函数的图象及三角函数模型的简单应用教案
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。
2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。
3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。
4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。
5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。
6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。
六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。
利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。
三角函数模型教案的实践应用案例
三角函数模型教案的实践应用案例一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角函数的概念和性质；（2）学会使用三角函数模型解决实际问题；（3）培养学生的数学思维能力和创新意识。
2. 过程与方法：（1）通过观察和实验，引导学生发现三角函数的规律；（2）运用三角函数模型，解决生活中的实际问题；（3）培养学生的合作意识和团队精神。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）感受数学在生活中的重要作用；（3）培养学生的责任感和使命感。
二、教学内容1. 三角函数的概念和性质2. 三角函数模型的建立3. 三角函数模型在实际问题中的应用4. 三角函数模型的优化和改进5. 三角函数模型实践应用案例的讨论和分析三、教学重点与难点1. 教学重点：三角函数的概念和性质，三角函数模型的建立和应用。
2. 教学难点：三角函数模型在实际问题中的灵活运用，三角函数模型的优化和改进。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现三角函数的规律；2. 通过实例分析和讨论，让学生学会运用三角函数模型解决实际问题；3. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力；4. 结合现代教育技术，如多媒体和网络资源，丰富教学手段，提高教学质量。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例，引出三角函数的概念和作用；2. 自主学习：学生通过教材和课外资料，了解三角函数的性质和模型；3. 课堂讲解：教师讲解三角函数的基本性质，引导学生发现和总结规律；4. 实例分析：教师给出实际问题，学生运用三角函数模型进行解决；5. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法；6. 总结提升：教师引导学生总结三角函数模型的应用方法和注意事项；7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和实践应用案例的分析，评价学生在三角函数模型实践应用方面的掌握程度。
六、教学评价设计1. 形成性评价：通过课堂讨论、提问以及学生解答实际问题的表现，实时监控学生的学习进度和理解程度。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学函数的图像教案
高中数学函数的图像教案教学目标：1.了解数学函数的概念和性质2.掌握如何绘制常见函数的图像3.通过图像分析，掌握函数的特点和规律教学过程：一、导入环节（5分钟）：1.引入函数概念：什么是函数？函数的自变量和因变量分别代表什么意义？2.回顾基本函数：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的表达式和特点。
二、拓展练习（15分钟）：1.让学生通过计算绘制简单函数的图像，如y=x，y=x^2，y=2^x等。
2.引导学生观察图像特征，比较不同函数之间的差异和规律。
三、探究与讨论（20分钟）：1.通过交流讨论，探索函数图像的对称性、单调性、最值、零点等特点。
2.引导学生思考函数图像与函数表达式之间的关系，如何通过图像分析函数性质。
四、综合应用（10分钟）：1.设计探究问题：给出一个函数的图像，要求学生根据图像特征写出函数表达式并分析函数性质。
2.让学生在小组内合作讨论，提高分析和解决问题的能力。
五、总结反思（5分钟）：1.总结本节课学习到的函数图像特点和分析方法。
2.帮助学生提出自己的疑惑和思考，引导他们如何进一步深入学习和应用函数知识。
教学反馈：1.检查学生课堂互动情况，了解学生对函数图像的理解和掌握程度。
2.根据学生表现和反馈情况，调整教学策略，针对性地进行知识巩固和强化训练。
拓展延伸：1.引导学生自主探索更多函数的图像，挖掘数学函数的更多奥秘和规律。
2.鼓励学生开展实际问题求解，提高数学应用能力和创新意识。
注：以上教案仅为范本，具体实施时可根据教学实际情况和学生特点进行调整和改进。
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)AT= f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编] 若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间0, π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .4.[教材改编] 已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度.6.设ω>0,若函数f (x )=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin (ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= .8.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2 课堂考点探究探究点一 函数y=Asin (ωx+φ)的图像变换1 (1)将函数y=2sin 2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3(2)函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为( )A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6)(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=√2cos 3x的图像( )A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π4个单位长度个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A (2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2为图像的一个最高点),B-5,0,则函数f(x)=.2图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.,1式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且Aπ2,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三 函数y=Asin (ωx+φ)的图像与性质3 (1)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P (0,1),则函数f (x )=sin (ωx+φ) ( ) A.在区间[-π6,π3]上单调递减 B.在区间[-π6,π3]上单调递增 C.在区间[-π3,π6]上单调递减 D.在区间[-π3,π6]上单调递增(2) 函数y=cos (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A ,B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2√2,则该函数图像的一条对称轴为 ( )图3-19-6A.x=π2B.x=-π2C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=Asin (ωx+φ)+B (A>0,ω>0)的解析式的一般步骤. (1)求A ,B.确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=M -m 2,B=M+m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-7所示,若f (0)=√3,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图像,求函数g (x )在区间0,π2上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四 三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m 的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O 距离水面2 m ,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P 从水中浮现(即到达图中点P 0)时开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h (m )表示为时间t (s )的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.课时作业一、填空题1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________.2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y＝sin(2x＋π2) ②y＝cos(2x＋π2) ③y＝sin(x＋π2) ④y＝cos(x＋π2)4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.①ω＝1，φ＝2π3②ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π36．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．13．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
