【人教A版】高中数学必修二：2.2.4平面与平面平行的性质学案设计 新人教A版必修2
人教A版数学必修二2.2.4 平面与平面平行的性质 教学设计(2课时)
第二章点、线、平面之间的位置关系2.2.4 平面与平面平行的性质（2课时）主备教师李劲东一、内容及其解析本节课要学的内容包括平面与平面平行的性质，其核心内容是性质定理，理解它关键是“交线”。
学生已经学过平面与平面平行的判定及线面平行的性质，本节课的内容平面与平面平行的性质就是在其基础上的逆向思维和发展。
教学重点是三个平面两交线，解决重点的关键是弄清已知和结论。
学生能自己举出实际模型，多加以抽象运用。
.二、目标及其解析1、目标定位理解和运用平面与平面平行的性质定理2、目标解析平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
三、问题诊断分析在本节课的平面与平面平行的性质教学中，学生可能遇到的问题是在复杂的图形中找到应用定理的条件。
产生这一问题的原因是运用的灵活性不够。
要解决这一问题，就要多自主我练习。
其中关键是证明或运用时能说出依据。
四、教学支持条件分析在本节课的平面与平面平行的性质教学中，准备使用多媒体。
因为使用多媒体有利于学生更直观的理解和运用定理。
五、教学过程设计复习回顾1. 两个平面的有那几种位置关系？2. 面面平行的判定方法：（1）定义法：若两平面无公共点，则两平面平行.（2）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.问题一、如果两个平面平行能得到什么结论？设计意图：理解平面与平面平行的性质定理。
问题1：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的直线具有什么位置关系？师生活动：教师提问，学生回答：通过分析可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行。
问题2：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？师生活动：教师引导，学生回答：要么异面，要么平行，因为它们都无公共点。
问题3：如图，在平面AC 内那些直线与''D B 平行呢？找到它们关系并证明。
人教A版数学必修二2.2.4 平面与平面平行的性质 教学设计
《2.2.4 平面与平面平行的性质》教学设计一、教学内容分析：本节教材选自人教A版数学必修二第二章2.2.4，本节内容在立体几何学习中具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学直线与平面平行的判定及性质、平面与平面平行的判定，结合有关的实物模型，通过直观感知、推理证明出平面与平面平行的性质定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，对以后的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达、逻辑推理及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，借助实物模型，通过直观感知，推理证明，归纳出平面与平面平行的性质定理，让学生在观察分析、自主探究、合作交流的过程中，揭示平面与平面平行的性质定理，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探究、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标：通过直观感知，推理证明，理解并掌握平面与平面平行的性质定理，掌握平面与平面平行、相交的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述性质定理。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的效率。
五、教学重点与难点：重点是性质定理的引入与理解，难点是性质定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计：（一）知识准备，引入提问：两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们利用长方体模型共同探讨这个问题.问题1如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？生答有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.问题2 如果两个平面平行，除了上述性质，两个平面内的直线还有别的性质吗？【设计意图：通过提问，学生复习面面平行的判定定理，引入本节课课题。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 2.2.4平面与平面平行的性质
2．2.4 平面与平面平行的性质1．理解并能证明两个平面平行的性质定理．2．能利用性质定理解决有关的平行问题．文字如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线____ 语言图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b______作用证明两条直线____平面与平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么它们没有公共点；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(实质上是直线与平面平行的判定定理)．【做一做】如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC.求证：AD＝BC.答案：平行a∥b平行【做一做】证明：∵AD∥BC，∴AD与BC确定一个平面γ.∵α∥β，α∩γ＝AB，β∩γ＝DC，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC.1．理解面面平行的性质定理剖析：(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知该定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2．记忆口诀剖析：有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线．已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．题型一：证明直线与直线平行【例1】 如图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点，直线PAB ，PCD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D.求证：AC ∥BD.反思：证明线线平行的方法(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行． (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．(4)面面平行的性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b a ∥b ，应用时题目条件中需有面面平行，如本题．(5)反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而证明两条直线应当是平行的． 