,5期后的本利和约为1 117.68元． 迁移与应用 1．4.9百帕2．2ln 2 1 024 解析：t ＝12时，y ＝2，∴2＝12e k ，即e k＝4，∴k ＝ln 4＝2ln 2，y ＝4t.∴当t ＝5时，y ＝45＝1 024.活动与探究3 思路分析：根据所给条件求出k 即得函数式；把m ＋x ＝544与y ＝8代入函数式解方程即得x .解：(1)依题意把x ＝(e －1)m ，y ＝4代入函数关系式y ＝k [ln(m ＋x )－ln(2m )]＋4ln2，解得k ＝8，所以所求的函数关系式为y ＝8[ln(m ＋x )－ln(2m )]＋4ln2，整理得y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x m 8.(2)设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，m ＝544－x ，y ＝8，代入函数关系式y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋x m 8得ln 544544－x＝1，解得x ≈344.即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．迁移与应用 1．6 10 000 解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的10 000倍． 2．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入所给的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入所给的公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 【当堂检测】1．B 解析：由射线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y ＝500x ＋300(x ≥0)，∴当x ＝0时，y ＝300.2．A 解析：由题意得，x ＝1时，y ＝100， 即100＝a log 2(1＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 2(x ＋1)． ∴当x ＝7时，y ＝300.3．A 解析：1993年底，人口数为54.8(1＋x %)；1994年底，人口数为54.8(1＋x %)2；1995年底，人口数为54.8(1＋x %)3； ……∴到2012年底，人口数为54.8(1＋x %)20.4．80 解析：Q ＝0.002 5v 2－0.4v ＋24.5＝0.002 5(v －80)2＋8. 5，所以当v ＝80 km/h 时，Q min ＝8.5(L)．5．3小时 解析：设经过x 个15分钟，该种细菌由一个分裂为4 096个，则2x＝4 096，x ＝12.所以共需12×1560＝3(小时)．。
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3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]三种函数模型的性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势随x 增大逐渐近似与y 轴平行随x 增大逐渐近似与x 轴平行随n 值而不同增长速度①y ＝a x (a >1)：随着x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，y ＝log a x (a >1)的增长速度越来越慢 ②存在一个x 0，当x >x 0时，有a x >x n>log a x[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝x 2比y ＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a >1，n >0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x ，总有log a x <x n <a x成立．( ) (3)函数y ＝log 12x 衰减的速度越来越慢．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝x 2D ．y ＝e －xA [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A 正确．] 3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图321所示．图321以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________.【导学号：37102371】②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.][合 作 探 究·攻 重 难]几类函数模型的增长差异(1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝2 018xB ．y ＝x 2 018C ．y ＝log 2 018xD ．y ＝2 018x(2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越慢D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A (2)C [(1)指数函数y ＝a x，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．] [规律方法] 常见的函数模型及增长特点线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b k >0的增长特点是直线上升，其增长速度不变指数函数模型 指数函数模型y ＝axa >1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”对数函数模型 对数函数模型y ＝log a x a >1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓幂函数模型 幂函数y ＝x nn >0的增长速度介于指数增长和对数增长之间[跟踪训练]1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1226101226401626901y2232 1 02437 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907【导学号：37102372】y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x 呈指数型函数变化．故填y2.]指数函数、对数函数与幂函数模型的比较函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图322中曲线C1，C2分别对应的函数；图322(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 016)＞g(2 016)．又g(2 016)＞g(6)，∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．[规律方法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练]2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图323所示．图323(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：37102373】[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．需选择函数模型的实际问题[探究问题]1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ab x＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路探究：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．(1)D[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.](2)由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．①设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的． ②设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际． ③设模拟函数为y ＝ab x＋c 时， 将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1， 1ab 2＋c ＝1.2， 2ab 3＋c ＝1.3. 3由1)，得ab ＝1－c ，代入2)3)，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b2解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－cb＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数型函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4，模拟比较接近客观实际．[规律方法]此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合 3．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝kx ＋b ；③y ＝log a x ＋b ；④y ＝a x＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少？【导学号：37102374】[解] (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入到y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，5＝16a ＋4b ，解得a ＝－14，b ＝94，所以函数解析式为y ＝－14x 2＋94x .(x ∈[0.5,8])∵y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋8116，∴当x ＝92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116 L.[当 堂 达 标·固 双 基]1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型A [自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.] 2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )【导学号：37102375】A ．y ＝1B ．y ＝xC ．y ＝3xD ．y ＝log 3xC [结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x及y ＝log 3x 的图象可知(图略)，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x.] 3．能使不等式log 2x <x 2<2x一定成立的x 的取值区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞)D [当x >4时，log 2x <x 2<2x，故选D.]4．某人投资x 元，获利y 元，有以下三种方案．甲：y ＝0.2x ，乙：y ＝log 2x ＋100，丙：y ＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.【导学号：37102376】乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y 值的大小即可求出．] 5．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．。