第十五讲 函数与图象培优竞赛辅导
第八讲(培优竞赛班)培优竞赛一次函数的综合问题辅导
第八讲 （精品）一次函数综合类问题培优竞赛专题辅导 一、一次函数与几何综合1、一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0） ①k 是斜率，表示倾斜程度; ②b 表示与y 轴交点的坐标。
2、设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2；②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3、一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．精讲精练1、如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为______．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图2、如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2； 若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．3、如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线． 探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________； 猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____； 应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．4、如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则 S △P AB =___________．5、如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点．（1）a 的取值范围是________________；（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范围是___________；（3）点P （a ，0）在边AB 上运动，若过点P 、Q 的直线将矩形ABCD 的周长分成3：1两部分，求出此时a 的值．y=kxy=2xA CB D O xyA O C D EB l 1l 2xylA'AyO xO ByA Px6、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m（m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ．（1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．一次函数之存在性问题存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．精讲精练1、如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为 (-3，0)，P (x ，y )是直线122y x =+上的一个动点（点P 不与点A 重合）． （1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x （2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为278（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P2、如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；（3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存在点C 使△BCD 与△AOB全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数之动点问题动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．精讲精练1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2、如图在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，CB的中点D的纵坐标为7．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB的路线运动，至点B停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（4）求S的最大值；（5）当9≤t＜12时,求S的范围．3、如图，直线y=-2x+10与x轴交于点A，与直线y=0.5x交于点P．（1）求点P的坐标．（2）求△OP A的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段P A于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OP A重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．培优升级奥赛检测1、如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，在y 轴上有一点C （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 为何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标.3、已知：如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义(11—20讲)
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
高中数学竞赛培优教程
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一、识记知识
1.学习数学基本概念：数学在学习过程中非常重要，必须掌握数学基本概念，才能完成后续数学学习。
2.学习数学思想：理解数学的真正要义，不仅要看懂数学知识，更要掌握数学思维，掌握数学问题的解决方法，培养分析思维能力。
3.开发数学解题技巧：学好数学，除了要学会正确推导之外，还要会熟练应用解题技巧，让解题过程变得更加轻松愉快。
二、实践思考
1.加强记忆效果：前面已学习的知识要不断复习，以便巩固学习效果，实现类似记忆分层的效果，让知识更加牢固。
2.应用数学思维：遇到做题的时候，要多考虑多思考，用数学理论原理解决实际问题，让数学思维与实践相结合，使解题技巧更为灵活。
