近世代数课件--群的概念
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近世代数课件-2-2_群的定义
（2）运算 o适合结合律；（3）运算 o适合消去律.
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数12群的概念
(1)“ ”适合结合律; (2)存在 e G ,使得
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
2020/6/
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
数学与计算科学学院
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
近世代数--群的概念
(a b ) c a b c (a b) c a (b c) a b c a (b c ),
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
《近世代数13子群》PPT课件
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2021/1/22
4
精选课件ppt
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
2021/1/22
11
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
2021/1/22
7
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
2021/1/22
9
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
2021/1/22
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§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
2021/1/22
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
2021/1/22
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
近世代数课件全21 群的定义.ppt
aa1 eaa1 a'a1 aa1 a' a1a a1 a'ea1 a'a1 e
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
2019/12/12
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
2019/12/12
（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
2019/12/12
定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
第3节 群的定义及性质
4/28
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数 运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群. I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即 a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a； IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左 5/28 逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
近世 代数
群的性质：幂运算规则
性质6 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (2) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (3) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
17/28
近世 代数
元素的阶
定义6 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小 正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在(Z6, )中， [2]和[4]是3阶元， [3]是2阶元， [1]和[5]是6阶元， [0]是1阶元. 在(Z, +)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
e a b c a e c b b c e a c b a e
近ห้องสมุดไป่ตู้ 代数
群的性质：例题
例3 设群G=(P({a,b}), )，其中为对称差.
解下列群方程
{a}X=， Y{a, b}={b}. 解: X={a}1={a}={a}， Y={b}{a, b}1={b}{a, b}={a}
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数 运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群. I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即 a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a； IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左 5/28 逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
近世 代数
群的性质：幂运算规则
性质6 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (2) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (3) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
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近世 代数
元素的阶
定义6 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小 正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在(Z6, )中， [2]和[4]是3阶元， [3]是2阶元， [1]和[5]是6阶元， [0]是1阶元. 在(Z, +)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
e a b c a e c b b c e a c b a e
近ห้องสมุดไป่ตู้ 代数
群的性质：例题
例3 设群G=(P({a,b}), )，其中为对称差.
解下列群方程
{a}X=， Y{a, b}={b}. 解: X={a}1={a}={a}， Y={b}{a, b}1={b}{a, b}={a}
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数--群的概念
1 1 2 2 s s
1 = m∏ 1 − . pi t =1
s
* 例10 具体写出 Z 5 中任意两个个元素的乘积以
及每一个元素的逆元素．易知 Z = {1 , 2. 3, 4}.
* 5
直接计算，可得 表1.2.1
1⋅1 = 1 2 ⋅1 = 2 3 ⋅1 = 3 4 ⋅1 = 4
{
}
U 的阶等于 (2) 由初等数论可知（参见[1]）， ( m)
φ ( m) 这里 φ (m) 是欧拉函数．如果
r m = p1r1 p22 L psrs ,
其中 p1 , p2 ,L, ps 为的 m 不同素因子，那么
r r φ (m) = ( p1r − p1r −1 )( p2 − p2 −1 )( psr − psr −1 )
所以1是U ( m) 的单位元．
(4) 对任意的 a ∈ U ( m), ，有( a, m) = 1 ， 由整数的性质可知，存在 u , v ∈ Z ，使au + mv = 1, 显然(u , m) = 1, 所以 u ∈ U ( m) ，且
a ⋅ u = au = au + mv = 1 , (因m | mv） u ⋅ a = ua = au = 1，
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法 加法，把运算的 加法 结果叫做和，同时称这样的群为加群 和 加群．相应地, 将 加群 不是加群的群称为乘群 乘群，并把乘群的运算叫做乘法 乘法， 乘群 乘法 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 积 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
1 = m∏ 1 − . pi t =1
s
* 例10 具体写出 Z 5 中任意两个个元素的乘积以
及每一个元素的逆元素．易知 Z = {1 , 2. 3, 4}.
* 5
直接计算，可得 表1.2.1
1⋅1 = 1 2 ⋅1 = 2 3 ⋅1 = 3 4 ⋅1 = 4
{
}
U 的阶等于 (2) 由初等数论可知（参见[1]）， ( m)
φ ( m) 这里 φ (m) 是欧拉函数．如果
r m = p1r1 p22 L psrs ,
其中 p1 , p2 ,L, ps 为的 m 不同素因子，那么
r r φ (m) = ( p1r − p1r −1 )( p2 − p2 −1 )( psr − psr −1 )
所以1是U ( m) 的单位元．
(4) 对任意的 a ∈ U ( m), ，有( a, m) = 1 ， 由整数的性质可知，存在 u , v ∈ Z ，使au + mv = 1, 显然(u , m) = 1, 所以 u ∈ U ( m) ，且
a ⋅ u = au = au + mv = 1 , (因m | mv） u ⋅ a = ua = au = 1，
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法 加法，把运算的 加法 结果叫做和，同时称这样的群为加群 和 加群．相应地, 将 加群 不是加群的群称为乘群 乘群，并把乘群的运算叫做乘法 乘法， 乘群 乘法 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 积 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
近世代数讲义之第2章 群x
−1 −1
� a = a −1 + a − 2 ， a −1 = 4 − a .
