提分微课04构造辅助圆.(20200609200745)
浅谈构造辅助圆解决点的问题
浅谈构造辅助圆解决点的问题对于数学中较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目,如果可以根据题干中的基本要素,结合到圆的相应理论,合适地画出辅助圆,一般可以变复杂为简单,变困难为基础,发现答题技巧,添加辅助圆的一般过程是:基于“圆的定义”添加辅助圆、通过“圆周角的性质”添加辅助圆、通过圆周角与圆内外角的联系添加辅助圆、基于“弦切角的模型”添加辅助圆、利用“圆幂定理”添加辅助圆、利用“判定四点共圆的理论”添加辅助圆、利用“两圆相切的定义”添加辅助圆、利用“托勒密理论”添加辅助圆。
标签:数学问题添加辅助圆基础题型从全国高中数学联赛与国际数学奥林匹克中涉及的相关题型来看,可以了解到,数学问题,作为竞赛中最常涉及的内容之一,在数学竞赛中,其地位是数一数二的。
对于一些较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目而言,解题的人哪怕是在灵活运用所学知识与思维逻辑推算方面有着较强的能力,但是难免也会被此绊住脚步。
因此,解题者如果可以通过题干基本框架及特征,从而联系到圆的理论应用,合适地添加辅助圆,通常能够变复杂为简单,变困难为基础,从而发现答题的关键出口。
本篇文章的中心就是介绍如何利用添加辅助圆来达到解题目的。
在日常的教授课程中,老师们常会根据圆的性质来添加辅助圆,由此便将原有问题变成了辅助圆与直线的公共点的相应问题。
一、根据“在同一个圆内,若两弧相等,则两弧对的圆周角相等”添加辅助圆题1 如图所示,平行四边形ABCD中,E在AD,延长CE至F点,使得。
(1)证明:;(2)用做图工具在直线AD上取一点P,使∠CPB=∠PDC(作法不需写,保留作图印记)(1)由题目可知AD//BC,所以。
又,所以可以知道,由此可得。
(2)因为P在直线AD上,又AD//BC,所以。
若要得,就是要使得,从(1)可以知道条件,则只需,也就是和可以视为弧BC对应的圆周角,因此P 点为的外接圆和AD所相交的点。
解(1)省略。
(2)分别在边BF与BC上作垂直平分线,设两垂直平分线交于O点。
提分微课(04) 构造辅助圆
.
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上. ∴∠BFC=∠BAC.∵直线 a∥CD,∴∠BAC=∠ACD. 又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°. ∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-5
7. [2016·宁波考纲]如图W4-6,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等 腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为 .
图W4-13
解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°, ∵△CEF是由△CAD逆时针旋转90°得到的, ∴CB与CE重合,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°, ∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°, ∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.
解:△PFM 的形状不变,始终是以 PM,PF 为腰的等腰直角三角形,理由如下: 等腰直角三角形 ABC 中,CD⊥AB,∴AD=DB,CD=12AB=DB,∴∠B=∠DCB=45°, 由折叠可得∠PMF=∠B=45°,∴∠PMF=∠DCB,∴P,M,C,F 四点共圆, ∴∠FPM+∠FCM=180°, ∴∠FPM=180°-∠FCM=90°,∠PFM=90°-∠PMF=45°=∠PMF,∴PM=PF. ∴△PFM 的形状不变,始终是以 PM,PF 为腰的等腰直角三角形.
针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为2
,最大值为8
.
图W4-2
3.如图W4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点 E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离 的最小值是 1.2 .
初数-构造辅助圆解题教法解析
■七 口工 思路: .1 ADCB^AFCB ADAB^ADAF InllSlll FD=BD=FB zDBF=60° zCBD=30° izUlE^ Example
在平面直角坐标系中,已知A (-3, 0) , B (1, 0),点P
在y轴上,且4ABP为直角三角形,NAPB=90° .请问满
足条件的点P有几个?并求出它们的坐标.
思路:作以AB为直径的圆,P在圆 与y轴的交点上,根据圆的定义和 勾股定理即可求P坐标
例题 Example
二、作三角形的外接 园
总结:直角三角形斜边即为直角三 角形外接圆半径
求证:ZCPO=ZDPO.
