最新三角形中位线课件教学讲义PPT
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三角形中位线公开课课件
总结词
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
三角形中位线定理课件
三角形中位线定理的应用
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形的中位线课件(共22张PPT)
D
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 7 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 。 四 边 形 EFGH是平行四边形吗？为什么？
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 7 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 。 四 边 形 EFGH是平行四边形吗？为什么？
最新三角形中位线公开课教学讲义ppt
强弱、感邪的轻重、邪留的部位有关。
发病的基本原理
正气不足是疾病发生的内在因素 邪气是发病的重要条件 邪正相搏的胜负决定发病与不发病
正气的基本概念
正气——是一身之气相对邪气时的称谓，是指 人体内具有抗病、祛邪、调节、修复等作用的 一类细微物质。
一身之气——又称人气，是构成人体和维持人 体生命活动的细微物质，其在体内的运行分布， 既有推动和调节人体生长发育和脏腑机能的作 用，又有抗邪、祛邪、调节、修复等能力。
D B
由旋转可知，CF=AD，∠A=∠FCE.
E
F ∵∠A= ∠FCE，
∴AB∥FC
又∵DB=AD
∴ DB=FC.
C
∴四边形DBCF是平行四边形.
1、DE与BC有怎样的位置关系？ 2、DE与EF相等吗？ 3、DE与BC有怎样的数量关系？为什么？
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：DE∥BC， DE 1 BC
C１
B
B１
C
3、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各
边中点所成三角形的周长为 13 cm.
A
4、如果△ABC的周长为a
则△A1B1C1的周长为
1 2
a；
A１
A２
A3 C3
C１
B２ B3 C２
B
B１
C
5、A2、B2、C2分别为△A1B1C1各边中点,△A2B2C2的周长为
像这样下去,第3个三角形的周长为
则∠1的度数是
。
E
C
2
D
1
A
B
作 业：
1、习题3.3 2、新课堂相关练习
课后延伸
在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB，CD，AC 的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=60°，则∠EFG= 。
发病的基本原理
正气不足是疾病发生的内在因素 邪气是发病的重要条件 邪正相搏的胜负决定发病与不发病
正气的基本概念
正气——是一身之气相对邪气时的称谓，是指 人体内具有抗病、祛邪、调节、修复等作用的 一类细微物质。
一身之气——又称人气，是构成人体和维持人 体生命活动的细微物质，其在体内的运行分布， 既有推动和调节人体生长发育和脏腑机能的作 用，又有抗邪、祛邪、调节、修复等能力。
D B
由旋转可知，CF=AD，∠A=∠FCE.
E
F ∵∠A= ∠FCE，
∴AB∥FC
又∵DB=AD
∴ DB=FC.
C
∴四边形DBCF是平行四边形.
1、DE与BC有怎样的位置关系？ 2、DE与EF相等吗？ 3、DE与BC有怎样的数量关系？为什么？
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：DE∥BC， DE 1 BC
C１
B
B１
C
3、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各
边中点所成三角形的周长为 13 cm.
A
4、如果△ABC的周长为a
则△A1B1C1的周长为
1 2
a；
A１
A２
A3 C3
C１
B２ B3 C２
B
B１
C
5、A2、B2、C2分别为△A1B1C1各边中点,△A2B2C2的周长为
像这样下去,第3个三角形的周长为
则∠1的度数是
。
E
C
2
D
1
A
B
作 业：
1、习题3.3 2、新课堂相关练习
课后延伸
在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB，CD，AC 的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=60°，则∠EFG= 。
三角形的中位线ppt课件
∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
(完整版)三角形中位线课件.ppt
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
《三角形的中位线定理》PPT课件
A
D
E
B
C
例3 （1）在△ABC中，BD、CE分别是边AC，AB上的中线， BD、CE相交于点O，H点M、N分别是OB、OC的中点，试
猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明.
答：四边形DEMN是平行四边形. 理由如下：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，DE=
1 2
BC.
∵MN是△OBC的中位线
∴MN//BC，MN= 1 BC. ∴四边形DEMN是平行四边形. 2
重要发现： A ①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
D
E 组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
B
F
C
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；
分析：要证明线段的倍分关系， A
可将DE加倍后证明与BC相等.从而
转化为证明平行四边形的对边的关
D
E
系， 于是可作辅助线，利用全等三
角形来证明相应的边相等.
B
C
证明：延长DE至F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
∵ AE=CE， A
∴四边形ADCF是平行四边形，
CF//DA,
D
E
F
CF//BD.
∴四边形DBCF是平行四边形. B
DF//BC 又DE= 1 DF, 2
∴DE∥BC,
DE 1 BC. 2
C
有什么发现 呢？
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线.
A
D
E
三角形中位线定理：
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等
D
E
B
C
例3 （1）在△ABC中，BD、CE分别是边AC，AB上的中线， BD、CE相交于点O，H点M、N分别是OB、OC的中点，试
猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明.
答：四边形DEMN是平行四边形. 理由如下：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，DE=
1 2
BC.
