工程数学_概率统计简明教程_第三章_随机事件

常由实际问题的意义判断事件的独立性
定义 三事件 A, B, C 相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
n
n
又事件B满足
则有
B

i 1
B Ai
n
P ( B ) P ( B Ai )
i 1

P BA
i i 1
n

P A P B
i i 1
n
Ai
例（课本例4）设某工厂有两个车间生产同型号家用 电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为 0.12。两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中， 假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
PB A
( A )
A
( AB )
AB
( B )
B

(n)
AB A

2 3
P A
A

3 6
AB={出现的点数不超过3,且是奇数}＝｛１，３｝
P AB
AB

2 6
PB A
AB A

P( AB) P( A)

2 3
例2 设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球、2个白球； 第二个口袋装有2个黑球和4个白球。今从第一个口袋任取 一球放到第二个口袋，再从第二个口袋任取一球，求已知 从第一个口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出白球 的条件概率。 记A＝{从第一个口袋取出白球}， B={从第二个口袋取出白球} 由题意即求P(B|A)
一般地，设A,B两个事件，P(A)>0,称已知A发 生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为P(B|A)。 通常，因为增加了“事件A已经发生”的条件， 所以P(B|A)≠P(B)。
例1、抛掷一颗骰子,观察出现的点数 A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是 奇数的概率。 即事件A已发生，求事件B 的概率，即 P(B|A)。 由于求A已发生的前提下， B发生的概率，因此样本空间 缩小到只包含A的样本点
0 . 4 0 . 85
0 . 4 0 . 85 0 . 6 0 . 88
此例的“结果”是提的一台产品是合格品，产生此结果 的两个可能“原因”是：一、第一车间生产的；二、第
二车间生产的。问题是从已知“结果”发生的条件下推
P 断该“结果”是由“第一车间生产的”条件概率： ( A
1
| B)
一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概 率．
解
设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取 出的产品是合格品， 则
P ( A | B ) 45 %
P (B ) 4%
于是 所以
P ( B ) 1 P ( B ) 96 %
P ( A) P ( AB ) P (B )P ( A | B )

k 1
n
P ( Ak ) P ( B Ak )
贝叶斯公式是大统计学家Bayes提出的。其中 P A 一般可利用统计资料事先取得，故称为先验概率或 事前概率，而 P A B 则是一种已知结果后追查原因、 出处的逆向条件概率，称为后验概率或逆概率，贝 叶斯公式也可称为逆概率公式。
i
i
6 10 5 9 4 10 6 9
＝ 0.6
在上面求解过程中，待求概率的事件B的分解式
B AB A B
A 十分关键，将事件B看成“结果”，而事件 及 A 看成是产生结果的两个可能“原因”。分解式正 是“结果”与可能“原因”之间的一种联系方式， 而问题就是已知可能“原因”发生的概率，求 “结果”发生的概率。
P ( A )[1 P ( B )]
A B与 A B 互 不 相 容
P ( A)P (B )
定义
n 个事件 A1, A2, „, An 相互独立
设 A1 , A 2 , , A n 为 n 个 事 件 。 如 果 对 于 所 有 可 能 的 组 合 1 i j k n下 列 各 式 同 时 成 立 P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ai A j A k ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( A k ) P ( A A A ) P ( A )P ( A ) P ( A ) 1 2 n 1 2 n 那 么 称 A1 , A 2 , , A n 是 相 互 独 立 的 。
我们称这一类问题为全概率问题。
全概率公式
AB AB
A
B
A
P(B) P( AB AB ) P( AB) P( AB )
P ( A)P (B | A) P ( A )P (B | A )
全概率公式：
设事件
A1 , A 2 , , A n
两两互斥，且 P Ai 0,1 i
贝叶斯公式 设事件
A1 , A 2 , , A n
互斥，且 P ( Ai ) 0, i 1, 2, , n
n
事件B满足条件
B

i 1
B Ai
且
P ( B ) 0，则对任一 i 1, 2, , n
，有
P ( Ai
B)
P ( Ai B ) P(B)

P ( A i ) P ( B Ai )
显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称 Ａ与Ｂ相互独立．
P(A B) P( AB) P(B)
P( AB) P (B | A)

P( AB) P ( AB ) / P ( A)
P ( A)
事件独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P ( AB ) P ( A)P (B )
70 100
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以
P ( A) 0 .7
因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1：
P(A B) 70 95 0 .7 3 6 8
方法2：
P(A B)
P( AB) P(B)

70 100 95 100
0 .7 3 6 8
一般地
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系
若 B A
P B A P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B)
条件概率
无条件概率
乘法定理
P ( AB ) P ( A)P (B A) P(B)P( A B)
PB A P( AB) P( A) P( AB)
9 6 % 4 5 % 4 3 .2 %
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概 率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取 得黑球而第二次取得白球的概率．
解
设Ａ={第一次取得白球}, Ｂ={第二次取得白球}, 则
6 10 0 .6
（1） P ( A )
（2）P ( A B ) P ( A ) P ( B A )
6 10

4
5 9

0 .3 3
6 9 0 .2 7
（3）P ( A B ) P ( A ) P ( B A )
10
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁 的这种动物活到25岁的概率。
P( A B) P( A )

3 5
,
P( B A) P( B) P( B A )
事件 A 发生与否对 B 发生的概率没有影响可 视为事件A与B相互独立
事件独立性 定义
设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ） 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 对于事件Ａ独立．
第3章 条件概率与事件的独立性 重点：
理解条件概率的概念，掌握概率的乘 法定理。 理解事件的独立性概念，掌握伯努利 （Bernoulli)概型和二项概率的计算 方法
§3.1 条件概率Conditional Probability
在实际问题中，常需要计算在某个事件A已经
发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
解 记B＝{从仓库随机提出的一台是合格品}
A i ＝{提出的一台是第i车间生产的}
则有
B A1 B A 2 B
P ( B ) P ( A1 B ) P ( A 2 B ) P A1 P B A1 P A 2 P B A 2
0 .4 0 .8 5 0 .6 0 .8 8 0 .8 6 8
P(A B)
P(B)
推广 设对任一n>1, P A1 A2 An 0 ，则有
P ( A1 A 2 A n ) P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 ( A1 A 2 ) ) P ( A n ( A1 A 2 AB C ) P ( A ) P ( B A ) P (C | A B )
证明
由 P( B A)
P( AB)
P( B)
可得结论成立。
P( A) 当P(A)=0时， , 则 A
AB ，结论显然成立。
在实际应用中，通常根据问题的实际意义来 判断事件的独立性。 如：(1)甲乙两人向同一目标射击，A＝{甲命中目标}，B＝
{乙命中目标}，认为相互没有影响，即可认为相互独立. (2)从有限总体中有放回抽取两次，两次抽取的相关事件 是相互独立的。