解三角形一轮
2023年中考数学一轮专题练习 解直角三角形的实际应用2(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共16小题）1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D 点，测得古亭B 位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈ 1.73≈，结果精确到1m ）．2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DHAH≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数1.732≈）3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．，≈1.41）4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈）1.414≈， 1.7325. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高20mCD=，背水坡BC i=．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员的坡度为11:1i=A与原起点B之间的距离．（参准备把背水坡的坡度改为2≈．结果精确到0.1m）≈ 1.731.416. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：，．︒≈︒≈tan350.70tan420.907. （四川省自贡市2022年）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G ．测量时，使支杆OM 、量角器90°刻度线ON 与铅垂线OG 相互重合（如图①），绕点O 转动量角器，使观测目标P 与直径两端点,A B 共线（如图②），此目标P 的仰角POC GON ∠=∠．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K 处测得顶端P 的仰角60POQ ∠=，观测点与树的距离KH 为5米，点O 到地面的距离OK 为1.5米；求树高PH 1.73≈，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距离地面高度PH （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点,E F （,,E F H 在同一直线上），分别测得点P 的仰角,αβ，再测得,E F 间的距离m ，点12,O O 到地面的距离12,O E O F 均为1.5米；求PH （用,,m αβ表示）．8. （四川省遂宁市2022年）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角50.2GAE ∠=︒，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度5:12i =，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角63.4EBF ∠=︒，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米． （参考数据：tan50.2 1.20︒≈，tan63.4 2.00︒≈，sin50.20.77︒≈，sin63.40.89︒≈）9. （四川省内江市2022年）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．(1)求河的宽度；(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）10. （四川省眉山市2022年）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45︒，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： 1.41≈，≈）1.7311. （四川省泸州市2022年）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．12. （四川省凉山州2022年）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B 处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B 处测得BC 与水平线的夹角为45°，塔基A 所在斜坡与水平线的夹角为30°，A 、B 两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．13. （湖北省鄂州市2022年）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD ； (2)此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）14. （四川省成都市2022年）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）15. （黑龙江省绥化市2022年）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）16. （四川省广元市2022年）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．参考答案1. 【答案】古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m 【分析】过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ，设m AC x =，则(50)m CD x =+，分别在Rt BCD 和Rt ABC △中，解直角三角形求出,BC AB 的长，再建立方程，解方程可得x 的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ， 由题意得：50m,60,45AD BAC D =∠=︒∠=︒， 设m AC x =，则(50)m CD AC AD x =+=+， 在Rt BCD 中，tan (50)m BC CD D x =⋅=+，在Rt ABC △中，tan m BC AC BAC =⋅∠=，2m cos ACAB x BAC==∠，则50x +=，解得25x =，则250137(m)AB x ==≈，答：古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m ．2. 【答案】72cm 【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解． 【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC =，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠， 60BAE CAD ∴∠=∠=︒ 1cos60102AE AB AB ∴=︒⨯==，BE =,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠=ADC ADB ∴≌ 90BDC ∠=︒ 45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED ∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+≈0.618DHAH≈ 0.618DHDH AD∴≈+解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈ 答：最少需要准备72cm 长的伞柄 3. 【答案】不穿过，理由见解析 【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可． 【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ， 在Rt △ACD 中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，tan 30ADBD︒=，即2.4x x =-， 解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．4. 【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】如图，过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC =30°，∠CBD =45°，解Rt △ACD 和Rt △BCD ，求出CD 即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．如图所示：根据题意可知∠BAC =90°−60°=30°，∠DBC =90°-45°=45°，AB =30×1=30（km ）， 在Rt △BCD 中，∠CDB =90°，∠DBC =45°， tan ∠DBC =CD BD ，即CDBD=1 ∴CD =BD 设BD =CD =x km ，在Rt △ACD 中，∠CDA =90°，∠DAC =30°，∴tan ∠DAC =CD AD ，即30x x =+解得x， ∵40.98km>40km∴这艘船继续向东航行安全．5. 【答案】背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m 【分析】通过解直角三角形Rt BCD 和Rt ACD ∆，分别求出AD 和BD 的长，由AB AD BD =-求出AB 的长． 【详解】解：在Rt BCD 中，∵背水坡BC 的坡度11:1i =，∴1CDBD=， ∴()20m BD CD ==．在Rt ACD ∆中，∵背水坡AC 的坡度2i = ∴CD AD =∴)m AD ==，∴()2014.6m AB AD BD =-=≈．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m ． 6. 