近世代数课件--群的概念

a b a b
ab a b .
2019/2/16 数学与计算科学学院
Z m 则“＋”与“ ”都是
证
上的代数运算．
我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则 于是
| bb'. ma | a ', m
m | ( a a ' ) ( b b ' ) ( a b ) ( a '' b ) ,
1 a a G 中元素 的惟一的逆元通常记作 ． 都是惟一的．
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2．如果群 G 的运算还满足交换律，即对任意的
a ,b G，有 a b b a ，则称 G 是一个交换群
（commutative group）或阿贝尔群（abelian group)． 3．群 G 中元素的个数称为群 G 的阶（order）， 记为 | G ．如果 限数, 则称 G 为有限群 | | G 是有 | （finite group），否则称G 为无限群（infinite group).
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例３
整数集Z 关于数的加法构成群．这个群
称为整数加群． 证
bZ ,bZ ，有a 对任意的 a ，所以“＋”
,, Z 是 Z 上的一个代数运算．同时，对任意的abc ,
有
( a b ) c a ( b c ) ,
另一方面 0Z，且 a Z,有
关于矩阵的加法构成一个交换群．全体 n 阶可逆 方阵的集合GLn (R)关于矩阵的乘法构成群， GLn (R) 群中的单位元是单位矩阵 E 的逆元是 A 的逆矩阵 A
1
n
G L ( R ) ，可逆方阵 A n
.
GLn (R) 是一个非交换群． 当 n 1 时，
例６
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1 1 ,i , i } 集合{, 关于数的乘法构成交换群
”G是 上的 设G 是一个非空集合，“
G .如 一个代数运算，即对所有的ab , G ,有 ab
果 G 的运算还满足 (G1) 结合律，即对所有的abc ,, G , 有；
( a b ) c a ( b c ) ;
G，有 (G2) G 中有元素e ，使对每个 a
e a a e a ;
(G3) 对 G 中每个元素 ，存在元素bG，使
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a b b a e .
”构成一个群（group），记作 则称 G 关于运算“
( G , ) ．在不致引起混淆的情况下, 也G 称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G 的单位元 （unit element）或恒等元（identity）； (G3)中的元素 b 称为 a 的逆元（inverse）． 我们将证明：群 G 的单位元 e 和每个元素的逆元
G 将 G 的单位元记作0，并称0为 G 的零元；将 a
的逆元记作 a , 并称 a为 a 的负元．
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2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
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例４
全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法
构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数
b a a 的逆元是 的倒数 ．同理，全体非零实数的 a b b * 集R*、全体非零复数的集合C 关于数的乘法也．
构成交换wk.baidu.com．
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例５
实数域R上全体 n 阶方阵的集合 M n ( R) ，
”作用的结果, 我们将此结果记为 ab c . 算“
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例１
有理数的加法、减法和乘法都是有理数集
Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考 虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运 算. 例２ 设 m 为大于1的正整数， Z m 为 Z 的模 m 剩余类集．对 a,b Z m，规定
m | ( a a ' ) b ( b b ' ) a ' ( a b ) ( a ' b ' ) .
从而
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a b a ' b ',
a ba'b'.
所以+与 都是Z m上的代数运算.
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定义1.2.2
n n
n nn ( x y ) x y 1 1 1 ,
所以结合律成立.
a 0 0 a a ,
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所以0为 Z 的单位元. 又对每个a Z, 有
aa () () a a 0 ,
所以 a是 a 的逆元. 从而 Z 关于“＋”构成群，显然这是一个交换群． 注 1．当群的运算用加号 “＋”表示时，通常
§1.2 群的概念
群的定义
群的性质 群的判别
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一．群的定义
定义1.2.1
A 中任意 设A 是一个非空集合, 若对
”，A有 中惟一确定的 两个元素a , b , 通过某个法则“ ”为集合上的一个代数运 元素c 与之对应, 则称法则“
算（algebraic operation）．元素c 是a , b , 通过运
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例７
全体 n 次单位根组成的集合
n U { x C| x 1 } n
2 k 2 k c o s i s i n k 0 ,,, 1 2, n 1 n n
关于数的乘法构成一个n 阶交换群． 证 所以
, y U 1 ,y 1 (1) 对任意的 x ，因为 x , n