思路:切线长定理可知,OA^AP,
AM±OP,可得AM2=OM・MP,由
相交弦定理可知CM.MD=AM. MB, 因此可得CM.MD=OM.MP,所以C、
圆,由CO=BO即
Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助 国 (不在11月月考范围内)
总结:若四边形A5CD的一组对边A3、DC的延长线相交于居
LilI心角关系定理:同B0或等国中, “知一推二”
周角定理及推论
1 .圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2 .推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
3 .推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4 .推论3:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角
思路:连DF, EF,寻找PD、PE、PF之间的
・关系,证明△PDF-Z\PFE,而发现P、D、B、
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
2023年12月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系.所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决.因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题.下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明.1角的问题例1㊀在әA B C 中,A B =A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C =B D +A D ,求øA 的度数.分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难.结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图1接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图1.根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D =D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆.根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C =øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C =øE D C =øC ,于是可得øB E D =2øC ,且әE D C 为等腰三角形.所以D E =C E ,则A D =D E =C E ,然后结合B C =B E +A D 得到B D =B E ,所以øB D E =øB E D =2øC .这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即12øC +2øC +2øC =180ʎ,所以øC =40ʎ,最后计算得出øA =100ʎ.在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行.本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解.教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题.2线段长度的问题图2例2㊀如图2所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B =6,B C =4,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B =øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀).A.32㊀㊀㊀㊀㊀㊀B .2C .81313D.121313图3分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C =90ʎ,结合øP A B =øP B C 可得到øA P B =90ʎ,所以әA B P 是直角三角形.根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是90ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上.以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图3所示.这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上.因为A B =6,所以O B =3.在R t әO B C 中,B C =4,根据勾股定理得到O C =5,于是可求出P C 的最小值为2.所以正确答案是选项B .例2的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B =90ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值.因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路.教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路.很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的.因此结合已知条件来对试97解法探究2023年12月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式.教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题.3三角形相似的问题例3㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C =A BA C.分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C =A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决.因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C =B DD F,然后证明C D =D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D =D F .结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图4延长线于点D ,如图4,根据例题1中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F .根据圆的性质可以得到C D =D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题.几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解.在这个过程中,需要充分结合例题1和例题2中辅助圆构造的方式来找到相应的关系.4动点的问题图5例4㊀如图5所示,边长为3的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D =C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值.分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定.根据等边三角形的相关性质和B D =C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E =øB A D ,然后通过øC B E +øA B P =60ʎ得到øB A P +øA B P =øA P E =60ʎ,于是øA P B =120ʎ.可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B =120ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上.假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为3可计算出圆O 的半径O A =3,然后计算出点P 的运动路径长度为233π,C P 的最小值为3.解:由A B =B C ,øA B D =øB C E ,B D =C E 得әA B D ɸәB C E .由øC B E +øA B P =60ʎ,得øB A P +øA B P =øA P E =60ʎ.所以øA P B =120ʎ.故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧.图6如图6所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C .由O A =O B ,A C =B C ,得әA O C ɸәB O C .所以øO A C =øO B C ,øA C O =øB C O =12øA C B =30ʎ,øA O C =øB O C =12øA P B =60ʎ.故øO A C =90ʎ.根据勾股定理,可得O A =3,O C =23.所以,弦A B 所对的弧长为3ˑ23π=233π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为3.在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题.本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化.例如,在例题2中通过计算所得到的角度为90ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上.例4中这个角度为120ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决.本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明.在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解.因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养.Z08。
辅助圆的构造策略与解题技巧
由旋转得 :AABC ̄AADE,
‘ OA=OF=OE=OG,
.
.
BAD=/CAE .
·
。 .
四 边 形 ABCD是 矩 形
,
‘ AB=AD ,AC=AE ,
..
4
A曰 AD
.
一
— Ac AE ’
‘ A.ECG=90。,
.
.
。 OC=OE ,
..
’ △A8D一 △ ACE
..
G
BE: —3,3-6
. ..
—
一
.
)
(3)点 E在 边 BC上 的运 动过 程 中 ,ZACF
的大小总保持不变.
理 由是 :连 接 AF、EG交 于点 0,连 接 OC,
如图 5,
G
圆 图5
图 3
·’ .
四边形
AEFG是 矩 形
,
【解析】解:(1)AABD与△ 相似.
’ OA=OF ,OE=OG,A EG ,
’ OA=OF=OE=OG=OC ,
.
.
(2)如 图 4,连接 印 .
.
· .
点
C、E、,、G、/4在
以
0为圆心的圆上
,
G
. · . AF为圆 0的直径 ,
。
.