【答案】这座山AB 的高度约为112m 【分析】在Rt PAB 中，·tan AB PA APB =∠，在Rt PAC △中，·tan AC PA APC =∠，利用AC AB BC =+，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，324235BC APC APB ︒∠︒=∠==，，．在Rt PAC △中，tan ACAPC PA∠=， ∴tan ACPA APC=∠．在Rt PAB 中，tan AB APB PA∠=， ∴tan ABPA APB=∠．∵AC AB BC =+， ∴tan tan AB BC ABAPC APB+=∠∠．∴()tan 32tan 35320.70112m tan tan tan 42tan 350.900.70BC APB AB APC APB ⋅∠⨯︒⨯==≈=∠-∠︒-︒-．答：这座山AB 的高度约为112m ． 7. 【答案】(1)证明见解析 (2)10.2米(3)tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH 的长，注意最后的结果；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含αβ、、m 的式子表示出PH ．(1)证明：∵9090,COG AON ∠=︒∠=︒∴POC CON GON CON ∠+∠=∠+∠∴POC GON ∠=∠(2)由题意得：KH =OQ =5米，OK =QH =1.5米，9060,OQP POQ ∠=︒∠=︒，在Rt △POQ 中tan ∠POQ =5PQ PQ OQ ==∴PQ =∴15102PH PQ QH =+=+≈..（米）故答案为：10.2米．(3)由题意得：1212, 1.5O O EF m O E O F DH m =====， 由图得：21==tan tan PD PD O D O D βα， 21tan tan PD PD O D O D βα==，， ∴1221O O O D O D =- ∴tan tan PD PD m βα=- ∴tan tan tan tan m PD αβαβ=- ∴tan tan 1.5tan tan m PH PD DH αβαβ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭米 故答案为：tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米 8. 【答案】塔顶到地面的高度EF 约为47米【分析】延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，设5BP x =，则12AP x =，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，∴FB HP =，FH BP =．由5:12i =，可设5BP x =，则12AP x =，由222BP AP AB +=可得()()22251226x x +=，解得2x =或2x =-（舍去），∴10BP FH ==，24AP =，设EF a =米，BF b =米，在Rt BEF △中tan EF EBF BF ∠=， 即tan 63.42a b︒=≈，则2a b =① 在Rt EAH 中，tan EH EF FH EF BP EAH AH AP PH AP BF++∠===++， 即10tan 50.2 1.2024a b +︒=≈+② 由①②得47a =，23.5b =．答：塔顶到地面的高度EF 约为47米．9. 【答案】(1)（）米；【分析】（1）过点A 作AE ⊥l 于点E ，设CE =x ，在Rt △ADE 中可表示出DE ，在Rt △ACE 中可表示出AE ，通过解直角三角形ADE 求出x 即可；（2）过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，继而得出CE 的长，在Rt △BCF 中，求出CF ，继而可求出AB ．(1)解：过点A 作AE ⊥l ，垂足为E ，设CE ＝x 米，∵CD ＝60米，∴DE ＝CE +CD ＝（x +60）米，∵∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCD ＝45°，在Rt △AEC 中，AE ＝CE •tan 45°＝x （米），在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴tan 30°＝AE ED ＝60x x + ∴x ＝，经检验：x ＝30是原方程的根，∴AE ＝（30）米，∴河的宽度为（）米；(2)过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，则CE ＝AE ＝BF ＝（）米，AB ＝EF ，∵∠BCD ＝120°，∴∠BCF ＝180°﹣∠BCD ＝60°，在Rt △BCF 中，CF ＝tan 60BF ︒＝ ∴AB ＝EF ＝CE ﹣CF ＝30﹣（∴古树A 、B 之间的距离为10. 【答案】82米【分析】设CD 的长为x ，可以得出BD 的长也为x ，从而表示出AD 的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设CD 为x ，∵45CBD ∠=︒，∠CDB =90°，∴BD CD x ==，∴()60AD AB BD x =+=+，在Rt ACD 中，∠ADC =90°，∠DAC =30°，tan CD DAC AD∠=，即60x x =+ ∴30330x∴81.9m x =82m ≈．答：此建筑物的高度约为82m ．11. 【答案】B ，D 间的距离为14nmile ．【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．再根据锐角三角函数即可求出B ，D 间的距离．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．在Rt △ABC 中，AC =BC∴AB =16(nmile)，在Rt △ADE 中，AD =10 nmile ，∠EAD =60°，∴DE =AD ， AE =12AD =5 (nmile)， ∴BE =AB -AE =11(nmile)，∴BD =14(nmile)，答：B ，D 间的距离为14nmile ．12. 【答案】(8+米【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，在Rt △ABD 和Rt BCD 中，分别解直角三角形求出,,,AD BD CD BC 的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，由题意得：16AB =米，45,30,CBD E AC EF ∠=︒∠=︒⊥，BD EF ∴，30ABD E ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 中，182AD AB ==米，cos BD AB ABD =⋅∠=在Rt BCD 中，tan CD BD CBD =⋅∠=cos BD BC CBD ==∠则8AD CD BC ++=+答：压折前该输电铁塔的高度为(8+米．13. 【答案】(1)(2)()90米【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH =DG =30米，DH =BG ，证明AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到3090x x -=+ (1)解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米， ∴13DG CG =， ∴90CG =米，∴CD ==米；(2)解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH =DG =30米，DH =BG ，∵∠ABC =90°，∠ACB =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米， 在Rt △ADH中，tan AH ADH DH ∠==，∴3090x x -=+解得90x =，∴()90AB =米．14. 【答案】约为19cm【分析】在Rt △ACO 中，根据正弦函数可求OA =20cm ，在Rt △A DO '中，根据正弦函数求得A D '的值．【详解】解：在Rt △ACO 中，∠AOC =180°-∠AOB =30°，AC =10cm ，∴OA =10201sin 302OC，在Rt △A DO '中，18072A OC A OB ，20OA OA '==cm ， ∴sin72200.9519A D OA cm ．15. 【答案】4.9m【分析】 先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，则BC =AC -AB =30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 3010DC AC A =⨯∠=⨯=，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯，∴20tan 4810DE EC DC =-=⨯-即20tan 481020 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=故广告牌DE 的高度为4.9m ．16. 【答案】隧道EF 的长度()30米．【分析】过点A 作AG ⊥CD 于点G ，然后根据题意易得AG =EG =DG ，则设AG =EG =DG =x ，进而根据三角函数可得出CG 的长，根据线段的和差关系则有80x +=，最后问题可求解．【详解】解：过点A 作AG ⊥CD 于点G ，如图所示：由题意得：80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==∠=∠=︒∠=︒，∴△EAD 是等腰直角三角形，∴AG =EG =DG ，设AG =EG =DG =x ，∴tan 30AG CG ==︒，∴80x +=，解得：40x =，∴()40m AG EG DG ===，∴()401030m EF ED DF =-=-=；答：隧道EF 的长度()30米．。
中考一轮复习 解直角三角形的 五种常见类型
解直角三角形的五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
