第4章动量与角动量

角动量定理的积分式：


t2 t1
t2
t1
M dt L2 L1
称为“冲量矩”
33
Mdt
n n 质点系的角动量： L Li (ri pi ) i 1 i 1
12
4-2-3 质心运动定理 质心位置公式：
mrC mi ri
drC dri m mi dt dt
mvC mi vi
结论： 质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度 的乘积。
由质点系动量定理的微分式可得：
dp dvi dvC d Fi dt dt mi vi mi dt m dt
p0
t dp F dt t0
4
t I F dt p p0 mv mv 0
t0
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等 于质点动量的增量。 说明： p （1） 冲量的方向 I 与动量增量 的方向一致。 （2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加 原理。常把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式 进行计算。
r
27
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投 影，称为质点对轴线的角动量。
质点系的角动量 L
Lz L cos
L
设各质点对O点的位矢分别为
r1 , r2 , , rn

O
z Lz
动量分别为
p1 , p2 , , pn
n n L Li (ri pi ) i 1 i 1
14
（2）
例5 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板质心的 位置坐标。
y
解
取如图坐标轴
a x
对称性分析可知
yC 0
O
x dx
取宽度为dx的面积元,设薄板每单位面 积的质量为,则此面积元的质量为
dm 2 ydx 2xdx
xc
xdm dm

0
a
2
a
0
2 a 2 3 2xdx
第4章
动量和角动量
1
§4-1 动量和动量定理
4-1-1 冲量 反映力对时间的累积效应。 冲量：作用力与作用时间的乘积。 恒力的冲量：
I F (t2 t1 )
t2 I F (t ) dt
t1
变力的冲量：
单位：N· s
2
4-1-2 动量 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质 量有关。 动量：运动质点的质量与速度的乘积。
t
6
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可以 延长运动员下落时 与其接触的时间， 这样就减小了地面 对人的冲击力。
7
§4-2 质点系动量定理
4-2-1 质点系动量定理 设n个质点构成系统 第i个质点： 内力 F内i 初速度
质心运动定理
Fi
22
1. 完全弹性碰撞
1 1 1 1 2 2 2 m1 v10 m2 v 20 m1 v12 m2 v 2 2 2 2 2
m1 v10 m2 v 20 m1 v1 m2 v 2
(m1 m2 ) v10 2m2 v 20 v1 m1 m2 (m2 m1 ) v 20 2m1 v10 v2 m1 m2
v 0 sin t g 跳跃增加的水平距离：
x x 2 x1 ( v1 v 0 cos )t muv 0 sin ( m m) g
20
§4-4 碰撞
两个或两个以上的物体在运动中发生极 其短暂的相互作用，使物体的运动状态 发生急剧变化，这一过程称为碰撞。
21
系统总末动量：
系统总初动量：
F1
F内12 m2 F内21
m1
F2
合外力的冲量：

t
t0
Fi dt
9

t
t0
Fi dt p p0 p
质点系的动量定理：
质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
微分式：
dp Fi dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
解 水平方向所受合外力为零， 因此系统动量守恒：
MV mv 0
小球、槽、地球组成的系统在运动 过程中机械能守恒： 1 1 2 mgR mv MV 2 2 2 小球速度： v
2MgR M m
2 gR 槽速度：V m M ( M m)
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例9 质量为m'的人拿着质量为m的物体,与地面成角 的方向向前跳跃,初速率为v0,在跳到最高点P处时,人 将物体相对于人以u的速率水平向后抛出,问人的跳跃 水平距离增加了多少？
y
解 最高点P抛前和抛后过程,水平运动满 足动量守恒条件.设抛后人对地的速率 为v1,物体对地的速率为v2,则有：
v0
P
v 2 (v1 u)
(m m)v0 cos mv1 m(v1 u)
O

x1
x
x2
19
m v1 v 0 cos u m m
从最高点落到地面所需的时间：
定义：外力 F 对参考点O的力矩：
M r F
单位：Nm 力矩的大小：
z
M
F
O
M rF sin
力矩的方向由右手螺旋关系 确定，垂直于 r 和 F 确定的 平面。
r
θ
y
x
30
设作用于质点系的作用力分别为：F1 , F2 , , Fn
e
v 2 v1 v10 v 20
e 为恢复系数
e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。 一般非弹性碰撞：0 < e < 1
25
§4-5 质点的角动量
4-5-1 质点的角动量
设：t 时刻质点的位矢 r 质点的动量 mv
运动质点相对于参考点O的 角动量定义为：
作用点相对于参考点O的位矢分别为： r1 , r2 , , rn
F1
z
r1
O
Fi
相对于参考点O的合力矩为：
M ri Fi
x
ri
r2
F2
y
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2．力对轴的矩
力 F 对轴的力矩：
Z
M
力 F 对点的力矩 M 在过点的任一
轴线上的投影。
(1)如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体在碰撞时 速度发生了交换。
(2) 如果v20 = 0 , 且 m2 >> m1, 则v1 = - v10, v2 = 0
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2．完全非弹性碰撞 由动量守恒定律
m1 v10 m2 v 20 v m1 m2
完全非弹性碰撞中动能的损失
28
4-5-2 力矩 1．力对参考点的力矩
质点的角动量 L 随时间的变化率为
式中
而且与参考点O到质点的位矢 r 有关。
质点角动量的改变不仅与所受的作用力 F 有关，
29
dL dr p dr dp pr dt dt dt dt dr dp p v p 0 F dt dt dL rF dt
vi 0
t
质量 mi 外力 Fi
i
末速度 vi
质点动量定理：
F内i

t0
Fi F内i dt mi vi mi vi 0
8


t
t0
Fi F内i dt mi vi mi vi0
其中：
F内i 0
p mi vi p0 mi vi 0
r2
m2
y
x
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质心位置的分量式：
xC
mx m
i
i i
yC
my m
i i
i
zC
mz m
i
i i
连续体的质心位置：
xC
xdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
说明： 对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在 它的几何对称中心。
动量守恒的分量式：
p x mi vix 常量 p y mi viy 常量 p z mi v iz 常量
F 0 F 0 F 0
x y z
动量守恒定律是自然界最普遍的规律之一，它 不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。
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例8 一质量为m的小球在质量为M的圆弧形槽上,圆 弧形槽半径为R,放在水平地面上,小球与槽间、槽与 地面间的摩擦忽略,现小球从圆弧形槽顶端静止滑下, 求刚离开槽时,小球和木块的速度等于多少?
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质心运动定理：
Fi maC
作用于质点系上的合外力等于质点系的总质 量与质心加速度的乘积。 质心的两个重要性质：
（1） 系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量， 内力既不能改变质点系的总动量,也就不能改变质心 的运动状态 。 系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量 和除以系统的总质量。
1 1 1 2 2 E ( m1 v10 m2 v 20 ) (m1 m2 )v 2 2 2 2
m1 m2 ( v10 v 20 ) 2 2(m1 m2 )
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