双曲线的渐近线和共轭双曲线
高中数学双曲线的渐近线和共轭双曲线
y
几何意义
B2
c2 b2 a2
A1
c bA2
0a
x
B1
8
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
o
x
9
2、等轴双曲线
方程
x2 y2 ( 0)
a,b,c的关系
离心率 渐近线
ab 2 c 2
e 2
y x
y
y x
o
x
10
问题2：求下列双曲线的渐近线：
b
20
(1)双曲线
x2 y2 a2 b2 1
的共轭双曲线方程
y2 x2 b2 a2 1
即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。
(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (3)双曲线和它的共
轭双曲线的四个焦点共圆.
14
y x
焦点在x轴上
焦点在y轴上
方程
实轴、虚轴
离心率
渐近线
e>1
2b2/a
3
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
y
O
x
O
x
22567.rar
4
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时， 双曲线与直线逐渐靠拢。
方案1：考查点到直线的距离 MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离 MN
(由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可)
过焦点垂直于实轴的弦
2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
过焦点垂直于实轴的弦 2b22/a
双曲线渐近线公式
双曲线渐近线公式双曲线是一个非常重要的数学概念，在数学和物理中都有广泛的应用。
一个双曲线可以由以下的方程来描述：x² / a² - y² / b² = 1其中，a和b是正实数，x和y是双曲线上的点的坐标。
在这个方程中，我们可以看到两个平方项，一个是x的平方，一个是y的平方，它们之间的正负号不同，使得双曲线的形状呈现出两条分离的曲线。
双曲线有两条渐近线，一条是x轴的渐近线，另一条是y轴的渐近线。
这两条渐近线可以使用以下的公式来计算：x = ±a y = ±b其中，a和b是在方程中所定义的参数。
这两条渐近线与双曲线的交点分别是双曲线的左右两个端点和上下两个端点。
在数学中，渐近线是指一条曲线在无穷远处与一个直线趋于平行。
如果一个曲线有一个或多个渐近线，那么这些渐近线可以用来描述曲线在无限远处的表现。
双曲线的渐近线可以通过以下几个步骤来计算：1. 将双曲线方程中的y变量消去，得到一个只包含x的方程。
x² / a² - (x² / a² - 1) * b² / y² = 12. 取x趋近于正无穷或负无穷，得到x的极限值。
当x趋近于正无穷时，上式变为：x² / a² - (x² / a²) * b² / y² = 1x² / a² = 1x = ±a当x趋近于负无穷时，上式变为：x² / a² - (-x² / a²) * b² / y² = 1-x² / a² = 1x = ±a3. 将得到的极限值代入原方程，求出双曲线的渐近线方程。
当x = a时，y² / b² = 0，因此y趋近于0。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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双曲线的渐近线和共轭双曲线
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
过焦点垂直于实轴的弦 2b2/a
标准方程
椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
几何 图形
范围 对称性 顶点
a,b,c的含义
离心率e定义 通径、通径长
y B2
A1
A2
F1 0 F2
x
B1
|x |≤a 、|y |≤ b
a
a
MN Y y b (x x2 a2 )
Y
a
b (x x2 a2 )(x x2 a2 )
a
ab
x x2 a2
O
x x2 a2
N (x,Y) Q
M （x,y)
X
MQ 是点M到直线y b 的距离，且 MQ MN 。当x逐渐增大时， a
推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为： Ax±By=0
结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：Ax±By=0，
去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线 方程为：A 2x 2-B 2y 2=λ（λ≠0） 其中λ为待定的系数，再 根据题目中的一个条件，求出λ，方程得到求解。若λ>0, 则双曲线焦点在x轴上，若 λ<0，则双曲线焦点在y轴上。
近线方程为 y 4 x ，求此双曲线的离心率。
3
例3、求与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线且一个
9 16
焦点为（0，10）的双曲线的标准方程。
例4、求中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为2 3， 且两条渐近线相交所成的角（含双曲线部分） 为600的双曲线方程。
已知渐近线求双曲线方程
已知渐近线求双曲线方程