题型二：证明直线和平面平行【例2】 如图，正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，点E 在AB ′上，点F 在BD 上，且B ′E ＝B F .求证：E F ∥平面BB ′C ′C.反思：证明线面平行的方法主要有三种：(1)应用线面平行的定义；(2)应用线面平行的判定定理，如本题证法一；(3)应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”如本题证法二．应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．答案：【例1】 证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . 【例2】证明：证法一：连接AF 并延长交BC 于点M ，连接B ′M .如图所示．∵AD ∥BC ， ∴△AFD ∽△MFB . ∴AF MF ＝DF BF. 又∵BD ＝B ′A ，B ′E ＝BF ， ∴DF ＝AE ，∴AF FM ＝AEEB ′，∴EF ∥B ′M .又EF平面BB ′C ′C ，B ′M平面BB ′C ′C ，∴EF ∥平面BB ′C ′C .证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连接HE .如图所示． ∵AD ∥BC ，∴FH ∥BC . 又FH平面BB ′C ′C ，BC平面BB ′C ′C ，∴FH ∥平面BB ′C ′C . 由FH ∥AD ，可得BF BD ＝BHBA，又BF ＝B ′E ，BD ＝AB ′，∴B ′E B ′A ＝BHBA .∴EH ∥B ′B . 又EH平面BB ′C ′C ，B ′B平面BB ′C ′C ，∴EH ∥平面BB ′C ′C .又EH ∩FH ＝H ， ∴平面FHE ∥平面BB ′C ′C . 又∵EF平面FHE ，∴EF ∥平面BB ′C ′C .1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m ，n ，则m ，n 的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．平行或异面 2．九棱柱的两底面为α和β，且A ∈α，B ∈α，C ∈β，D ∈β，且AD ∥BC ，则AB 与CD 的位置关系是__________．3．如图所示，两条异面直线AB ，CD 与三个平行平面α，β，γ分别相交于A ，E ，B 及C ，F ，D ，又AD ，BC 与平面β的交点为H ，G.求证：四边形EH F G 为平行四边形．4．已知a ，b 是异面直线，求证：过a 平行于b 的平面必平行于过b 平行于a 的平面． 5．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABE F 不在同一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 的中点，求证：PQ ∥平面CBE.答案：1．C 2.平行3．证明：∵平面ABC∩平面α＝AC，平面ABC∩平面β＝EG，α∥β，∴AC∥EG.同理可证AC∥HF.∴EG∥HF.同理可证EH∥FG.∴四边形EHFG为平行四边形．4. 证明：如图，在直线a上取一点A，过b和点A作平面γ，使γ∩α＝c，则A∈c.∵b∥α，bγ，γ∩α＝c，∴b∥c.∵a，b是异面直线，∴a∩c＝A.∵a∥β，A∈a，∴Aβ，∴cβ.∵b∥c，bβ，cβ，∴c∥β.又∵a∥β，a∩c＝A，a，cα，∴α∥β.5．证明：证法一：如图(1)所示，连接AC，则Q∈AC，且Q是AC的中点，又∵P是AE的中点，∴PQ∥EC.又∵PQ平面CBE，EC平面CBE，∴PQ∥平面CBE.(1) (2) 证法二：如图(2)所示，取AB的中点G，连接PG和GQ.∵P是AE的中点，∴PG∥EB.又PG平面CBE，EB平面CBE，∴PG∥平面CBE.同理可证GQ∥平面CBE.又PG∩GQ＝G，PG平面PGQ，GQ平面PGQ，∴平面PGQ∥平面CBE.又∵PQ平面PGQ，PQ平面CBE，∴PQ∥平面CBE.。
高中数学必修二2.2.4面面平行的性质学案学案新人教A版必修2
通过讨论猜想并证明得到： 平面与平面平行性质定理 ： _________________________________________________________ _____________________ 用符号语言表示性质定理：
∥ ＝a， ＝ b
二、典型例题 例 1． 求证 : 夹在两个平行平面间的平行线段相等 . 已知： // ， AB∥ CD ， A , D , B ,C ， 求证： AB CD 。
2.2.4 面面平行的性质学案
【回顾·预习】 1、线面平行与面面平行的判定定理以及线面平行的性质定理是什么？ 2、阅 读教材第 66— 67 页内容，然后回答问题 （1）利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直 线具有什么位置关系？ （2）请同学们回忆线面平行的性质定理，然后结合模型探究面面平行的性质定理； （ 3）用三种语言描述平面与平面平行的性质定理； （4）应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？ 【自主·合作·探究】 1、结论： <1>结合长方体模型，可知： _________________________ 2> 直 线 与 平 面 平 行 的 性 质 定 理 用 文 字 语 言 表 示 为 ： ____________________________________________________________________________ <3> 文字语言： _ _____________________________________________ ；
【当堂达标】 (1) 习 题 2.2A 组 1 、 2 (2) 、已知平面 α ∥平面 β 直线 a∥ α ，a β ，求证： a∥ β 【反思·提升】
高中数学 2.2.4 平面与平面平行的性质(第1课时)教案 新人教A版必修2-新人教A版高中必修2数
2.2.4平面与平面平行的性质〔第1课时〕设计者：田许龙解析：∵BC ∥平面B ′A ′C ′，BC ∥B ′C ′， ∴平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′， 那么EF ∥BC ，所以过EF 、BC 所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B 项例 2. 如图，αβγ∥∥，直线a 与b 分别交α，β，γ于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，求证：AB DE BCEF=．解析：连结AF ，交β于G ，连结BG ，EG ，那么由βγ∥得AB AG BCGF=．由αβ∥得AG DEGF EF =，从而AB DE BC EF=． 并运用平面几何知识即可证明. 请同学们认真体会. 看多媒体〔出示课件2-2〕巩固提高学生先独立思考完成导学案，之后小组交流老师参与其中指导个别组和学生。
