2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练二全等三角形的常见基本模型课件
甘肃省2019年中考数学总复习第四单元图形初步与三角形第15讲全等三角形课件
考点一
考点二
考点三
考点一全等三角形的概念和性质 1.全等三角形:能够完全重合 的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应边相等 ,全等三角形的对应角 相等; (2)全等三角形周长相等 ,面积相等 ; (3)全等三角形对应的中线、高、角平分线都相等.
考法1
考法2
考法3
例1(2017湖南郴州)已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为 边AB,AC的中点,求证:BE=CD. 证明∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. ∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴AD=AE. ������������ = ������������, 在△ABE 与△ACD 中, ∠������ = ∠������, ������������ = ������������,
在 Rt△OCP 与 Rt△ODP 中,
������������ = ������������, ������������ = ������������,
∴△OCP≌△ODP, ∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故C,D正确;
不能得出∠CPD=∠DOP,故B错误. 故选B.
考法1
考法2
考法3
方法点拨涉及角平分线的问题,应尽量直接应用定理,避免证明 两个三角形全等,从而简化解题的过程.
1.(2016甘肃天水)(1)如图1,已知△ABC,以AB,AC为边分别向△ABC 外作等边三角形ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形(尺 规作图,不写作法,保留作图痕迹),并证明:BE=CD; (2)如图2,已知△ABC,以AB,AC为边分别向外作正方形ABFD和正方 形ACGE,连接BE,CD,猜想BE与CD有什么数量关系?并说明理由; (3)运用(1),(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图(3),要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得 ∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长(结果保 留根号).
2019年中考数学复习第四章图形的认识4.2三角形及其全等(讲解部分)素材
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边的⑥㊀ 一半㊀ .
文字叙述
４. 三角形三边关系
数学语言 在 әＡＢＣ 中ꎬ ａꎬ ｂꎬｃ 为三边长ꎬ则 ａ＋ｃ>ｂ 有 ａ＋ｂ>ｃꎬｂ ＋ｃ >ａꎬ 在 әＡＢＣ 中ꎬ ａꎬ ｂꎬｃ 为三边长ꎬ则 ｃ－ａ<ｂ 有 ａ－ｂ<ｃꎬｂ －ｃ <ａꎬ 两点之 间线段 最短 理论依据 图形
判定
三角形两边的 和⑦㊀ 大于 ㊀ 第 内 容 三角形两边 的差小于第 三边 应 用 三边
㊀ ㊀ １. 三角形的中线与中位线混淆
㊀ ㊀ 名称 类别㊀ ㊀ 概念 三角形的中线 连接三 角 形 一 个 顶 点 和 它的对边中点的线段 一条中 线 将 三 角 形 分 成 性质 两个 面 积 相 等 的 小 三 角形 三角形的中位线 续表 三角形的中线 倍长中线法ꎬ如图: 三角形的中位线
连接 三 角 形 两 条 边 中 点 的 线段
三角形三个内角的和等于⑧㊀１８０ʎ ㊀ 直角三角形的两个锐角⑨㊀ 互余㊀
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的⑩㊀ 和㊀
三角形
{ {
三边都不相等的三角形 等腰三角形
{
底边和腰不相等的等腰三角形 ②㊀ 等边三角形㊀
考点二㊀ 三角全等
㊀ ㊀ １. 三角形全等 ( 高㊁中线㊁角平分线) 相等. ２. 全等三角形的判定
全国通用中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练(四)解直角三角形中常见的基本模型练
（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型模型1单一直角三角形1．（2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．（结果保留根号）解：作CH⊥AB于点H,则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°。
设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．在Rt△AHC中，HC＝错误!＝错误!（30－x），则BD＝CH＝错误!(30－x)．∴ED＝3(30－x)－10＝303－错误!x－10.在Rt△CDE中，错误!＝tan∠CED，即＝错误!＝错误!,解得x＝15－错误!错误!。
答：立柱CD的高为(15－错误!错误!）米．模型2背靠背型及其变式2．（2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C 地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．(参考数据:sin53°≈错误!,cos53°≈错误!，tan53°≈错误!)解：过点B作BD⊥AC于点D。
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16课时 全等三角形课件
且 EM=FN,连接 AN,CM.
解:(1)证明:由于四边形 ABCD 是平行四
边形,
所以 AB∥CD,
(1)求证:△ AFN≌△CEM.
所以∠CEM=∠AFN,
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
上述作图(如图 16-6)用到了全等三角形的判定方法,这个方法是
图 16-6
SSS
.
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4.如图 16-7,△ ABC≌△DEF,∠A=50°,∠C=30°,则∠E 的度数为( D )
A.30°
B.50°
C.60°
D.100°
5.不能判定两个三角形全等的是( D )
A.三边对应相等的两个三角形全等
[答案] C [解析] 利用基本作图可对
A,B 进行判断;利用 CD 垂直平分 AB 可
1
圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 CA,CB,
2
CD,下列结论不一定正确的是(
)
对 D 进行判断;利用 AC 与 AD 不一定相
等可对 C 进行判断.由作法得 CD 垂直平
分线段 AB,所以 A,B 选项正确;因为 CD
= ,
∴△ CAB≌△ECD(SAS),
图 16-22
∴∠B=∠D.
