【全国百强校】湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异, 拟从全体学生中抽取100名学生进行调査,则宜采用的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样D ．分层抽样 【答案】D 【解析】试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D. 考点：抽样方法. 2.列说法正确的是（ ）A ．任何亊件的概率总是在()0,1之间B ．频率是客观存在的,与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】C 【解析】考点：概率与频率的应用.3.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分 别为A s 和B s ，则（ ）A ． ,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s s <>C ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s << 【答案】B 【解析】考点：样本平均数、标准差.4.某产品的广告费用x 与销售額y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为（ ） A ．63.6万元 B ．65.5万元 C. 67.7万元 D ． 72.0万元 【答案】B 【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程.由表格可得.5.3)5324(41=+++⨯=x 42)54392649(41=+++⨯=y .又9.4b =，所以1.9354.942=⨯-=-=x b y a ，故回归方程的解析式为：.1.94.9+=x y 当6=x 时，.5.651.964.9=+⨯=y 故本题正确答案为B .考点：两个变量的线性关系.5.已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图所示，则()'0x f x >的解集为（ ）A ．()(),01,2-∞ B ．()1,2C.(),1-∞ D ．()(),12,-∞+∞【答案】A 【解析】考点：单调性和导数之间的关系.6.命题:p “若2320x x -+≠，则2x ≠” ，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题 中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：命题p “若,0232≠+-x x ,则,2≠x ”是真命题,故其逆否命题也是真命题,因为二者是等价命题.其逆命题是 “若,2≠x ,则,0232≠+-x x ”是假命题,其原因是若,21≠=x ,则213120-⨯+=.由此可以知道命题p 的否命题也是假命题,因为原命题的逆命题与否命题是等价命题.综上可以知道:命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是1.所以B 选项是正确的. 考点：四种命题的真假判断.7.已知命题:p a R ∀∈，且10,2a a a>+≥，命题000:,sin cos q x R x x ∃∈+= 正确的是（ ）A ．p 是假命题B ．q 是真命题 C.()p q ∧⌝ 是真命题 D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】C 【解析】试题分析：依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，故选C. 考点：全特称命题真假的判定.8.直三棱柱111ABC A B C -中，若190,BAC AB AC AA ∠===，则异面直线1BA 与1AC 所成的角 等于（ ）A ． 30B ．45 C.60 D ．90 【答案】C 【解析】考点：异面直线所成的角.9.如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．23y x = C. 292y x = D ．29y x = 【答案】B 【解析】试题分析：如图，过B 作BD 垂直准线于D ，过A 作AE 垂直准线于E ，记准线与x 轴的交点为H ．由抛物线定义知12BF BD BC ==，故 30=∠DCB ，所以AC AF AE 21==，即33===BF CF AF ，解得p CH BF 3,1==，所以)3,23(p pA -，代入即得答案23=p ，故选B ．考点：抛物线的定义，方程.【思路点晴】根据过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点B A 、,作BD AE 、垂直准线于点D E 、,根据||2||BF BC =,且3||=AF ,和抛物线的定义,由抛物线定义知 ,21BC BD BF ==，故 30=∠DCB ，所以AC AF AE 21==，即33===BF CF AF ，解得p CH BF 3,1==，所以)3,23(p pA -，代入即得答案23=p ，即求得抛物线的方程.10.甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中—人,第二次由拿球者再 传给其他三人中的一人,这样共传了4次，则笫四次仍传回到甲的概率是（ ） A ．727 B ．527 C.78 D ．2164【答案】A 【解析】考点：等可能事件的概率.11.如图,在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，且2AB AD =.设,0,2DAB πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，以,A B 为 焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ）A ．随着角度θ的增大，1e 增大 ,12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小,12e e 为定值 C. 随着角度θ的增大，1e 增大, 12e e 也增大 D ．随着角度θ的增大，1e 减小,12e e 也减小 【答案】Bc t CD 2)cos 1(2=-=θ，)cos 1('θ-=∴t c ，t t t AD AC +-=+θcos 4522，)cos 45(21'22t t t a +-=∴θ，)cos 45(21)cos 1(e 22''2t t t t ac +--==ϑθ， 2cos 452221tt t te e --=θ1)cos 45(21)cos 1(22=+--⨯t t t t ϑθ，所以B 选项是正确的.考点：双曲线的定义，离心率，单调性.【思路点晴】连接AC BD ,,假设t AD =,在ABD Λ中根据余弦定理表示出θcos 4522t t BD -=,进而根据双曲线的定义,2DA BD a -=可得到2cos 4522t t t a --=θ的值,再由a ce c AB ==,2,可表示出1cos 4521--=θe ,最后根据余弦函数的单调性可判断1e 的单调性;同样表示出椭圆中的'c 和'a 表示出)cos 45(21)cos 1(e 22''2t t t t ac +--==ϑθ,最后2cos 452221tt t te e --=θ.1)cos 45(21)cos 1(22=+--⨯t t t t ϑθ12.