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的直观几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈r.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点a1(-a,0),a2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)距心率e>1，随着e的减小，双曲线张口逐渐显得宽广.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程 x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 则表示的双曲线共轭，存有共同的渐近线和成正比的焦距，但须要著重方程的表达形式.。
双曲线的渐近线和共轭双曲线课件
渐近线的存在使得双曲线在某些 方向上看起来更接近于直线。
渐近线的求法
确定双曲线的焦点位置
确定渐近线的方程
首先需要确定双曲线的焦点位置，这 可以通过给定的双曲线方程或已知条 件来确定。
利用已知的渐近线斜率和焦点位置， 可以确定渐近线的方程。
计算渐近线的斜率
根据双曲线的焦点位置和原点之间的 连线斜率，可以计算出渐近线的斜率 。
方程。
根据给定双曲线的焦距，求出 与给定双曲线共轭的双曲线方
程。
03
双曲线与渐近线、共轭双曲线的 联系
双曲线与渐近线的关系
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的形状和位置密切相关。
渐近线的斜率与双曲线的实轴和虚轴 的斜率相等。
当双曲线上的点逐渐接近渐近线时， 该点与渐近线的距离会无限接近于零 。
双曲线与共轭双曲线的关系源自共轭双曲线是与原双曲线具有相 同渐近线但不同顶点和焦点的双
曲线。
共轭双曲线的性质与原双曲线相 似，但在几何形状上可能有所不
同。
共轭双曲线的实轴和虚轴的长度 相等，且与原双曲线的实轴和虚
轴成直角。
双曲线、渐近线、共轭双曲线在实际问题中的应用
在物理学中，双曲线、渐近线和共轭双曲线可以用于描述波动、光学和力学等现象 。
双曲线的渐近线和共轭双曲 线课件
• 双曲线的渐近线 • 共轭双曲线 • 双曲线与渐近线、共轭双曲线的联
系 • 双曲线的几何意义 • 习题与解答
01
双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线上的一个重要概 念，它描述了双曲线在无穷远处
趋于直线的趋势。
渐近线是双曲线与直线之间的“ 桥梁”，它反映了双曲线的形状
渐近线的性质
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线作为数学中的重要曲线之一，具有广泛的应用领域。
本文将对双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、双曲线的基本概念和标准方程在数学中，双曲线是由于两个焦点的特殊点之间的距离差等于一常数而定义的曲线。
其标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1 (1)其中，a和b分别为双曲线的半轴长度。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴以及原点具有对称性。
2. 渐近线：双曲线的渐近线分为两类，即斜渐近线和水平/垂直渐近线。
斜渐近线的斜率为±(b / a)，水平渐近线为y = ±(b / a)，垂直渐近线为x = ±(a / b)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e = √(1 + (b² / a²))。
4. 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线，焦点到双曲线上任意一点的距离差等于双曲线的半焦距。
5. 直径和短轴：双曲线的直径为两个焦点之间的距离，短轴为双曲线的两个半焦距之和。
除了标准双曲线外，双曲线还有一些常见的变形形式，如：1. 椭圆形式：当双曲线的焦点在y轴上，准线在x轴上时，其方程可表示为：(y² / b²) - (x² / a²) = 1 (2)2. 倾斜形式：当双曲线的焦点不在x轴或y轴上时，其方程可表示为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (3)其中，(h, k)为双曲线中心的坐标。
四、双曲线的重要公式在应用中，我们常常需要根据已知条件求解双曲线的相关参数。
以下是一些重要的计算公式：1. 长轴长度：2a = |焦点之间的距离|2. 短轴长度：2b = |2半焦距之和|3. 离心率：e = √(1 + (b² / a²))4. 焦点坐标：(±ae, 0)5. 垂直渐近线方程：x = ±(a / e)6. 水平渐近线方程：y = ±(b / e)双曲线在数学中具有广泛的应用，尤其在科学、工程和实际问题的建模和分析中发挥着重要作用。
双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上），或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零，即得渐近线方程。
扩展资料
焦点坐标、渐近线方程
方程x/a-y/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
渐近线方程：y=±bx/a
方程 y/a-x/b=1(a＞0,b＞0)
c＝a＋b
焦点坐标（0,c）,(0,-c)
渐近线方程：y=±ax/b
几何性质
1.双曲线 x/a-y/b =1的简单几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的'对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c=a+b.与椭圆不同.