高三数学 第3章 第4节 函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用解析含教学设计
第四节函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ表所示x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图341，则ω＝( )【导学号：57962155】图341A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图像可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.] 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )【导学号：57962156】A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数的解析式为：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.又因它为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3分(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像.12分[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )【导学号：57962157】A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像图342如图342所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. (2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (·南昌二模)如图343是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像，则f (π)＝( )【导学号：57962158】图343A.22 B ．－22 C.12D ．－12A [由图像可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π2＝4π，则ω＝2πT ＝12，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1代入函数解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1，结合0＜φ＜π，得φ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，所以函数f (π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos π4＝22，故选A.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(·天津高考)已知函数f (x )＝4t an x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . 2分f (x )＝4t an x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 8分 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【导学号：57962159】[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 3分因为y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，所以周期为π.又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数的简单应用数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？【导学号：57962160】[解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12. 9分 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分 [规律方法] 1.三角函数在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (·陕西高考)如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图344A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图像确定函数解析式由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图像得出y ＝A sin t 的值域．第11页共11页。
导学案019函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.教学重点：1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．教学过程：基础梳理二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图.三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二双基自测：1．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝π D．x＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π33．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的图象，则φ等于()A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π64．(教材习题改编)y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的振幅为________，频率和初相分别为________、________. 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.关键点点拨： 31、确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝ M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 2．平移变换中的平移量从y ＝sin ωx (ω>0)到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的变换中平移量为|φ|ω(φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x 的变化量而言的．典例分析考点一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像[例1] (2010·四川高考)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·湖州模拟)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象 ( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位2．(2011·北京西城区期末)函数f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于点(－π8，0)对称D ．关于直线x ＝3π8对称3．(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．反思总结：1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)； ②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 考点二：三角函数图像的对称性[例2] (2010·福建高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________________．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( ) A.223 B.233 C.43 D.263反思总结：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象 与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈ Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．(2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2. 