至此，根据群的定义知道， Z 关于运算 � 确构成一个群. 另外，根据群的性质，我们易知群有如下等价的定义. 定义 1.1' 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）运算“ � ”满足结合律： a � (b � c) = ( a � b) � c ， ∀a, b, c ∈ G ； （2） G 有单位元素 e ： e � a
( a � b ) � c = ( a + b − 2) � c = a + b − 2 + c − 2 = a + (b + c − 2 ) − 2 = a + (b � c ) − 2 = a � (b � c )
（3）找单位元 e .若 a = e � a = e + a − 2 ，则 e = 2 . （4）对 ∀a ∈ Z ，找逆元 a . 2 = e = a
−1 −1
- 23 -
第二章 群
证明 (1) ⇒ ( 2) ⇒ (3) 是显然的，现在证明 (3) ⇒ (1) . 因为 H 是 G 的非空子集，所以对于 a ∈ H ，由（3）有 e = aa ∈ H ，即 H 有单位元.又对于任 意 a ∈ H ，有 a
−1 −1
= ea −1 ∈ H ，即 H 中的任意元素有逆元，所以 H 是 G 的子群.
第二章 群
第二章 群
本章我们讨论具有一个运算的代数体系——群的结构和性质.
第 1 节 群的概念和性质
定义 1.1 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）对于 G 中任意元素 a, b, c ，有 a � (b � c) = (a � b) � c ； （2）在 G 中存在元素 e ，对任意 a ∈ G ，有 e � a = a ； （3）对 G 中任意元素 a ，存在 b ∈ G ，使得 b � a = e . 一般地，称群 G 是乘法群，并简记 a � b 为 ab .特别地，若群 G 的运算“ � ”还满足交换律（ ，则称 G 是加群或交换群（Abel 群） ，并用 a + b 表示 a � b . ab = ba , ∀a, b ∈ G ） 定义 1.2 我们称群 G 所含元素的个数为群 G 的阶数，记为 G .如果 G < ∞ ，则称 G 是有限群， 否则称 G 是无限群. 例 1.1 有理数集合关于数的通常加法运算构成 Abel 群.整数集合关于数的加法运算是 Abel 群， 常称 {Z； +} 为整数加群. Z n 关于加法运算是 Abel 群，常称 {Z n； +} 为剩余类加群（参看第一章第 4 节中有关运算的规定）. {Q ； +} 是无限群. {Z n； +} 是有限群，阶数为 n . +} 和 {Z； 注意， Q ， Z 和 Z n 关于乘法运算都不是群，因为 Q ， Z 中的数 0 及 Z n 中的元素 0 不满足群的 定义条件（3）. 例 1.2 证明： {Z p
� a = a −1 + a − 2 ， a −1 = 4 − a .
至此，根据群的定义知道， Z 关于运算 � 确构成一个群. 另外，根据群的性质，我们易知群有如下等价的定义. 定义 1.1' 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）运算“ � ”满足结合律： a � (b � c) = ( a � b) � c ， ∀a, b, c ∈ G ； （2） G 有单位元素 e ： e � a
( a � b ) � c = ( a + b − 2) � c = a + b − 2 + c − 2 = a + (b + c − 2 ) − 2 = a + (b � c ) − 2 = a � (b � c )
（3）找单位元 e .若 a = e � a = e + a − 2 ，则 e = 2 . （4）对 ∀a ∈ Z ，找逆元 a . 2 = e = a
−1 −1
- 23 -
第二章 群
证明 (1) ⇒ ( 2) ⇒ (3) 是显然的，现在证明 (3) ⇒ (1) . 因为 H 是 G 的非空子集，所以对于 a ∈ H ，由（3）有 e = aa ∈ H ，即 H 有单位元.又对于任 意 a ∈ H ，有 a
−1 −1
= ea −1 ∈ H ，即 H 中的任意元素有逆元，所以 H 是 G 的子群.
第二章 群
第二章 群
本章我们讨论具有一个运算的代数体系——群的结构和性质.
