复变函数第1讲x

设 z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , 则
加、减： z 1
± z 2 = ( x1 ± x 2 ) + i ( y1 ± y 2 );
乘 法： z1 z 2 = ( x1 x 2 y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y1 ); 注:
z z = ( x + iy )( x iy ) = x 2 + y 2 .
由此得 : z 2 + z1 ≤ z 2 + z1 z 2 z1 ≥ z 2 z1 (三角不等式 ) z1
z2
(z)
o
a rg z = -a rg z .
14
x
还容易看出
z = z ,
2、 复数的三角表示 、 根据
y
x = r cos θ y = r sin θ
r
O
z = x + iy
θ
x
y
x
∴ 复数 z = x + iy 可用平面上坐标为 ( x ， y )的 点 P 表示 .
基于这样一种原因， 基于这样一种原因，我们把此时的坐标平 面称为复平面. 面称为复平面. 复平面 11
y
y Pz=x+iy
θ
Qz = x + iy 点 ( x， ) OP, P y OP ∴可用向量 表示z = x + iy .
可以得到
z = r(cosθ + i sinθ ).
上式称为复数的三角表示 三角表示. 上式称为复数的三角表示 3、 复数的指数表示 、 由欧拉公式 e iθ = cos θ + i sin θ 可以得到复数的指数表示式: 可以得到复数的指数表示式
z = re .
iθ
15
4. 复球面 球面上的点, 球面上的点 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用 球面上的点来表示复数. 球面上的点来表示复数 N 用来表示复 数的这个球面称 复球面. 为复球面 全体复数与 复球面-{N}成一 复球面 成一 一对应关系. 一对应关系
z 练习题 1 . 已知 = a + ib , a , b ∈ R , z
则
a +b = ?
2 2
22
练习题 2. 若 | a b |=| 1 ab |, 则 (1 | a |)(1 | b |) = ?
本讲小结： 本讲小结：
1、复数的各种表示法 2、复数的四则运算、共轭运算 复数的四则运算、
3） (3 + i ) z + ( i ）
3) z = 4 i ，
4） 写出直线的复数形式方程 ） 写出直线的复数形式方程. 的关键是知道复数模的几何意义， 解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义， 、 的关键是知道复数模的几何意义 所以， ）表示圆周， 所以，1）表示圆周， 2）表示直线. ）表示直线
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 x1 y2 除法： +i 除法： z = = 2 2 2 2 z2 x 2 + y2 x 2 + y2
( z2 ≠ 0).
9
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、 容易证明 复数的运算满足分配律、交换律、 复数的运算满足分配律 结合律. 结合律 另外，还经常用到以下性质： 另外，还经常用到以下性质：
5
序 言
复变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、 十九世纪，复变函数的理论经过 、 Riemann 和 Weierstrass的巨大努力，已经形成 的巨大努力， 的巨大努力 了非常系统的理论， 了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科 的许多分支. 的许多分支. 复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着 广泛的应用. 比如， 广泛的应用 比如，在复变函数理论最先得到成功 应用的流体力学 电磁学、平面弹性力学这三个领 流体力学、 应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领 域中， 域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的 几种经典方法之一. 几种经典方法之一
2
序 言
预备知识 、参考书 主要用到高等数学的相关知识. 主要用到高等数学的相关知识. 1. 2. 3. 4. 西安交通大学 南京工学院 祝同江 钟玉泉 复变函数 积分变换 积分变换 复变函数论
学习进度、 学习进度、建议
3
序 言
复数的引入及其发展过程： 复数的引入及其发展过程： 16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时， 16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时， 世纪中叶 Cardan在解代数方程时 首先产生了负数开平方的思想. 例如， 首先产生了负数开平方的思想. 例如，解简单的方程 x2+1=0 时就会遇到－1开平方的问题。 时就会遇到－ 开平方的问题。 为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系， 为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系， 于是就引进了虚数 使实数域扩大到复数域. 虚数， 于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.
绝对值； 称向量的长度为复数 z=x+iy 的模或绝对值； 为始边, 以正实轴 为始边 以 向量 为终边的角的 OP 度数 称为复数 z=x+iy 的辐角 (z≠0).
12
O
x
x
模 :
| z | = | OP | = r =
x2 + y2 , (z ≠ 0) .
辐角 :
θ = Arg z
记作
称为辐角Argz的主值， 把其中满足 π < θ0 ≤ π 的θ0 称为辐角 的主值， 记作θ 记作 0=argz.
的共轭复数， 共轭 x iy 为 x + iy 的共轭复数，记为
z.
两个复数相等， 注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； 两个复数相等 是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数. 两个复数之间无法比较大小，除非都是实数 两个复数之间无法比较大小
8
2、复数的四则运算
1. 2.
微积分的发展； 微积分的发展； 复数与平面向量联系起来解决实际问题. 复数与平面向量联系起来解决实际问题.
关于复数理论最系统的叙述， 关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧 拉作出的. 他在1777年系统地建立了复数理论，发 年系统地建立了复数理论， 拉作出的 他在 年系统地建立了复数理论 现了复指数函数和三角函数间的关系， 现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变 函数论的积分理论等. 函数论的积分理论等
17
这样，球面上的每一个点， 这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与 它对应，这样的球面称为复球面 复球面. 它对应，这样的球面称为复球面. 把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平 把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复 面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复 平面，或就称复平面. 平面，或就称复平面.
对于∞来说 实 虚部与辐角的概念无意义， 对于 来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为 来说 ｜∞｜＝＋ ∞，对于其它复数 z ,则有 ｜z｜< + ∞. ｜＝＋ ， 则有
18
下列方程各表示什么曲线？ 例1. 下列方程各表示什么曲线？ 1） ） 2） ）
z + i = 2，
z 2i = z + 2i ，
，代入直线方程
z+z zz x= , y= 2 2i
，得
ax + by + c = 0
因而直线的方程为
a bi a + bi z+ z + c = 0. 2 2
为实数. α z + α z + β = 0，其中 β 为实数.
20
例 2 . 令 z1 = 5 5 i , z 2 = 3 + 4 i , 求 z1 z1 z1 ,( ) 及 Im ( ). z2 z2 z2
x
16
P(z)
z O S
z
y
扩充复平面的定义 规定: 规定: 北极N与一个 模为无穷大的假想 模为无穷大的假想 的点对应. 的点对应. 这个假想的点称 为“复数无穷远 点” 记作 ∞.
x O
N
P(z)
z S
z
y
就是复数∞的几何表示. 因而球面上的北极 N 就是复数∞的几何表示 后称为扩充复平面，记作C 复平面加上 ∞后称为扩充复平面，记作C∞
然而， 然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论 莱布尼兹和贝努利的一个悖论. 例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.
4
序 言
复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不 虚数. 可接受的虚数 直到十七和十八世纪， 可接受的虚数 直到十七和十八世纪，有两个主要原 因促使了这种状况的改变： 因促使了这种状况的改变：
23
y 显然 z ≠ 0时， Argz ) = . tan( x
Arg z=θ=θ0+2kπ， k为整数 为整数. 为整数
13
复数向量表示的重要意义： 复数向量表示的重要意义： 能够将代数问题化为几何问题， 能够将代数问题化为几何问题，从而使问题 变得直观, 由此立即得到下面不等式： 变得直观 由此立即得到下面不等式： y
19
化为实方程， 3）化为实方程，为此代入 z = x + iy ，得
3 x + ix + 3iy y + ix 3 x + y + 3iy = 4i
化简， 化简，得 4）关键：由 关键： 得 表示一条直线. 2 x + 6 y = 4 ，表示一条直线.