然后教师出示《课件2-3》，学生与课件内容对比，订正自己思路和步骤.题目：如以下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是①③①②接下来，考验大家的时候到了，请同学们独立思考完成题目，之后学习小组互相交流，看自己能否得到准确答案.这个题目有一定难度，要认真思考.分析:要证明直线与直线平行，由条件直线与平面平行，可以得到直线与直线平行，进而再运用直线与平面平行的性质得到题目的结论.需要提醒同学们的一点是：立体几何使用定理时，必须要把定理的条件全部摆上才能使用.好，请同学们看多媒体〔《课件2-3》内容〕：③④解析：对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP；对于③，MP//AB,故AB//面MNP, 对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.课堂练习：学生看书本61页练习题，学生独立思考解决，后同桌交流，提问学生并师生一起得出准确答案.大家看课本61页复习题的练习题，独立思考后把答案写在书上，一会儿找几个同学分别说出答案.很好！三、总结〔归纳总结课堂检测〕(4分钟)总结、布置作业学习总结：提醒学生对本节课所学内容进行总结.1.对学生出现的问题进行点拨；2.强调本节课的重难点.(1)、平面与平面平行的性质定理在使用时要注意第三个平面与这两个平行平面同时相交，这一条件容易被忽略；(2)、平面与平面平行的性质定理中是一个平面与两个平行平面都相交，不是三个平面两两相交；(3)、线面平行的性质定理和面面平行的性质定理充分表达了等价转化思想，即把线面平同学们，这节课我们共同学习了：平面与平面平行的性质定理，大家要注意面面平行的性质是第三个平面与这两个平行平面同时相交，交线才平行，不是三个平面两两相交，交线平行；大家思考一下如果是三个平面两两相交，交线什么关系呢？结合平面的性质我们可以推证交线重合或平行；另外做一些判断正误题目时可以考虑使用教室中的实物进行判断.好，看多媒体〔出示《课件3》〕，和你的总结一样吗！。
2.2.4 平面与平面平行的性质 学案(人教A版必修2)
2．2.4 平面与平面平行的性质【课标要求】1．了解平面与平面平行的性质定理的推证过程． 2．理解平面与平面平行的性质定理及含义．3．运用面面平行的性质定理，证明一些空间平行关系的 简单命题． 【核心扫描】1．运用面面平行的性质定理证明线线平行．(重点)2．能解决平行综合问题，提高解决平行问题的转化能力．(难点)新知导学(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂α⇒a ∥β(可用来证明线面平行)．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等(反过来不成立)．(3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ(用于证面面平行)．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．互动探究探究点1 若平面α∥平面β，则α内的直线与β内的直线有什么关系？ 提示 平行或异面．探究点2 若平面γ与三个平行平面α、β、б中的两个平面α、β相交，则γ与б相交吗？三条交线有什么关系．提示 γ与б也相交，三条交线共面且相互平行.类型一 利用面面平行证线线平行【例1】 如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′所确定的平面α外且在平面α的同一侧，AA ′、BB ′、CC ′、DD ′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．[思路探索]先证出平面A′D∥平面B′C，用性质定理得出AD∥BC.同理可得AB∥CD.证明∵AA′∥BB′∥CC′∥DD′，BB′⊄平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，∴BB′∥平面AA′D′D.∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴B′C′∥A′D′.∵B′C′⊄平面AA′D′D，A′D′⊂平面AA′D′D，∴B′C′∥平面AA′D′D.又∵BB′∩B′C′＝B′，BB′⊂平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，平面BB′C′C∩平面ABCD＝BC，∴AD∥BC.同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．[规律方法](1)除前面学过的证线线平行的方法，如利用平面图形(平行四边形、三角形中位线)公理4、线面平行的性质等，面面平行的性质定理也是证线线平行的常用方法．(2)当出现面面平行条件或已证出面面平行时，要有意识地运用面面平行的性质．【活学活用1】如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．证明取D1D的中点G，连接EG，GC.∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG綉AD.由正方体性质知AD綉BC，∴EG綉BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB綉GC.又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G綉FC，∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D1F綉GC，∴EB綉D1F，∴四边形BED1F是平面四边形，类型二由面面平行证线面平行【例2】 如图，在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 、F 分别在AB 1、BD 上且B 1E ＝BF ，求证：EF ∥平面BB 1C 1C .[思路探索] (1)综合相似三角形性质及比例线段得线线平行，利用线面平行判定定理得线面平行．(2)利用平行线分线段成比例定理，综合线面平行关系，先证出经过EF 的面与平面B 1C 平行，进而得出线面平行．证明 法一 连接AF 并延长交BC 于H ，连接B 1H . ∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△HFB ， ∴AF FH ＝DFFB，又BD ＝AB 1， BF ＝B 1E ，∴DF ＝AE ， ∴AF FH ＝AE EB 1，∴EF ∥B 1H .又B 1H ⊂平面BB 1C 1C . EF ⊄平面BB 1C 1C ， ∴EF ∥平面BB 1C 1C .法二 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接ME ，则BF FD ＝BMMA.∵BD ＝AB 1，BF ＝B 1E ， ∴B 1E EA ＝BF FD ，∴BM MA ＝B 1E EA ，∴ME ∥BB 1， ∵ME ⊄平面BB 1C 1C ， BB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴ME ∥平面BB 1C 1C .由MF ∥AD ，AD ∥BC ，知MF ∥BC .而MF ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴MF ∥平面BB 1C 1C . ∵MF ∩ME ＝M .∴平面MEF ∥平面BB 1C 1C .∵EF ⊂平面MEF ，∴EF ∥平面BB 1C 1C . [规律方法] 证线面平行的常用方法： (1)应用线面平行的定义(结合反证法)；(2)应用线面平行的判定定理(关键在面内找到平行线)； (3)应用面面平行的性质定理(关键作出经过线的平行平面)．【活学活用2】 如图所示，两条异面直线BA 、DC 与两平行平面α、β分别交于B 、A和D 、C ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．求证：MN ∥平面α.证明 如图，过A 作AE ∥CD 交α于E ，取AE 的中点P ， 连接MP 、PN 、BE 、ED .∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定平面AEDC .