导数的几何意义与导数的计算
导数的概念及运算
第一节导数的概念及运算［最新考纲］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C（C为常数），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.1.导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝x n（n∈Q*）f′（x）＝nx n－1f（x）＝sin x f′（x）＝cos xf（x）＝cos x f′（x）＝－sin xf（x）＝a x f′（x）＝a x ln a（a＞0）f（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝log a x f′（x）＝1 x ln af（x）＝ln x f′（x）＝1 x(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．4.复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.［常用结论］1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.［af （x ）±bg （x ）］′＝af ′（x ）±bg ′（x ）.3.函数y ＝f （x ）的导数f ′（x ）反映了函数f （x ）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′（x ）|反映了变化的快慢，|f ′（x ）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）f ′（x 0）是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率.（ ） （2）f ′（x 0）与［f （x 0）］′表示的意义相同.（ ）（3）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（ ） （4）函数f （x ）＝sin （－x ）的导数是f ′（x ）＝cos x .（ ） 二、教材改编1.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为（ ） A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x2.曲线y ＝x 3＋11在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.－9 B.－3 C.9D.153.函数y ＝f （x ）的图象如图，则导函数f ′（x ）的大致图象为（ ）A B C D4.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是h （t ）＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝m/s ，加速度a ＝ m/s 2.考点1 导数的计算（1）求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.（2）在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误.已知函数解析式求函数的导数 求下列各函数的导数： （1）y ＝x 2x ；（2）y ＝tan x ； （3）y ＝2sin 2x2－1.［解］ （1）先变形：y ＝2x 32， 再求导：y ′＝（2x 32）′＝322x 12. （2）先变形：y ＝sin xcos x ，再求导：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x . （3）先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－（cos x ）′＝－（－sin x ）＝sin x .［逆向问题］ 已知f （x ）＝x （2 017＋ln x ），若f ′（x 0）＝2 018，则x 0＝ . 1 ［因为f （x ）＝x （2 017＋ln x ）， 所以f ′（x ）＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′（x 0）＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.］求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例（1）（3）. 抽象函数求导已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）＝ . －4 ［∵f ′（x ）＝2x ＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝2＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝－2，∴f ′（0）＝2f ′（1）＝2×（－2）＝－4.］赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′（1）为常数，然后借助导数运算法则计算f ′（x ），最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′（x ）求解即可.1.已知函数f （x ）＝e x ln x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为 .2.已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，则f ′（2）＝ .3.求下列函数的导数 （1）y ＝3x e x －2x ＋e ； （2）y ＝ln x x 2＋1；（3）y ＝ln2x －12x ＋1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）. （2）若求过点P （x 0，y 0）的切线方程，可设切点为（x 1，y 1），由⎩⎨⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可. （3）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.求切线方程（1）（2019·全国卷Ⅰ）曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0,0）处的切线方程为 .（2）已知函数f （x ）＝x ln x ，若直线l 过点（0，－1），并且与曲线y ＝f （x ）相切，则直线l 的方程为 .（1）3x －y ＝0 （2）x －y －1＝0 ［（1）∵y ′＝3（x 2＋3x ＋1）e x ，∴曲线在点（0,0）处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点（0,0）处的切线方程为y ＝3x .（2）∵点（0，－1）不在曲线f （x ）＝x ln x 上， ∴设切点为（x 0，y 0）.又∵f ′（x ）＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝（1＋ln x 0）x .∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.］（1）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例（1）是“在点（0,0）”，本例（2）是“过点（0，－1）”，要注意二者的区别.求切点坐标（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A 处的切线经过点（－e ，－1）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________（e,1） ［设A （x 0，y 0），由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0（x －x 0）.因为切线经过点（－e ，－1），所以－1－ln x 0＝1x 0（－e －x 0）.所以ln x 0＝e x 0，令g （x ）＝ln x －ex （x ＞0）， 则g ′（x ）＝1x ＋ex 2，则g ′（x ）＞0， ∴g （x ）在（0，＋∞）上为增函数.又g（e）＝0，∴ln x＝ex有唯一解x＝e.∴x0＝e.∴点A的坐标为（e,1）.］f′（x）＝k（k为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.求参数的值（1）（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y＝a e x＋x ln x在点（1，a e）处的切线方程为y＝2x＋b，则（）A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1（2）已知f（x）＝ln x，g（x）＝12x2＋mx＋72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，与f（x）图象的切点为（1，f（1）），则m＝.