3.1.5 空间向量的数量积 ppt课件(35张) 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-1
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空间向量的数量积运算-ppt课件
空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
《空间向量的数量积》课件
节角速度等运动参数。
THANKS
感谢观看
分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都 离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析 物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量 。在机械系统中，空间向量的数量积可以用 于分析机构的动力学特性，以及优化设计机 械系统。例如，在机器人学中，可以使用空 间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向 量表示，而空间向量的数量积在这些物 理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都 可以用向量表示。空间向量的数量积可以 用于计算这些物理量的合成与分解，以及 解决与这些物理量相关的实际问题。例如 ，在计算力的合成时，可以使用空间向量 的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。
THANKS
感谢观看
分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都 离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析 物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量 。在机械系统中，空间向量的数量积可以用 于分析机构的动力学特性，以及优化设计机 械系统。例如，在机器人学中，可以使用空 间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向 量表示，而空间向量的数量积在这些物 理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都 可以用向量表示。空间向量的数量积可以 用于计算这些物理量的合成与分解，以及 解决与这些物理量相关的实际问题。例如 ，在计算力的合成时，可以使用空间向量 的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。
空间向量的数量积运算ppt课件
l
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
高中数学数学：315《空间向量的数量积》课件新人教A版选修
问题。
向量垂直定理
01
02
03
总结词
向量垂直定理描述了两个 向量垂直的条件。
详细描述
如果向量a与向量b的内积 为0，则向量a与向量b垂 直。
应用举例
在解析几何中，向量垂直 定理常用于判断两条直线 的垂直关系，或者判断一 个点是否在平面上。
向量模长定理
总结词
向量模长定理描述了向量 的模长的计算方法。
计算方法
01
坐标计算
当已知两个向量的坐标时，可以通过坐标计算它们的数量积。具体方法
是将向量a和b的对应坐标相乘，然后将得到的乘积相加。
02
向量模长计算
在计算数量积之前，需要先计算出两个向量的模长。模长的计算公式为
∣a∣=√(x^2+y^2+z^2)，其中x、y、z分别为向量a的坐标。
03
夹角计算
在已知两个向量的坐标时，可以通过计算它们的夹角来得到它们的数量
工程应用
在工程中，向量也被广泛应用于各种领域，如机械、航空和电力等。例如，在机械中，力 矩可以用向量表示，而在航空中，气流方向和速度可以用向量描述。
数学应用
在数学中，向量被广泛应用于解决各种问题，如线性代数、解析几何和微积分等。例如， 在解析几何中，点可以用向量表示，而在微积分中，梯度可以用向量表示。
数量积与向量和的定义
数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量和是将两个向量连接起来形成一个新向量。
转换关系
在特定情况下，两个向量的数量积可以通过向量和来表示。例如，当两个向量共线且同向时，它们的 数量积等于它们的模长的乘积。
向量和的应用
பைடு நூலகம்
物理应用
在物理中，向量被广泛应用于描述力和运动等物理现象。例如，速度、加速度和力都可以 用向量表示。
向量垂直定理
01
02
03
总结词
向量垂直定理描述了两个 向量垂直的条件。
详细描述
如果向量a与向量b的内积 为0，则向量a与向量b垂 直。
应用举例
在解析几何中，向量垂直 定理常用于判断两条直线 的垂直关系，或者判断一 个点是否在平面上。
向量模长定理
总结词
向量模长定理描述了向量 的模长的计算方法。
计算方法
01
坐标计算
当已知两个向量的坐标时，可以通过坐标计算它们的数量积。具体方法
是将向量a和b的对应坐标相乘，然后将得到的乘积相加。
02
向量模长计算
在计算数量积之前，需要先计算出两个向量的模长。模长的计算公式为
∣a∣=√(x^2+y^2+z^2)，其中x、y、z分别为向量a的坐标。
03
夹角计算
在已知两个向量的坐标时，可以通过计算它们的夹角来得到它们的数量
工程应用
在工程中，向量也被广泛应用于各种领域，如机械、航空和电力等。例如，在机械中，力 矩可以用向量表示，而在航空中，气流方向和速度可以用向量描述。
数学应用
在数学中，向量被广泛应用于解决各种问题，如线性代数、解析几何和微积分等。例如， 在解析几何中，点可以用向量表示，而在微积分中，梯度可以用向量表示。
数量积与向量和的定义
数量积是两个向量的点乘，结果是一个标量；向量和是将两个向量连接起来形成一个新向量。
转换关系
在特定情况下，两个向量的数量积可以通过向量和来表示。例如，当两个向量共线且同向时，它们的 数量积等于它们的模长的乘积。
向量和的应用
பைடு நூலகம்
物理应用
在物理中，向量被广泛应用于描述力和运动等物理现象。例如，速度、加速度和力都可以 用向量表示。
2018年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件5 苏教版选修2-1
解：设正方体的棱长为1，如
z
D1 A1
F1 E1 B1
图建立空间直角坐标系 O xyz ，
则：
C1
B(1,1, 0)
,
E1 1 ,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
C
y
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
DF1
0
,
1 4
，1
(0
| AC | 85.