∵MN是△OBC的中位线
∴MN//BC，MN= 1 BC. ∴四边形DEMN是平行四边形. 2
重要发现： A ①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
D
E 组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
B
F
C
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；
分析：要证明线段的倍分关系， A
可将DE加倍后证明与BC相等.从而
转化为证明平行四边形的对边的关
D
E
系， 于是可作辅助线，利用全等三
角形来证明相应的边相等.
B
C
证明：延长DE至F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
∵ AE=CE， A
∴四边形ADCF是平行四边形，
CF//DA,
D
E
F
CF//BD.
∴四边形DBCF是平行四边形. B
DF//BC 又DE= 1 DF, 2
∴DE∥BC,
DE 1 BC. 2
C
有什么发现 呢？
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线.
A
D
E
三角形中位线定理：
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等
三角形的中位线及性质PPT课件
在三角形中，中位线通常用两个大写 字母表示，其中一个是起点，另一个 是终点。
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05
《三角形的中位线》课件.ppt
几何画板动态演示
得出定理
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于 三角形的 D 第三边，并且等于 第三边的一半 ． B
A
E
C
符号语言：
在△ABC中， ∵D、E分别是边AB、AC的中点，
1 ∴ DE∥BC，DE= BC． 2
新知应用
1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1）若DE=3，则BC= 6 ． （2）若∠B=65°，则∠ADE= 65 °. （3）若DE+BC=12，则BC= 8 ． A
4.线段的倍分问题要转化为相等问题来解决.
布置作业
1.习题18.1 第5题 2.练习册第48-50页 《三角形的中位线》
今 日 作 业
课下思考
有一块三角形的蛋糕,准备平均分给 四个小朋友,要求四人所分的形状大小相 同,请设计合理的解决方案.
谢谢大家！
E C
D
B
2.已知△ABC的各边的长度分别为3cm,4cm,5cm, 则连接各边中点的三角形的周长为（ D ） A.2cm B.7cm C.5cm D.6cm
总结：三角形的三条中位线围成的三角形的 周长与原三角形的周长有什么关系？
解决课前问题
D、E分别是AC、BC中点， 量出D、E两点间距离，则 AB=2DE
思考：若D、E两地之间还有障碍物阻 隔，如何测出A、B两地的距离呢？
归纳小结
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第 三边的位置关系，而且给出了它们的数量关系 . 符号语言： 在△ABC中， A ∵D、E分别是边AB、AC的中点， D E 1 ∴ DE∥BC，DE= BC． C B 2
B
E
C B
得出定理
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于 三角形的 D 第三边，并且等于 第三边的一半 ． B
A
E
C
符号语言：
在△ABC中， ∵D、E分别是边AB、AC的中点，
1 ∴ DE∥BC，DE= BC． 2
新知应用
1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1）若DE=3，则BC= 6 ． （2）若∠B=65°，则∠ADE= 65 °. （3）若DE+BC=12，则BC= 8 ． A
4.线段的倍分问题要转化为相等问题来解决.
布置作业
1.习题18.1 第5题 2.练习册第48-50页 《三角形的中位线》
今 日 作 业
课下思考
有一块三角形的蛋糕,准备平均分给 四个小朋友,要求四人所分的形状大小相 同,请设计合理的解决方案.
谢谢大家！
E C
D
B
2.已知△ABC的各边的长度分别为3cm,4cm,5cm, 则连接各边中点的三角形的周长为（ D ） A.2cm B.7cm C.5cm D.6cm
总结：三角形的三条中位线围成的三角形的 周长与原三角形的周长有什么关系？
解决课前问题
D、E分别是AC、BC中点， 量出D、E两点间距离，则 AB=2DE
思考：若D、E两地之间还有障碍物阻 隔，如何测出A、B两地的距离呢？
归纳小结
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第 三边的位置关系，而且给出了它们的数量关系 . 符号语言： 在△ABC中， A ∵D、E分别是边AB、AC的中点， D E 1 ∴ DE∥BC，DE= BC． C B 2
B
E
C B
《三角形的中位线》PPT教学课件
知识点 1 三角形的中位线性质
知1－导
什么叫三角形的中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就 是△ABC的中位线。 一个三角形共有几条中位线？ 答：三条知1－导A源自思考：三角形的中位线与三角形的
中线有什么区别与联系？
D
E
区别：中位线：中点--------中点
1 2
BD，
∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（来自教材）
知1－练
5 【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两
点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，
并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC
＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( B )
知1－导
2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形 DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关 系和数量关系与上面的发现是否相同？
知1－导
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
现在，我们来证明这个结论.
∴AE＝
1 2
AD，BF＝
1 2
BC，∴AE
＝∥BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN ＝∥
1 2
BC.
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．
《三角形的中位线》PPT课件
A
D
E
F
B
.
C
7
思考：
A
D
EF
B
C
❖ 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
答：四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF
又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
·
C
F
动画演示，验证结论
A
D
EBC来自概念：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
.
5
想一想：
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
猜想,三角形中位线有什么性质?
.