(4)渐近线：双曲线特有的性质
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
或令双曲线标准方程x/a-y/b=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2
(7)共轭双曲线：方程x/a-y/b=1与x/a-y/b=-1 表示的双曲线共
轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.。
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
关于双曲线知识点总结
关于双曲线知识点总结双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
下面是，请参考！双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距两准线的距离;通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的`左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点“长加短减”原则：构成满足与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。
共轭双曲线
（2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。
一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率 ，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点 到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
共扼双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．
共轭双曲线有共同的渐近线；
共轭双曲线的四个焦点共圆．
例过双Байду номын сангаас线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一顶点．
方程： 与 互为共轭双曲线
双曲线与椭圆有哪些不同？
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线：而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。
双曲线方程
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
双曲线渐近线知识点公式大全
双曲线渐近线知识点公式大全双曲线是一种常见的二次曲线，它们与直线的交点和渐近线是双曲线的重要性质。
在本文中，我们将详细介绍双曲线的渐近线性质，并给出一些重要的公式和定理。
1.双曲线的定义和标准方程：双曲线的定义是平面上满足下列方程的点的集合：x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b是正实数。
2.双曲线的渐近线定义：双曲线有两条渐近线，分别是水平渐近线和垂直渐近线。
水平渐近线是y=b和y=-b，垂直渐近线是x=a和x=-a。
3.渐近线的斜率：水平渐近线的斜率为0，垂直渐近线不存在斜率。
4.渐近线的方程：水平渐近线的方程是y=b和y=-b，垂直渐近线的方程是x=a和x=-a。
5.渐近线与曲线的交点：双曲线与渐近线有两个交点，在这些点上曲线趋近于渐近线。
6.渐近线与曲线的性质：曲线离渐近线的距离趋近于零，并且在渐近线上方和下方的曲线部分趋近于无穷大。
7.渐近线的推导：若双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是正实数，则当x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于±b/a，即y=b/a和y=-b/a，得到了水平渐近线y=b/a和y=-b/a。
同理可推得垂直渐近线x=a和x=-a。
8.渐近线的性质证明：我们可以使用函数的极限定义来证明渐近线的性质，具体过程是将函数表示为极限的形式，然后用极限的性质验证曲线与渐近线的关系。
9.双曲线的渐近线与离心率的关系：双曲线的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为焦点到顶点的距离。
可以证明，双曲线的渐近线与离心率的关系为y=±(b/a)x，其中b为双曲线的焦半径。
10.双曲线的渐近线与斜率的关系：双曲线的渐近线的斜率与离心率的关系为±b/a。
11.渐近线与曲线的图像：双曲线的图像中，渐近线通常表示为虚线，曲线则表示为实线。
12.双曲线与渐近线的应用：双曲线的渐近线在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
高中双曲线知识点总结
三一文库（）/总结〔高中双曲线知识点总结〕进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。
复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩!▲双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)▲长加短减原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计第1页共3页算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确23。
渐近线相同的双曲线
一，渐近线相同两个双曲线可以写成k b
y a x =-22
22，这两个双曲线也叫共轭双曲线 当0>k ，它是焦点在x 轴的双曲线
当0<k ，它是焦点在y 轴的双曲线