（1）D（2）－2［（1）∵y′＝a e x＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝a e＋1，∴2＝a e＋1，∴a＝e－1.∴切点为（1,1），将（1,1）代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故选D.（2）∵f′（x）＝1x，∴直线l的斜率k＝f′（1）＝1.又f（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x2＋mx0＋72，m＜0，∴m＝－2.］已知切线方程（或斜率）求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.导数与函数图象（1）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A BC D（2）已知y ＝f （x ）是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），g ′（x ）是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝ .（1）B （2）0 ［（1）由y ＝f ′（x ）的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f （x ）图象的切线的斜率先增大后减小，故选 B.（2）由题图可知曲线y ＝f （x ）在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′（3）＝－13.∵g （x ）＝xf （x ），∴g ′（x ）＝f （x ）＋xf ′（x ）， ∴g ′（3）＝f （3）＋3f ′（3）， 又由题图可知f （3）＝1， ∴g ′（3）＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.］ 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢.1.曲线f （x ）＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 .2.（2019·大同模拟）已知f （x ）＝x 2，则曲线y ＝f （x ）过点P （－1,0）的切线方程是 .3.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A （1,3），则2a ＋b ＝ .。
导数的计算及其几何意义
导数的计算及其几何意义一、导数的概念及其几何意义1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=- 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注意：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或 “0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．注：0'()f x 是个数．3.可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 注意：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4.导数的几何意义：内容：设函数()y f x =的图象如图所示：AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数的几何意义可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．5.在点00(())x f x ，处的切线方程与过点()a b ，的切线方程 1）函数()y f x =在点00(())x f x ，处的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-； 2）函数()y f x =过点()a b ，的切线方程 此时()a b ，可能是切点，也可能不是切点； 因此设切点为(())t f t ，，求出在(())t f t ，处切线方程()'()()y f t f t x t -=- 代入()a b ，，得()'()()b f t f t a t -=-，解出t ，再代入()'()()y f t f t x t -=-即可． 注意：①过点00(())x f x ，的切线方程与在点00(())x f x ，处切线方程不同，应按（2）的做法进 行；②函数()y f x =“在点00(())x f x ，处切线方程”与“在0x x =处的切线方程”表达相同的意思； ③“函数()y f x =在点00(())x f x ，处切线方程是y b =”．二、导数的运算00'()0()f x f x b =⎧⇒⎨=⎩1.导数公式表注意：211()'xx =-，=这两个经常在考试中碰到，可当成公式记忆． 2.复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设()()y f u u g x ==，，则''()'()x y f u g x =⋅．注意：为了便于理解，记0'limx x y dyy x dx ∆→∆==∆，（这里x d 表示x ∆趋于0的自变量的改变量，yd 表示x ∆趋于0的因变量的改变量），因此'x dy dy duy dx du dx ==⋅，即复合函数求导法则．3.导数的四则运算1）(()())()()f x g x f x g x '''+=+，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和． 2）(()())()()f x g x f x g x '''-=-，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．4）2()()()()()(()0)()()f x g x f x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方． 注意：①[()]''()C f x Cf x ⋅=，这里C 为常数； ②21'()[]'(()0)()()g x g x g x g x =-≠． ③12121212[()()()]''()()()()'()()()()'()n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x =+++一．选择题（共12小题）1．（2018•蚌埠一模）函数f（x）=e|x|﹣2x2的大致图象为（）A．B．C．D．2．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数3．（2018春•福州期末）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=12x+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1B．5 2C．3D．04．（2017•白山二模）设f（x）存在导函数且满足lim△x→0f(1)−f(1−2△x)2△x=﹣1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．25．（2018•邵阳三模）已知函数f（x）=f′（﹣2）e x﹣x2，则f′（﹣2）=（）A．e2e−1B．4(e2−1)eC．e2−14eD．4e2e−16．（2017秋•黄陵县校级期末）已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．1 e7．（2018春•江门期末）设f（x）=sinx﹣cosx，则f（x）在x=π4处的导数f′（π4）=（）A．√2B．﹣√2C．0D．√2 28．（2017秋•定边县校级期末）已知函数f（x）=1x，则f′（12）=（）A．﹣14B．﹣18C．﹣8D．﹣169．（2017秋•沙坪坝区校级期末）设函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（）A．1B．﹣1 2C．12D．﹣110．（2016秋•东莞市校级月考）函数y=x+1x的导数是（）A．1−12B．1−1xC．1+1x2D．1+1x11．（2016秋•福州期末）函数y=cosxx的导数是（）A．−sinxx2B．﹣sinxC．−xsinx+cosxx2D．−xcosx+cosxx212．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）二．填空题（共4小题）13．（2009春•亭湖区校级期中）若y=e x2+1，则y′=．14．函数y=√2x+5的导数是．15．（2016秋•盐都区校级期中）已知f（x）=x3﹣2，则曲线y=f（x）在x=12处的切线斜率为．16．（2012•天宁区校级模拟）抛物线y=x2+x﹣2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为．三．解答题（共2小题）17．求下列函数的导数（1）y=x e e x（2）y=x 3−1sinx（3）y=2e﹣x（4）y=2xsin（2x+5）18．求下列隐函数的导数（1）y2+x2﹣3xy=0，（2）x2e2+y2=1．。
导数的几何意义及运算