考点三：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式[例3] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.6．(2012·北京东城区期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式； (2)设g (x )＝f (x )－cos 2x求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值 ．[冲关锦囊]根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.考点四：函数的y ＝A sin(ωx ＋φ)图像和性质的综合应用 [例4] (2011·重庆高考改编)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)7．(2012· 绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ， x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．[冲关锦囊]认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．第一步：化成统一形式将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式；第二步：求f (x )的最小正周期利用公式T ＝2π|ω|求f (x )的最小正周期；第三步：求g (x )的解析式利用代入法求g (x )的解析式并化为A cos(ωx ＋φ)的形式； 第四步：求g(x )的最值利用三角函数的单调性求g(x)的最大值．特别提醒：在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的函数加以解决；化简时，主要应用三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的有关性质解题．一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象，则φ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π122．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4 D ．45．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.7．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位； (4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位； (6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．三、解答题8．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．9．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4， (1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心． 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．(2012·南通一模)如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3. 当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在 DE上， 故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ) ＝6⎝⎛⎭⎫12sin 2θ＋12cos 2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。
2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。
2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。
三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。
2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。
五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。
2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。
3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。
2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。
3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。
七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。
2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。
3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。
2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。
3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。
2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。
(完整版)三角函数的图像和性质教案
课 题 三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念不很清楚，理解也不够透彻,需要及时加强巩固。
教学目标与 考点分析1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程基础梳理1．“五点法”描图(1）y ＝sin x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为(0，0)，)1,2(π，(π，0),)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为（0,1），)0,2(π，（π，－1）,)0,23(π，（2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R｛x |x ≠k π＋错误!，k ∈Z ｝图象值域 ［－1，1] ［－1，1] R1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．学生对本次课的小结及评价1、本次课你学到了什么知识2、你对老师下次上课的建议⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：课后练习：（具体见附件）课后小结教师签字：审阅签字： 时 间：教务主任签字: 时 间：龙文教育教务处。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。
2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。
三角函数模型教案的实践应用案例
三角函数模型教案的实践应用案例一、教学目标1. 让学生理解三角函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学模型的认识和应用水平。
二、教学内容1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的性质3. 三角函数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质及应用。
2. 难点：如何运用三角函数解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三角函数的性质和应用。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像和实际应用场景，增强学生的直观感受。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如测量高度、角度等，引出三角函数的概念。
2. 三角函数的定义与图像：讲解正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义和图像，让学生掌握其基本性质。
3. 三角函数的性质：引导学生探究三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并通过举例验证。
4. 三角函数在实际问题中的应用：结合实际问题，如物理中的振动、工程中的测量等，讲解三角函数在这些领域中的应用。
5. 总结与反思：让学生回顾本节课所学内容，总结三角函数的基本性质和应用，并提出疑问。
6. 作业布置：布置一些有关三角函数的练习题，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生在作业中遇到的问题，进行个别辅导，帮助其解决问题。
六、教学拓展1. 利用网络资源，让学生了解三角函数在现代科技领域中的应用，如卫星导航、通信系统等。
2. 介绍三角函数在其他国家文化中的体现，拓宽学生的国际视野。
七、课程实践1. 安排一次实地考察活动，如测量旗杆高度、角度等，让学生将所学知识应用于实际。
2. 组织一次小组竞赛，鼓励学生创新性地解决与三角函数相关的实际问题。