.
CF=90。.
即 厶lc 的大小保持 不变. 【点评 】本题 的 第三题可 以用 第一题 的思
路 ,证 明 AABE ̄AACF,运 用相似三 角形的对
BA AE
.
—
— AJD AG ’
‘ △A E一 △ADG.
2020中考复习数学提分微课(04)构造辅助圆
图W4-4
考点聚焦
[答案]3 3-3
[解析]易知点 P 在以点 C 为圆心,以 CB 的长为半径的圆上,
当点 P 在 AC 上时,AP 的值最小,由于 BC=3,由勾股定理,得 AC= 62 -32 =3 3,
所以 AP 的最小值为 3 3-3.
考点聚焦
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),
考点聚焦
类型二 定弦定角或张角互补
【直角】
7.如图W4-6,三角板ACD,BCE中,△ACD是等腰直角三角形
,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥CD,则∠BCF=
.
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.
∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.
提分微课(四 )
构造辅助圆
提分微课·思维与方法
2020年中考复习
考点聚焦
“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常
以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到动点对定线段所张
的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直角时,通常以斜边为直径
∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-6
考点聚焦
8. [2016·宁波考纲]如图W4-7,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等
腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为
图W4-7
.
考点聚焦
[答案] 5-1≤PC≤ 5+1
[解析]根据条件可知线段 AB 是定值,且 AB 所对的张角∠APB 是定值.根据同弧所
“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用
2023年9月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆 在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用 圆 ,就可以有效解答一类问题.借助 辅助圆 将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用.本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆.关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆 是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答.通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题.本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆.1构造辅助圆 解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想.在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间.而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[1].2构造辅助圆 解决数学问题的实际案例2.1辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[2].例1㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B =A C =A D =A E =5c m ,且B C =19c m ,求对角线B D 的长度.解析:由A E ʊC D ,得øB D C =øD B E .图1由A B =A C =A D =A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图1.于是弦D E 与弦B C 的长度相等.又由B C =19c m ,得B C =D E =19c m .因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B =90ʎ.所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D =E B 2-E D 2.又A B =5c m ,E B 为圆A 的直径,则E B =10c m .所以B D =102-(19)2=9(c m ).2.2辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆.在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系.图2例2㊀如图2所示,әA B C为等腰三角形,且A B =A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称.求证:ø1=ø2.证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线.ʑәA D B 为等腰三角形.图3ʑA D =A B =A C .故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图3所示的辅助圆.ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形.ʑD E =B E .ʑøE D B =øE B D .ʑø2=2øE D B .又ø1=2øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的2倍),ʑø1=ø2.2.3辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面37Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究2023年9月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[3].例3㊀如图4,әA B C 为等边三角形,且A B =A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C =34A PB D .图4㊀㊀㊀图5解析:依题意可知A B =A C =B C =A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图5所示的辅助圆.ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C =øA C B =øA B C =60ʎ.ʑøB D C =12øB A C =30ʎ.又øB C P =90ʎ,øB C A =60ʎ,ʑøP C A =øC D B =30ʎ.ȵøC B D =12øC A D =øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C .ʑB C ʒA P =B D ʒA C .又B C =A C ,ʑB C 2=A P ˑB D .ʑS әA B C =34A PB D .2.4辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点.利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解.构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦.这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[4].例4㊀在R t әA B C 中,A C =B C ,øA C B =90ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C =k ,已知0ɤk ɤ1,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P =P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比.分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆.解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图6所示的辅助圆.ȵA P =P Q ,且øA P Q =90ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形.设B C =A C =m .图6ȵB P ʒB C =k ,ʑB P =k m ,P C =(k +1)m .ʑP A =m 2+[(k +1)m ]2=m k 2+2k +2.ʑS әA B C ʒS әA P Q=12A C 212P A 2=12m 212(k 2+2k +2)m 2=1ʒ(k 2+2k +2).2.5辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到.例5㊀在边长为4的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值.图7分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹.解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图7所示的几何图形,可得D E =(12A B )2+A D 2=42+22=25.当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH =DM =D E -M E =25-2.综上所述, 构造辅助圆 在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用.构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆.通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力.参考文献:[1]刘怀权. 构造辅助圆 在初中数学解题中的应用[J ].数理天地(初中版),2022(12):21G22.[2]蒋天林.从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ].中学生数理化(高考使用),2020(5):11G12.[3]黄磊. 圆 来如此简单 辅助圆 构造的解题探究[J ].数理化解题研究,2021(14):10G11.[4]徐勤.辅助圆在中考数学试题中的应用[J ].科学大众:科学中考,2022(4):13G15.Z47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
构造辅助圆 巧解初中数学几何问题
BP 图1
的交点为点Q,连接A Q,试求解三角形A CB与三角形 A PQ的面积之比.