例6 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求： （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
A
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
M
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1
,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
| AB | (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满
足的条件是4x 6 y 8z 7 0.
例7 已知点A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ), C ( 0 , 0 , 1 ) , 求满足下列条件的点D的坐标:
空间向量的数量积运算PPT教学课件
P
aPAa(POOA)
aPOaOA
O A a l
0
a P A ,即 l P A . 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
2020/10/16
12
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
2020/10/16
8
4)空间向量的数量积满足的运算律
1)(a)b(ab)
2)abba (交换律） 3）a(bc)abac (分配律）
注意： 数量积不满足结合律 （ ab)ca(bc)
2020/10/16
9
思考
1.下列命题成立吗?
①若abac,则 b c
②若 abk ,则 a k
b
③ (a b )c a (b c )
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
O A a
l
2020/10/16
13
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
l
gl
m
m nmg
2020/10/16
15
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l,m,n,g
上取非零向量 l,m,n,g,因m与n相交,故向量m ,n
2018届高中数学空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件1苏教版
同前
r r r rr rr (a b)• c a • c b •（c 分配律）
利用数量积求夹角和距离
例 题 ： 如 图 3-1-26 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠
BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求 AC′的长；
85 10 .
法二：设A→B＝a，A→D＝b，AA→′＝c，
依题意得AC→′·A→C＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60°
＝16＋9＋10＋125＝825，
∴cos θ＝|AAC→C→′′|··A|→A→CC|＝
求向量的长度（模）
注意：
2
rr ②a•b 0
rr a, b
；
rr
rr
a•b 0 a b
2
rr ③a•b 0
rr a, b
( , ]；
(a, b为非零向量)
2
r r r r rr
④| a • b | | a |g| b | a,b ；
其中正确的命题有
平面向量
夹角范围 r r [0r, ]r
夹角范围 r r [0r, ]r
r r r [0,r ] r r
数量积 a • b | a |g| b | cos a • b | a |g| b | cos a,b
【形成性检测】
rr .已知 a ,b 是两个非非零零向向量量，现
给出以下命题
rr ①a•b 0
rr a, b
[0, ) ；
(2)求AC→′与A→C的夹角的余弦值．
空间向量的数量积课件
向量点乘的坐标表示
设向量$vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$，向量$vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则$vec{A} cdot vec{B} = x_1 times x_2 + y_1 times y_2 + z_1 times z_2$。
向量的坐标表示方法是将向量的起点设在坐标原点，然后根据向量的终点坐标确 定向量的坐标。
向量点乘的几何意义
向量点乘的几何意义是表示两个向量在三维空间中投影面积 的乘积。具体来说，当两个非零向量垂直时，它们的点乘为0 ；当两个非零向量平行或同向时，它们的点乘为它们的模长 的乘积。
向量点乘在解析几何中有着广泛的应用，如计算向量的模长 、向量的投影、向量的夹角等。
03
空间向量的数量积应用
向量点乘在向量减法中的应用
向量减法的定义
两个向量的差定义为第一个向量与第二个向量的相反 向量的和。
向量点乘在向量减法中的应用
通过点乘的性质，可以推导出向量减法的几何意义。 设两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的夹角为 $theta$，则它们的差向量$mathbf{a} - mathbf{b}$ 的模长为$|mathbf{a} - mathbf{b}| = sqrt{mathbf{a}^2 + mathbf{b}^2 - 2mathbf{a} cdot mathbf{b}}$。
02
空间向量的数量积公式
向量点乘公式
向量点乘公式
$vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times cos theta$， 其中$theta$是向量$vec{A}$和 $vec{B}$之间的夹角。
空间向量的数量积运算 PPT课件
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以
空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的
定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相
同．
人 教
A
2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是
版 数
学
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
第三章 空间向量与立体几何
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝
角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π.