高考数学(解三角形)第一轮复习
高考数学（解三角形）第一轮复习资料1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．第一节 正弦定理与余弦定理1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2答案 D2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( ) A.6πB.3π C.6π或65π D.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是 （ ）A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解B .△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 B4. 在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形 答案 B5. 在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CBsin sin 的值为（ ）A.58 B.85C.35D.53答案 D6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是 （ ） A.60° B.45°或135° C.120°D.30°答案 B7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = . 答案65π 8. 在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为 . 答案 3109. （2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案33 10. 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或A =120°,C =15°,c =226-.11. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理知：cos B =ac b c a 2222-+，cos C =ab c b a 2222-+.将上式代入C Bcos cos =-c a b +2得:ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-ca b +2整理得:a 2+c 2-b 2=-ac ∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B =32π. （2）将b =13,a +c =4,B =32π代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫⎝⎛-211,∴ac =3.∴S △ABC =21ac sin B =433. 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A由正弦定理可知上式可化为：sin 2A cos A sin B =sin 2B cos B sin A∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.13. 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =(a +b )2-c 2，求tan C 的值.解 依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 所以,ab sin C =2ab (1+cos C ),即sin C =2+2cos C ,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C =2.从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 14. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解 方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0,∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0, 即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21.∵0＜B ＜π,∴B =3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c .又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0，∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0，即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π, ∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b .由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin 3π=3. ∴sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3，∴sin A +sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πA =1. ∴A +6π=2π,∴A =3π,∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形. 15. （2008·广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin22B A +-cos2C =27. (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 解 （1）∵A +B +C =180°,由4sin 22B A +-cos2C =27,得4cos 22C-cos2C =27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C -1)=27,整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21, ∵0°＜C ＜180°,∴C =60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ， 由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6,∴S △ABC =21ab sin C =21×6×23=233. 第二节 正弦定理、余弦定理的应用1.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则βα、的关系为（ ） A.α＞βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案 B2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A.10 km B.3 km C.510 km D.107 km答案 D3. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是 （ ）A.)331(20+m B.)231(20+ m C.)31(20+ m D.30 m答案 A4．如图，位于港口O 正东20海里B 处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由余弦定理得BC ＝202＋102－2×10×20cos120°＝107，从而需73小时到达B 处．答案：735．(2010年南京市高中联考)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：连结AC .则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.答案：136.(2010年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．解析：假设该船从A 处航行到了D 处，两座灯塔分别在B 、C 位置，如图，设AD 长为x ，则AB ＝x tan60°，AC ＝x tan75°，所以BC ＝x tan75°－x tan60°＝10，解得x ＝5，所以该船的速度v ＝50.5＝10(海里/小时)．答案：107.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：连结OC ，在三角形OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，∴OC ＝507.答案：5078.(原创题)在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为________．解析：∵r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b 2－1，∵4＝a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤8，∴a ＋b ≤22，∴r ≤2－1.答案：2－19.(2009年高考辽宁卷)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解：在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，所以AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620. 同理，BD ＝32＋620≈0.33(km)，故B 、D 的距离约为0.33 km.。
数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式试题1理
第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。
3 D。
42。
sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。
小于0 B。
大于0C。
等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。
-√32+12C。
√32−12D。
-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。
—2+√3C。
2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。
cos 2α>0 B 。
cos 2α〈0 C 。
sin 2α>0 D.sin 2α<06。
已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。
-√3图4-1—17。
[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。
4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。
2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
高考数学《解三角形》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《解三角形》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，则角A 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos =c b A ，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC 中，c =1b =，30B ∠=︒，则ABC 的面积等于（ ）AB C D4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2,30a b C ===，则c 的值为（ ）A ．1BC D ．5．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（ ）．A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π36．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A ．1B ．2CD 7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=，若ABC.则ab 的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．1128．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若30PAF ∠=，则sin PFA ∠=（ ）A ．12B C D 9．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（ ）A B C D10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()(222b c a bc +=+，且sin B A =，则sin C =（ ）A ．12B C D 11．在锐角△ABC 中，()222S a b c =--，2a =，则△ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(]4,6B ．(4,2⎤⎦C ．(6,2⎤⎦D ．(2⎤⎦ 12．在ABC 中，9AB AC ⋅=，()sin cos sin A C A C +=，6ABCS =，P 为线段AB 上的动点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则21x y +的最小值为（ ）A ．116+B ．116C ．1112D ．1112二、填空题13．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.14．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2,1,30a b B ===︒，则A =_________.15．正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________．16．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，2AP PD =，Q 为AC 上一点，且BQ QP +的最________ 三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A C b A ．(1)求角A ；(2)若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin 3A C =，求b ．19．在①()2223sin 2a cb B ac +-=且4B π>；②sin 31cos b A a B =-；③sin sin sin sin B C a A C b c +=--这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________． (1)求B ；(2)若D 为边AC 的中点，且3,4==a c ，求中线BD 长．20．如图，扇形OMN 的半径为3，圆心角为3π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足23OBA π∠=.(1)若1OB =，求AB 的长；(2)求△ABM 面积的最大值.21．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．(1)用AB ，AC 表示AO ； (2)若34AM =，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．22．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
解三角形一轮复习
解三角形一、基本知识点1内角和定理：在错误！不能通过编辑域代码创建对象。
中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。
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面积公式:错误！不能通过编辑域代码创建对象。
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=错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(解三角形的重要工具)形式二：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(边角转化的重要工具)3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
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(解三角形的重要工具)错误！不能通过编辑域代码创建对象。
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二、基本考点及应用（一）：利用正弦余弦定理求未知量1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.2在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于3在错误！不能通过编辑域代码创建对象。
中，A、B的对边分别是错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，且错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，求B4若错误！不能通过编辑域代码创建对象。
中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，求角C5在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cos A=a cos C，求cos A6在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CB sin sin 的值7在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积8在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
解三角形的综合问题(高三一轮复习)
数学 N
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思维点睛►
三角形中的最值或范围问题的解法 (1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角 形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单 调性和值域求解． (2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之 间的等量关系，然后利用基本不等式求解．
79× 22＝8＋178
2 .
数学 N
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命题点2 解三角形中的最值(范围)问题
例2 (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 1＋cossinAA＝1＋sinco2sB2B.
(1)若C＝23π，求B； (2)求a2＋c2 b2的最小值．
数学 N 解 (1)因为1＋cossinAA＝1＋sinco2sB2B， 所以1＋cossinAA＝1＋2si2ncoBsc2oBs－B1， 所以1＋cossinAA＝csoins BB， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos23π＝12， 因为B∈0，3π，所以B＝6π.