他们的渐近线方程均为x a
b y ±
=
二，由此还可得到：焦点在x 轴与焦点在y 轴上的双曲线渐近线可能相同也可能不相同 ①12222=-b y a x 它的渐近线方程为x a
b y ±= ②12222=-b x a y 它的渐近线方程为x b
a y ±= 此时是不相同的 ③12222=-
b y a x 它的渐近线方程为x a
b y ±= ④12222=-a x b y 它的渐近线方程为x a
b y ±= 此时是相同的（即共轭双曲线）
其中①③焦点在x 轴，②④焦点在y 轴。
即可根据x,y 前面系数的正负判断焦点所在位置
三，如何设渐近线相同的双曲线方程
1.已知双曲线方程为122
22=-b
y a x ， 则与其渐近线相同的双曲线方程且焦点在y 轴上可设为k b
y a x =-22
22（0<k ） 理解：渐近线相同的双曲线当他们向两边延伸到无穷远时，即等号右侧近似为0时可以发现其方程就是他们的渐近线。
相同的两个双曲线方程他们的左侧形式是完全一样的，只是右侧常数不同。
所以渐近线等号右边的常数同样也可以换到左边去，相当于双曲线进行放缩。
2.同样他们的离心率并不一定相同，有且在k=-1时，离心率才相同。
三类常见的双曲线系及其应用
题型分类解析一、与已知双曲线共渐近线的双曲线系与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0) (*) 或写成b 2x 2－a 2y 2＝k(k ≠0).证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ2222b y a x -=1, 22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =λλa b ±x =x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同.（2）当λ<0时，方程(*)可变形为λλ2222a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0..表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =λλ--±a b x =x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同.由（1）（2）可知，原命题成立.例1 求与双曲线x 25－y24＝1有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程．解：设所求双曲线为x 25－y24＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，a 2＝5λ，b 2＝4λ，c 2＝9λ，则6λ＝12，解得λ＝4．此时所求双曲线方程为x 220－y216＝1.当λ＜0时，a 2＝－4λ，b 2＝－5λ，c 2＝－9λ，则6－λ＝12， 解得λ＝－4．此时所求双曲线方程为y 216－x220＝1.例 2.求与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程.解：设所求双曲线方程为16922y x -=λ(λ≠0).将A 点坐标代入，得λ=41，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44922y x -=1 二、以定直线为渐近线的双曲线系以已知直线A x ±B y ＝0为渐近线的双曲线系方程为(Ax ＋By)(A x －B y )＝λ(λ≠0)，即A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0) 例3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±bax (a >0,b >0)，若双曲线上有一点M (x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（）A.当a >b 时在x 轴上B.当a <b 时在y 轴上C.在x 轴上D.在y 轴上 解：由双曲线的渐近线方程为y=±bax ，即b x ±a y =0, 可知双曲线的方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0）.∵点M (x 0,y 0)在双曲线上，∴λ= b 2x 02-a 2y 02>0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选 C.例4．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x +2y =0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________.解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x -2y =0.因此，所求双曲线方程可表示为(3x +2y )(3x -2y ) =λ，即2249y x -=λ(λ≠0).将P 点坐标代入，得λ=144，故所求双曲线方程为2249y x -=144，即361622y x -=1. 例 5.以椭圆224y x +=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y =0的双曲线方程是_____.解：由166422y x +=1，得c 2=48，设所求双曲线方程为223y x -=λ(λ≠0)，即322λλy x -=1.由已知知λ=c 2=48，故所求双曲线方程为164822y x -=1. 例 6.以双曲线224y x -=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x +3y =0的双曲线方程是_________.解： 由166422y x -=1，得c 2=80. 