导数的几何意义及运算复习一、 导数的几何意义：)(0x f ⋅=x y ∆∆=x x x x x f x f 0000)()()(-∆+-∆+=x f x f x x ∆-∆+)()(00=K 当Δx----0时, )(0x f ⋅=K 趋近于一常数 二、 导数的求导公式及运算典型例题：例1、当h 无限趋近于0时,h h 4)4(22-+无限趋近于 ;hh 44-+无限趋近于 .练习：若)(0x f ⋅=3，当Δx 无限趋近于0时,x x f x f x x ∆∆--∆+)3()(00= .例2.已知函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程是x-2y+1=0,则'(1)2(1)f f +=训练1：已知函数y=f(x)的图像在点（0，f(0)）处的切线方程是2x-y+2=0,则'(0)(0)f f += 2.曲线 '2(1)1().(0)2x f x f x e f e x=-+在点（1，f(1)）处的切线方程为 题型二：求切线方程例3、已知曲线y=34313+x , (1)、求曲线在点P （2,4）处的切线方程;(2)、求斜率为4的曲线的切线方程；(3）、求过点P （2,4）的切线方程；练习1：已知曲线3y x =（1） 求曲线在点P （1,1）处的切线方程；（2） 求与直线3x-y=0平行的直线方程；（3） 求过点P(1，1)处的直线方程；练习2：已知kx+1=㏑x 有实数解,求k 的取值范围题型三：告诉切线方程求参数的值例4：函数y=12+x a图像与直线y=x 相切,则a= .练习： 曲线y=13++ax x 的一条切线方程为y=2x+1则实数a=题型四：两个曲线的公切线例5.若存有过点（1,0）的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则实数a=例6已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-)2(2-x ,直线l 与C 1,C 2都相切,求直线l 的方程.变式1：已知曲线C 1x y x 22+=和C 2：a y x +-=2,a 取什么值时, C 1和C 2有且仅有一条公切线。
导数的概念及运算
导数的概念及运算知识清单：考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．概念称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时转变率lim Δ x →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δ x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0 Δy Δx ＝lim Δ x →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s (t )对时刻t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．考点2 大体初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a xf ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x考点3 假设y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，那么 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，那么复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一样也不同． 2．f ′(x 0)不必然为0，但[f (x 0)]′必然为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数仍是周期函数．4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时转变趋势，其正负号反映了转变的方向，其大小|f ′(x )|反映了转变的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．例题讲解：1．已知()f x 为可导函数，且)4(2f '=，则02()l )i (2mh f h f h h→--+=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-2．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，那么f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12B ．12C ．－22D ．224.[2016·云南一检]函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( ) A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0 D ．x ＋y ＋1＝05．(2021·烟台期末)设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图像在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，那么函数k ＝g (t )的部份图像为( )．6．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 7．[2016·天津东丽质检]若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，那么f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－48.已知函数()f x 在R 上知足2()2(2)88f x f x x x =--+-，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是A ．B ．C ．D ．9.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，那么log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为______10.[2021·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，那么a ＋b 的值是________．11.[2016·沈阳模拟]假设存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，那么a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－16421y x =-y x =32y x =-23y x =-+12．函数f (x )(x ∈R)知足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，那么不等式f (x )＜x ＋12的解集为________．13．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．14．[2016·云南大理月考]设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．课后作业：1．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2. (2021·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图像是以下四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，那么该函数的图像是( )．3.[2021·昆明调研]假设曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，那么a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 的导函数y ＝f ′(xa －b 的值为________．5.[2016·沈阳模拟]假设存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，那么a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或76．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)假设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，假设直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．。
导数的几何意义与计算
x x x
，
小结
x x
1
(是常数)
1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ；
2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ；