3.实战操练：数学竞赛最重要的便是实战操练，可以以单元考、章测、期末考等形式，反复进行实战操练，总结解题技巧，有助于提升笔试考试成绩。
三、专业指导
1.查漏补缺：尽量利用有限的时间，补充学习中漏掉的部分，是完善数学知识的有效技巧。
2.看课本：课本的学习可以帮助扩充知识面、提高解题速度，学习过程中多思考多讨论，加深理解。
3.做习题：多做单元考、章测，保证每天有有规律的训练。
可以把习题按照题量、难易程度进行细分，有针对性的进行训练。
四、学习习惯
1.科学规划时间：安排学习任务，避免拖延解决问题，制定学习计划，有条不紊地进行学习，充分利用时间。
2.全面均衡：既要学习数学，也要适当参加体育运动，放松身心；要注重课外学习，多看书、少看电视，宽增才艺。
3.督促自律：要在学习中注重自律，掌握有效的练习方法，把有限的学习资源转化成最大的收获，为数学竞赛做好准备。
函数与图象提能训练课件
2023函数与图象ppt提能训练课件contents •引言•函数基础知识•图像的基础知识•函数与图像的关系•实际案例分析•总结与展望目录01引言课程背景01函数与图象是数学中重要的概念和工具，对于提高学生数学素养和解决实际问题具有重要意义。
02在高中数学中，函数与图象是核心内容之一，也是高考重点考察的内容之一。
03通过本课程的学习，学生将学习和掌握函数与图象的基本概念、基本性质和基本方法，提高对函数与图象的理解和运用能力。
掌握函数与图象的基本概念、性质和分类方法。
掌握常见函数的图象特征和画法，并能运用函数解决实际问题。
培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
学习目标02函数基础知识函数是一种关系函数是一种特殊的映射关系，它对于定义域内的每一个自变量x，都对应着一个唯一确定的函数值y。
函数的表示方法常用的函数表示方法有解析法、表格法和图象法。
函数的定义按照函数的性质分类奇函数、偶函数、单调函数、周期函数等。
按照函数的形式分类一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等。
函数的分类根据函数的解析式，在平面直角坐标系上描出各个自变量与函数值对应的点，然后连接这些点得到函数的图像。
描点法利用计算机绘图软件，输入函数的解析式，自动生成函数的图像。
图象法函数图像的画法03图像的基础知识1图像的意义23图像可以作为信息传递的媒介，通过视觉方式表达和传达信息。
信息传递图像可以传达情感和情绪，如快乐、悲伤、愤怒等。
表达情感图像可以描述现实世界中的各种物体、场景和事件。
描述现实图像可以看作由许多像素组成，每个像素表示图像中的一个点。
像素每个像素可以具有不同的颜色，通常由RGB（红、绿、蓝）三种颜色混合而成。
颜色分辨率表示图像的清晰程度，由像素数量和密度决定。
分辨率图像的组成图像的变换通过改变图像的尺寸，可以实现图像的缩放。
缩放旋转翻转裁剪通过旋转图像，可以实现图像的旋转。
通过翻转图像，可以实现图像的水平或垂直翻转。
【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)
初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P２－--－７）第２讲二次根式的化简与求值(P7----１2)第3讲一元二次方程的解法(P13----１6)第4讲根的判别式及根与系数的关系（P1６----２２)第5讲一元二次方程的应用（Ｐ23-－－-26)第6讲一元二次方程的整数根(Ｐ27----3０)第7讲旋转和旋转变换(一）(P30--－-38)第8讲旋转和旋转变换(二）(Ｐ38--－-46）第9讲圆的基本性质（P47－－-－5１)第1０讲圆心角和圆周角(P52-－-－61)第11讲直线与圆的位置关系(P６２－-－-６9）第12讲圆内等积证明及变换（(P70-－--７６）第１3讲弧长和扇形面积(P76--－－78)第14讲概率初步(P78--－-85)第15讲二次函数的图像和性质(P85--－-91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P９2--－-9８) 第17讲二次函数的应用(P99-－-－1０8)第1８讲相似三角形的性质(P109-－--１17)第1９讲相似三角形的判定(P118－--－-１２4)第20讲相似三角形的综合应用(P12４--－--130)每天进步一点点!坚持就是胜利!第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析; ２.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例1】 (荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ )A.Ｂ 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. Ｂ中含分母，C 、D 含开方数４、9,故选A ．【变式题组】１.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是( ）Ａ.ＢA.①,②ﻩB.③,④ﻩC.①，③D.①,④【例2】(黔东南)方程480x -=,当y >0时，m 的取值范围是（ )A.0＜ｍ＜1 B ．m ≥２ﻩ C ．m ＜2 ﻩD.m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题,隐含两个代数式均为０的结论．由题意得4x －8＝0,x －ｙ－m =0.化为y =2－ｍ,则２-m >０,故选C.【变式题组】２．（宁波）若实数ｘ、y 2(0y -=，则xy 的值是_＿_＿_＿___＿.3.（荆门)2()x y =+,则x －y 的值为( )A ．- 1ﻩB ．1ﻩC ．２ ﻩD ．34．(鄂州)使代数式4x -有意义的x 的取值范围是( ） A ．x >3 Ｂ.ｘ≥3ﻩﻩＣ.ｘ>4 ﻩD.ｘ≥３且x ≠４５．(怀化)22(4)0a c --=,则ａ－b －c =＿__＿＿__＿.【例3是同类二次根式的是( )B C ﻩ【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式,再看被开方数是否一样. A=; B不能化简；=D=,=故本题应选Ｄ．【变式题组】６.,则ａ＝_____＿__. 7.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）CＤ8．已知最简二次根式ba ＝＿_____＿，b =__＿___. 【例４】下列计算正确的是（ )=4=ﻩC= D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜;③0,0)a b =≥≥;0,0)b a =≥＞ 进行化简计算,并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并．D. 2(111+=-=-．故本题应选C.【变式题组】９. （聊城）下列计算正确的是( )Ａ．