设所求双曲线方程为223y x -=λ(λ≠0)，即322λλy x -=1.由已知，得λ+3λ=80，∴λ=60,故所求双曲线方程为206022y x -=1. 三、与已知双曲线共焦点的双曲线系与已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同焦点的双曲线系方程x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2＜λ＜b 2).例7求与双曲线y239－x225＝1有共同焦点，且过点(27，62)的双曲线方程.分析：根据已知双曲线方程设出所求方程，然后代入已知点求得参数，进而求得双曲线方程.解：设所示双曲线方程为y239＋λ－x225－λ＝1(－39＜λ＜25)，则将点(62，27)代入上述方程，得(62)239＋λ－(27)225－λ＝1，解得λ＝－3或89(舍去)，故所求双曲线方程为y236－x228＝1.点评：根据已知方程求双曲线的方程时，一定注意双曲线系方程中的参数范围，否则会造成多解.。
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x2 y2 = 1 的共轭双曲线的顶点和焦点坐 1,求双曲线 求双曲线 9 4
标及渐近线和准线方程. 标及渐近线和准线方程. 2,求与椭圆 ,
x2 y2 有共同的焦点,且与椭圆相交, + = 1 有共同的焦点,且与椭圆相交 27 36
一个交点的纵坐标为4的双曲线方程. 一个交点的纵坐标为 的双曲线方程. 的双曲线方程
椭圆
标准方程
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0) =1(a>0,
X=-a
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y B2
A1 F1 0 A2
y
B2
几何 图形 范围 对称性 顶点
X=a
F2
B1
x
F1
A
1
0
A2 F 2
B1
x
|x |≤a ,|y |≤ b
中心对称, 中心对称,轴对称 A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) (0-
y
B2
A1
O
B1
2
2
b A2 a
x
解释说明: 解释说明: (1)渐近线是双曲线特有的几何性质,它决定着双曲线 (1)渐近线是双曲线特有的几何性质, 渐近线是双曲线特有的几何性质 开口的开阔程度. 开口的开阔程度. (2)两条渐近线的交点是双曲线的中心. (2)两条渐近线的交点是双曲线的中心. 两条渐近线的交点是双曲线的中心 (3)以四条直线x=± 和y=± 或 ± 和 ± ) (3)以四条直线x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a)围成 以四条直线x= 的矩形的对角线所在直线就是渐近线. 的矩形的对角线所在直线就是渐近线. (4)两条渐近线相交所成的角叫夹角(含双曲线的部 两条渐近线相交所成的角叫夹角( 两条渐近线相交所成的角叫夹角 y ):2种求解方式 种求解方式. 分): 种求解方式.
x
共轭双曲线的焦点共圆
x2 y2 证明:(1)设已知双曲线的方程是: :(1)设已知双曲线的方程是 证明:(1)设已知双曲线的方程是 2 2 = 1 a b 渐近线为: 渐近线为: x ± y = 0
a
b
y2 x2 则它的共轭双曲线方程是: 则它的共轭双曲线方程是: 2 = 1 2 b a
渐近线为: 渐近线为:
x b A2 a
A1 O B1
2,对称性: 2,对称性: 关于x轴 y轴 原点对称. 关于x轴,y轴,原点对称. 3,顶点: 1(0,-a),A2(0,a) ,顶点: A
x y 5,渐近线方程: ,渐近线方程: ± = 0 c a b
6,离心率: e = ,离心率: 7,通径: 2b ,通径:
有相同的焦点坐标. 有相同的焦点坐标.
小
结
焦点在x 焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: = 1 (a > 0, b > 0 ) 2 2 a b
双曲线性质: 双曲线性质: 1,范围: x≥a或x≤-a , 或
2,对称性: ,对称性: 关于x轴,y轴,原点对称. 关于 轴 轴 原点对称. 3,顶点: 1(-a,0), 2(a,0) ,顶点: A ),A , ), , ) 4,轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 ,
MQ
方案2 方案2:考查同横坐标的两点间的距离
MN
y
N Q M B2
设M ( x, y)是它上面的点, b 2 2 则y = x a ( x > a) a b N ( x,Y )是直线y = x a 上与有相同横坐标的点, b 则Y = x a
A1
O
b A2 a
B1
x
x2 y 2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
A2
F2
x
B1 o A1 B2 x
F2
x ≥ a 或 x ≤ -a 中心对称,轴对称 中心对称, A1(-a,0 ) , A2(a,0)
y ≥ a 或 y ≤ -a 中心对称,轴对称 中心对称, A1(0,-a ) , A2(0,a) (0,-
a (实半轴长) c(半焦距) a(实半轴长) c(半焦距长) 实半轴长) 半焦距) 实半轴长) 半焦距长) b (虚半轴长) a2=c2-b2 虚半轴长) b(虚半轴长) a2=c2-b2 虚半轴长) 焦距与实轴长的比 e=c/a e>1 过焦点垂直于实轴的弦 2b2/a 焦距与实轴长的比 e=c/a e>1 过焦点垂直于实轴的弦 2b2/a
4 y=± x 3
,且实轴长为6,求此双曲线的 且实轴长为6
标准方程. 标准方程. 变式:已知中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的渐 变式:已知中心在原点,
4 近线方程为 y = ± x 3
求此双曲线的离心率. ,求此双曲线的离心率.