3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ；
1 1 4.若f x , 则f ' x 2 ； x x 1 5.若f x x , 则f ' x . 2 x
1. 导数的定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
2. 求函数y=f(x) 在点 x0处导数的方法： (1)求函数改变量 △y = f（x0 + △x）－f（x0）
y f ( x 0 x) f ( x 0 ) (2)求平均变化率 x x f ( x 0 x) f ( x 0 ) y (3)求极限 lim lim x 0 x x 0 x
y f x x f x 因为 x x
x x x x x x x x x x
1
x x x x
y 1 1 所以 y' lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
y
l1
M N
l2
O
x初中平Leabharlann 几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一
公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的
切线，唯一的公共点叫做切点。 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
导数的概念及其意义、导数的运算
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。
导数的概念及几何意义_基础
导数的概念及几何意义【要点梳理】要点一：导数的概念 1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示． 要点二：导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示： ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．如图2，无论点P 在曲线上还是曲线外， 过点P 都可以作两条直线1l 、2l 与曲线相切．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 【典型例题】类型一：导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x x==x =1处的导数． 【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值． 【解析】先求增量：(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=-+∆===再求平均变化率：y x ∆=∆ 求极限，得导数：01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．举一反三：【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ． 【解析】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆， ∴()'1=f -()00'(1)limlim 3=3x x yf x x ∆→∆→∆==-∆∆．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【解析】 ∵22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，∴263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆， 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=． ∴函数2()3f x x =在1x =处的导数为6 ．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【解析】∵2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，∴23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆， ∴00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '． 【解析】先求增量：2222444(2)()()x x x y x x x x x x ∆+∆∆=-=-+∆+∆， 再求平均变化率：224(2)()y x x x x x x ∆+∆=-∆+∆． 求极限，得导数：23004(2)8'limlim ()x x y x x y x x x x x∆→∆→∆+∆==-=-∆++∆．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】求函数y=在(0,)+∞内的导函数．【解析】∵y∆==，∴y x ∆==∆==∴321lim2x y x -∆→'===-．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．【解析】∵y ∆=∴yx ∆=∆==∴'()limx f x y ∆→'==．当2x =时，1'(2)4f ==．例3． 若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000[()]()'()limk f x k f x f x k→+--=-（这时增量x k ∆=－），所以000()()lim2k f x k f x k →--000[()]()1lim 2k f x k f x k →+--⎧⎫=-⋅⎨⎬-⎩⎭000[()]()1lim21221.k f x k f x k →+--=-⋅-=-⨯=-【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()'()limk f x k f x f x k→--=（这时增量x k ∆=），所以 000000()()()()11limlim 21222k k f x k f x f x k f x k k →→----==⨯=．（2）在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择与之相对应的形式．利用函数()f x 在0x x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．举一反三：【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时， （1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1lim lim '(1)1222x x f x f f x f f x x →→+-+-===（2）00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2'(1)42x x f x f f x f f x x→→+-+-===【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【答案】()()()()()()[]00000000000000000()()lim()()lim()()lim21lim 2lim 1()2'()22'()2x x x x x f x x f x x xf x x f x x f x x f x x xf x x f x xf x x f x x x x f x af x a∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆--∆+∆--∆∆-∆-∆-∆-=-=-∆∆--∆=-==-==【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．【答案】 原式0000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→+-+--=000000()()()()1lim lim 2h h f x h f x f x h f x h h →→+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦ 0000()()1'()lim 2h f x h f x f x h -→--⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦[]0001'()'()'()2f x f x f x =+=． 类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P （1，2）处的切线的斜率等于函数21y x =+在1x =处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程． 【解析】先求切线的斜率()'1f ：()()22001+111lim lim x x x y x x∆→∆→⎡⎤∆++∆⎣⎦=-∆∆ ()0lim +2=2x x ∆→=∆，由条件可知()1=2f ，由点斜式可得，过点P 的切线方程为：22(1)y x -=-，即2y x =．