浅析卷积

“卷积”是什么？

卷积的实质是加权平均，卷积的重要性在于它是频域上的乘积！连续空间的卷积定义是f(x)与g(x)的卷积是f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的. 实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t 就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.实际上为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色（Filter），另一个则扮演被平均的角色（图像）。

把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是

图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷

积核做一个矩阵的形状.（以下两个是动态图，文档没有显示出来效果，详见下面网址）

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首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为

w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。

此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。

这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是

......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，

另一个序列是

.....,x_1,x_2,x_3,......

将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。

但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier

变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！

形象的小例子来解释一下卷积：

比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！

如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程

么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？