第四章 三角函数、解三角形
第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 解三角形的综合问题
数学 N
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命题点1 平面多边形中的解三角形问题 例1 从①BD·sin∠ABD＝3sin A，②S△ABD＝3 3 这两个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并作答．
数学 N
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问题：如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝4，A＝3π，且
数学 N
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证法二：因为a2＝3(b＋c)，且b＝3，
解三角形一轮复习
解三角形的有关公式：（1）内角和：A B C π++=； （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （边角相对用正弦） 常用推论：⎪⎩⎪⎨⎧===C R C B R b A R a sin 2sin 2sin 2（3）余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 （两边夹角用余弦）（4）三边求角： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-+=-+=ab c b a Cac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 22222222 （已知三边求角）（5）面积公式：1111.sin sin sin 22212.||2ABCABCS ab C ac B bc C S xv yu ⎧===⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（知道三点坐标）习题专练：例1、在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形 （1）45,30,10A C c ︒︒===，求a 及ABCS ； （2）6,4,60b c A ︒===，求ABCS及a题组一：1、在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b =2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,,1,3a b c A a b π===则c =（ ）．A ． 1 B. 2 C. 3—1 D. 33. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π4、在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且222b c a +=，则A ∠等于 （ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =题组二：1．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 ( )A.12π B.6π C.4π D.3π2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=( ) A.6π B.3πC.23πD.56π3、已知：在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为 ( )A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形4、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在 同一水平面内的两个测点C 与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则BC= 米, 塔高AB= 米。
高三数学第一轮复习 解三角形教案
高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。
在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。
本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。
3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。
二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。
2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。
(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。
三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。
(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。
2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。
(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。
(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。
四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。
2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。
3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。
通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。
高考数学一轮复习：正弦、余弦定理与解三角形
角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大
角”进行判断.
对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,若2sin2A+cos B=1,则 − 的取值范围为
又因为 0<A<π,所以
π
A=3.
由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sin A,sin B,sin C成等差数列,
所以2sin B=sin A+sin C,即2b=a+c,
即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案二:选条件②.
由 4S=√3(b2+c2-a2),可得 2bcsin A=2√3bccos A,所以 tan A=√3.
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、
配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关
系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要
注意应用A+B+C=π这个结论.
对点训练2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos
1
(3)S=2r(a+b+c)(r
为内切圆半径).
A= .
4
2.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
余弦定理
语言
2024版高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第五节解三角形教学课件
三角形中的常见结论
+
π
（1）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
（2）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
（7）在 <
△ <
>
> = cos + cos <
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>（射影定理）.
/m
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44：利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.