6
交流讨论，问题探究（二）
将ΔADE绕着点E按顺时针方向旋转180°到ΔCFE的位置，这 样得到四边形DBCF。
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
A
D
E
B
F
C
分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
课堂小结
1.三角形中位线的概念。
2.性质定理:三角形的中位线平行于第 三边,且等于第三边的一半.
D
E
F
B
.
C
7
思考：
A
D
EF
B
C
❖ 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
答：四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF
又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
·
C
F
动画演示，验证结论
A
D
EBC来自概念：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
.
5
想一想：
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
猜想,三角形中位线有什么性质?
.
6
交流讨论，问题探究（二）
将ΔADE绕着点E按顺时针方向旋转180°到ΔCFE的位置，这 样得到四边形DBCF。
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
A
D
E
B
F
C
分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
课堂小结
1.三角形中位线的概念。
2.性质定理:三角形的中位线平行于第 三边,且等于第三边的一半.
《三角形的中位线》ppt课件
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
H A
∴EF//AC，EF 1 AC．
2
同理，GH//AC，GH
1
AC．
2
E B
∴EF//GH，且EFGH．
F
∴四边形EFGH是平行四边形．
D G C
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则
求证：A1B1=B1C1
分析：证明“线段相等” 常利用全等 添加辅助线构造全等
证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线
l1 、 l3于点EF.
A
A1 E
l1
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
B
∴EB1=AB，B1F=BC.
C
B1
l2
F
C1
l3
∵AB=BC，
∴EB1=B1F.
探究
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交 直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
布置作业
教科书第85页习题19.2 第12题、第15题.
课程结束
拓展
【中点三角形】 顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形.
A
D
E
B
F
C
中点三角形的周长是原三角 形的周长的一半.
中点三角形的面积是原三角形 的面积的四分之一
随堂练习
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
中位线是连接三角形两边中点的线段.
三角形中位线课件.ppt(1)PPT课件
得CF=AD , CF//ABFra bibliotekA E
又可得CF=BD,CF//BD
所以四边形BCFD是平行四边形
则有DE//BC,DE=
1 2
1
DF= 2
BC
F
C 第7页/共19页
解题分析 3.
A
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是___6__
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？第10页/共19页
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
第17页/共19页
第18页/共19页
谢谢您的观看！
第19页/共19页
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个第端4页/点共19是页 边的中点，另一端点 是三角形的顶点。
想一想
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
E
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
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求证：AE与DF互相平分.
证明:连接DE、EF，因为
A
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平
行于第三边并且等于第三边的一
半）。
D
F 同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
C因边此形A的E对、角D线F互互相相平平分分。）（平行四
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？
1
∴DE∥BC且DE= 2 BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C DE//1 BC
2
途 用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
练习1.如图，在△ABC中，D、E分、别F分是别 A是BA、BA、CA的C中、点BC的中点
三角形中位线课件
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
D B
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
AEF
D
B
MN
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
平行线间的距离处处相等
四、气象要素与人体舒适度及健康
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
EC
A
l
1
它与点与点的距离、
点到直线的距离的
（一）人体舒适度及其影响因子
1、人体舒适度 人体在不同的外界环境条件下， 皮
肤、眼、神经等器官因受环境刺激而产 生不同的感觉，经过大脑神经系统整合 后形成的总体感觉的适宜或不适程度， 就是人体舒适度。
舒适与否是一种感觉和状态，具有主观和客观 双重特性和标准。
从感觉的角度来讲，舒适度是人的主观认知和 感受，标准因人而异，具有较强的主观性；
D
B
F
①③若A∠CA=D4cEm=,6B5C°=，6c则m，∠ABB==685c度m，，为什么？ E ②④④若若△则BCA△=BDC8E的cFm的周，周长长为则9=2Dc_4m_，E_=4△__D_EFc的m周，长为是什_1_么2__？_
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/12AGABHC/C/的12 A中C位线
C
G H/ /E F
∴四边形EFGH是平行四边形
A
C
B
课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是 AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位线.
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
∟∟
FD
∟
联系与区别
l2 B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则
AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
在没有任何测量工具的情况下,小
M
明通过学习,估测出了A,B两地之
间的距离:先在AB外选一点C,然后 C 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN
N
B
的长,由此他就知道了A,B间的距
离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点， N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
从生理学角度分析，舒适度是人体机能在一定 环境条件下保持正常运转时的一种状态， 伴 随着一系列的生物物理和化学过程。舒适或不 适所伴随的生物过程是客观存在的，并以一定 的生物指标或生物过程特征为判别标准，所以 说舒适度又具有客观性。
在自然环境中，气象因素是影响人体舒 适度的主要因子，温度、湿度、风、太 阳辐射、气压等气象要素及其变化过程 会影响人体的生理适应程度和感觉。环 境对人体的影响有一个舒适或适宜的范 围或区域，超出该范围则感觉不舒适， 偏离舒适范围越远则舒适感越差。
A E
又可得CF=BD,CF//BD
所以四边形BCFD是平行四边形
则有DE//BC,DE=
1 2
1
DF= 2
BC
F
C
解题分析 3.
A
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形 ∴又DDFE∥=B12 CD，FDF=BC