九年级上学期期中测试卷

2014年10月02日一初中的初中数学组卷2014年10月02日一初中的初中数学组卷一．选择题（共15小题） 1．使都有意义的实数组（x 、y 、z ）（ ） A ． 存在且有无限多组B ． 存在有限组C ． 一定不存在D ． 无法确定是否存在2．（2013•东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ． 只有1个B ． 可以有2个 C ． 有2个以上，但有限D ． 有无数个3．（2008•茂名）如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x+1=0有实根，则（ ）A ． m ＜3B ． m ≤3C ． m ＜3且m ≠2D ． m ≤3且m ≠ 25．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，△ABC 中，三边互不相等，点P 是AB 上一点，有过点P 的直线将△ABC 切出一个小三角形与△ABC 相似，这样的直线一共有（ ） A ． 5条B ． 4条C ． 3条D ． 2条7．下列变形中，正确的是（ ）A ． （2）2=2×3=6B ． =﹣2C ． =D ． =×8．（2007•开封）已知：如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）A．=B．=C．=D．=9．（2008•潍坊）已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．没有实数根10．下列运算：①；②；③；④．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（2008•资阳）已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根12．如图，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．13．（2006•聊城）如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 4条14．（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD ；②∠ADC=∠ACB ；③；④AC 2=AD •AB ．其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 415．（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题） 16．若一元二次方程（2k ﹣1）x 2﹣4x ﹣6=0无实数根，则k 的取值范围为 _________ ．17．已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt △ABC 的两条边的长，则Rt △ABC 的第三边长为 _________ ．18．如图△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm ，把△ABC 绕着它的斜边中点P 逆时针旋转90°至△DEF 的位置，DF 交BC 于点H ．（1）PH= _________ cm ．（2）△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 _________ cm 2．19．已知方程x 2﹣5x+5=0的一个根是m ，则的值为 _________ ．20．若二次三项式2x2﹣mx+3是完全平方式，则m=_________．三．解答题（共3小题）21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD=CE，式子AB•CD=AC•BD成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．22．（2006•苏州）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？2014年10月02日一初中的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．使都有意义的实数组（x、y、z）（）B．存在有限组A．存在且有无限多组C．一定不存在D．无法确定是否存在考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件可得：x≥y，y≥z，z≥x，由此可得出答案．解答：解：由题意得：x≥y，y≥z，z≥x，∴可得：x=y=z，且他们可取任意值．∴存在且有无限多组．故选A．点评：本题考查二次根式有意义的条件，难度不大，本题应注意得出x=y=z后不要误认为只有一组．2．（2013•东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个D．有无数个C．有2个以上，但有限考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得x=5；第二种是，解得x=．所以可以有2个．故选：B．点评：本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．3．（2008•茂名）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解答：解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC故选：C．点评：本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．4．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2考点：根的判别式；一元一次方程的解．分析：分两种情况进行讨论：①m﹣2=0，是一元一次方程，必有实数根；②m﹣2≠0，是一元二次方程，可得判别式△≥0，继而可得：（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1=12﹣4m≥0，解此不等式即可求得答案．解答：解：分两种情况：①如果m﹣2=0，那么方程为﹣2x+1=0，是一元一次方程，必有实数根，此时m=2；②m﹣2≠0，那么方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0是一元二次方程，那么△=（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1=12﹣4m≥0，解得：m≤3．综上可知当m≤3时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题难度不大，注意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．5．下列各式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：A、B选项的被开方数中含有能开尽方的因数或因式；D选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．解答：解：因为：A、=3，可化简；B、=|a|，可化简；D、=，可化简；所以它们都不是最简二次根式．故选C．点评：根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．6．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条考点：相似三角形的判定．分析：过点P作PD∥BC，PF∥AC，作∠APE=∠C，∠BPG=∠C；可得这样的直线一共有4条．解答：解：①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC；②作∠APE=∠C，则△APE∽△ACB；③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC；④在∠BPG=∠C，则△PBG∽△CBA．故选B．定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7．下列变形中，正确的是（ ）A ． （2）2=2×3=6B ． =﹣2C ． =D ．=×考点： 二次根式的性质与化简．分析：A 中要都平方，B 中开方的结果没有负值，C 要先根号里相加再开方．解答： 解：A 、错误，原式=22×2=4×3=12；B 、错误，原式=2；C 、错误，原式==5，D 、正确，符合积的算术平方根的性质．故选D ．点评： 本题主要考查了二次根式化简的能力．8．（2007•开封）已知：如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（）A ． =B ． =C ． =D ． =考点： 相似三角形的判定与性质．专题： 压轴题．理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，=．故选C．点评：本题主要考查了三角形相似的判定方法，有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边的比相等．9．（2008•潍坊）已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根D．没有实数根C．有一个正根一个负根考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：本题是对反比例函数的图象性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合考查，可以根据反比例函数的图象性质判断出ab的符号，从而得出解的个数，然后利用根与系数的根的符号关系．解答：解：因为反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以ab＜0，所以△=4﹣4ab＞0，所以方程有两个实数根，再根据x1x2=＜0，故方程有一个正根和一个负根．故选C．点评：本题重点考查了反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．10．下列运算：①；②；③；④．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则分别运算各式，然后与所给的结果进行对比，从而可得出正确的个数．解答：解：①2×3=18，故本项错误；，故本项正确；③2•3=6，故本项错误；④=7，故本项错误．综上可得只有②正确．故选B．点评：此题考查了二次根式的乘除法运算，难度一般，关键是掌握二次根式的乘法法则，另外在计算时要细心，避免出错．11．（2008•资阳）已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根考点：根的判别式；三角形三边关系．分析：由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．解答：解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．点评：本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．12．如图，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：压轴题；网格型．