将长为1的小捧随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（ ） A ．12 B ．13 C. 14 D ．15【答案】C 【解析】试题分析：设三段长分别为,1,,y x y x -- 则总样本空间为⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<11010y x y x ，其面积为21，能构成三角形的事件的空间为⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+xy x y y y x x yx y x 111，其面积为81，则所求概率为412181=,故选C.考点：几何概型.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为0040. 现采用随机模拟试验的方法估 计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数, 用1,2,3,4表示下 雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验 产生了如下20组随机数:488932812458989431257390024556734113537569683907966191925271据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 【答案】0.3 【解析】试题分析：根据题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有: 271191734,024812932、、、、,共6组随机数,所求概率为3.0206=.因此，本题正确答案是: .3.0考点：随机数.14.如图，点()(),00F a a >,点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且0,0PM PF PM PN =+=, 则点N 的轨迹方程为 __________.【答案】4ax y 2= 【解析】考点：轨迹方程的求法，考查向量知识的运用.15.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 _________.【解析】试题分析：构造三棱锥DB A -A 1,并且有ABD A V -=11BD A -A V ,因为611112131311=⨯⨯⨯⨯==-sh V ABD A ,所以61V 11BD A -A ==-ABD A V .设点A 到平面DB A 1的距离为x ,又因为61)2(433131V 2BD A -A 11=⨯⨯⨯=⨯⨯=x x S BD A ,所以33x =,即点A 到平面DB A 1的距离为33.因此，本题正确答案是:.33考点：利用等体积法求点到平面的距离.【方法点晴】本题考查的求点到平面的距离，求点面距离一种常用的方法是等体积法，构造三棱锥DB A -A 1,利用ABD A V -=11BD A -A V ,并且611112131311=⨯⨯⨯⨯==-sh V ABD A ,所以61V 11BD A -A ==-ABD A V .设点A 到平面DB A 1的距离为x ,又因为61)2(433131V 2BD A -A 11=⨯⨯⨯=⨯⨯=x x S BD A ,所以33x =,即点A 到平面DB A 1的距离为33. 16.绐出如下命題:①命题 “在ABC ∆中，若A B =，则sin sin A B =” 的逆命題为真命题;②若动点P 到两定点()()124,0,4,0F F -的距离之和为8，则动点P 的轨迹为线段12,F F ; ③若p q ∧为假命题，则,p q 都是假命題;④设x R ∈，则“230x x ->”是“4x >”的必要不充分条件⑤若实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线221x y m +=其中所有正确命题的序号是 _________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：①命题“在ABC ∆中,若B A =,则B A sin sin =”的逆命题为“在ABC ∆中,若B A sin sin =,则B A =”,是真命题；②若动点P 到两定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和为8,则动点P 的轨迹为线段21F F ,正确,原因是只有线段21F F 上的点到定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和为8；③若q p ∧为假命题,则q p ,都是假命题,错误,原因是只要q p ,中有一个是假命题,就有q p ∧为假命题；④设R x ∈,由4>x 能考点：命题真假的判断.【方法点晴】本题考查的是命题真假的判断，①写出原命题的逆命题：在ABC ∆中,若B A sin sin =,则B A =”,是真命题；②由椭圆定义判断正确,原因是只有线段21F F 上的点到定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和为8；③根据复合命题的真值表判：只要q p ,中有一个是假命题,就有q p ∧为假命题；④求解不等式判断由032>-x x 不一定有4>x ；⑤由等比数列的性质求得m 值,由3-=m 得圆锥曲线122=+y mx 的离心率为2,判断命题不成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a 是0,1,2,3从四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的 概率.（2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 【答案】（1）43；（2）32. 【解析】)2,3)(1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(),0,0(其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本条件，事件A 发生的概率为43129)(==A P . ）（2试验的全体所构成的区域为}20,30|),{(≤≤≤≤b a b a .构成事件A 的区域为},20,30|),{(b a b a b a ≥≤≤≤≤, 所以所求的概率为3223221232=⨯⨯-⨯. 考点：古典概型，几何概型.18.（本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点C 为端点的三条棱长都为2， 且两两夹角为60. （1）求1CA 的长；（2）证明: 直线1CA ⊥平面1C BD .【答案】（1）62||1=CA ；（2）证明见解析. 【解析】试题解析：）（1记c CC ===1,,,则,2|||||===c a ==60= c CC CA ++=++=11,因此a cb b ac b a c b a CA ⋅+⋅+⋅+++=++=c 222||||||)(||22222160cos 222444⨯⨯+++= 60cos 222⨯⨯+2460cos 222=⨯⨯+ ，即62||1=CA .）