则平面AEDC ∩α＝DE ，平面AEDC ∩β＝AC ， ∵α∥β，∴AC ∥DE .又P 、N 分别为AE 、CD 的中点， ∴PN ∥DE .PN ⊄α，DE ⊂α， ∴PN ∥α.又M 、P 分别为AB 、AE 的中点， ∴MP ∥BE ，且MP ⊄α，BE ⊂α， ∴MP ∥α，∴平面MPN ∥α. 又MN ⊂平面MPN ，∴MN ∥α. 类型三 平行平面截线段问题【例3】 如图所示，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若P A ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，△ACF 的面积为72.求△BDE 的面积．[思路探索] 利用面面平行的性质定理，分别化为同一平面内的比例问题求解． 解 ∵平面QAF ∩α＝AF ，平面QAF ∩β＝BE ，又α∥β， ∴AF ∥BE .同理，AC ∥BD .∴∠F AC 与∠EBD 相等或互补， 即sin ∠F AC ＝sin ∠EBD . 由F A ∥BE ，得BE ∶AF ＝QB ∶QA ＝12∶24＝1∶2.∴BE ＝12AF .由BD ∥AC ，得AC ∶BD ＝P A ∶PB ＝9∶21＝3∶7.∴BD ＝73AC .又∵△ACF 的面积为72，即12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝72， ∴S △DBE ＝12BE ·BD ·sin ∠EBD＝12·12AF ·73AC ·sin ∠F AC ＝76·12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝76×72＝84. ∴△BDE 的面积为84.[规律方法] (1)三个平行平面截两条直线所截，截得的对应线段成比例． (2)如果被截的两直线不能确定共面需分共面、异面两种情况讨论解决．【活学活用3】 如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知P A ＝4，AB ＝5，PC ＝3，求PD 的长．(1)证明 ∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD .(2)解 由(1)得AC ∥BD ， ∴P A AB ＝PC CD ，∴45＝3CD ，∴CD ＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274. 易错辨析 因忽略被截两线是否共面所致的 错误【示例】 平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AEEB＝CFFD.求证：EF ∥β.[错解一] ∵α∥β，且平面ABDC ∩α＝AC ，平面ABDC ∩β＝BD ，∴AC ∥BD ， ∴ABDC 是梯形或平行四边形． 由AE EB ＝CFFD，得EF ∥BD . 又BD ⊂β，EF ⊄β，∴EF ∥β.[错解二] 作AH ∥CD 交β于点H ，连接BH 、DH ，则四边形AHDC 是平行四边形，作FG ∥DH 交AH 于点G ，连接EG ，于是CF FD ＝AGGH.∵AE EB ＝CF FD ，∴AE EB ＝AGGH，于是EG ∥BH . 又BH ⊂β，EG ⊄β，∴EG ∥β.又FG ∥DH ，DH ⊂β，而FG ⊄β， ∴FG ∥β.又EG ∩FG ＝G ，∴平面EFG ∥β.而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥β.[错因分析]二种解法都不全面各忽略了另一类情况，都未考虑AB、CD是否共面．[正解](1)当AB，CD共面时(如错解一放此)．(2)当AB，CD异面时(如错解二放此)．[防范措施]关于被两平行平面截两条直线问题，必须根据条件审清两条直线是否共面．课堂达标1．已知a ，b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )． A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b解析 由面面平行的性质定理知D 正确． 答案 D2．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )． A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行C ．存在无数多条直线与a 平行D ．存在唯一一条直线与a 平行解析 设点B 与a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ，∴a ∥b . 答案 D 3．(2012·济南高一检测)过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________．解析 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以P A PB ＝ACBD，又P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.答案 124．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________ .解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′， S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 答案 4255．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．课堂小结1．两个平面平行具有如下的一些性质：(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行； (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交； (4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．2．线线平行⇔线面平行⇔面面平行，要注意这里平行关系的互相转化．。
2020-2021学年人教A版高中数学必修2学案：2.2.4平面与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质学习目标核心素养1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理并加以证明．(重点)2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(重点)3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点)通过学习平面与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言[提示]不一定．它们可能异面．1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]3．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．②[由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]平面与平面平行性质定理的应用[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示]必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？