【总结升华】求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 举一反三：【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程． 【答案】先求2'|x y =：∵22211(2)2+4222(2)x y x x x x x -∆⎛⎫∆=+∆+-=∆+∆+ ⎪+∆+∆⎝⎭，∴142(2)y x x x ∆-=+∆+∆+∆， ∴001115limlim(4)4=2(2)44x x y y x x x ∆→∆→∆-'==+∆+=-∆+∆．再求2|x y =：22119|=25=22x y =++．由点斜式得切线方程：()915--224y x =，即15480x y -+=． 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】 例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．【思路点拨】本题要分点(1,1)P 是切点和(1,1)P 不是切点两类进行求解． 【解析】第一步：先求导函数．00()()limlimx x f x x f x xy y x ∆→∆→+∆-∆∆'==∆ ()()33322330222()lim3+3+=lim=lim 3+3+3=3x x x x x xxx xx x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆=+∆∆∆∆∆g g g第二步：验证点(1,1)P 是否在曲线上． 由于()11f =，所以P 在曲线上． 第三步：分类讨论． ①若点P 是切点，则切线的斜率为()'13f =，于是切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-； ②若点P 不是切点，设切点为()()3000,1x x x≠．则切线的斜率为()200'3f x x =，于是切线方程为：320003()y x x x x -=- ． 由于切线经过点(1,1)P ，于是有3200013(1)x x x -=-，整理得：()()()()()()32322322200000000000023+1=22++1=221=21+11x x x x x x x x x x x x ()()2000=121x x x ()()200=12+1=0x x ，解得012x =-或01x =（舍去）． 所以切线方程是131+(+)842y x =，即3144y x =+． 综上所述，所求切线方程为32y x =-或3144y x =+． 【思路点拨】求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程． 举一反三：【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程． 【解析】先求导函数：20()lim33x yf x x x∆→∆'==-∆．再验证：3(2)232=2f =-⨯，所以点(2,2)在函数()f x 图象上．最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f '=，则切线方程为：9160x y --=．（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)x x x -．则切线的斜率为200()33f x x '=-（02x ≠），所以切线方程为()320000(3)=33()y x x x x x ----． 代入点(2,2)得：()3200002(3)=33(2)x x x x ----整理得：0432030=+-x x ⇒0)2)(1(200=-+x x ⇒10-=x ，此时切线方程为2=y ．综上所述，所求的切线方程为9160x y --=或2y =．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【解析】()200()()11'=limlim =x x f x x f x y x x x x x∆→∆→+∆--=-∆+∆ （1）由于点A 不在曲线上，设切点坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则切线的斜率为21'|=x a y a =-，切线方程为211()y x a a a -=--， 将()10A ，代入，得12a =．所以所求的切线方程为44y x =+ ．（2）令2113x -=-，解得x = 所以斜率为13-的切线的切点为⎭或⎛ ⎝⎭．所以所求的切线方程为133y x =-+或133y x =--． 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．【答案】 0(2+)(2)'(2)lim x f x f f x∆→∆=∆ 3230(2)2(2)(2)(282)=lim x x a x b x a a b a x∆→+∆++∆++∆+-+++∆ 20lim 1286()128x a b x x a b ∆→⎡⎤=+++∆+∆=++⎣⎦ 0g(2+)g(2)g '(2)lim x x x ∆→∆=∆220(2)3(2)2(2322)=lim x x x x∆→+∆-+∆+--⨯+∆ 0lim(1)1x x ∆→=+∆= 由条件可知：(2)0f =且'(2)'(2)f g =⇒2,5a b =-=，所以切线l 的方程：2y x =-．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【思路点拨】【解析】()0(2)(2)'2lim t T t T T t∆→+∆=∆ ()0012012015152+57=lim 120=lim 77+120=49t t t tt ∆→∆→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪∆+⎝⎭⎝⎭∆∆ ()()1202=C /min 49T '︒ 表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以()120C /min 49︒ 的速度下降． 【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）． 【解析】00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆ 220000000011[()()][]2212v t t a t t v t at tv at a t +∆++∆-+=∆=++∆ 2s t ∴=的瞬时速度是02v a +．【变式2】质点按规律()21s t at =+做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）．若质点在 2 s t =时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值．【答案】质点 2 s t =时的瞬时速度为()'28s =．∵()222(2)2(2)1214()s s t ―s a t ―a a t a t ∆=+∆=+∆+⨯=∆+∆－， ∴4s a a t t∆=+∆∆． ∴()0'2lim4t s s a t ∆→∆==∆， 所以48a =，即a =2．。
导数的概念和几何意义
导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。
它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。
首先，我们来了解导数的概念。
在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。
这个极限值即为导数。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。
这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。
如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。
以一个简单的例子来说明导数的几何意义。
考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。
这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。
比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。
我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。
通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。
导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。
如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。
此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。
另外，导数还可以用于判断函数的连续性。
导数的概念及其意义、导数的运算
B．(x2ex)′＝x(x＋2)ex D.x－1x′＝1－x12
答案：BC
解析：A 项ln1x′＝－ln12x·(ln x)′＝－xln12x； D 项x－1x′＝1＋x12.