（2,1-=-=c DC ，=-⋅++=⋅)()(1,所以⊥1,BD CA ⊥1,同理11DC CA ⊥,11DC CA ⊥,所以BD 平面C CA 11⊥.考点：利用求向量求线段长，证明线线垂直.19.（本小题满分12分）已知m R ∈，设1:p x 和2x 是关于x 的方程220x ax --=的两个根，不 等式125m x x -≤-对[]1,2a ∀∈恒成立，:q 函数()24323f x x mx m =+++有两个不同的零点，求使 “p 且q ” 为真命题的实数m 的取值范围. 【答案】.84≤<m 【解析】试题分析：求出p 为真时82≤≤m ，又因为q 为真时，有,1-<m 或,4>m 取交集可得“p 且q ”为真时m 的取值范围.试题解析：因为1x 和2x 是方程022=--ax x 的两个根， 所以⎩⎨⎧-==+22121x x ax x ,则84)(||221221221+=-+=-a x x x x x x ,由]2,1[∈a ,得12||9221≤-≤x x ,，即32||321≤-≤x x ，所以若满足题意，只需3|5|≤-m ，解得82≤≤m ，也就是p 为真时，82≤≤m ，又因为q 为真时，有0)34(34)2(2>+⨯⨯-m m ,，解得,1-<m 或,4>m 因此，“p 且q ”为真时，m 的取值范围为84≤<m . 考点：函数值域，解不等式.20.（本小题满分12分）已知抛物线24y x =，其焦点为F . （1）若点()1,1M ，求以M 为中点的抛物线的弦所在的直线方程；（2）若互相垂直的直线,m n 都经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于,A B 两点和,C D 两点， 求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）012=--y x ；（2）32. 【解析】）（2依题意知，直线n m ,的斜率存在，设直线m 的方程为)1(-=x k y ,与抛物线方程联立，得 ⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2,消y ，整理得0)42(2222=++-k k x k ，其两根为43,x x , 且24243+=+k x x .由抛物线的定义可知, 442||243+=++=k x x AB , 同理44||2+=k CD ,所以四边形ABCD 的面积32)12(8)44)(44(212222≥++=++=kk k k S .当且仅当1±=k 时取得最小值. 考点：求中点弦所在直线，焦点弦长，均值不等式.【方法点晴】本题第一问考查的是中点弦所在的直线方程，关键是利用点差法求得24212121=+=--=y y x x y y K PQ ，再利用点斜式求中点弦所在直线方程012=--y x ，第二问考查的是利用抛物线的定义求得焦点弦长3424||24AB x x k =++=+，同理可得44||2+=k CD ,从而四边形ABCD 的面积并利用均值不等式求得最值2222141(44)(4)8(2)322S k k k k=++=++≥.21.（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂 直,,,22,AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥==⊥. （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC 平面FBD ？若存在，求出EFEA;若不存在，说明理由.【答案】（1）33；（2）点F 满足31=EA EF 时，有FBD EC 平面//. 【解析】因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以)1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(),0,0,1(),0,0,0(E D C B A O -，所以)1,1,1(-，平面EAB 的一个法向量为)0,1,0(=.设直线EC 与平面EAB 所成角为θ，所以33||sin ===θ.即直线EC 与平面EAB 所成角的正弦值为33. ）（2存在点F ,且31=EA EF 时， 有FBD EC 平面//. 证明如下：假设AE 上存在点F ，使得EC 平面BDF ,因为0211)2,1,1()1,1,1(=-+=⋅-=⋅v EC ，且FBD EC 平面⊄，所以FBD EC 平面//.即点F 满足31=EA EF 时，有FBD EC 平面//.考点：直线与平面平行，直线与平面所成的角.22.（本小题满分12分）如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+, 已知1l 与x 轴重合时, AB =（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点,M N 使得PM PN +为定值，若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值，若不存在， 说明理由.【答案】（1）12322=+y x ；（2）存在，()0,1M -，()0,1N ，【解析】试题分析：（1）当1l 与x 轴重合时，2l 垂直于x 轴，得3342||,322||2====a b CD a AB ,得3=a ,2=b 从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则M 点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把04321=+=+k k k k 坐标化，可得P 点的轨迹是椭圆，从而求得定点)1,0(-M 和点)1,0(N . 试题解析：）（1当1l 与x 轴重合时，04321=+=+k k k k , 即41k k -=,所以2l 垂直于x 轴，得322||==a AB ，3342||2==a b CD ，, 得3=a ,2=b 椭圆E 的方程为12322=+y x .063m 6)32(2121221=-+++m x x m , 所以: 212121326m m x x +-=+，2121213263m m x x +-=, 则：)11(2211221121x x x x m x y x y k k +++=+=+24)2(2112121--=++=m m x x x x m . 同理：=+43k k 24222--m m , 因为 4321k k k k +=+, 所以24211--m m 24222--=m m , 即0))(2(1221=-+m m m m , 由题意知21m m ≠, 所以0221=+m m ， 设),(y x P ，则0211=+-⋅+x y x y ，即)1(1222±≠=+x x y ，由当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为)0,1(-或)0,1(也满足此方程，所以点),(y x P 在椭圆1222=+x y 上. 存在点)1,0(-M 和点)1,0(N ，使得|PN |||+PM 为定值，定值为22.考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.：。