例3,求与双曲线
x2 y2 = 1 有共同渐近线且一个 9 16
焦点为( 10)的双曲线的标准方程. 焦点为(0,10)的双曲线的标准方程.
B2
c2 = b2 + a2
x
几何意义
A1
c bA 2 0 a
B1
问题1: 问题 :根据方程画出下列双曲线的图形
x y (1) x y = 1( 2 ) x y = 1( 3) = 1 9 4
2 2
2
2
y
o
x
2,等轴双曲线 ,
方 程
a,b,c的关系
y
x 2 y 2 = λ (λ ≠ 0)
结论1:把双曲线方程中的常数项 改为 改为0, 结论 :把双曲线方程中的常数项1改为 ,就得到了 它的渐近线方程. 它的渐近线方程. 推广到一般:双曲线 的渐近线方程为: 推广到一般:双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为: 的渐近线方程为 Ax±By=0
2
2
结论2:如果已知双曲线的渐近线方程为: 结论 :如果已知双曲线的渐近线方程为:Ax±By=0, , 去求双曲线方程, 去求双曲线方程,我们可以采用待定系数法设出双曲线 方程为: 为待定的系数, 方程为:A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0) 其中 为待定的系数,再 ( ) 其中λ为待定的系数 根据题目中的一个条件,求出λ,方程得到求解.若λ>0, 方程得到求解. 根据题目中的一个条件,求出 方程得到求解 则双曲线焦点在x轴上 轴上, 轴上. 则双曲线焦点在 轴上,若 λ<0,则双曲线焦点在 轴上. ,则双曲线焦点在y轴上
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线 (2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F((2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(
x y x ± = 0 可化为: 可化为: b a a
y ± = 0 b
它的共轭双曲线的焦点为F (0,它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),
x ≥a 或 x ≤ -a
中心对称, 中心对称,轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
a,b,c的含义 a,b,c的含义
离心率e 离心率e定义 通径,通径长 通径,
a2=b2+c2
0<e<1 2b2/a
c2=a2+b2
e>1 2b2/a
问题1: 问题 :根据方程画出下列双曲线的图形
x y (1) x y = 1( 2 ) x y = 1( 3) = 1 9 4
x2 y 2 x2 y 2 结论3:双曲线 结论 双曲线 2 =1 与 2 = λ ( λ ≠ 0) 有 2 m n m2 n
共同的渐近线. 共同的渐近线.
****求双曲线的渐近线方程的方法:定义法和方程法. 求双曲线的渐近线方程的方法:定义法和方程法. 求双曲线的渐近线方程的方法
求下列双曲线的方程: 求下列双曲线的方程: 已知中心在原点, 例2,已知中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的渐近 线方程为
x2 + y2 = a2 + b2 =c2上. 所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 所以四个焦点F
∵ c = a2 +b2 c′ = a2 +b2 ∴c=c'
有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗? 问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗? 有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗
a = b = 2 2 c
x
离心率 渐近线
e =
2
y = ± x
y
o
x
问题2:求下列双曲线的渐近线: 问题 :求下列双曲线的渐近线:
y x (1) 4 x y = 4 ( 2 ) = 1 9 16
2 2
2
2
x y 2 解: ) = 1 y = ± x y = ±2 x (1 1 4 1 3 ( 2) y = ± x 4
b 2 b 2 ∵y= x a < x =Y a a b ∴ MN = Y y = ( x x 2 a 2 ) a b ( x x 2 a 2 )( x + x 2 a 2 ) = 2 2 a x+ x a ab = x + x2 a2
N (x,Y) Y Q M MQ 是点M到直线y = 的距离,且 MQ < MN .当x逐渐增大时, a MN 逐渐减小,x无限增大, 接近于0, 也接近于0,但不等于0 MN MQ b 同理,由双曲线的对称性知:双曲线与直线y= ± x无限接近,但永远 a 也不能相交.
y
x
焦点在x轴上 焦点在 轴上
方 程
实轴,虚轴 实轴,
焦点在y轴上 焦点在 轴上
x a
2 2
y2 = 1 2 b
1 e
y
2 1
x a
1 e
2 2
2 2
y2 = 1 2 b