[提示]联系如下：【例1】如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且P A＝6，AC＝9，PD ＝8，求BD的长．[解] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ， 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P AAC ＝PB BD ，即69 ＝8－BD BD .所以BD ＝245.1．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．[解] 与本例同理，可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ，即63 ＝BD －88 ， 所以BD ＝24.2. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25 ，则AC ＝________．15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52 ×6＝15.]3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G . 求证：AB BC ＝EF FG .[证明]连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG. 因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：平行关系的综合应用【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)公理4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．[跟进训练]如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]3．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H. 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.[证明]如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，所以MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，MK，NK⊂平面MNK，所以平面MNK∥平面ADD1A1.因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
数学：2.2.4《平面与平面平行的性质》学案(人教a版必修2)
课题: 2.2.4 平面与平面平行的性质授课类型：新授课Ⅰ、『学习目标定位』●学习目标知识与技能：（1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
过程与方法：（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想；（3）进一步体会类比的作用。
情感态度与价值观：通过证明问题，树立创新意识。
●学习重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。
●学习难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。
Ⅱ、『学习内容体系』（一）温故知新1. 两个平面的位置关系？_________________________________________________________________2. 面面平行的判定方法：（1）定义法：____________________________________________________（2）判定定理：____________________________________________________________.（二）创设情景两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？_______________________________________________________________用语言表述就是：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行与另一个平面。
用式子可表示为：________________________________________________________________两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？_________________________________________________________________（三）探求新知如图，设//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，我们研究两条交线的位置关系。
________________________________________________证明：结论：两个平面平行的性质定理：_________________________________________________________________________________用符号表示为：__________________________________________________________(四)例题解析【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例2】求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.（五）归纳整理βαE N M D B C A。
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.4平面与平面平行的性质》
平面与平面平行的性质教学设计（高中数学必修2第二章第2节第4小节）一、教学目标[知识与技能目标]（1）通过实例，了解平面与平面平行的特点；（2）理解平面与平面平行的性质；（3）会用平面与平面平行的性质解决实际问题[过程与方法目标]通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，启发引导，充分发挥学生的主体作用，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力[情感与态度目标]（1）平面与平面间的位置关系的判定与证明的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论的辨证思想二、教学重点与难点重点：理解平面与平面平行的性质难点：平面与平面平行的性质定理的证明、利用直线与平面平行的性质解决实际问题三、教学方法，教学模式，教学手段本节课采用以引导发现为主的教学方法，以启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。