人 教
A
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作
，则角 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，
记作〈a，b〉．
通常规定0°≤〈a
，b〉≤180°，且〈a，b〉＝
〈b，a〉
人 教
A
A→A1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，
A→1B＝a－c，A→C＝a＋b.
人
教
∴A→1B·A→C＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而
A 版 数
学
|A→1B|＝|A→C|＝ 2.
∴cos〈A→1B，A→C〉＝
1 2×
第三章 空间向量与立体几何
1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以
空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的
定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相
同．
人 教
A
2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是
版 数
学
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
第三章 空间向量与立体几何
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝
角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π.
人 教
A
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作
，则角 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，
记作〈a，b〉．
通常规定0°≤〈a
，b〉≤180°，且〈a，b〉＝
〈b，a〉
人 教
A
A→A1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，
A→1B＝a－c，A→C＝a＋b.
人
教
∴A→1B·A→C＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而
A 版 数
学
|A→1B|＝|A→C|＝ 2.
∴cos〈A→1B，A→C〉＝
1 2×
向量的数量积PPT(课件)
2
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
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2 2 2 → x － x ＋ y － y ＋ z － z 2 1 2 1 2 1 则 |AB|＝ ____________________________.
问题探究 1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉 与〈a，－b〉的关系呢？ 提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a ，b〉． 2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标 运算间的关系？
→ → → 【解】如图所示，设AB＝ a，AD ＝ b，AA1 ＝ c， 则 |a|＝ |c|＝ 2， |b|＝4， a· b＝ b· c＝ c · a＝ 0. 1 → → → → → (1)BC· ED1 ＝ BC · ( EA1 ＋ A1D1 )＝ b· [ (c－ a) ＋ b]＝ 2 |b|2＝ 42＝ 16. 1 → → → → → → (2)BF · AB1 ＝ ( BA1 ＋ A1F )· ( AB ＋ AA1 ) ＝ (c － a＋ 2 b)· (a＋ c)＝ |c|2－ |a|2＝ 22－22＝ 0.
知新益能
1．空间两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一 → → 点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 〈 a ， b〉 的夹角，记作 _______ ． 规定 0≤〈a，b〉≤π.
(2)由定义可得如下结论： ①〈a，b〉＝〈b，a〉 ； 同向 ； ②如果〈a，b〉＝0，则 a，b______ 如果〈a，b〉＝π，则 a，b______ 反向 ； π 互相垂直 ，并 如果〈a，b〉＝ ，则称 a，b__________ 2 a⊥b 记作______. (3)两个非零向量才有夹角， 而 0 与其他向量之 间不定义夹角．
2．空间两向量数量积的定义 定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把 数量|a||b|· cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量 |a||b|· cos〈a ， b〉 积，记作a· b，即a· b＝________________ ．
特别规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．空间向量数量积的性质
3．1.5 空间向量的数量积
学习目标
1.掌握空间向量数量积的概念、运算律，能
正确进行运算及在空间坐标系下的运算．
2．能正确地运用空间向量的数量积知识求夹
角、距离，并能正确地判断一些有关平行、
垂直等问题．
课前自主学案
3．1.5
课堂互动讲练
知能优化训练
ห้องสมุดไป่ตู้
课前自主学案
温故夯基 · b＝|a||b|cosθ. 1．平面向量a，b，则a ____________ 2．平面向量的数量积满足交换律及分配律， a· c＋b· c 即 a· b＝_____ c＝________. b· a ，(a＋b)·
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算 类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一 致，即空间平面“一个样”，只是“多了一个量”．
课堂互动讲练
考点突破
求向量的数量积
两向量的数量积是两个向量之间的一种乘
法，其结果是个数量，不是向量，它的值为
两向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其符
号由夹角的余弦值决定．
本题所用方法是基底法，
也可用坐标法，针对于不同的图形条件可有 选择地应用．
自我挑战如图所示，已知空间四边形 ABCD 的 每条边和对角线长都等于 1，点 E、 F 分别是 AB、AD 的中点，计算： → → → → (1)EF· BA；(2)EF· DC.