2．已知 f(x)＝coesx x，则 f′(x)＝________.
答案：－sin
x＋cos ex
x
解析：f′(x)＝coesx
答案：C 解析：由题意可知 y′＝2cos x－sin x，则 y′|x＝π＝－2.所以曲线 y ＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x ＋y＋1－2π＝0，故选 C.
6．[2019·全国Ⅰ卷]曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 ________．
答案：C 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
2．[选修二·P18 A 组 T6]曲线 y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线 方程为________．
答案：2x－y＋1＝0 解析：∵y′＝x＋222，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为 2x－y＋1 ＝0.
4．设 f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则 f′(0)＝________.
答案：－23 解析：因为 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23.
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅱ卷]曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方 程为( ) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
微点 2 未知切点求切线方程 [例 2] 已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为________．
导数的概念及运算、几何意义
导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． 特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一 导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二 导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2， 故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组 基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组 能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
导数的几何意义及常用函数的导数
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数
= ;
解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′
=
;
′
=
′
=
−
()＝log.
解
′ = ′ =
;
=
;
跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：
= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见 谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于
∴ = = ,即 = ,
所以切点为
,
.
∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函 数 () 在 点 处 的 导 数 ” 是 一 个 数 值 , 不 是 变
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
导数的几何意义及四则运算
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
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定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
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例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
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§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.
导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义导数是微积分中的重要概念之一，在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的概念及其几何意义，并探讨导数在解决实际问题中的重要作用。
1. 导数的定义在微积分中，我们常常需要研究函数的变化率。
对于一个定义在某个区间上的函数 f(x)，导数描述了函数在某一点处的变化率。
即导数可以告诉我们函数在某一点的斜率或者切线的倾斜程度。
函数 f(x) 在点 x 处的导数，通常用f’(x) 或者 df(x)/dx 表示，它的定义可以通过极限来描述：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗上式表示当Δx 趋向于 0 时，函数 f(x) 在 x 点处的斜率。
2. 导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。
我们可以通过图形直观地理解导数。
首先，考虑一个函数 f(x) 在某一点 x 处的导数f’(x)。
在这个点上，我们可以绘制出函数曲线上的一条切线。
这条切线的斜率就等于函数在该点处的导数。
当导数为正时，切线是向上倾斜的；当导数为负时，切线是向下倾斜的。
当导数为零时，切线变为水平。
3. 导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着紧密的联系。
不同的导数值反映了函数图像的不同特性。
若导数f’(x) 在点 x 处为正，说明函数在该点处的斜率是正的。
这意味着函数图像上的点在该点附近是递增的。
类似地，若导数f’(x) 在点 x 处为负，说明函数在该点处的斜率是负的，函数图像上的点在该点附近是递减的。
另外，如果导数f’(x) 在点 x 处的绝对值较大，那么函数在该点的曲线弯度将较大；如果导数f’(x) 在点 x 处的绝对值较小，那么函数在该点的曲线将更为平缓。
4. 导数的应用导数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是导数在不同领域的一些具体应用：•物理学中的运动学问题：导数可以描述物体的速度和加速度。
•经济学中的边际效应：导数可以用来解释边际利润、边际成本等概念。
导数的几何意义与像解析
导数的几何意义与像解析导数是微积分中的重要概念之一，它不仅在数学中有着重要的应用，也在几何学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义以及如何通过像解析来理解导数。
一、导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点上的斜率或者切线的斜率。
具体而言，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处的切线的斜率。
通过几何意义来理解导数，我们可以将导数看作是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