= Ｂ=C3=ﻩ3=-10.计算：200720074)(4⋅=_＿_＿_____＿_＿_ 11．22-=___＿____＿____１2．(济宁)已知a 为实数,( ） A.a B.－a ﻩ C.－1 D ．０ 1３．已知a ＞b ＞０，a ＋b ＝的值为( ）A.2B.２ﻩCﻩD ．12【例５】已知ｘy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）Ａ Ｂﻩ C ．ﻩ D ．【解法指导】先要判断出y ＜0,再根据ｘy >0知ｘ＜０. 故原式= D. 【变式题组】１4.已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --___＿___．15.===，算果中找出规律,并利用这一规律计算:1)2006++⋅=＿____＿＿__.16．已知，则0＜ｘ＜１,=_＿__＿____．【例6】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++,其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =值为_____＿__． 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值,再代入求值．【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝１，ａ＋ｂ⑵由题意得:xy ＝1，x ＋y =1０, 原式10199=-. 【变式题组】17.(威海)先化简,再求值：(a +b )2＋（a －ｂ)（２a+b ）－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石)已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________．【例7】已知实数x 、ｙ满足(2008x y =，则3x 2－2y ２＋3x -3y -2０07的值为( )Ａ.－200８ﻩﻩＢ．2００8C.－１ﻩﻩＤ．１【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,找出a 、b 的关系,再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得ｘ2=200８,所以３ｘ２－2y 2＋3ｘ-３ｙ-2０07＝3x ２－2x 2＋3x －３x -2０0７=ｘ2－2007=１,故选D ．【变式题组】１9.若a >0,ｂ＞0=的值.演练巩固·反馈提高０1．若4m =,则估计ｍ的值所在的范围是（ )A ．１＜m ＜2B ．2＜m <3ﻩC ．3＜m <4 ﻩD ．4＜m <５02．(绵阳)ｎ的最大值为( )A ．1２ ﻩＢ.11C.8 ﻩD ．3０3．(黄石)下列根式中,不是．．最简二次根式的是（ )A.０４.（贺州)下列根式中，不是最简二次根式的是( ）A.C 05.下列二次根式中,是最简二次根式的是（ )Ａ．C06.(常德）设ａ＝２0， ｂ=(-3)2， c =11()2d -=, 则a 、ｂ、ｃ、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ )Ａ．ｃ<ａ<d ＜b ﻩ B.b ＜ｄ＜ａ＜c ﻩﻩC.a ＜ｃ＜ｄ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是( ）Ａ+=ﻩ B =Ｃ．21)31=-ﻩﻩ 53=-08.如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内,化简的结果为( ）A ．Ｃ.ﻩD ．09.（徐州)2x -化简的结果为2x －3，则ｘ的取值范围是( )Ａ.x ≤１ ﻩB ．x ≥２ﻩ C ．１≤x ≤2ﻩ D.ｘ>010.(怀化)函数y =中自变量的取值范围是____＿_＿_.11.(湘西)对于任意不相等的两个数ａ，b ，定义一种运算ａ※b =那么12※４＝_＿____＿_.12．(荆州）先化简，再求值:22321121a a a a a a -+÷-+-,其中a =13．（广州）先化简,再求值:((6)a a a a --,其中12a =. 培优升级01.(凉山州）已知一个正数的平方根是3x －２和５x +6，则这个数是___＿＿_＿_．02．已知ａ、b 是正整数，且满足是整数,则这样的有序数对(a ,ｂ）共有_＿__＿___对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-＿_＿＿___＿． 04．(全国）设x =a 是ｘ的小数部分,b 是x 的小数部，则a 3＋b 3+3a ｂ＝____＿＿__.０５.(重庆)已知2y =,则x 2+y ２=________.0６.(全国）已知1a =,a =2a =,那么ａ、b 、c 的大小关系是（ )Ａ.a ＜b ＜c ﻩﻩＢ.b <ａ<c ﻩﻩC.ｃ<b <a ﻩ D ．c ＜a ＜b07．（武汉)已知y =(ｘ,ｙ均为实数),则ｙ的最大值与最小值的差为( )A 3ﻩB ．3ﻩ3ﻩ D０８．(全国)已知非零实数a 、ｂ满足24242a b a -+++=，则ａ＋b 等于( ) A ．-1ﻩ B.0ﻩﻩC ．1Ｄ．20９．(全国) )Ａ．5-ﻩB ．1ﻩﻩC.5ﻩﻩD ．１10.已知0(0,0)x y x y -=>>的值为( ）A.13ﻩﻩB ．12 ﻩC. 23ﻩ D ．3411.已知152a b c +-=-,求a ＋b +c 的值．1２.已知9+9a 和b ,求ａb －3ａ+4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2.会进行二次根式的有理化计算,会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例1】(河北)2=的值等于＿__＿＿＿_＿_＿ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得,124x x ++=，12x x+= ,两边同乘以x 得,212x x += ，∵2315x x x ++=,29111x x x ++=,∴原式511-1．若14a a +=(0<ａ＜1）,=_____＿＿_ 2=-( ) A ．1a a -ﻩ B ．1a a -ﻩﻩC ．1a a+ﻩﻩD ．不能确定 【例２】（全国）满足等式=20０3的正整数对(x ,y ）的个数是（ ）A ．1ﻩ ﻩＢ.2ﻩﻩ Ｃ.３ D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>,0=，则xy =2０03,且20０３是质数，∴正整数对（x ,y )的个数有2对，应选Ｂ. 【变式题组】3．若a >0，b >0=的值.【例3】(四川)1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x -2,x 2－4ｘ为整体,=移项用含a 的代数式表示x －2,ｘ２-４x ，注意0<a ＜1的制约.