→ → 1→ → 解：(1)EF· BA＝ BD · BA 2 1 → → → → ＝ |BD |· |BA|cos〈 BD ， BA〉 2 1 1 ＝ × 1× 1× cos 60° ＝ ， 2 4 → → 1→ → (2)EF· DC＝ BD · DC 2 1 → → → → ＝ |BD |· |DC|cos〈 BD ， DC〉 2 1 1 ＝ × 1× 1× cos 120° ＝－ . 2 4
|a||b| ； a，b反向⇔a· b＝－ ______
a· b |a||b| (〈a，b〉为 a， (4)cos〈a，b〉＝_____ b 的夹角)； 2 2 a· a . | a | (5)a· a＝a ＝____或|a|＝______
4．空间向量数量积的运算律 a· b＝ b· a (1)交换律：____________ ； (2)数乘向量与数量积的结合律： λ(a· b) ＝(λa)· b＝a· (λb)(λ∈R)； (3)分配律：(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
设a，b是两非零向量，e是单位向量，〈a， e〉是a与e的夹角，于是我们有下列数量积 的性质： |a|cos〈a ， e〉 (1)e· a＝ a· e＝_____________ ；
(2)a⊥b⇔_______ a· b＝0 (a，b是两个非零向量)； |a||b| ； (3)a，b同向⇔a· b＝______
1 1 → → → → → → (3) EF · FC1 ＝ ( EA1 ＋ A1F )· ( FD1 ＋ D1C1 ) ＝ [ (c － a) ＋ 2 2 1 1 1 b]· ( b＋ a)＝ (－a＋b＋ c)· ( b＋ a) 2 2 2 1 1 ＝－ |a|2＋ |b|2＝ 2. 2 4
【名师点评】
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1b1＋a2b2＋a3b3 ； (1)a· b＝_________________
(2)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈ a1 a2 a3 R)， 或 ＝ ＝ (b1≠0， b2≠0， b3≠0)． b1 b2 b3
例1 已知长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD ＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列 向量的数量积：
→ → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1 ；(3)EF· FC1 .
【思路点拨】 先选择基向量，再运用向量 的数量积公式计算．
6．夹角和距离公式 (1)夹角公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，其 中 a，b≠0. a1b1＋a2b2＋a3b3 则 cos 〈a， b〉 ＝ 2 2 2 2 2 2. a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
(2)距离公式 设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，
问题探究 1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉 与〈a，－b〉的关系呢？ 提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a ，b〉． 2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标 运算间的关系？
→ → → 【解】如图所示，设AB＝ a，AD ＝ b，AA1 ＝ c， 则 |a|＝ |c|＝ 2， |b|＝4， a· b＝ b· c＝ c · a＝ 0. 1 → → → → → (1)BC· ED1 ＝ BC · ( EA1 ＋ A1D1 )＝ b· [ (c－ a) ＋ b]＝ 2 |b|2＝ 42＝ 16. 1 → → → → → → (2)BF · AB1 ＝ ( BA1 ＋ A1F )· ( AB ＋ AA1 ) ＝ (c － a＋ 2 b)· (a＋ c)＝ |c|2－ |a|2＝ 22－22＝ 0.
知新益能
1．空间两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一 → → 点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 〈 a ， b〉 的夹角，记作 _______ ． 规定 0≤〈a，b〉≤π.