这表示了函数在该点的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。
当导数为正时，表示函数逐渐增加；当导数为负时，表示函数逐渐减少；当导数为零时，表示函数的变化趋于平缓。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在x=1处的导数f'(1)为2。
这意味着函数在x=1处的切线的斜率为2，即切线与x轴的夹角为45度。
可以想象，随着x的增加，函数的值以一个较大的斜率逐渐增加。
二、像解析像解析是一种将几何图形转化为代数表达式的方法，通过像解析，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解导数的几何意义。
像解析的主要思想是将几何图形中的点的坐标表示为代数形式。
在几何问题中，点的坐标通常采用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
而在导数的几何意义中，我们需要将点的坐标表示为函数的表达式。
举例说明，考虑函数f(x) = x^2，在点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点处的切线的斜率。
通过像解析，我们可以将切线的斜率表示为函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的表达式。
具体操作如下：首先，我们需要计算导数f'(x)的表达式，对于函数f(x) = x^2，导数f'(x) = 2x。
然后，将x的值替换为a，即得到导数f'(a)的表达式，即f'(a) = 2a。
因此，函数f(x) = x^2在点x=a处的切线的斜率为2a。
像解析的方法可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，将几何问题转化为代数问题，从而更加灵活地应用导数的概念。
导数的概念及运算
导数的概念及运算重点难点分析：1．导数的定义、意义与性质：（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即。
如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。
记作f'(x0)或，即。
（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。
（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。
（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
2．求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x n)'=nx n-1 (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e x)'=e x；⑥(a x)'=a x lna⑦；⑧（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
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导数的几何意义与导数的计算上课时间： 上课教师：上课重点：导数的几何意义以及导数公式 上课规划:解题方法和技巧 函数)(x f y=在0x x =处的导数等于在该点00(,())xf x 处的切线的斜率，即)('0x f K =。
基本初等函数的导数公式'c ='1()n n x n x-='()ln x xa a a='1(lo g )ln x a x a='(sin )cos x x='(cos )sin x x=- '211()x x=-'()xxee= '1(ln )x x=函数和（或差）的求导法则（设(),()f x g x 是可导的） 则 [()()]'f x g x +='()'()f xg x + [()()]'f x g x - ='()'()fx g x -[()()]'f x g x ='()()()'()f x g x f x g x + ()()'f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦='2()()()'()()f x g x f x g x g x -一 求以曲线上一点为切点的切线方程 例题：求曲线xy 1=在点)21,2(处的切线方程练习：曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2yx =- C ．y x = D ．1y x =+二 求过曲线上一点的切线方程 例题：求过曲线13++=x x y 上的一点)3,1(的切线方程练习1：求过曲线143123-+=x x y 上的一点)4,3(的切线方程练习2：已知曲线31433y x=+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．小试牛刀 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是______________． ⑵曲线32242y xxx =--+过点(13)-，的切线方程是________________．三 求过曲线外一点的切线方程 例题:求过点)47,4(的抛物线241xy =的切线方程练习：求过点)2,1(的曲线为12++=x x y 的切线方程练习： 1、曲线1323+-=xx y在点（1，－1）处的切线方程的斜率为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-2 2、曲线324y x x =-+在点（1，3）处的切线的斜率为A ．33B ．1C ．3D ．3-3、下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)4、求函数()a f x a x x=+(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，的切线方程5、已知曲线214y x=的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______6、曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒7、过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________．8、曲线2x y x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．9、曲线 y= -x 3+x 2在点（1，2）处的切线方程为（ ） A ．31y x =- B ．35y x =-+ C ．35y x =+ D ．2y x=10、已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x f C ．2)1(2)(-=x x f D ．1)(-=x x f11、函数)1()1(2-+=x x y在1=x 处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12、曲线1323+-=xx y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A.43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y解答题1、求曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程2、求曲线21y x =+在点A(1,2)处的切线方程3、求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．能力提升1、下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)2、函数31ya x =+的图象与直线y x =相切，则a =( )A ．18B ．14C ．12D ．153、 若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________、4、已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.5、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=。