解：平方得,12x a a =++,∴12x a a -=+,2221442x x a a -+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式=(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--4．（武汉)已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5.(五羊杯)已知1m =+1n =-且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则ａ的值等于( ) A .-５ﻩB .5ﻩ ﻩC .-9ﻩD .9【例４】(全国）如图，点Ａ、C都在函数0)y x =>的图像上,点Ｂ、Ｄ都在x 轴上，且使得△OAB 、△ＢC Ｄ都是等边三角形,则点Ｄ的坐标为＿___＿＿__.【解法指导】解:如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设ＯE=ａ,BF=b ，则，CFb ，所以,点Ａ、C 的坐标为（aa ）、（2ａ＋b）,所以2(2)a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0） 【变式题组】6．(邵阳）阅读下列材料,然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=; (一) 36333232=⨯⨯=； （二) ()()()131313132132-=-+-⨯=+; （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； (四）(1)请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=__＿__＿________＿___________＿__；（要有简化过程）②参照(四）试得:352+=_＿_＿＿_＿____________＿________＿；（要有简化过程)(2)2n +++【例5】（五羊杯)设a 、b 、c 、d 为正实数,a <ｂ,c <d ，ｂc ＞ad ，，，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么ａ、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图,作长方形AB ＣD ，使AB ＝b －a ，ＡD ＝c ，延长DA 至E ，使DE =d ，延长D Ｃ至F ,使D Ｆ=ｂ，连结EF 、ＦB 、EB ，则ＢＦＥF=,BE ＝,从而知△BEF 就是题设的三角形,而Ｓ△ＢEＦ=S 长方形ABCD ＋S △ＢＣF＋S △ＡBE －S △DEF =(b -a )c +12（d -c ）(b -ａ)－12bd =12（bc -a ｄ)【变式题组】7.（北京)已知ａ、b 均为正数，且ａ+ｂ＝2,求U演练巩固·反馈提高01.已知x =,y =值为___＿＿_____ ０２．设1a =-,则32312612a a a +--＝（ )A.ﻩ２4ﻩB .25ﻩﻩC．10ﻩﻩＤ.1203．(天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=____＿___＿_0４.(北京)若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++,则2()x yz -=___＿______０５.(北京)正数m、n 满足430m n +-=,=＿_＿_______06.(河南）若1x =,则32(2(15x x x -++的值是( ）A .２ ﻩB ．４ﻩﻩC ．6ﻩﻩﻩD ．807.已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是( ） A ．199９ﻩＢ．2０00 C .２001 ﻩ D ．2002０8.设a =b =c =则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ) A .a ＜b <c ﻩﻩB ．c <b <ａ ﻩＣ．ｃ<a ＜bﻩＤ．ａ＜c ＜ｂ０9．已知1x =培优升级0１．（信利）已知1x =+那么2111242x x x +-=+--___＿_____＿02.5=,=___＿＿_____03.（江苏)已知(2002x y =,则2234x xy y --6658x y --+=__＿＿______0４．(7x =,则ｘ＝＿__＿______０５.已知x =，y =,那么22y x x y +=_____＿____０６．（武汉)如果a b +=，a b -=,3333b c b c +=-,那么333a b c -的值为（ )A .ﻩＢ．2001ﻩﻩﻩC .1 ﻩﻩD .00７.(绍兴）当12x +=时,代数式32003(420052001)x x --的值是( ) Ａ．0ﻩ ﻩ B ．－1 ﻩＣ.１ﻩﻩ D ．20032-08.（全国）设ａ、b 、c 为有理数,且等式a +=,则29991001a b c ++的值是（ )Ａ．1９９９ﻩ B .2000 ﻩ C ．2００１ﻩﻩ D ．不能确定09．计算:（(24947++（10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<,化简代数式11()(1)a b a b---,将结果表示成不含b 的形式.11.已知21(0)a x aa +=>,化简１２．已知自然数x 、y 、z 0=，求ｘ＋y +z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。
人教版数学八年级培优竞赛 直线缠绵双曲线 专题课件
直线的函数表达式为 y＝2x，反比例函数表达式为 y＝ 8 ，直线 PC 的表达式为 y
x
＝－ 2 x＋ 16 联立可解得 C 的坐标为（6， 4 ），故 A´（6，4）从而 A（4，0），B
3
3
3
´（2，7），∴线段 AB 扫过的图象为平行四边形 AA´B´B，其面积为 22.
14. 操作：“如图 1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，点 C 绕点 P 逆时针旋转 60°得到点 Q．”我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为点的 T 变换．
当 b＝－ 5 ，w 区域范围内整点有 4 个，（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；
4
l 在 OA 上方
当 b＝ 7 时，w 区域范围内整点有 3 个，（1，1），（1，2），（1，3）；
4
当 b＝ 11 时，w 区域范围内整点有 3 个，（1，1），（1，2），（1，3），（2，1）；
与△AOB 关于直线 AB 对称，B（4，2），∠ABO＝90°，∴M（8，4）.把点 M、
A 的坐标分别代入 y＝mx＋n，故一次函数表达式为：y＝ 4 x－ 20 .
3
3
1.