八、课程评价1. 采用过程性评价和终结性评价相结合的方式，全面评估学生在课程学习过程中的表现。
2. 关注学生在实际问题解决中的能力发挥，侧重评价学生的应用能力和团队协作能力。
三角函数模型教案的实践应用案例
三角函数模型教案的实践应用案例一、教学目标1. 让学生理解三角函数的概念和性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和应用意识。
二、教学内容1. 三角函数的定义与基本性质。
2. 三角函数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的概念、性质及应用。
2. 难点：运用三角函数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将三角函数应用于实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作交流能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例，引入三角函数的概念。
2. 新课：讲解三角函数的定义与基本性质，引导学生探究其内在联系。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用三角函数解决问题。
4. 练习：布置相关习题，巩固所学知识。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调三角函数在实际中的应用。
六、教学案例案例一：测量山峰的高度背景：登山队需要测量一座山峰的高度，他们携带了一个雷达测距仪，可以测量山脚到山峰的垂直距离。
已知雷达测距仪在水平方向上的误差为±1%，要求确定山峰的高度。
解决方案：1. 假设雷达测距仪在水平方向上的误差为±1%，即测量的距离在实际距离的正负1%范围内。
2. 假设地球的曲率为平面的3次方，即地球表面每上升1米，水平距离增加约0.00018米。
3. 利用三角函数，结合雷达测距仪的测量数据和地球曲率的影响，建立数学模型计算山峰的高度。
案例二：设计吊车臂背景：工程师需要设计一个吊车臂，该吊车臂能够将货物从地面抬起到指定的高度。
已知吊车臂的仰角和长度，需要确定吊车臂的俯仰角和旋转半径。
解决方案：1. 利用三角函数，建立吊车臂的仰角和俯仰角之间的关系。
2. 根据吊车臂的长度和仰角，计算旋转半径。
3. 利用三角函数，建立旋转半径和俯仰角之间的关系。
4. 通过求解方程组，确定吊车臂的俯仰角和旋转半径。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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函数的图像的教案
函数的图像教案一、教学目标1. 了解什么是函数的图像。
2. 学习如何绘制函数的图像。
3. 掌握函数图像在数轴上的显示。
4. 理解函数图像与函数的关系。
二、教学准备1. 黑板、白板或投影仪2. 教学笔、粉笔或白板笔3. 教学用纸、尺子和画笔4. 函数图像的练习题三、教学步骤1. 引入函数图像的概念（5分钟）教师可以通过例子来引入函数图像的概念。
例如，让学生想象一个简单的函数，比如y = x，然后通过替换x的值来绘制对应的点。
这样学生就可以理解函数图像是由多个点构成的。
2. 解释如何绘制函数图像（10分钟）教师可以从绘制简单函数图像开始，如y = x、y = x^2等。
解释每个点的坐标表示函数的值。
教师可以使用数轴来帮助学生理解函数图像在数轴上的显示。
3. 学生实践绘制函数图像（20分钟）让学生用纸和铅笔练习绘制函数图像。
教师可以在黑板上展示一个函数，然后让学生在纸上模仿绘制。
教师要定期检查学生的进展，并提供指导和帮助。
4. 讨论函数图像与函数的关系（10分钟）教师可以与学生讨论函数图像与函数的关系。
例如，学生可以观察到函数图像的形状如何随着函数的不同而变化。
教师可以向学生提供一些函数曲线的例子，并让学生观察它们的特点和规律。
5. 练习题和作业（15分钟）教师可以提供一些练习题，让学生在课堂上完成。
这些练习题可以包括绘制函数图像、写出函数图像的方程等。
教师可以选取一些具有挑战性的问题，以鼓励学生思考和探索。
6. 总结与反馈（10分钟）教师可以对课堂内容进行总结，并回顾学生所学的知识和技能。
同时，教师可以向学生征求反馈，了解课堂教学的效果和学生的进展。
四、教学评估教师可以通过学生的练习题和作业来评估学生对函数图像的理解和掌握程度。
此外，教师也可以通过课堂表现和参与度来评估学生对相关概念的理解和运用能力。
五、拓展延伸教师可以引导学生进一步学习函数图像的概念和绘制技巧。
学生可以自主选择更复杂的函数，如三次函数、指数函数等，并学习如何绘制它们的图像。
中学数学教案三角函数的解析式与图像
中学数学教案三角函数的解析式与图像中学数学教案：三角函数的解析式与图像引言：三角函数是数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
掌握三角函数的解析表达式和图像是理解与应用三角函数的关键。
本教案将介绍三角函数的解析式与图像的概念、性质和画法，并提供一些例题来加深学生对该知识点的理解。
一、解析式与图像的概念1. 三角函数的解析式三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
其解析式如下：正弦函数：y = sin(x)余弦函数：y = cos(x)正切函数：y = tan(x)其中，x 表示角度，y 表示函数的值。
2. 三角函数的图像三角函数的图像是将解析式中的变量 x（角度）从0度到360度之间取值，计算对应的函数值 y，然后将这些点连成曲线。
三角函数的图像具有周期性，周期为360度或2π弧度。
二、三角函数的性质1. 正弦函数的性质正弦函数的图像在[0, 360]度范围内一共有一个周期。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R- 值域：[-1, 1]- 奇偶性：奇函数，即sin(-x) = -sin(x)- 对称性：关于y轴对称- 最值：最大值为1，最小值为-1，分别对应于sin(90°)和sin(270°)2. 余弦函数的性质余弦函数的图像在[0, 360]度范围内一共有一个周期。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R- 值域：[-1, 1]- 奇偶性：偶函数，即cos(-x) = cos(x)- 对称性：关于y轴对称- 最值：最大值为1，最小值为-1，分别对应于cos(0°)和cos(180°)3. 正切函数的性质正切函数的图像在每个90度的整数倍处有一个渐进线。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R，除了90度的整数倍处- 值域：(-∞, +∞)- 奇偶性：奇函数，即tan(-x) = -tan(x)- 对称性：关于原点对称- 渐近线：在90度的整数倍处有垂直渐近线三、三角函数图像的画法1. 步骤一确定横坐标的范围，一般为0度到360度，或0弧度到2π弧度。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。
【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。
【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。
例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。
正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。
（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。
（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。
三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。
（1）分析题意，选用何种三角函数模型。
设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。
34965_《三角函数模型的简单应用》教案5(新人教A版必修4)
人教数学A 版教材必修4第一章三角函数Ⅱ教学设计一、教材分析1、本单元的教学内容的范围 1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算 1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义 1.2.2单位圆与三角函数线 1.2.3同角三角函数的基本关系式 1.2.4诱导公式 1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3已知三角函数求值2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用 （1）三角函数在高中课程中的地位和作用三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学（Ⅰ）中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。
主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。
因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。
（2）本章知识结构了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）απαπ±±,2，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0，正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解)sin(φω+=x A y 的实际意义；能借助计算器或计算机画出)sin(φω+=x A y 的图象，观察参数φω,,A 对函数图象变化的影响。