2023年中考数学一轮专题练习 解直角三角形的实际应用3(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共18小题）1. （湖北省宜昌市2022年）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5372α︒≤≤︒．如图，现有一架长4m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B 距离墙面1.64m 时，计算ABO ∠等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？（参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin 660.91︒≈，cos660.41︒≈，tan66 2.25︒≈）2. （湖南省常德市2022年）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈）3. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A 点观测杆顶E 的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C 处，在D 点观测旗杆顶端E 的仰角为60°，求旗杆EF 的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据： 1.732）4. （江苏省连云港市2022年）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A 处测得阿育王塔最高点C 的仰角45CAE ∠=︒，再沿正对阿育王塔方向前进至B 处测得最高点C 的仰角53CBE ∠=︒，10m AB =；小亮在点G 处竖立标杆FG ，小亮的所在位置点D 、标杆顶F 、最高点C 在一条直线上， 1.5m FG =，2m GD =．（注：结果精确到0.01m ，参考数据：sin530.799︒≈，cos530.602︒≈，tan53 1.327︒≈）(1)求阿育王塔的高度CE ；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED ．5. （江苏省宿迁市2022年）如图，某学习小组在教学楼AB 的顶部观测信号塔CD 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB 的高度为20m ，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．6. （江苏省泰州市2022年）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB = 8 m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1 m ，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）7. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，DC AM ⊥于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15︒，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53︒，测得山坡坡角30CBM ∠=︒（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53︒≈45，cos 53︒≈35，tan 53︒≈43）8. （辽宁省营口市2022年）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米i=（坡度是到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜坡AB的坡度3:4指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C︒≈︒≈）均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.69. （山东省聊城市2022年）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：︒≈，cos760.24︒≈，sin760.97︒≈，sin26.60.45︒≈，tan26.60.50︒≈，cos26.60.89︒≈）tan76 4.0110. （山东省烟台市2022年）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）11. （山西省2022年）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：,,）．︒≈︒≈︒≈sin700.94cos700.34tan70 1.7312. （重庆市2022年（B卷））湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1 1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）13. （重庆市2022年）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的AC=米．点E在点A的正北方人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，200BD=米．点B在点A的北偏东30，点D在点E 向．点B，D在点C的正北方向，100的北偏东45︒．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈，1.4141.732）14. （浙江省台州市2022年）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15. （浙江省宁波市2022年）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m ），且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9m ．(1)若∠ABD =53°，求此时云梯AB 的长．(2)如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）16. （浙江省金华市2022年）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF 为吸热塔，在地平线EG 上的点B ，B '处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点(),A A '旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处．已知1m,8m,AB A B EB EB ='==''=，在点A 观测点F 的仰角为45︒．（1）点F 的高度EF 为 m ．（2）设,DAB D A B αβ''∠'=∠=，则α与β的数量关系是 ．17. （浙江省嘉兴市2022年）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知10cm AD BE ==，5cm CD CE ==，AD CD ⊥，BE CE ⊥，40DCE ∠=︒．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan 200.36︒≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）(1)连结DE ，求线段DE 的长．(2)求点A ，B 之间的距离．18. （四川省广安市2022年）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75参考答案1. 【答案】(1)梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米(2)66ABO ∠=︒，人能安全使用这架梯子【分析】（1）AB 的长度固定，当∠ABO 越大，OA 的高度越大，当72α=︒时，AO 取最大值，此时，根据∠ABO 的正弦三角函数计算出OA 长度即可；（2）根据AB =4，OB =1.64，利用∠ABO 的余弦函数值，即可求出∠ABO 的大小，从而得到答案．(1)∵5372α︒≤≤︒当72α=︒时，AO 取最大值，在Rt AOB 中，sin AO ABO AB∠=， ∴sin 4sin7240.95 3.8AO AB ABO =∠=︒≈⨯=，所以梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米．(2)在Rt AOB 中，cos BO ABO AB∠=， cos 1.6440.41ABO ∠=÷=，cos660.41︒≈， ∴66ABO ∠=︒，∵5372α︒≤≤︒，∴人能安全使用这架梯子．2. 【答案】70【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB ∴∠=∠25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=， 解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．3. 【答案】旗杆EF 的高度约为18.9米．【分析】过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，则EF =1.58+x ．分别在Rt △AEG 和Rt △DEG 中，利用三角函数解直角三角形可得AG 、DG ，利用AD =20列出方程，进而得到EF 的长度．【详解】 解：过点D 作DG ⊥EF 于点G ，设EG =x ，由题意可知：∠EAG =30°，∠EDG =60°，AD =20米，GF =1.58米．在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AG ，∴AG ，在Rt △DEG 中，tan ∠EDG =EG DG，∴DG =，∴=20， 解得：x ≈17.3，∵EF =1.58+x =18.9(米)．答：旗杆EF 的高度约为18.9米．4. 【答案】(1)40.58m(2)54.11m【分析】（1）在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-，解方程即可求解． （2）证明Rt FGD Rt CED △∽△，根据相似三角形的性质即可求解．(1)在Rt CAE 中，∵45CAE ∠=︒，∴CE AE =．∵10AB =，∴1010BE AE CE =-=-．在Rt CEB 中，由tan 5310CE CE BE CE ︒==-， 得()tan5310CE CE ︒-=，解得40.58CE ≈．经检验40.58CE ≈是方程的解答：阿育王塔的高度约为40.58m ．(2)由题意知Rt FGD Rt CED △∽△， ∴FG GD CE ED =， 即 1.5240.58ED=， ∴54.11ED ≈．经检验54.11ED ≈是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m ．5. 【答案】（20）m ．