不等式知识点总结(人教B版必修五第三章)

不等式知识点小结
1、不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做 。

2、两个实数的比较
如果b a -是正数，那么 ，如果b a -等于零，那么 ，如果b a -是负数，那么 。

反之亦对，也可以表示为⇔>b a ，⇔=b a ，⇔<b a 。

3、不等式的基本性质
性质1： 称为不等式的对称性。

性质2： 称为不等式的传递性。

性质3： 。

推论1： 称为不等式的移项法则。

推论2： （同向不等式可以相加）。

性质4： （不等式两边同乘非0数值）。

推论1： 。

推论2： 。

推论3： 。

4、均值不等式
（1）对任意两个实数b a ,，数2
b
a +叫做
b a ,的 。

数ab 叫做b a ,的 。

（2）如果+
∈R b a ,，当且仅当 时，式中等号成立。

均值定理用文字语言可表述为 。

（3）在使用均值不等式时注意满足三个条件：一 、二 、三 ，三个条件缺一不可。

5、重要不等式
对于任意实数b a ,，有2
2
b a + ab 2，则当且仅当 时，式中等号成立。

6、直线的相关知识 （1）直线方程：
点斜式：已知直线过点00(,)x y ，斜率为k ，则直线方程为 ；
斜截式：已知直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为 ； 两点式：已知直线过点1122(,),(,)x y x y （1212,x x y y ≠≠）则直线方程为 ； 截距式：已知直线在x 轴的截距为a ，在y 轴的截距为b （0,0a b ≠≠）则直线方程为
（2）已知直线的倾斜角为α，则斜率k = ；
已知直线过点1122(,),(,)A x y B x y ，则斜率k = 。

（3）已知直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，若1l ∥2l 则 ； 若12l l ⊥，则 。

已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若1l ∥2l 则 ； 若12l l ⊥，则 。

7、二次函数的相关知识
已知二次函数2
()f x ax bx c =++（0a ≠）
（1）顶点坐标为 ；对称轴方程为 ；
（2）函数()f x 与x 轴交点个数的判断方法：当 时，()f x 与x 轴有两个交点；当 时，()f x 与x 轴有一个交点；当 时，()f x 与x 轴没有交点。

（3）二次函数的单调性：
当0a >时，()f x 在 上为增函数；在 上为减函数。

当0a <时，()f x 在 上为增函数；在 上为减函数。

（4）二次函数的奇偶性：当 时，()f x 为偶函数；否则()f x 为非奇非偶函数。

（5）二次函数的最值：
当0a >时，()f x 有最小值 ；当0a <时，()f x 有最大值 。

8、一元二次不等式的定义
一般的，含有 未知数，且未知数的最高次数为 的整式不等式，叫做一元二次不等式。

10、（1）2
0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立的条件是 ； （2）2
0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立的条件是 。

11、分式不等式
()0()f x g x >⇔ ；()
0()
f x
g x ≥⇔ 。

12、二元一次不等式所表示的平面区域
（1）直线:0l Ax By C ++=把坐标平面分为两部分，每个部分叫做 ，它与
l 的并集叫做 ，以不等式解(,)x y 为坐标的所有点构成的集合叫做
或 。

（2）直线:0l Ax By C ++=把坐标平面内不在直线l 上的点分成两部分，直线l 的同一侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值具有 的符号，并且两侧的点的坐标使
Ax By C ++的值的符号 。

（3）在平面直角坐标系中作出直线0Ax By C ++=（注意实虚），在这条直线一侧任取一点00(,)P x y ，将其坐标代入Ax By C ++中求值，若000Ax By C ++>，则包含此点的半平面即为不等式 所表示的平面区域，不含P 点的半平面为不等式 所表示的平面区域。

注：当0C ≠时，常把原点(0,0)作为特殊点。

（4）若函数(,)f x y ϖ=中的变量,x y 满足不等式（方程）组
12
(,)0,(,)0,(,)0,
n f x y f x y f x y ≥⎧⎪≥⎪⎨
⎪⎪≥⎩ （*），则不等式（方程）组（*）叫做 ，(,)f x y ϖ=叫做 。

如果（*）中是关于变量的一次不等式（或等式），则称为 。

在 条件下，求 的最大值或最小值问题称为线性规划问题，使 达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的 。

满足 条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做 。

答案
一、不等关系与不等式
1、不等式
2、b a > b a = b a < 0>-b a 0=-b a 0<-b a
3、如果b a >那么a b <；如果a b <那么b a >； 如果b a >且c b >，则c a >； 如果b a >，则c b c a +>+；
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； 如果d c b a >>,，则d b c a +>+； 如果0,>>c b a ，则bc ac >；如果0,<>c b a ，则bc ac <； 如果0,0>>>>d c b a ，则bd ac >； 如果0>>b a ，则n
n
b a >（1,>∈+n N n ）； 如果0>>b a ，则n n b a >（1,>∈+n N n ）；
4、（1）算术平均值 几何平均值
（2）≥ b a = 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值 （3）正 定 相等 5、≥ b a =
6、（1）00()y y k x x -=- y k x b =+ 112121y y x x y y x x --=
-- 1x y
a b
+= （2）tan α
21
21
y y x x --
（3）12k k =且12b b ≠ 121k k ⋅=- 1221A B A B = 12120A A B B +=
7、（1）24(,)24b ac b a a -- 2b x a
=- （2）0∆> 0∆= 0∆<
（3）[,)2b a -+∞ (,]2b a -∞- (,]2b a -∞- [,)
2b
a
-+∞ （4）0b =
（5）244ac b a - 2
44a c b
a
-
（6）
8、一个 2
9
、1x
=
1,x =
122b
x x a
==- 无实数根 1{x x x <或2}x x > 1{}x x x ≠ R
12{}x x x x << ∅ ∅ 10、（1）00a >⎧⎨
∆<⎩ （2）0
0a <⎧⎨∆<⎩
11、()()0f x g x ⋅> ()()0()0f x g x g x ⋅≥
⎧⎨≠⎩
12、（1）开半平面 闭半平面 不等式表示的区域 不等式的图象
（2）相同 相反
（3）0Ax By C ++> 0A x B y C ++<
（4）约束条件 目标函数 线性约束条件 线性目标函数 线性约束 线性目标函数 目标函数 最优解 线性约束 可行域。