四、教学过程两条交线有什么关系？为什么？推理论证构建概念总结提升三、得证定理、总结提升（1）证明定理、如图，已知平面α、β、γ满足ba==γβγαβα,,//，求证： aba==γβγα,βα⊂⊂ba,βα//baba//,,//⇒==γβγαβαββααβα∈∈∈∈DBCACDAB,,,,//,//βα//βα、cba，，γβα，，bcb////,b//aα⇒①bb////,//aαββ⇒②βαβα////,//c⇒c③βαβγγα////,//⇒④αα////,//acca⇒⑤ααγγ////,//aa⇒⑥图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BC∥CF,求证：AE ∥平面DCF本例是关于几何证明的一道应用题，以前的常规证明思路是：五、评价分析及反思1、评价教学目标的完成情况本节课创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让平面与平面平行的性质定理自然地引出，抓住了学生们的直观感知，通过师生推理证明得到了面面平行的性质定理，旨在进一步培养并发展学生的空间想象能力及辩证思维。
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.4 平面与平面平行的性质》
§2.2.4平面与平面平行的性质鹤壁市高中 刘慧芳【教学目标】1、知识与技能 掌握两个平面平行的性质定理及其应用2、过程与方法 学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
【重点难点】1.教学重点：理解平面与平面平行的性质2.教学难点：利用平面与平面平行的性质解决实际问题.【教学过程】（一）创设情景，引入课题复习旧知：1、平面与平面平行的定义：两个平面平行----没有公共点2、平面与平面平行的判定定理：文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 符号语言：。
该定理告诉我们：“线面平行，则面面平行”.3、平面与平面平行的判定定理推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.该推论告诉我们：“线线平行，则面面平行”.引入新知：引入：如果已知两个平面平行，我们会得到哪些结论呢？βαααββ////,//,,,⇒=⊂⊂b a P b a b a问题1：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线与另一平面有什么关系？结论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面即该结论告诉我们“面面平行，则线面平行”.问题2：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？平行或异面问题3：长方体中，平面ABCD 内哪些直线会与直线平行？怎么样找到这些直线？与共面即可（二）探究新知探究：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，交线具有什么位置关系？并证明.例1、如图，已知平面α、β、γ满足，求证：a // b 。
证明：因为，所以，又因为，所以a ，b 没有公共点，又因为a ，b 同在平面γ内，所以a // b 。
b a ==γβγαβα ,,//b a ==γβγα ,βα⊂⊂b a ,βα//αβαβα//,//l l ⇒⊂β归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
湖南省蓝山二中高中数学2.2.4 平面与平面平行的性质教案 新人教a版必修2
蓝山二中高一数学《2.2.4 平面与平面平行的性质》教案 新人教A 版必修2教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.教学重点：掌握面面平行的性质定理.教学难点：掌握平行之间的转化.教学过程：一、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？二、讲授新课：1. 教学面面平行性质定理：① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
③ 用符号语言表示性质定理：}a b αβαγβγ⇒∥＝，＝a ∥b④ 讨论性质定理的证明思路.⑤ 出示例2：求证：夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =.→ 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三个相交平面2. 教学例题：① 出示例3：已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．讨论：如何将符号语言转化为图形语言？→ 如何作辅助平面？ → 师生共同完成② 练习：若//αβ，//βγ，求证：//αγ．（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）在平面α内取两条相交直线,a b ，分别过,a b 作平面,ϕδ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''，∵//αβ，∴//,//a a b b ''，又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''，使得//,//a a b b ''''''，∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ⊂⇒）；转化思想.三、巩固练习：1、 已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．2、教材P61面的练习。
高中数学 2.2.3平面与平面平行的性质教案 新人教A版必修2
第三课时平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能掌握两个平面平行的性质定理及其应用2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点重点：平面与平面平等的性质定理难点：平面与平面平等的运用三、教学方法α证明：因为r，=r b所以aα⊂，b⊂如，，且，B∈β，D∈.证明：如图，AB∥CD，，AC为相交直线确定的平面与α、β的交1．平面和平面平行的性质例1 如图，设平面a ∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β．求证：MN ∥α .【证明】连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ， 则MN ∥AC ，∴ME ∥平面α， 又NE ∥BD ，∴NE ∥β，又ME ∩NE = E ，∴平面MEN ∥平面α， ∵MN ⊂平面MEN ．∴MN ∥α．【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．例2 ABCD 是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别为A ′、B ′、C ′、D ′，直线A ′B ′与C ′D ′不重合，求证：A ′B ′C ′D ′是平行四边形．【证明】如图．∵A ′、B ′、C ′、D ′分别是A 、B 、C 、D 在平面α内的射影． ∴BB ′⊥α，CC ′⊥α， ∴BB ′∥CC ′．∵CC ′ 平面CC ′D ′D ，BB ′ 平面CC ′D ′D ， ∴BB ′∥平面CC ′D ′D . 又∵ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，CD 平面CC ′D ′D ，∴AB ∥平面CC ′D ′D∵AB ，BB ′是平面ABB ′A ′ 内的两条相交直线， ∴平面ABB ′A ′∥平面CC ′D ′D ．又α∩平面ABB ′A ′=A ′B ′，α∩平面CC ′D ′D = C ′D ′，∴A ′B ′∥C ′D ′． 同理，B ′C ′∥A ′D ′，∴A ′B ′C ′D ′是平行四边形．≠ ⊂≠ ⊂ ≠ ⊂【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平等问题的证明，紧紧抓住“线线平行 线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．。