(2)由定义可得如下结论： ①〈a，b〉＝〈b，a〉 ； 同向 ； ②如果〈a，b〉＝0，则 a，b______ 如果〈a，b〉＝π，则 a，b______ 反向 ； π 互相垂直 ，并 如果〈a，b〉＝ ，则称 a，b__________ 2 a⊥b 记作______. (3)两个非零向量才有夹角， 而 0 与其他向量之 间不定义夹角．
2．空间两向量数量积的定义 定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把 数量|a||b|· cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量 |a||b|· cos〈a ， b〉 积，记作a· b，即a· b＝________________ ．
特别规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．空间向量数量积的性质
3．1.5 空间向量的数量积
学习目标
1.掌握空间向量数量积的概念、运算律，能
正确进行运算及在空间坐标系下的运算．
2．能正确地运用空间向量的数量积知识求夹
角、距离，并能正确地判断一些有关平行、
垂直等问题．
课前自主学案
3．1.5
课堂互动讲练
知能优化训练
ห้องสมุดไป่ตู้
课前自主学案
温故夯基 · b＝|a||b|cosθ. 1．平面向量a，b，则a ____________ 2．平面向量的数量积满足交换律及分配律， a· c＋b· c 即 a· b＝_____ c＝________. b· a ，(a＋b)·
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算 类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一 致，即空间平面“一个样”，只是“多了一个量”．
课堂互动讲练
考点突破
求向量的数量积
两向量的数量积是两个向量之间的一种乘
法，其结果是个数量，不是向量，它的值为
两向量的模与两向量夹角余弦的乘积，其符
号由夹角的余弦值决定．
本题所用方法是基底法，
也可用坐标法，针对于不同的图形条件可有 选择地应用．
自我挑战如图所示，已知空间四边形 ABCD 的 每条边和对角线长都等于 1，点 E、 F 分别是 AB、AD 的中点，计算： → → → → (1)EF· BA；(2)EF· DC.
→ → 1→ → 解：(1)EF· BA＝ BD · BA 2 1 → → → → ＝ |BD |· |BA|cos〈 BD ， BA〉 2 1 1 ＝ × 1× 1× cos 60° ＝ ， 2 4 → → 1→ → (2)EF· DC＝ BD · DC 2 1 → → → → ＝ |BD |· |DC|cos〈 BD ， DC〉 2 1 1 ＝ × 1× 1× cos 120° ＝－ . 2 4
|a||b| ； a，b反向⇔a· b＝－ ______
a· b |a||b| (〈a，b〉为 a， (4)cos〈a，b〉＝_____ b 的夹角)； 2 2 a· a . | a | (5)a· a＝a ＝____或|a|＝______
4．空间向量数量积的运算律 a· b＝ b· a (1)交换律：____________ ； (2)数乘向量与数量积的结合律： λ(a· b) ＝(λa)· b＝a· (λb)(λ∈R)； (3)分配律：(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
设a，b是两非零向量，e是单位向量，〈a， e〉是a与e的夹角，于是我们有下列数量积 的性质： |a|cos〈a ， e〉 (1)e· a＝ a· e＝_____________ ；
(2)a⊥b⇔_______ a· b＝0 (a，b是两个非零向量)； |a||b| ； (3)a，b同向⇔a· b＝______
1 1 → → → → → → (3) EF · FC1 ＝ ( EA1 ＋ A1F )· ( FD1 ＋ D1C1 ) ＝ [ (c － a) ＋ 2 2 1 1 1 b]· ( b＋ a)＝ (－a＋b＋ c)· ( b＋ a) 2 2 2 1 1 ＝－ |a|2＋ |b|2＝ 2. 2 4
【名师点评】
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1b1＋a2b2＋a3b3 ； (1)a· b＝_________________
(2)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈ a1 a2 a3 R)， 或 ＝ ＝ (b1≠0， b2≠0， b3≠0)． b1 b2 b3
例1 已知长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD ＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列 向量的数量积：
→ → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1 ；(3)EF· FC1 .
【思路点拨】 先选择基向量，再运用向量 的数量积公式计算．
6．夹角和距离公式 (1)夹角公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，其 中 a，b≠0. a1b1＋a2b2＋a3b3 则 cos 〈a， b〉 ＝ 2 2 2 2 2 2. a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
(2)距离公式 设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，