苏教版2019届高考模拟第一次测试数学(理)试题 解析版

2019年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．14．（5分）已知函数f （x ）＝﹣+4x ﹣3lnx 在[t ，t +1]上不单调，则t 的取值范围是 ．15．（5分）已知不等式e x ﹣1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈（0，+∞）恒成立，则k 的最大值 16．（5分）已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP ＝λAB ，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为时，实数λ的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＞0，前n 项和为S n ，若a n ＝+，（n ∈N *，n ≥2）．（l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{}前n 项和为T n ，求证18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（2a ﹣c ）（a 2﹣b 2+c 2）＝2abc cos C ． （1）求角B 的大小；（2）若sin A +1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ22．﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ），得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．17．（12分）已知数列{a n}中，a1（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．＝4，a n＞0，前n项和为S n，【解答】解：（1）数列{a n}中，a1若a n＝+，（n∈N*，n≥2），＝（﹣）（+），由a n＝S n﹣S n﹣1可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S ＝2＝2，令g （t ）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t ＞1）∴4＜g （t ），∴，当k 0＝0时，解得S ＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．【分析】（1）取AP 中点F ，连接DM ，BM ，由已知可证PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又DM ∩BM ＝M ，可得PA ⊥平面DMB ，因为BD ⊂平面DMB ，可证PA ⊥BD ；（2）由已知可得△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形，求出MD ⊥MB ，以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC 与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：﹣当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。