6.如图，函数()f x 的图象是折线段A B C，其中A B C，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=．1234654321BCAOyx7、已知曲线C ：xxx y2323+-=，直线kxyl =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
8、已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．二 导数的运算考点一 利用求导公式、运算法则求导 1、函数31y x x=-的导数y '=（ ）A ．2213xx-B ．1332x- C ．2213xx+D ．221xx+2、函数2cos y x x=的导数为（ ）A ．22cos sin y x x x x '=- B ．22cos sin y x x x x '=+ C ．2cos 2sin y x x x x '=- D ．2cos sin y x x x x '=- 3、函数221x y x=-的导数是（ ）A ．222(1)1x x+- B ．22131x x+- C ．2222(1)4(1)x x x --- D ．2222(1)(1)x x +-4、函数1co s x y x=-的导数是（ ）A ．1co s sin 1co s x x x x--- B ．21co s sin (1co s )x x x x --- C ．21co s sin (1co s )x x x -+- D ．21co s sin (1co s )x x x x -+-考点二 求导后再求导数值 1、下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(lo g )ln 2x x '=C ．3(3)3log exx'= D ．2(cos )2sin x x x x'=-2、2()3f x x x =++，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2 3、2()f x x x=+，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．24、2()3f x x =+，则(1)f '=（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1 5、2()3f x xx =-+，则(1)f '=（ ）A ．5B ．4C ．1D ．0 6、求函数的导数：2211x x yx x -+=++考点三 复合函数求导 1、函数()ln 2x f x x=的导函数()f x '是（ ）A ．21ln 2x x- B ．21ln 2x x+ C ．212ln 22x x- D ．212ln 22x x+2、求下列函数的导数：2πsin23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3、求下列函数的导数：5)12(+=x y二 导数公式的运用1、求函数2sin y x x=的导数．2、已知函数()ln f x x=，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e3、设函数32()2f x x ax x'=++，(1)9f '=，则a =_______． 4、已知函数()f x 在1x=处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+- B ．22(1)x - C ．2(1)x - D ．1x -5、已知函数2()f x a x c=+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．06、函数3(21)yx =+在0x =处的导数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6 基础训练 1、已知函数2()(1sin )f x x x =+，求π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值．6、求下列函数的导数：(1)(2)(3)y x x x =+++．7、求函数()()()y x a x b x c =---的导数．8、设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f c b f ba f a ．10、函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411、若2()(2)f x x a =+，且(2)20f '=，则a =______． 12、若()exf x x =，则()0f '=________．13、函数32()3f x ax x =++，若(1)8f '=，则实数a=_________．14、设()ln f x x x=，若0()2f x '=，则0x =（ ）A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2能力提高 1、已知函数()πco s sin 4fx f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．2、已知已知函数xxf x f 4)1(')(+=，则)1('f 的值为 ． 3、已知3()sin f x x x=⋅，则(1)f '=（ ）A ．1co s 13+ B ．1sin 1co s 13+ C ．1sin 1co s 13- D ．sin 1cos1+4、32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．3105、若30(),()3f x x f x '==，则0x 的值为________．6、求下列函数的导数：2(21)(31)y x x =-+7、求下列函数的导数：1ln 1ln x y x-=+．8、求下列函数的导数：2(251)xy x x e =-+练习1、求下列函数的导数：32xx xy e e=-+2、求下列函数的导数：2112y x=-．3、求下列函数的导数：21y x x=+．4、求下列函数的导数：2ln 1x y x =+5、函数4226()5f x a a x x=+-的导数为（ ）A ．326410a ax x+- B ．3254106a a x x+- C ．25106ax x-D ．以上都不对 6、已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =---- ，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．07、求2()ln(1)f x xx =++的导数；8、已知函数2()1f x ax =-，且(1)2f '=，则a 的值为_______．9、已知函数2()(1)f x x x =-，若0()f xx '=，则0x=_______．10、已知函数xey x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．11、设()ln xf x a e b x=⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,ab的值．12、有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()cossin h x x x=-，则π112h ⎛⎫'=⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =---- ，则(2010)2009!g '=；④若三次函数32()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 ．。