4.3定积分应用

定积分的应用

复习：

定积分的计算

引入

曲边梯形的面积

新授：

一、微元法

在定积分的概念中我们解决了曲边梯形面积的计算问题，在其四个步骤中关键是第二步，这一步是确定i A ∆的近似值i i x f ∆)(ξ，即让

i i i x f A ∆≈∆)(ξ

在实际中，为简便起见，我们通常省略下标i ，用A ∆表示任意小区间[]dx x x +,上的窄小曲边梯形的面积 。这样

∑∆=A A

取[]dx x x +,的左端点x 为ξ，以点x 处的函数值)(x f 为高，dx 为底的矩形面积为 A ∆的近似值，即

dx x f A )(≈∆

上式右端dx x f )(叫做面积微元，记作dx x f dA )(=，于是面积A 就是将这些微元在区间

],[b a 上“无限累加”

，即从a 到b 的定积分 ⎰⎰==b

a b a dx x f dA A )( 通过上面的做法，我们可以把定积分的和式极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。

概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定：

（1）确定积分变量x ，求出积分区间],[b a

（2）在],[b a 上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ∆的近似值

dx x f dF F )(=≈∆（称它为所求量F 的微元）

（3）将dF 在],[b a 上求定积分，即得到所求量⎰⎰==b

a b

a dx x f dF F )( 通常把这种方法叫做微元法。下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。

二、直角坐标系下平面图形的面积

用微元法将下列图形面积表示为定积分

（1）由)(1x f y =，)(2x f y =（)()(21x f x f ≤）及直线a x =，b x =围成的平面图形（如图4-8a ），面积微元[]dx x f x f dA )()(12-=，面积

[]⎰-=b

a dx x f x f A )()(12 （2）由)(1y g x =，)(2y g x =及直线d y c y ==,围成的平面图形（如图4-8

b ），面积微元[]dy y g y g dA )()(12-=，面积

[]⎰-=d

c dy y g y g A )()(12 例1 计算由两条抛物线2x y =，2

y x =围成图形的面积。

解 （1）画草图（图4-9）。确定x 为积分变量 由方程⎩

⎨⎧==22

y x x y ，解得两抛物线交点为（0，0），（1，1），从而可知所求图形在直线0=x 及1=x 之间，即积分区间为]1,0[。

（2）在区间]1,0[上，任取小区间[]dx x x +,，对应的窄条面积近似于高为)(2x x -，底为dx 的小矩形面积，从而得到面积元素

dx x x dA )(2-=

（3）所求图形面积为

313132)(101

03232=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A 例2 求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围成的图形面积。

解 （1）画草图（图4-10）。确定y 为积分变量

由方程⎩⎨⎧-==2

2x y x y ，解得交点为 ）

，（，），（2411- 从而可知所求图形在直线1-=y 及2=y 之间，即积分区间为]2,1[-。

（2）在区间]2,1[-上，任取小区间[]dy y y +,， 得到面积元素

dy y y dA )2(2-+=

（3）所求图形面积为

293122

1)2(122

1322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰--y y y dy y y A 一般说来，求平面图形面积的步骤为： （1）作草图，确定积分变量和积分区间；

（2）求面积元素；

（3）计算定积分求出面积。

三、旋转体体积

设旋转体是由连续曲线)(x f y =和直线a x =，b x =)(b a <及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成。我们也可以用微元法来求它的体积V 。确定积分变量x ，积分区间

],[b a 。经过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，所得截面是半径

为)(x f 的圆，因此截面面积[]2)(x f π，对应体积微元[]dx x f dV 2

)(π=，因此立体体积 V =[]⎰b

a

dx x f 2)(π 类似地，由连续曲线)(y g x =和直线c y =，d y =)(d c <及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转，所得的旋转体的体积为

V =[]⎰b

a

dy y g 2)(π 例3 求由2x y =及1=x ，0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积。

解 如图4-12所示，积分变量x 的变化区间为１］

，0[，此时2)(x x f =，则体积 5)(1041

022πππ===⎰⎰dx x dx x V

例 4 求由8,3==y x y 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

解 积分变量y 的变化区间为]80[，，于是体积为

596)(80328023πππ=

==

⎰⎰dy y dy y V

小结：

1． 微元法

2．平面图形面积

3．旋转体体积

作业：

板书设计：

（一）微元法

定义

例题

（二）平面图形面积例题

（三）旋转体的体积例题