解析院根据已知条件,蚁A BQ=蚁A PQ=90毅,因此A 、 B、P、Q四点共圆,因此,可以绘制辅助圆O.可知蚁PA Q= 蚁PBQ=45毅,进而确定三角形A PQ为等腰直角三角形,很 容易就可以求解两个三角形的面积之比.
初中
65
教
学
参谋
解法探究
2019 年 10 月
的一类动态问题. 证明院如图3所示,已知线段
A B和点C、D,并且蚁D=蚁A CB.
C
D
E
根据“不共线的三点可以确定一
个圆”,可通过A 、B、C三点作圆
O
O.
A
B
如果点D在该圆外,A D和圆
图3
O 交 于 点 E,连 接 BE. 因 为 同 弧 所
对的圆周角相等,因此可得蚁A EB=蚁A CB. 因为蚁D=
B
A
边 形 A BCD 满 足 :A B 椅CD,A D =
DC=DB=p,BC=q,试求解对角线 C
D
E
A C的长度.
解析院在四边形A BCD中,已
图2
知DA =DB=DC,因此可以以点D
为圆心,以DB的长为半径构造辅助圆,即三角形A BC的
外接圆.易知蚁CA E=90毅.A B椅CD,则BC=A E.在直角三角
形A CE中计算A C的长度,即A C= 姨CE2-A E2 = 姨4p2-q2 . 渊三冤动态几何问题 在平面内,如果已知线段A B,点C是A B外一个动点,
并且满足蚁A CB是固定值,那么点C在以A B为弦的圆上. 特别地,如果蚁A CB=90毅,那么点C就在以A B为直径的圆 上 .通 过 这 一 定 理 ,可 以 借 助 绘 制 辅 助 圆 来 解 决 几 何 中
构造辅助圆 巧求最小值
构造辅助圆巧求最小值作者:***来源:《初中生世界·九年级》2020年第08期在求平面几何中的一些线段的最小值时,我们通常作辅助线来求解。
例如“将军饮马”这类问题,可以作对称点,利用轴对称的知识帮助解决。
而有些求线段的最小值的问题,用常规的解题方法难以求解。
此时,我们可以从已知条件出发,根据圆的定义,或利用圆周角定理及其推论,构造辅助圆,运用圆的知识进行解答,从而求出线段的最小值。
一、从定长入手构造圆例1如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是BC边上的动点,将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值为。
【分析】折叠过程中,B′E=BE,所以B′E的长度不变,即动点B′到定点E的距离是一个定值,所以点B′的运动轨迹是以点E为圆心,2为半径的圆的一部分,以此构造辅助圆(如图2)。
B′D的最小值就是点D与圆E上的点的最短距离,当点D、E、B′三点共线时(如图3),B′D最短。
解:如图3,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°。
∵在Rt△ADE中,AE2+AD2=DE2,又∵AE=2,AD=6,∴DE=210。
当点D、E、B’三点共线时,DB'最短。
∵B’E=BE=2,∴DB'=210-2。
【点评】圆的集合定义是到定点的距离等于定長的点的集合。
在本题中,折叠只改变图形的位置,不改变图形的形状。
无论折到什么位置,B'E的长度始终保持不变,所以可以构造辅助圆来解决问题。
审题的关键是找到一条长度确定的线段,一个端点是定点,另一个端点为动点,那么动点的运动轨迹是圆。
例2如图4,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P在矩形ABCD内,且∠BPC=90°,则AP的最小值为。
【分析】已知∠BPC=90°,且∠BPC所对的边BC是一条定边,根据90°的圆周角所对的弦是直径,可以将∠BPC看成是在以BC 为直径的圆中BC所对的圆周角(如图5)。
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形,不仅曲线光滑圆润,美丽迷人,是美好象征的化身,而且几何性质众多,在解决诸多数学问题中,显示出非常重要的作用,有圆的参与,将会使一个比较困难的问题简单起来,所以,在解决一些与圆有关的问题中,要深入挖掘圆的信息,精心构造辅助圆,利用圆的几何性质和圆的方程,发挥出圆的价值,让这些问题迎刃而解,实现“精心构造辅助圆,解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程,构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中,直接求解问题比较困难时,可以先考虑建立直角坐标系,特别是有垂直条件与对称条件时,就更要考虑解析法,求出动点的轨迹方程,如果满足圆方程的结构特点,就可以构造圆,让圆的几何性质闪耀光彩,使问题得到解决.例1. (2016届北京西城期末理科)如图,正方形ABCD 的边长为6,点E ,F 分别在边AD ,BC 上,且2DE AE =,2CF BF =.如果对于常数λ,在正方形ABCD 的四条边上,有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立,那么λ的取值范围是( )(A )(0,7)(B )(4,7)(C )(0,4)(D )(5,16)- 图1解:以D 为坐标原点,DC 所在直线建立直角坐标系,设点(,)P x y ,则点(0,4),(6,4)E F ,所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--,由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是:22(3)(4)9x y λ-+-=+,所以动点P 的轨迹是一个以(3,4)为圆心, 9λ+为半径的圆,所以“在正方形ABCD 的四条边上,有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”,当且仅当3913λ<+<,解得:04λ<<,所以选C.评析:通过解析法揭穿了动点P 的几何意义,为实现问题的转化起到了桥梁作用,通过几何背景的分析,抽象代数特征,促使问题圆满解决,其间,由代数方程,构造了一个圆,将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论,从而建立起了不等式,实现了向量问题坐标化,几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解:由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆:22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示:要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点,则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线,(1,4)C -,半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知:20237=21AB k --,43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析:解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆,然后由图形抽象代数条件,完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时,一定要分析曲线方程的结构特点,抓住构造几何图形的机会,将会让图形闪耀光辉.