第 1 节 群的概念和性质
定义 1.1 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）对于 G 中任意元素 a, b, c ，有 a � (b � c) = (a � b) � c ； （2）在 G 中存在元素 e ，对任意 a ∈ G ，有 e � a = a ； （3）对 G 中任意元素 a ，存在 b ∈ G ，使得 b � a = e . 一般地，称群 G 是乘法群，并简记 a � b 为 ab .特别地，若群 G 的运算“ � ”还满足交换律（ ，则称 G 是加群或交换群（Abel 群） ，并用 a + b 表示 a � b . ab = ba , ∀a, b ∈ G ） 定义 1.2 我们称群 G 所含元素的个数为群 G 的阶数，记为 G .如果 G < ∞ ，则称 G 是有限群， 否则称 G 是无限群. 例 1.1 有理数集合关于数的通常加法运算构成 Abel 群.整数集合关于数的加法运算是 Abel 群， 常称 {Z； +} 为整数加群. Z n 关于加法运算是 Abel 群，常称 {Z n； +} 为剩余类加群（参看第一章第 4 节中有关运算的规定）. {Q ； +} 是无限群. {Z n； +} 是有限群，阶数为 n . +} 和 {Z； 注意， Q ， Z 和 Z n 关于乘法运算都不是群，因为 Q ， Z 中的数 0 及 Z n 中的元素 0 不满足群的 定义条件（3）. 例 1.2 证明： {Z p
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件 第3节 群的定义及性质
(1) 证明2: 设 |a| = r，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1a rb b1eb e
可知b1ab的阶为有限. 令|b1ab| = t，从而有t | r.
另一方面，由 (b1ab)t=e可知
(b1ab)t = b1atb1 = e
at = e，从而有 r | t.
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
性质7 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k . (2 )|a1| = |a|.
证明： (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶为有限. 令|a1| = t，从而有t | r. 同时，at = ((a-1)-1)t = (a-1)-t = ((a-1)t)-1 = e-1 = e ， 所以 r | t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a| .
22/30
近世 代数
例题
例5 设G是群，a, b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
近世代数课件(全)--2-1 群的定义1. 引言在近代代数中，群是一种基础的对象。
它的定义极其简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
本章我们将介绍群的定义及其基本性质。
2. 群的定义群是一种代数结构，具有以下三个性质：(1) 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，a*b也在G中。
(3) 存在单位元：存在一个称为单位元的元素e，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
3. 群的注记通常我们称一个群为(G,*)，其中G称为群的集合，*称为群的运算，单位元用1或者e 表示，逆元用(a)^-1或者-a表示。
如果G是一个有限集合，那么称(G,*)为有限群，否则称其为无限群。
4. 群的例子(1) 整数的加法群(Z,+)对于整数集合Z，定义a+b为a加上b，即a+b=a＋b。
易证(Z,+)是一个群，其单位元为0，逆元为相反数。
(2) 非零有理数的乘法群(Q^*,×)(3) 旋转群SO(2)SO(2)表示二维空间中的旋转群，即所有的旋转操作组成的集合。
对于一个旋转操作R，我们可以用一个旋转矩阵表示，即：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]其中θ表示旋转角度。
易证，SO(2)是一个群，其运算为旋转操作的复合，单位元为不旋转，逆元为逆时针旋转同样的角度。
5. 群的性质(1) 唯一性：对于群G，单位元和逆元是唯一的。
这意味着，G中只能有一个单位元e，且a的逆元也只能是一个元素a^-1。
(2) 消去律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，如果a*b=a*c，那么b=c。
这意味着，我们可以把群的运算看做加法，可以用消去律推导出类似乘法运算中的约分。
(3) 结构稳定性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a*b仍然在G中。
这意味着，我们可以在群元素之间不断进行运算，而不用担心运算结果会跑到其他集合中去。
6. 小结群是一种基础的代数结构，其定义非常简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
近世代数课件--群的概念
* p U ( p)常记作 Z p. 然这是一个交换群．当 为素数时，
* Z 易知， p 1 , 2,
, p 1
U (m)的阶等于 (2) 由初等数论可知（参见[1]），
(m) 这里 (m) 是欧拉函数．如果
m p p
r1 1 r2 2
p ,
rs s
பைடு நூலகம்其中 p1 , p2 ,
2019/1/20
”作用的结果, 我们将此结果记为 算“ a b c.
2019/1/20
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例１
有理数的加法、减法和乘法都是有理数集
Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考 虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运 算. 例２ 设 m 为大于1的正整数， Z m为 Z 的模 m 剩余类集．对 a , b Z m ，规定
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例９
设 m是大于1的正整数，记
U (m) {a Z m | (a, m) 1},
则 U (m) 关于剩余类的乘法构成群． 证 (1) 对任意的 a , b U (m) ，有(a, m) 1,
(b, m) 1, 于是 (ab, m) 1 ，从而 ab U (m) ．
, ps 为的 m 不同素因子，那么
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r r 1 (m) ( p1r p1r 1 )( p2 p2 )( psr psr 1 )
1 1 2 2 s s
1 m 1 . pi t 1
s
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例10
关于矩阵的加法构成一个交换群．全体 n 阶可逆 方阵的集合GLn (R)关于矩阵的乘法构成群， GLn (R) 群中的单位元是单位矩阵 En ，可逆方阵 A GLn (R) 的逆元是 A 的逆矩阵 A1 .