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝DE AE，∴20tan tan30DEAEDAE===∠︒，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE AE=m，∴CD＝CE＋DE＝（20）m，∴信号塔的高度为（20）m．6. 【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C 点在M 点正下方，∴CM ⊥CD ，即∠MCD=90°，∵房顶AM 与水平地面平行，AB 为墙面，∴四边形AMCB 为矩形，∴MC=AB =8，AB ∥CM ，∴∠NMC =180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的点D 经过平面镜MN 反射后落在点C ，结合物理学知识可知：∴∠NME =90°，∴∠EMD =∠EMC =90°-∠NMC =90°-62°=28°，∴∠CMD =56°，在Rt △CMD 中，tan CD CMD CM ，代入数据：1.488CD ， ∴11.8411.8CD m ，即水平地面上最远处D 到小强的距离CD 是11.8m ．7. 【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：15CAE ∠=︒，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出15ACB ∠=︒，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案． （2）在Rt CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt DEB 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，最后进行计算即可解答．(1)解：由题意得15CAE ∠=︒，AB ＝30米，∵CBE ∠是ABC 的一个外角，∴15ACB CBE CAE ∠=∠-∠=︒，∴15ACB CAE ∠=∠=︒，∴AB ＝BC ＝30米，∴斜坡BC 的长为30米；(2) 解：在Rt CBE 中，30CBE ∠=︒，BC ＝30米，∴1152CE BC ==（米）， ∴BE =在Rt DEB 中，53DBE ∠=︒，∴DE =BE tan 53︒43≈=米)，∴DC ＝DE ﹣CE ＝1520≈（米），∴这棵大树CD 的高度约为20米．8. 【答案】大楼MN 的高度为92米【分析】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，通过解直角三角形表示出BF 、AN 、AE 的长度，利用BF =NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE ∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =， 3sin 5BE BAE AB ∴∠== 75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒ tan 58 1.6x AN ∴︒=≈58AN x ∴≈ 5608NE AN AE x ∴=+=+ 在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF ∠=∠=︒ 45tan 220.4x BF-∴︒=≈ 5(45)2BF x ∴≈- 5560(45)82x x ∴+=- 解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．9. 【答案】古槐的高度约为13米【分析】过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，在Rt △AME 中，根据锐角三角函数求出AM =12米，进而求出CN =8米，再在Rt △ENC 中，根据锐角三角函数求出EN =32.08米，即可求出答案．【详解】解：过点A 作AM ⊥EH 于M ，过点C 作CN ⊥EH 于N ，由题意知，AM =BH ，CN =DH ，AB =MH ，在Rt AME 中，∠EAM =26.6°， ∴tan EAM EM AM ∠=， ∴453912tan tan 26.60.5EM EH MH AM EAM --==≈=∠︒米， ∴BH =AM =12米，∵BD =20，∴DH =BD -BH =8米，∴CN =8米，在Rt ENC 中，∠ECN =76°， ∴EN tan ECN CN∠=， ∴tan 8 4.0132.08EN CN ECN =⋅∠≈⨯=米，∴12.9213CD NH EH EN ==-=≈（米），即古槐的高度约为13米．10. 【答案】不得小于11度【分析】根据题意可得DF ＝15AB ＝0.15米，然后根据斜坡AC 的坡比为1：2，可求出BC ，CD 的长，从而求出EB 的长，最后在Rt △AEB 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：DF ＝15AB ＝0.15（米）， ∵斜坡AC 的坡比为1：2， ∴AB BC ＝12，DF CD ＝12， ∴BC ＝2AB ＝1.5（米），CD ＝2DF ＝0.3（米），∵ED ＝2.55米，∴EB ＝ED +BC ﹣CD ＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝AB EB ＝0.753.75＝15， 查表可得，∠AEB ≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．11. 【答案】58m【分析】延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒．又∵90GAC ∠=︒，∴四边形ACHG 是矩形．∴GH AC =．由题意，得60,24,70,30,60AG OF AOG EOF EFH ==∠=︒∠=︒∠=︒．在Rt AGO △中，90,tan AG AGO AOG OG ∠=︒∠=， ∴606021.822tan tan 70 2.75AG OG AOG ==≈≈≈∠︒﹒ ∵EFH ∠是EOF △的外角，∴603030FEO EFH EOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴EOF FEO ∠=∠．∴24EF OF ==．在Rt EHF 中，90,cos FH EHF EFH EF∠=︒∠= ∴cos 24cos6012FH EF EFH =⋅∠=⨯︒=．∴()22241258m AC GH GO OF FH ==++=++≈．答：楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m ．12. 【答案】(1)湖岸A 与码头C 的距离为1559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【分析】（1）过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD∠=，即可求出450x =，根据Rt ACD △中，sin CD CAD AC∠=即可求出湖岸A 与码头C 的距离；（2）设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC AC +，列出方程，求出时间t ，再和5分钟进行比较即可求解．(1)解：过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，如图所示，由题意可得：60NAB ∠=︒，30NAC ∠=︒，900CB =米，则60CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒ 设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD ∠=，∴=，解得450x =， 在Rt ACD △中，sin CD CAD AC ∠=，∴900 1.7321558.81559AC ===⨯=≈（米）， ∴湖岸A 与码头C 的距离为1559米；(2)解：设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，由题意可得：1504009001559t t +=+，4.475t ≈＜，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．13. 【答案】(1)283米(2)经过点B 到达点D 较近【分析】（1）过E 作BC 的垂线，垂足为H ，可得四边形ACHE 是矩形，从而得到200EH AC ==米，再证得△DEH 为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．(1)解：过E作BC的垂线，垂足为H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴200==米，EH AC根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴283DE=（米）；(2)解：根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt ABC中，∴2400==米，AB AC∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，∴BC=∴100200100==+-=-=（米），AE CH BC BD DH∴经过点E到达点D，总路程为100529500≈>，∴经过点B到达点D较近．14. 【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB⋅sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．15. 【答案】(1)15m(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE =BC =2m ，从而求出AD =17m ，然后在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，进行比较即可解答．