直线
y＝kx（k＞0）与双曲线 y
3 x
交于
A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则代
数式 2x1y2﹣4x2y1 的值为（ C ）
A．18
B．﹣18
C．6
D．﹣ 6
2. 如图，将直线 y＝x 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l，l 与反比例函数 y k
x
（k＞0，x＞0）的图象相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 OA2﹣OB2＝10，
初中培优竞赛含详细解析 第12讲 函数与图像
1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）抛物线y =x 2+x +P(P ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标是p ，那么该抛物线的顶点坐标是 ( )A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)分析：由题意知（P ，0）这个点在函数图像上，P ≠0，代入解得P= -2，最后由顶点式或者配方都可以求解.答案：D .技巧：直接由顶点式或者配方成顶点式解题.易错点：配方时容易出错.2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）设0<k <1，关于x 的一次函数y =kx +1k (1−x)，当1≤x ≤2 时的最大值是 ( )A.kB.2k −1kC.1kD.k +1k分析：将方程变形为y =(k −1k )x +1k ，由0<k <1可知1k 〉1，所以函数是个递减函数，则χ=1时取最大值k.答案：A .技巧：函数变形，找出递增或递减函数，然后在定义域内求最值，这类题都可以用这种方法. 易错点：递增递减问题容易出错.3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）直线L ： y =px （p 是不等于0的整数）与直线y =x +10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线L 有 ( )A.6条B.7条C.8条D.无数条分析：解方程组{y =px y =x +10 得x =10P−1因为x 和p 都是整数，所以p −1=±10,±5，±2，±1，即P =11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值， p =0舍去 .答案：B .技巧：联立方程组，根据整数条件列出所有可能性进行判断 .易错点：容易漏掉条件或情况 .4. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、最值问题、填空题）已知函数y =(a −2)x −3a −1，当自变量x 的取值范围为3≤x ≤5时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为______________.分析：（1）当a=2时，函数为常数函数，不存在最大值和最小值.(2)当a >2时，一次函数y 随x 的增大而增大，由题意得：{(a −2)×3−3a −1<3(a −2)×5−3a −1>5，解得a >8. (3)当a <2时，y 随x 的增大而减小，由题意得：{(a −2)×3−3a −1>5(a −2)×5−3a −1>3. 无解 所以a 的取值范围是a >8 .答案：a >8 .技巧：根据函数的性质讨论a 的范围 .易错点：解不等式组时要小心.5. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）不论m 取何值，抛物线y =x 2+2mx +m 2+m −1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_________ .分析：将二次函数变形为y =(x +m)2+m −1，可知抛物线的顶点坐标为{x =−m y =m −1 ，消去m 得x +y =−1,所以y =−x −1. 答案：y =−x −1.技巧：把函数顶点表示出来，在利用函数关系联立起来就得解.易错点：消去m 的时候注意符号.6. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y =x 2+(a −3)x +3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是___________分析：由题意可知由以下几种情况：如图（1）当交点在A 、B 之间时，那么有[12+(a −3)×1+3]×[22+(a −3)×2+3]<0 . 解得−1<a <−12 . （2）当交点是A 点时，有12+(a −3)×1+3=0得a =−1.此时x 1=1,x 2=3,符合题意.（3）当交点是B 点时，有22+(a −3)×2+3=0得a =−12⋅此时x 1=2,x 2=32，不符合 题 意. .（4）当抛物线与χ轴相切时，有x 2+(a −3)x +3=0，由判别式Δ=0得a =3±2√3.当a =3+2√3时， x 1=x 2=−√3，不合题意；当a =3−2√3时,x 1=x 2=√3,符合题意.综上所述，a 的取值范围是−1≤a <12 或a =3−2√3.答案： −1≤a <12 或a =3−2√3. 技巧：利用数型结合，找出所有可能情况.易错点：注意不要遗漏.7.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）求证：不论k 为何值，该方程 (2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 的图象恒过一定点. 证明：将(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 变形为(2x −y −1)k =x +3y −11⋯①因为k 可取任何值，即关于k 的方程①有无穷多解，故{2x −y −1=0x +3y −11=0，解得{x =2y =3 ⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原方程，故(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0恒过定点(2，3).技巧：将k 分离出来，然后使系数为0就可以符合题目的条件.8.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知mn 是两位数，二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证： 0<m 2−4n ≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .分析：(1)证明：设y =x 2+mx +n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1≠x 2,则x 1,x 2为方程x 2+mx +n =0的两个不同的实根，所以x 1+x 2=−m,x 1x 2=n.又因 为0<|x 1−x 2|≤2,即0<(x 1+x 2)2−4x 1x 2≤4,也即0<m 2−4n ≤4.(2) 因为m ，n 为整数 (m ≠0)，且m=1~9，n=0~9.所以m 2−4n =1,2,3,4,而m 2被4除余0或1，故m 2−4n 被4除也余0或1，从而只能有m 2−4n =1或m 2−4n =4 .解这两个不定方程得{m =1n =0 或{m =3n =2 或{m =5n =6或{m =2n =0 或{m =4n =3 或{m =6n =8 ， 所以所求的两位数mn ̅̅̅̅为10,32,56,20,43,68.技巧：利用根与系数关系.易错点：分类讨论注意不要遗漏.9. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知二次函数y =a(a +1)x 2−(2a +1)x +1，其中a 为正整数.(1)若函数y 的图象与x 轴相交于A ，B 两点，求线段AB 的长；(2)若a 依次取1，2，…，2005时，函数y 的图象与x 轴相交所截得的2005条线段分别为A 1B 1,A 2B 2，…，A 2005B 2005，试求这2005条线段长之和.分析：由题意知，|AB |=|χ1−χ2|，其中χ1，χ2分别是A 、B 两点的横坐标，再利用韦达定理解题，那么第一问就解决了.第二问是在第一问的结果的基础上进行裂项解决，很容易. 详解：(1)设函数y 的图象与x 轴交于两点A(x 1，0)，B(x 2，0)，则x 1，x 2是方程a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0的两个实根.由a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0得(ax −1)[(a +1)x −1]=0，所以x 1=1a ,x 2=1a+1⋅所以|AB |=|x 1−x 2|=1a −1a+1=1a (a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a 为正整数） .(2)当a 依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A 1B 1|=1−12,|A 2B 2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|= (1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅技巧：第一问把距离用点坐标表示出来，然后利用韦达定理解决.第二问就在第一问的基础上进行裂项求和即可.易错点：在第一问中容易出现运算转化错误，如果导致结果错误的话，第二问将无从下手.。