新人教A版必修2高中数学学案教案： 2.2.4 平面与平面平行的性质
数学 2.2.4 平面与平面平行的性质教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，渗透等价转化的思想。
二、教学重点：平面与平面平行的性质定理的理解。
难点：面面平行性质定理的证明及正确应用。
三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程（一）创设情景，揭示课题复习：两个平面平行的判定定理：βαααββ////,//,,,⇒=⊂⊂b a P b a b a I 。
相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。
2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面） 问题3：长方体中，平面ABCD 内哪些直线会与直线D B ''平行？怎么样找到这些直线？（平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可）（二）研探新知例1、如图，已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//，求证：a // b 。
证明：因为b a ==γβγαI I ,，所以βα⊂⊂b a ,，又因为βα//，所以a ，b 没有公共点，又因为a ，b 同在平面γ内，所以a //b 。
归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：b a b a //,,//⇒==γβγαβαI I 。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1：判断下列命题是否正确。
（1）如果a ，b 是两条直线，且a // b ，那么a 平行于经过b 的任何平面。
高中数学 2.2.4平面与平面平行的性质学案 新人教A版必修2 学案
某某师X 大学附属第二中学高中数学 平面与平面平行的性质学案 新人教A 版必修2[学习要求]1．掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2．知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系可以相互转化．[学法指导]通过观察与类比，借助实物模型得到平面与平面平行的性质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提高空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等价转化的思想.1．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，．(1)符号表示为：⇒a ∥b.(2)性质定理的作用：利用性质定理可证，也可用来作空间中的平行线．2．面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于，即 ⎭⎪⎬⎪⎫ ⇒a ∥β. (2)夹在两个平行平面间的平行线段；(3)平行于同一平面的两个平面.[问题情境]两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们共同探讨这个问题．探究点一 平面与平面平行的性质问题1 如何判断平面和平面平行？问题2 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？问题3 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？问题4 在长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面AC内哪些直线与B′D′平行呢？如何找到它们？问题5 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？问题6 如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是？探究点二平面与平面平行的性质定理的应用例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．已知如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.求证AB＝CD.例1 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，例2 且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.[达标检测]1．下列说法正确的是( )A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l 与A1C1的位置关系是________．[小结]1．两个平面平行具有如下的一些性质：(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行；(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交；(4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．2．线线平行⇔线面平行⇔面面平行，要注意这里平行关系的互相转化．2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．不确定2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3.如图，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25 B．4∶25C ．2∶5 D．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.A ．④⑥ B．②③⑥C．②③⑤⑥ D．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”)(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8.如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12.如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2.求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．跟踪训练1 证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．跟踪训练2 如图，正方体ABCD —A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E 、F ， 且B1E ＝C1F.求证：EF ∥平面ABCD.。
新人教版A版必修二第二章2.2.4 平面与平面平行的性质学案
主编：彭振宁审核：高一数学备课组时间：本单元第7节
学习目标：
1.了解平面与平面平行的性质定理的探究以及证明过程.