常州市西夏墅中学高三数学教学案函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、学习目标1、了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
二、知识回顾1、简谐运动的有关概念2、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示3、函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤四、课前热身1、函数x y 21sin =的图象的一条对称轴的方程是2、要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只须将x y 2sin 8=的图象3、把函数)62sin(π+=x y 的图象向左平移6π，所得图象的函数式为 4函数.___,21,23)(,0,si n)(==-<+=B A x f B x B A x f 则最小值是的最大值是时若5．函数]2,0[tan sin π的图象在与x y x y ==上交点个数是__________.一、 典例分析例1、已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。
（1）在给定的坐标系中，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象 （2）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值。
例2、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x ∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为M(23π,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x ∈［12π,2π］时，求f(x)的值域.例3、已知函数ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2π。
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龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段:教学课题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用----导学案教学目标考点分析1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.教学重点1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．教学难点结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的难点．教学方法观察法、探究法、启发式、讲练结合法教学过程：一、y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝f＝＝ωx＋φφ二、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.xωx＋φ0 π2π2πy＝sin(ωx＋φ) 0 A0 －A0 三、函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤四、课堂基础演练1．函数y ＝sin x2的图象的一条对称轴的方程是 ( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于 ( )A.π6B.11π6C.7π6D.5π64．(教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅为________，频率和初相分别为________、________.5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ________.五、精典例题剖析[例1] (2010·四川高考)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 [例2] (2010·福建高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________________．[例3] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．[例4] (2011·重庆高考改编)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y＝g (x )在[0，π4]上的最大值．六、巧练模拟1．(2012·湖州模拟)要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π12个单位2．(2011·北京西城区期末)函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于点(－π8，0)对称 D ．关于直线x ＝3π8对称3．(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．4．(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )A.223 B.233C.43D.2635．(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________. 6．(2012·北京东城区期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．7．(2012· 绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．七、考题范例(12分)(2012·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时， y ＝g (x )的最大值．总结与反思：1.要点点拨1）确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 2）平移变换中的平移量从y ＝sin ωx (ω>0)到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的变换中平移量为|φ|ω(φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x 的变化量而言的．2.冲关锦囊11）用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2）图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 3.冲关锦囊2(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．(2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2.4.冲关锦囊3根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.5.冲关锦囊4认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．6.特别提醒：在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的函数加以解决；化简时，主要应用三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的有关性质解题．课后作业：一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象，则φ＝( )A.π3B.π4C.π6D.π122．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x C ．y ＝sin(2x －π4) D ．y ＝sin(2x ＋π4)4．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( ) A ．8 B.π8 C.π4D ．45．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.7．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位； (4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位； (6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．三、解答题8．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．9．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相；(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．10．(2012·南通一模)如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE . (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE 上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．学生对于本次课评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定：1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。