数学竞赛基础培优第1-9讲
数学竞赛基础培优第1-9讲数学竞赛基础培优第 1 9 讲在数学的奇妙世界里，数学竞赛就像是一场充满挑战和惊喜的探险之旅。
而我们的“数学竞赛基础培优”课程，则是为大家精心准备的探险指南。
接下来，让我们一起走进第 1 9 讲的精彩内容。
第 1 讲：整数的运算与性质整数，是数学中最基础也最重要的概念之一。
在这一讲中，我们首先回顾了整数的四则运算：加法、减法、乘法和除法。
了解了加法和乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等基本运算规律。
接着，我们深入探讨了整数的性质。
比如，整数的奇偶性。
通过判断一个整数是奇数还是偶数，我们能够巧妙地解决很多数学问题。
还有整数的整除性，能被 2、3、5、9 等整除的数都有其独特的特征。
例如，一个数能被 2 整除，当且仅当它的个位数字是 0、2、4、6、8 中的一个；一个数能被 3 整除，当且仅当它的各位数字之和能被 3 整除。
第 2 讲：小数与分数小数和分数是表示数量的另外两种形式。
我们学习了小数的意义和性质，知道了小数可以看作是分数的另一种表现形式。
在分数方面，我们掌握了分数的基本性质，即分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的大小不变。
还学会了分数的四则运算，通分和约分是其中的关键技巧。
比如，计算 1/2 ＋ 1/3 时，我们需要先通分，将 1/2 化为 3/6，将1/3 化为 2/6，然后相加得到 5/6 。
第 3 讲：代数式与方程代数式是由数和字母通过有限次的加、减、乘、除、乘方运算得到的式子。
我们学会了用字母表示数，以及如何化简和求值代数式。
方程则是含有未知数的等式。
通过建立方程，我们可以解决很多实际问题。
例如，一个数的 3 倍加上 5 等于 14，我们可以设这个数为 x ，列出方程 3x ＋ 5 ＝ 14 ，然后解方程得到 x ＝ 3 。
第 4 讲：平面几何初步这一讲中，我们走进了平面几何的世界。
认识了点、线、面、角等基本元素。
角的度量和分类是重点之一，我们知道了锐角、直角、钝角、平角和周角的定义和大小范围。
初中七年级培优竞赛辅导讲义全册(207页)
初中七年级培优竞赛辅导讲义目录（共207页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第01讲与有理数有关的概念第02讲有理数的加减法第03讲有理数的乘除、乘方第04讲整式第05讲整式的加减第06讲一元一次方程概念和等式性质第07讲一元一次方程解法第08讲实际问题与一元一次方程第09讲多姿多彩的图形第10讲直线、射线、线段第11讲角第12讲与相交有关概念及平行线的判定第13讲平行线的性质及其应用第14讲平面直角坐标系（一）第15讲平面直角坐标系（二）第16讲认识三角形第17讲认识多边形第18讲二元一次方程组及其解法第19讲实际问题与二元一次方程组第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组第21讲一元一次不等式（组）的应用第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合第23讲数据的收集与整理第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ． －5 D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b＜ b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ． －4 B ． －1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值 【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( ) A ． －1 B ． 1 C ． 2m －3 D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-＝1111111 12233420082009 -+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111 248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（）A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－bC．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811 ＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（）A．14B．14-C．12D．12-02．自然数a、b、c、d满足21a＋21b＋21c＋21d＝1，则31a＋41b＋51c＋61d等于（）A．18B．316C．732D．1564534333231303．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数 B．0 C．负数 D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=- ⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩 【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．11000 02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A．1 B．3 C．7 D．503．已知23450ab c d e＜，下列判断正确的是（）A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜004．若有理数x、y使得,,,xx y x y xyy+-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（）A．12-B．0 C．12 D．3205．若A＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A－1996的末位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．906．如果20012002()1,()1a b a b+=--=，则20032003a b+的值是（）A．2 B．1 C．0 D．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d====，则a、b、c、d大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z ＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x ＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A． B． C． D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）。
2020高考数学艺考生冲刺一本通课件：第15讲 函数与函数图象及性质
基础训练
能力提升
y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x).
y=f(|x|); y=|f(x)|.
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
题型一 求函数定义域
【例 1】 (1)函数 f(x)= 1-2x + x1+3的定义域为(
)
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
围是( )
A.(0,2)
B.(1, 2)
C.(1,2)
D.(0, 2)
(3)若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )
A.
-
1 4
,
+
∞
C.
-
1 4
,0
B.
-
1 4
,
+
∞
D.