2.理解平面与平面平行的性质定理的含义并能应用.
3.能够综合应用平面与平面平行的判定和性质进行面面平行的相互转化.
第二次备课
学习Байду номын сангаас骤：
一、预学案：不学不讲（知识记忆与理解）
（1）如果 是两条直线，且 ，那么 平行于经过 的任何平面（）
（2）如果直线 和平面 满足 ，那么 与 的任何直线平行（）
（3）如果直线 和平面 满足 ， ，那么 （）
（4）如果直线 和平面 满足 ， ， ，那么 （）
例2求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
三、固学案：不练不讲（技能应用与拓展）
五、评价案：不评不结（学习评价与结论）
本堂课学习效果自我评价：A□B□C□
课后作业：
基础训练高中必修2 P30－P31
老师评价：A□B□C□
教后记：
1、过正方体 的顶点 ， ，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与 的位置关系是____.
2、已知 是不重合的直线， 是不重合的平面，有下列命题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ， ，则 。
其 中真命题的个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
四、思学案：不思不复（课堂小结与复习）
(2)符号语言
（3）作用：面面平行 _____________.
问题4面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等.
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1.通过图形探究平面与平面平行的性质定理.
2.熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用.
3.进一步培养学生的空间想象能力及逻辑思维能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
观察长方体ABCD-A'B'C'D'知,面ABCD与面A'B'C'D'互相平行,那么在,面ABCD内直线l与在面A'B'C'D'内的直线m是怎样的位置关系呢?
(设计意图:借助长方体这一载体,让学生主动探究平面与平面平行的性质.)
二、信息交流,揭示规律
①讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?两个平面内的直线有什么位置关系?当第三个平面和两个平行平面都相交,两条交线有什么关系?为什么?
②提出性质定理:两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
③用符号语言表示性质定理:⇒
④讨论性质定理的证明思路.
已知平面α,β,γ满足α∥β,α∩β=a,β∩γ=b,求证:a∥b
【例1】如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个平面也相交.
讨论:如何将文字语言转化为图形语言和符号语言?
→如何作辅助平面?→师生共同完成
【例2】求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言:
已知:α∥β,AB,CD是夹在两个平行平面α,β间的平行线段,求证:AB=CD.
→分析:利用什么定理?(面面平行性质定理)关键是如何得到第三个相交平面
三、运用规律,解决问题
若α∥β,β∥γ,求证:α∥γ.
四、变式演练,深化提高
1.两条直线被三个平行平面所截,得到四条线段.求证:这四条线段对应成比例.(课本第63页B组第2题)
证明:(略)
五、反思小结,观点提炼
(经过学生短暂梳理,小组发言,教师总结)
六、作业精选,巩固提高
课本P63,习题2.2B组第3,4题.
参考答案
一、l,m平行或异面
二、证明:因为
α∩β=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂β.
又∵α∥β,∴a,b
没有公共点,又a,b在同一平面γ内,所以,a∥b.
【例1】略
【例2】略
三、证明:在平面α内取两条相交直线a,b,
分别过a,b作平面φ,δ,使它们分别与平面β交于两相交直线a',b'
∵α∥β,∴a∥a',b∥b',
又∵β∥γ,同理在平面γ内存在两相交直线a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,
∴a∥a″,b∥b″,∴a∥γ.
五、如何区分,熟记面面平行的判定定理与性质定理是一个小难点,要在理解的基础上以口诀”若线线平行,则面面平行;若面面平行,则线线平行.”帮助记忆.
六、课本P63,习题2.2B组第3,4题.。