相关问题:1.(2019届北京昌平区高三上期末理科)设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点,点P 是椭圆上任意一点,若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个,则实数m 的值可以是( ) BA .B .C .5D .8 2.(2019届北京西城区高三上期末理科) 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ,右顶点为A . 若在双曲线C 上,有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立,则实数λ的取值范围是____. (-2,0)二、利用定义,构造圆圆的定义是:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆,在解决问题的过程中,如能构造出这样的几何条件,就可以构造辅助圆,将原问题转化为圆的问题求解,可能使复杂问题简单化.例3. 设直线:,圆,若在圆C 上存在两点,在直线 上存在一点M ,使得,则的取值范围是( )A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解:考虑极端情形:当,MP MQ 是圆C 的切线时,如果此时的M 点轨迹与直线有公共点,那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时,都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点,在直线上存在一点M ,使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时,M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时,易证:四边形MPCQ 是正方形,所 以MC 的长是定值2,且C 为定点,因此,动点M 的轨迹是以C 为圆心,2为半径的圆, C 123l 340x y a 22 (2)2C x y :,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=,直线2164a ≤⇒-≤≤,所以选C.评析:根据极端性原理,抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键,而构造圆的关键在于构造定值(即半径)与配套的定点(即圆心),所以在解决解析几何问题时,要时刻关注定值的出现于定点的出现,特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中,要紧扣椭圆、双曲线定义,关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中,,A B 为切点,求直线AB 的方程.解:由圆的切线性质可知:=PA PB ,所以由圆的定义可知:,A B 在以PA 为直径,P 为圆心的圆上,=PA PB =于是可得圆P 的方程:22(1)(2)52x y +++=,将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为:812710x y +-=评析:本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆,从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上,这就是圆定义的灵活运用,在解决问题中要注意这些信息.相关问题:已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点,N 是线段1F P 的延长线上一点,点M 是2NPF ∠的平分线上一点,且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ,求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直,构造圆圆有一个重要性质是:直径上的圆周角是直角.反过来说,直角三角形的直角顶点在以斜边为直径,斜边中点为圆心的圆上,这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据,所以当垂直条件出现时,要注意辅助圆的构造,可能使原问题转化为圆的问题,从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为( )A .7B .6C .5D .4解:由于,所以可以构造一个圆:点P 在以AB 为直径的圆上,记此圆为圆O ,点P 又在圆C 上,所以“圆上存在点,使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”, 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤,所以的最大值为6.选B.评析:从垂直条件出发,构造了一个辅助圆,实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标,使问题轻松获解,其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B (A 在PB 之间),O 为坐标原点.当90PAO ∠=,求直线l 的斜率.解:按照通常用到的方法,将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系,再用直线与曲线联立,出韦达定理,代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标,只涉及A 点的坐标,所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此,需要变换思路,由直角构造圆,点A 在PO 为直径的圆上,于是得到下列解法:设00(,)A x y ,则2200(2)4x y +-=,220044x y +=,消去0x 得:002,23y y ==-(舎),0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析:由此题的解答可见:由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据,这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充,不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=,就没有必要构造辅助圆了,直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0,写出坐标关系,直曲联立出韦达定理,代入求值比较简单.相关问题:设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点,12,F F 是双曲线C 的左右焦点,且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元,构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程,特殊性表现在两个方面:一是没有两元的交叉项,二是两元的二次项系数相等。