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6.[2018·衡阳] 如图 16-23,已知线段 AC,BD 相交于点 E,
AE=DE,BE=CE.
(1)求证:△ ABE≌△DCE;
(2)当 AB=5 时,求 CD 的长.
解:(1)证明:在△ ABE 和△ DCE 中,
河北省近年届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模
河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型错误!三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC＝90°＋错误!∠A。
图1 图2图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角,BP与CP相交于点P,则∠P＝错误!∠A。
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线,则∠O＝90°－12∠A。
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】如图，若点D是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝20°．【变式2】如图，若点D是∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线的交点,则∠D＝70°．【变式3】如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线．若∠A1＝α,则∠A2 019＝错误!．错误!与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．图4 图5 图6 图7 2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE ＝OF，△BEO≌△BFO.②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO。
【配套K12】2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练三相似三角形的常见基本
方法技巧训练（三）相似三角形的常见基本模型模型1X字型及其变形（1）如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；（2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.图1 图21.（2018·恩施）如图，在正方形ABCD中，G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD 交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为（D）A.6B.8C.10D.122.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝34，CF＝103，求BF 的长.解：连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×4＝8.由勾股定理，得AC＝82－42＝4 3.在Rt△ADB中，cos∠BAD＝34＝ADAB，∴34＝AD8，∴AD＝6.∴BD＝82－62＝27.∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，∴△DFB∽△AFC.∴BFCF＝BDCA，即BF103＝2743，解得BF ＝5219.模型2 A 字型及其变形（1）如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；（2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；（3）如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC 2＝AD·AB.,图1) ,图2) ,图3)3.如图，正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，求EG 的长.解：在⊙O 的内接正五边形ABCDE 中，∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°， ∴∠BAG＝∠AGB＝72°， ∴AB＝BG ＝AE ＝2.∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA， ∴△AEG∽△BEA.∴AE 2＝EG·EB，即22＝EG·（EG ＋2）.解得EG ＝－1＋5或－1－5（不合题意，舍去）. ∴EG＝5－1.模型3 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.4.（2018·南通）正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE ，BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为（C ）A .556 B .253－1 C .4515 D .335.（2018·娄底改编）如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ，半径OC ＝1，求AE·BE 的值.解：连接OE.∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ， ∴OE⊥AB，A D⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE. ∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∴∠OAB＋∠OBA＝90°. ∴∠AOB＝90°.∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠BOE＝90°， ∴∠EAO＝∠EOB.∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB. ∴AE OE ＝OE BE，即AE·BE＝OE 2＝OC 2＝1.模型4 一线三等角型（1）如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B ，C ，P ，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD；（此图又叫作“三垂图”）图1 图2（2）如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B ，P ，C 在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD ，当点P 为BC 的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.6.如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP>AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处.（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM ＝1，sin ∠DMF＝35，求AB 的长.解：（1）有三对相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD .（2）设AP ＝x ，由折叠的性质，得BP ＝AP ＝EP ＝x.∴AB＝DC ＝2x. 由△AMP∽△BPQ，得AM BP ＝AP BQ，∴BQ＝x 2.由△AMP∽△CQD，得AP CD ＝AMCQ ，∴CQ＝2.AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.在Rt △FDM 中，sin ∠DMF＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35. 解得x 1＝3，x 2＝13（不合题意，舍去）.∴AB＝2x ＝6.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC·CD＝CP·BP ；（2）若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长.解：（1）证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C. ∵∠APD＝∠B， ∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠CPD， ∴∠BAP＝∠CPD. ∴△ABP∽△PCD. ∴BP CD ＝AB PC. ∴AB·CD＝PC·BP. ∵AB＝AC ，∴AC·CD＝CP·BP.（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP. ∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C. ∵∠B＝∠B， ∴△BAP∽△BCA. ∴BA BC ＝BP BA . ∵AB＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10. ∴BP＝253.。
中考数学 第一部分 教材梳理 第四章 图形的认识 第2节 三角形与全等三角形复习 新人教版
7. 如图4-2-5，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且 ∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠DAE的度数.
考题再现
1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，
则它的周长为
(A)
A. 17
B. 15
C. 13
D. 13或17
2. (2014深圳)如图4-2-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 .
3. (2014梅州)如图4-2-3，在Rt△ABC中，∠B=90°，分 别以A,C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M,N， 连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第2节 三角形与全等三角形
知识要点梳理
概念定理
1. 与三角形有关的概念 (1)三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 组成的图形叫做三角形.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶 点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的 角. (2)等边三角形：三边都相等的三角形. (3)等腰三角形：有两条边相等的三角形. (4)不等边三角形：三边都不相等的三角形. (5)在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做 底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的
度数.
解：∵∠CAB=50°， ∠C=60°， ∴∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又∵AD是高， ∴∠ADC=90°. ∴∠DAC=90°-∠C=30°. ∵AE,BF是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°. ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°. ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°. ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°.