高三数学第二轮专题复习系列(1)集合与简易
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高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑
一、【重点知识结构】
二、【高考要求】
1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有
关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
2. 理解|ax+b |
三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法. 3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.
4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决
简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. 三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题. 五、【例 题】
【例1】 设}13|{},13|{,,22++==+-==∈y y b b B x x a a A R y x ，求集合A 与B 之间的关系。 解：由4545)23(1322-≥--=+-=x x x a ，得A=}45
|{-≥x x
45)23(1322-+=++=y y y b 4
5
-≥
∴A=B
【例2】 已知集合A=}0103|{2≤--x x x ，集合B=}121|{-≤≤+p x p x ，若B ⊆A ，求实数p 的取值范围。 解：若B=Φ时，2121<⇒->+p p p
若B ≠Φ时，则3251212121≤≤⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤--≤+p p p p p
综上得知：3≤p 时，B ⊆A 。
【例3】 已知集合}12
3
|
),{(+=--=a x y y x A ，集合B=}30)1()1(|),{(2=-+-y a x a y x 。如果∅=B A ， 试求实数a 的值。
解：注意集合A 、B 的几何意义，先看集合B ； 当a =1时，B=Φ，A ∩B=Φ
当a =－1时，集合B 为直线y =－15，A ∩B=Φ
当a ≠±1时，集合A ：)2)(1(3-+=-x a y ，A ∉)3,2(，只有B ∈)3,2(才满足条件。 故303)1(2)1(2=⋅-+⋅-a a ；解得：a =－5或a =2
7 ∴a =1或a =
2
7
或a=－1或a =－5。 【例4】 若集合A=}3,1,23{x -，B=},1{2x ，且}3,1,23{x B A -= ，求实数x 。 解：由题设知A B A = ，∴A B ⊆，故32=x 或x x 232-=
即3±=x 或1=x 或3-=x ，但当1=x 时，123=-x 不满足集合A 的条件。 ∴实数x 的值为3-或3±。
【例5】 已知集合A=}0310|{2≥-+x x x ，B=}022|{2<+-m x x x ，若B B A = ，求实数m 的值。 解：不难求出A=}52|{≤≤-x x ，由B B A = A B ⊆⇒，又0222<+-m x x ，m 84-=∆ ①若084≤-m ，即2
1
≥m ，则A B ⊂Φ= ②若084>-m ，即2
1
<
m ，}211211|{m x m x B -+<<--=， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥--5
2112211m m 214<≤-⇒m
故由①②知：m 的取值范围是),4[+∞-∈m
注：不要忽略空集是任何集合的子集。
【例6】 已知集合A={019|22=-+-a ax x x }，B=}1)85(log |{22=+-x x x ，C=}082|{2=-+x x x ， 若A B ⊃∅ 与A C =∅ 同时成立，求实数a 的值。
解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{-，由A B ⊃∅ 知A 与B 的交集为非空集。 故2，3两数中至少有一适合方程01922=-+-a ax x
又A C =∅ ，∴A ∉2，即019392=-+-a a 得，a =5或a =－2 当a =5时，A=}3,2{，于是Φ≠=}2{C A ，故a =5舍去。 当a =－2时，A=}5,2{，于是Φ⊃=}3{B A ，∴a =－2。
【例7】 }023|{2=+-=x x x A ，}022|{2=+-=ax x x B ，A ∪B =A ，求a 的取值构成的集合。 解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆，当φ=B 时0162<-a ，∴-4 }2,1{}023|{2==+-=x x x A ，当1∈B 时，将x =1代入B 中方程得a =4，此时B ={1}，当2∈B 时，将x =2代入B 中方程得a =5，此时A B ⊄=}2,2 1 {，a =5舍去，∴-4 【例8】 已知}023|{2=+-=x x x A ，}02|{=-=ax x B 且A ∪B =A ，求实数a 组成的集合C 。 解：由A ={1，2}，由A ∪B =A ，即A B ⊆，只需a ×1-2=0，a =2或a ×2-2=0，a =1。 另外显然有当a =0时，φ=B 也符合。所以C={0，1，2}。 【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求： （1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。 解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x 人，不乘电车的人数为y 人，乘车的人数为z 人，不乘车的人数为u 人，只乘一种车的人数为v 人 如图所示（1）x =66人，（2）y =36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。 【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M 是关于x 的不等式 0)23()73(222<-++-+a a x a x 的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的 解集. 解：原不等式即0)32)(12(<-+--a x a x ，