数列复习课件(人教版)2班

480 则a5 + a6 = _________
三、实战训练
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 解： B.4 C. 3 D.2
∴d = 3
2、在等差数列 an}中，前15项的和 在等差数列{ 中 项的和
为（ A ） A.6 解： B.3 C.12
S15 = 90 则 a8
D.4
15(a1+ a15 ) s15 = = 90 2
∴a 1 + a 15 = 12
∴a 8 + a 8 = 12
∴a 8 = 6
3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为 在等差数列中，已知前10项和为 项和为5 20项和为 15，则前30项和为（ C ） 15，则前30项和为 项和为（ A、20 B、 B、25 C、 C、30 D、 D、35 解；由性质3可得 s 10 由性质3 即 = a
−24
a 18 + a 19 + a 20 = 78
②
( ① + ② 得： a 1 + a 20 ) + (a 2 + a 19 ) + (a 3 + a 18 ) = 54
Qa1+ a 20 = a 2 + a19 = a 3 + a18
∴ 3(a 1 + a 20 ) = 54
G = ab
2
求和 公式
an、S n
n(a1 + an ) a1(1− qn ) a1 − anq ( 知a1，an，n) 已 q ≠1 = Sn = 2 Sn = 1− q 1− q S = na + n(n −1)d ( 知a ，d，n) na 已 1 q =1 n 1 1 2
= 3 • 2 − 3,
n
= 3 • 2 − 3,
n
当 (1) n > 1时 , 3·2 an = S n - S n - 1 = 3(2 n - 2 n - 1 )= 3·2 n - 1 ,
当 (2) n = 1时,a1 = S1 = 3,也适合上式. ·2 ∴ an = 3 2 ·
n- 1
,n ∈ N .
n
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
性质3：若n+m=p+q 则bn·bm=bp·bq,
性质４：从原数列中取出偶数项组 性质４：从原数列中取出偶数 成的新数列公差为2d.(可推广) 项，组成的新数列公比 2 为 q .(可推广) 性质５: 若{cn}是公差为d′的等差 性质５：若{dn}是公比为q′的 数 列 ， 则 数 列 {an+cn} 是 公 差 为 等比数列,则数列{bn•dn}是公比 d+d′的等差数列。 为q·q′的等比数列.
是公差为d的等差数列 { n}是公差为 的等差数列
a
{bn}是公比为 的等比数列 {bn}是公比为q的等比数列 是公比为 性质１：
性质１： an=am+(n-m)d
的三项， 则2an=an-k+an+k
bm = b n q m − n
性质2 性质２ 性质２：若an-k,an,an+k是{an}中 性质2：若bn-k,bn,bn+k是{bn} 的三项，则 b 2 =bn-k•bn+k
关系式
S n − S n −1 n ≥ 2 an = n =1 S1
适用所有数列
[等差（比）数列的判定方法] 等差（ 数列的判定方法] 1、定义法：对于数列 {a n }，若 a n +1 − a n = d (常数)， 定义法： 常数) a n +1 是等差（ 数列。 ( = q ) 则数列 {a n } 是等差（比）数列。 an 中项： 2．等差（比）中项：对于数列 {a n },若 2 an +1 = an + an + 2 等差（ ( a 2 n +1 = an ⋅ an + 2 ) 则数列 {a n } 是等差（比）数列。 是等差（ 数列。
*
练习1：已知数列 的前n项和 练习 ：已知数列{an}的前 项和 s n = n 的前 解：(1)当 当
2
+ 3 求 an
n >1 时
2
(n − 1) 2 +3 = 2n − 1 a n = s n − s n −1 = (n +3) − (2)当 n = 1 时 a1 = 1 而 s 1 = 4 当
解：由已知易的： 由已知易的：
a n +1 −a n = 2
d =2
由定义可知， 由定义可知，数列为等差数列
∴a n = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1
【题型3】由 a n与 S n的关系求通项公式 题型3
： 和 列 公 已知数 {an } 的前n项 公式Sn，求数 通项 式的步骤 列
（1）当n>1时，an = Sn − Sn−1 （2）当n=1时，a1 = S1 （3）如果当n=1时，an = Sn − Sn−1与a的值相等， 1 那么数列{an}的通项公式为an = Sn − Sn−1
证明： 因为数列 {an} 是等差数列数列 证明： 设数列{ 设数列{an} 的公差为d（d为常数）即an+1 - an=d 的公差为d 为常数） 又因为bn= 3an + 4 ,
bn+1= 3an+1 + 4
所以bn+1 – bn = （3an+1 + 4）-（3an + 4） 4） = 3（an+1- an）=3d 3（ 所以数列 { bn }是等差数列
那么 Sk ，
S 2k − S k
，
S 3k − S 2 k
成公差为
q
k
的等差数列.。 的等差数列 。
【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用 题型4 等差（ 例5：已知等差数列 n} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ， ：已知等差数列{a 求a 1+ a 12 及S12 解：由等差数列性质易知： 由等差数列性质易知：
所以上面的通式不适合 n = 1 时 4 ( n = 1) 所以： 所以： a n = 2n − 1 (n ≥ 2)
练习2 练习2：已知数列 { a n } 中，a 1 = －2 且 a n + 1 = sn， (1) 求通项公式。 求通项公式。
a n = －2 n
[等差（比）数列的性质] 等差（ 数列的性质]
12(22 + 0) = 132 2 (3)an = log 2bn = 24 − 2n， bn = 224−2n， ∴ S11 = S12 =
24−2( n+1)
∴
bn+1 2 1 = 24−2n = , 数列{bn} 是等比数列 ∴ bn 2 4
1 练习：等差数列{a 中 已知a 练习：等差数列 n}中，已知 1= ，a 2 + a 5 =4 3
.(1)设公差为d,则 a3 = a1 + 2d = 18 a = 22 得 1 , ∴ an = 22 + (n − 1)d = −2n + 24 d = −2 a7 = a1 + 6d = 10
(2)由an = 24 − 2n ≥ 0得n ≤ 12， 前12项和与前11项和最大，值为 ∴
a2 + a11 = a3 + a10 = a1+ a12
∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a1+ a12）=36 （ ∴ a1+ a12 =18， S =108 ，
12
练习1：等差数列 练习 ：等差数列{an}中, a1 + a2 + a3 = −24, a18 + a19 + a20 = 78 中 则此数列前20项的和等于 项的和等于（ 则此数列前 项的和等于（ B ） A.160 B.180 C.200 ① D.220
性质6 性质6
*
等差数列， 是其前n项的和 项的和， 若数列 {a n }是等差数列，S n 是其前 项的和，k ∈ N *
那么 Sk ，
S 2k − S k
，
S 3k − S 2 k
成公差为
k d
2
的等差数列.。 的等差数列 。 * 等比数列， 是其前n项的和 项的和， 若数列 {a n }是等比数列，S n 是其前 项的和，k ∈ N *
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 15
a 2 + a 4 + a 6 + a8 + a10 = 30
(1)
(2)
(2) − (1) : (a2 −a1) + (a4 −a3 ) + (a6 −a5 ) + (a8 −a7 ) + (a10−a9 ) = 15
∴ 5d = 15
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一【知识回顾】 知识回顾】
等差数列
定义 通项 通项推广 中项 an +1 − an = d
an = a1 + (n − 1)d
等比数列
an +1 / an = q
an = a1q n −1
an = am + ( n − m) d
A = ( a + b) 2
an = am q n − m