构造辅助函数
一、数学中的构造法所谓构造法,就是根据题设条件或结论具有的特征、性质,构造出满足条件或结论的数学模型,借助于该数学模型解决数学问题的方法.主要有以下几种常用构造法:(一)、构造数学命题法1.构造等价命题如果遇到的数学问题直接证明有困难时,可构造其等价命题,并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证.2.构造辅助命题在解答某些数学问题时,如果缺乏现成的根据,那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据,只要证明了辅助命题是真命题,原问题就迎刃而解.(二)、构造数学关系法由题设条件及所给的数量关系,构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系,使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法.微积分中值定理及其有关的证明是典型的构造函数的例子。
(三)、构造几何图形法在解题时若以数形结合的思想作指导,对于某些较复杂的问题,通过构造图形启发思维,借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷.几何证题中的辅助线,代数方程应用题中的示意图都属于这一类。
(四)、构造结论法构造结论法,就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象,从而断定命题正确性的证题方法.有些数学命题是断言存在着具有某种性质的数学对象,或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质,对于这种类型的数学命题,证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象,用构造结论的办法对数学命题作出证明,称为“构造性证明” 。
(五)、构造矛盾法所谓构造矛盾法,就是首先否定原命题,再利用否定后的命题构造出一个能够明显暴露其错误的对象,从而导出矛盾,使原命题得证.(六)、构造复数法由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则,我们可以构造复数求解许多代数、几何、三角方面的问题。
(七)、构造反例法为了说明一个命题不真,常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例.这个过程叫做构造反例.选择特殊值,极端情形,常常是构造反例的关键。
二、微分中值定理证明中的辅助函数利用微分中值定理解题时,一般要构造恰当的辅助函数,它是求解问题的关键。
构造辅助圆-巧解中考压轴题--以陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例
图 2 图 1 图3构造辅助圆 巧解中考压轴题—以2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例柯贤华 (陕西省洋县教研室)关于动点对定线段所张的角为定值问题,从表面上看似与圆无关,但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件,善于联想所学定理,巧妙地构造符合题意特征的辅助圆,再利用圆的有关性质来解决问题,往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果,还考查了学生创造性思维,有利于培养学生分析问题的能力。
这里,构造辅助圆实则成了解题的关键。
为此,下面遴选2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例,对辅助圆的构造策略与方法作一介绍,以飨读者。
1 案例1及解法简析1.1 题目展示 (2014年陕西中考数学第25题)问题探究(1)如图1,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,如果BC 边上存在点P ,使△APD 为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ,并求出此时BP 的长;(2)如图2,在△ABC 中,∠ABC=60°,BC=12,AD 是BC 边上的高,E 、F 分别为边AB 、AC 的中点.当AD=6时,BC 边上存在一点Q ,使∠EQF=90°,求此时BQ 的长. 问题解决(3)有一山庄,它的平面图为如图3的五边形ABCDE ,山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置,用来监视边AB ,现只要使∠AMB 大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m ,ED=285m ,CD=340m ,问在线段CD 上是否存在点M ,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM 的长;若不存在,请说明理由。
1.2 解法简析本题第(1)问相对简单,这里分析第(2)(3)问。
(2)由条件“当AD=6时,BC 边上存在一点Q,使∠E Q F=90°”,动点Q 对定线段EF 所张的角为直角,因此联想到“直径所对的圆周角是直角”,以EF 为直径作⊙O ,易证⊙O 与BC 相切,从而得到符合条件的点Q 唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ 长;(3)要满足动点M 对定线段AB 所张的角∠AMB=60°,由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”,于是可构造以AB 为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD 的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可求出符合条件的DM 的长。