-
1 4
,0
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
(4)已知函数
f(x)=
(������-2)x-1,x log������ x,x >
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
【答案】 (1)B
(2)2x+7
(3)32x
−
x 3
【规律方法】求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法;
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)消去法:已知关于 f(x)与 f
1 x
故f(x)的定义域为(4,16).
高中数学竞赛培优教程
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高中数学竞赛培优教程是一种为准备参加高中数学竞赛的学生提供的培训课程。
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高中数学竞赛辅导-函数
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min . 4
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f (x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有
八年级数学培优资料
八年级数学培优资料(总58页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念?性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；A FC EDB B AC D EF 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5ABCDOFEA CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.A E第1题图A BC DE BCDO第2题图AFECB D【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ） A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFBO CF 图DA03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，E FB AC DG第2题图1A PE F D∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°,∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中,2AB QCBP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD ⊥CD .02端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ） A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高AECBA 75° C 45° BNM第2题图第3题图D01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A . CB ＝CDB .∠BAC ＝∠DACC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°第1题图a αcca50° b72°58°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBDC. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE ＋DE＝______10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE ＝_____.AEFBDC11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF . 16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相DAC.Q P.BDBACEFAE BFDC等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ）F第6题图21A BC E N M 3 21ADE BCFA D EC OA E O BFCD第1题图 B 第2题图第3题图 ABCDA 1B 1C 1D 1AE FCDBA ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号） 07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD . ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .ABC DE AEBDC09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE ,∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
高考培优课程数学讲义：函数图像及图像性质的应用【学生版】
高考培优 数学“函数图象及图象性质的应用””讲义编号：函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质1.（2013年高考数学四川卷理科第7题）函数331x x y =-的图象大致是（ ）。
A BC D作为问题变式，尝试绘制函数331x x y =-和函数33log 1x y x =-的大致图象。
2. 已知函数2()2,()2f x x x g x mx =-=+对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使得10()()g x f x =，求✧ 熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图像变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等✧ 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视✧ 问题1：函数()y f ax b =+的图象可以由函数()(0)y f ax ab =≠的图象经过怎样的变换而得到（其特征是自变量的系数相同）？✧ 问题2：函数()(0)y f a x a =+>的图象与函数()(0)y f a x a =->的图象之间存在怎样的关系（其特征是自变量系数互为相反数）？✧ 问题3：突破难点：“若函数()y f x =对任意的x R ∈，都有()()f x a f a x -=-，则函数的图象关于y 轴对称”和“函数()(0)y f x a a =->的图象与函数()(0)y f a x a =->的图象关于直线x a =对称”。
✧ 问题4：由函数()y f x =的图象怎样得到函数()y f x =和()y f x =的图象？例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图像关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 （★☆☆☆☆）例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图像上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论（★★☆☆☆）例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图像如图，求b 的范围 （★★☆☆☆）例4（2000年高考数学全国卷理科第5题）函数cos y x x =-的部分图象是（ ）。
2024.9.12函数的图象
补充练习:
4.已知函数 y f (2x 1) 是偶函数，则函数 y f (2x) 的图象一定关于 直线＿x ＿1＿＿对称．
5.偶函数 f2( x) 满足 f ( x 1) f ( x 1) ,且当 x 0,1 时, f ( x) x ,
∴ f ( x) 是周期函数，且周期为 4. 画出 y f ( x) 的图象易知与直线 y 1 有四个交点，且四个交点横坐标之和
2
为 2+10=12.
补充练习:
12.已知定义在区间 (0, 2) 上的函数 y f ( x) 的图象如图所示,则 y f (2 x)
的图象为( B )
13.(多选)某学习小组在研究函数 f ( x) 1 的性质时,得出如下结论,其中正确的是( )
x 2
BCD
(A)函数 f ( x) 的图象关于点 (2，0) 中心对称 (B)函数 f ( x) 在 (2,0) 上单调递增
(C)函数 f ( x) 在0, 2 的最大值为 1
(D)方程 f ( x) x 0 有 2 个不同实根
2
14.已知函数
f (x)
x 1 ( x ≤ 0) ，若函数
例
1.已知函数
f
(x)
log4 x
x2
10
x
(0 < 25
x ≤ 4) , a、b、c、d ( x > 4)
是互不相
同的正数,且 f (a)＝f (b)＝f (c)＝f (d),则 abcd 的取值范围是(_2_4_, 2_5．)
例 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f ( x 1) 1 f ( x), 且当 x 0,1 时,
初中数学一轮复习培优微课 由几何图形上的动点和函数图象解决几何问题 思维引导系列
图（1）
图（2）
A. B. C. D.
类型3 线动问题
例3 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限，且 轴，直线 沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为 ，直线在 轴上平移的距离为 ， ， 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 的面积为( )
图（1）
图（2）
类型2 双动点问题
例2 如图（1），在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> .边 <m></m> 上的点 <m></m> 从顶点 <m></m> 出发，向顶点 <m></m> 运动，同时，边 <m></m> 上的点 <m></m> 从顶点 <m></m> 出发，向顶点 <m></m> 运动， <m></m> ， <m></m> 两点运动速度的大小相等.设 <m></m> , <m></m> , <m></m> 关于 <m></m> 的函数图象如图（2），图象过点 <m></m> ,则图象最低点的横坐标是_______.