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”G是 上的 设G 是一个非空集合，“
G .如 一个代数运算，即对所有的ab , G ,有 ab
果 G 的运算还满足 (G1) 结合律，即对所有的abc ,, G , 有；
( a b ) c a ( b c ) ;
G，有 (G2) G 中有元素e ，使对每个 a
§1.2 群的概念
群的定义
群的性质 群的判别
2019/2/16
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一．群的定义
定义1.2.1
A 中任意 设A 是一个非空集合, 若对
”，A有 中惟一确定的 两个元素a , b , 通过某个法则“ ”为集合上的一个代数运 元素c 与之对应, 则称法则“
算（algebraic operation）．元素c 是a , b , 通过运
a b a b
ab a b .
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Z m 则“＋”与“ ”都是
证
上的代数运算．
我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则 于是
| bb'. ma | a ', m
m | ( a a ' ) ( b b ' ) ( a b ) ( a '' b ) ,
关于矩阵的加法构成一个交换群．全体 n 阶可逆 方阵的集合GLn (R)关于矩阵的乘法构成群， GLn (R) 群中的单位元是单位矩阵 E 的逆元是 A 的逆矩阵 A
1
n
G L ( R ) ，可逆方阵 A n
.
GLn (R) 是一个非交换群． 当 n 1 时，
例６
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1 1 ,i , i } 集合{, 关于数的乘法构成交换群
n n
n nn ( x y ) x y 1 1 1 ,
”作用的结果, 我们将此结果记为 ab c . 算“
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例１
有理数的加法、减法和乘法都是有理数集
Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考 虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运 算. 例２ 设 m 为大于1的正整数， Z m 为 Z 的模 m 剩余类集．对 a,b Z m，规定
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例４
全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法
构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数
b a a 的逆元是 的倒数 ．同理，全体非零实数的 a b b * 集R*、全体非零复数的集合C 关于数的乘法也．
构成交换群．2019/2源自16数学与计算科学学院例５
实数域R上全体 n 阶方阵的集合 M n ( R) ，
所以结合律成立.
a 0 0 a a ,
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所以0为 Z 的单位元. 又对每个a Z, 有
aa () () a a 0 ,
所以 a是 a 的逆元. 从而 Z 关于“＋”构成群，显然这是一个交换群． 注 1．当群的运算用加号 “＋”表示时，通常
G 将 G 的单位元记作0，并称0为 G 的零元；将 a
的逆元记作 a , 并称 a为 a 的负元．
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2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
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例７
全体 n 次单位根组成的集合
n U { x C| x 1 } n
2 k 2 k c o s i s i n k 0 ,,, 1 2, n 1 n n
关于数的乘法构成一个n 阶交换群． 证 所以
, y U 1 ,y 1 (1) 对任意的 x ，因为 x , n
1 a a G 中元素 的惟一的逆元通常记作 ． 都是惟一的．
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2．如果群 G 的运算还满足交换律，即对任意的
a ,b G，有 a b b a ，则称 G 是一个交换群
（commutative group）或阿贝尔群（abelian group)． 3．群 G 中元素的个数称为群 G 的阶（order）， 记为 | G ．如果 限数, 则称 G 为有限群 | | G 是有 | （finite group），否则称G 为无限群（infinite group).
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例３
整数集Z 关于数的加法构成群．这个群
称为整数加群． 证
bZ ,bZ ，有a 对任意的 a ，所以“＋”
,, Z 是 Z 上的一个代数运算．同时，对任意的abc ,
有
( a b ) c a ( b c ) ,
另一方面 0Z，且 a Z,有
m | ( a a ' ) b ( b b ' ) a ' ( a b ) ( a ' b ' ) .
从而
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a b a ' b ',
a ba'b'.
所以+与 都是Z m上的代数运算.
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定义1.2.2
e a a e a ;
(G3) 对 G 中每个元素 ，存在元素bG，使
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a b b a e .
”构成一个群（group），记作 则称 G 关于运算“
( G , ) ．在不致引起混淆的情况下, 也G 称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G 的单位元 （unit element）或恒等元（identity）； (G3)中的元素 b 称为 a 的逆元（inverse）． 我们将证明：群 G 的单位元 e 和每个元素的逆元