分析：根据相似三角形的判定，易得出△ABC的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．解答：解：∵小正方形的边长为1，∴在△ABC中，AB=，BC=2，，A中，一边=，一边=2，一边=，三边与△ABC 中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；B中，一边=3，一边=，一边=，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故B错误；C中，一边=1，一边=，一边=，有，即三边与△ABC 中的三边对应成比例，故两三角形相似．故C 正确；D中，一边=1，一边=，一边=，三边与△ABC 中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．13．（2006•聊城）如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：相似三角形的判定．分析：本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．解答：解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，∴△APE∽△ACB；所以共有3条．故选：C．点评：此题考查了相定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．14．（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定．分析：由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．解答：解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．15．（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．解答：解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故选项A错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故选项B正确；2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项C错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项D错误．故选B．点评：此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．二．填空题（共5小题）16．若一元二次方程（2k﹣1）x2﹣4x﹣6=0无实数根，则k的取值范围为k＜．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据已知得出2k﹣1≠0，△＜0，即可求出k的范围．解答：解：∵一元二次方程（2k﹣1）x2﹣4x﹣6=0无实数根，∴2k﹣1≠0，△＜0，∴k≠，△=（﹣4）2﹣4（2k﹣1）•（﹣6）=48k﹣8＜0，即k＜，∴k的取值范围是：k＜，故答案为：k＜．点评：本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．17．已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的第三边长为5或．考点：解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．专题：分类讨论．分析：解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．解答：解：方程x2﹣7x+12=0的两个根是3和4．也就是Rt△ABC的两条边的长是3和4．当3和4都是直角边时，第三边==5．当4为斜边时，第三边=．故第三边长是5或．故答案为：5或．点评：知道直角三角形的两边，要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论．18．如图△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．（1）PH=cm．（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm2．考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：（1）根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，又点P为斜面中点，FP=6cm，在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长；（2）把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差，并且这两个三角形都与△ABC相似，根据∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出对应边的长，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可．解答：解：设AC与DF和EF的交点分别为M，N，如下图所示：（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，点P为斜面中点，∴FD=6cm，DE=6cm，FP=6cm，根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，∴，即，解得：PH=2，FH=4；（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，∴△PNC∽△ABC得，==，即，其中CP=6，解得NP=2，NC=4．FN=FP﹣NP=6﹣2，由△FMN∽△CPN，可知=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知S四边形MNPH=S△FHP﹣S△FMN=S△CNP﹣（1﹣）S△CNP=6×××=9．△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm2．故答案为：2，9．点评：本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识，有一定难度，注意相似三角形性质的熟练运用．19．已知方程x2﹣5x+5=0的一个根是m，则的值为5．考点：一元二次方程的解；代数式求值．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入原方程求得m2+5=5m；然后将m2+5代入通分后的所求的代数式求值即可．解答：解：∵方程x2﹣5x+5=0的一个根是m，∴x=m满足该方程，∴m2﹣5m+5=0；∴m2+5=5m，∴===5．故答案是：5．点评：此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．20．若二次三项式2x2﹣mx+3是完全平方式，则m=±2．考点：完全平方式．分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．解答：解：∵2x2﹣mx+3=（x）2﹣mx+2，∴﹣mx=±2×x×，解得m=±2．故答案为：±2．点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．三．解答题（共3小题）21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD=CE，式子AB•CD=AC•BD成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．考点：相似三角形的判定与性质．分析：已知CD=CE，因此只需判断AB•CE=AC•BD是否成立即可．可根据已知条件证△ADB与△AEC是否相似，若两三角形相似，则所求的式子成立，反之则不成立．解答：解：式子AB•CD=AC•BD成立．∵CD=CE∴∠CDE=∠CED∵∠CDE+∠ADB=180°，∠CED+∠AEC=180°∴∠ADB=∠AEC∵∠BAD=∠CAE∴△ADB∽△AEC∴∴AB•CE=AC•BD∴AB•CD=AC•BD．点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．利用图形的有利条件：等角的补角相等．22．（2006•苏州）如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．考点：梯形；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）能够根据已知条件证明四边形BCDE是平行四边形，从而得到DE∥BC，即可证明相似；（2）根据相似三角形的性质求得相似比，即可求得线段的长．解答：（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点且AB=2CD，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形．∴DE∥BF．∴∠EDM=∠FBM．∵∠DME=∠BMF，∴△EDM∽△FBM．（2）解：∵△EDM∽△FBM，∴BF=DE．∵，∴DM=2BM．∵BD=DM+BM=9，∴BM=3．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及比例的性质，要证明比例问题常常把各边放入两三角形中，利用相似解决问题，证明相似的方法有：两对对应边相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似等，此外学生在做第二问时要注意借助已证的结论．23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利44﹣x元，每天可以售出20+x，所以此时商场平均每天要盈利（44﹣x）（20+5x）元，根据商场平均每天要盈利=1600元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为：y=（44﹣x）（20+5x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．解答：解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，每天可以售出（20+5x），由题意，得（44﹣x）（20+5x）=1600，即：（x﹣4）（x﹣36）=0，解，得x1=4，x2=36，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为36，所以，若商场平均每天要盈利菁优网 ©2010-2014 菁优网 16O0元，每件衬衫应降价36元；（2）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x 元，由题意，得y=（44﹣x ）（20+5x ）=﹣5（x ﹣20）2+2880，当x=20元时，该函数取得最大值2880元，点评： 此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．。