（3） 当点 <m></m> 在 <m></m> 轴下方且点 <m></m> 在 <m></m> 轴上方或 <m></m> 轴上时，设直线 <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别交 <m></m> 轴于点 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，如图（2）， <m></m> 的取值范围为__________， <m></m> ___， <m></m> _______,则 <m></m> ______, <m></m> .又 <m></m> ____,所以 <m></m> _ __________.
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第十五讲 函数及其图象综合复习辅导考点1、平面直角坐标系变量与函数的定义1、平面直角坐标系1) 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； 2) 各象限点的坐标的符号： 3) 坐标轴上的点的坐标特征：4) 点P （a ，b ）关于（ ）对称点的坐标： 2、函数的概念及其表示方法⑴函数的定义： ⑵函数的表示方法：3．自变量取值范围的确定：必须使含自变量都有意义，且符合问题的要求． 【基础演练】1、.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ） A ．(-4,3) B ．(-3,-4) C ．(-3,4) D ．(3,-4)2、图中分给给出了x 与y 的对应关系，其中y 是x 的函数是（ ）3、函数212-++=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－2 B ． x ＞－2且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥－2且x ≠2 4、点A 为直线y =-2x +2上一点,点A 到两坐标轴距离相等,则点A 的坐标为_________； 5、等腰三角形周长为10cm ，底边BC 长为ycm,腰AB 长为xcm, (1)写出y 关于x 的函数关系式(2)求x 的取值范围； (3)求y 的取值范围．考点2、一次函数的图象与性质1．一次函数及图象：⑴形如（），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠0时，y 叫做x 的函数． ⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（）、（）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，；当k ＜0时，3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．【基础演练】1、函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）2、直线沿y 轴向下平移6个单位后与x 轴的交点坐标是（ ）A ． （﹣4，0）B ． （﹣1，0）C ． （0，2）D ． （2，0）3、一次函数y ＝（m －1）x ＋m 2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ． 5±B ．1±C ．－1D ．－24、直线y 1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y 2＝bx －k 不经过（）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5、已知函数y=(3m-2)x+(4－n),求字母m 、n 为何值时：（1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－2x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴上方。
考点3、一次函数与方程、不等式1．一次函数与一元一次方程的关系： 2．一次函数与二元一次方程(组)的关系： 3．一次函数与一元一次不等式的关系： 【基础演练】1、若函数的图象如图所示，则关于x 的不等式的解集为（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜5D ．x ＞51题图 2题图 3题图 4题图 2、同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的x 取值范围是（ ）A ． B ．C ．D ．3、如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足时，k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km ；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标；⑵设△BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； ⑶当t 为何值时，直线l 平分△COB 面积．考点4、一次函数的应用1．在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中，往往需要运用一次函数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不等式组等知识使问题得到解决．【基础演练】1、已知，，若规定，则y 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．22、今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？考点5、反比例函数的图象与性质1．反比例函数的定义：形如（或1y kx -=，）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征： 3．反比例函数的性质：【基础演练】1、关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 2、反比例函数y=在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣13、已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（）A．正数B．负数C．非正数D．不能确定4、如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是_________5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．（1）k的值为____ ；（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．4题图 5题图考点6、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.【基础演练】1、若一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，则相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，这个函数的解析式为2、如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是3、如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为．4、如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数的图象分别交BA，BC于点D，E.当AD:BD=1:3且BDE的面积为18时，则的值是（）A．9.6 B．12 C．14.4 D．162题图3题图4题图5题图5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．6、如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．反馈提高1、甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12、在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、、、…，则的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．3、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线上，则点A3的坐标为4、已知函数y=2x-b 与y=-x+1（1）若它们的交点在y轴上,求b的值；（2）若交点在第四象限，求b的取值范围.5、小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱,养殖A 、B 两种淡水鱼(两种鱼不能混养).计划用于养鱼的总投资不少于7万元,但不超过7.2万元,其中购置网箱等基础建设需要1.2万元,设他用x 只网箱养殖A 种淡水鱼,目前平均每只网箱养殖A 、B 两种淡水鱼所需投入及产出情况如下表:⑵哪种养殖方案获得的利润最大?⑶根据市场调查分析,当他的鱼上市时,两种鱼的价格会有所变化,A 种鱼价格上涨a%(0＜a ＜50),B 种鱼价格下降20%,考虑市场变化,哪种方案获得的利润最大?(利润=收入－支出．收入指成品鱼收益,支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)6、(重庆)已知:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限,顶点A 在x轴的正半轴上,另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限,OC ＝AC ;∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发,点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动,点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止.⑴求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范围; ⑵在等边△OAB的边上(点A 除外)存在点D ,使得△OCD 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D 的坐标;⑶如图2,现有∠MCN ＝60°,其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N,连接MN.将∠MCN 绕着C 点旋转(0°＜旋转角＜60°),使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.图1 图2。