(1)解：在Rt △ABD 中，∠ABD =53°，BD =9m ，∴AB =9cos530.6BD ≈︒=15（m ）， ∴此时云梯AB 的长为15m ；(2)解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE =BC =2m ，∵AE =19m ，∴AD =AE -DE =19-2=17（m ），在Rt △ABD 中，BD =9m ，∴AB ===m ），∵＜20m ，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．16. 【答案】 9 ； 7.5αβ-=︒【分析】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG ，确定FG ，EG 的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．【详解】（1）过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．∵∠ABE =∠BEG =∠EGA =90°，∴四边形ABEG 是矩形，∴EG =AB =1m ，AG =EB =8m ，∵∠AFG =45°，∴FG =AG =EB =8m ，∴EF =FG +EG =9(m )．故答案为：9；（2）7.5αβ-=︒．理由如下：∵∠A 'B 'E =∠B 'EG =∠EG A '=90°，∴四边形A 'B 'EG 是矩形，∴EG =A 'B '=1m ，A 'G =E B '=，∴tan ∠A 'FG =A G FG '= ∴∠A 'FG =60°，∠F A 'G =30°，根据光的反射原理，不妨设∠FAN =2m ，∠F A 'M =2n ，∵ 光线是平行的，∴AN ∥A 'M ，∴∠GAN =∠G A 'M ，∴45°+2m =30°+2n ，解得n -m =7.5°，根据光路图，得90,90DAB m D A B n αβ'∠==-∠==-''，∴9090m n n m αβ-=--+=-，故7.5αβ-=︒，故答案为：7.5αβ-=︒ ．17. 【答案】(1)3.4cm(2)22.2cm【分析】（1）过点C 作CF DE ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质可得DF EF =，20DCF ECF ∠=∠=︒，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，可得对称轴l 经过点C ．从而得到四边形DGCE 是矩形，进而得到DE =CG ，然后过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，可得1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒，从而得到2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，，再利用锐角三角函数，即可求解．(1)解：如图2，过点C 作CF DE ⊥于点F ，∵CD CE =，∴DF EF =，CF 平分DCE ∠．∴20DCF ECF ∠=∠=︒，∴sin 2050.34 1.7DF CD ︒=⋅≈⨯=，∴2 3.4cm DE DF ==．(2)解：如图3，连结AB ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l ，∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l 经过点C ．∴AB l ⊥，DE l ⊥，∴AB ∥DE ．过点D 作DG AB ⊥于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， ∵DG ⊥AB ，HE ⊥AB ，∴∠EDG =∠DGH =∠EHG =90°，∴四边形DGCE 是矩形，∴DE =HG ，∴DG ∥l ， EH ∥l ， ∴1202GDC CEH DCE ∠=∠=∠=︒， ∵AD CD ⊥，BE ⊥CE ，∴2020DAB GDC EBH CEH ∠=∠=︒∠=∠=︒，， ∴cos 20100.949.4,cos 20100.949.4AG AD BH BE =⋅︒≈⨯==⋅︒≈⨯=， ∴22.2cm AB BH AG DE =++=．18. 【答案】菜园与果园之间的距离为630米【分析】过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，四边形BCFE 是矩形，在Rt CDF △中，求得180DF =，CF =240，进而求得AE =210，在Rt ADE △中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点D 作EF AB ⊥，交AB 于点E ，则CF BC ⊥，∵∠B =90°，∴四边形BCFE 是矩形， CF BE ∴=，BC =EF ，在Rt CDF △中，sin 3000.6180,cos 3000.8240DF CD FCD CF CD FCD =⋅∠≈⨯==⋅∠≈⨯=， ∴BE =240，∴AE =AB -BE =210，在Rt ADE △中，65DAE ∠=︒，tan =DE A AE ， tan 210tan 65450DE AE A ∴=⋅=⨯︒≈米． ∴BC =EF =DF +DE =180+450=630 答：菜园与果园之间的距离630米．。
解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR =；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=．111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．252．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．（结果精确到 0.01 千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <． （1）求角B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；（2）若23a =，6b c +=，求ABC 的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直． （1）求ABC 的面积； （2）若7b c +=，求a 的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．1202．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 303．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．6B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ） A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 236．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为3A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +157．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b cD ．22++≤a b c 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________．9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c =---，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长； (2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a -=，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若333c a b =+，证明：ABC 是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =，337AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1B 2C 5D ．33．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，3AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________． 6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 7．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，360B =︒，223a c ac +=，则b =________．8．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin A C =b ．13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3318．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。
2025优化设计一轮 解三角形
A.346
B.373
C.446
D.473
解析 如图,过点 C 作 CD⊥BB',垂足为点 D,过点 D 作 DE⊥AA',垂足为点 E,
连接 CE,过点 B 作 BF⊥AA',垂足为点 F,
则由题意可得∠BCD=15°,∠ABF=45°,FE=BD=BB'-CC'=100,AF=BF=DE,
所以 AA'-CC'=BF+100.易得 CD∥C'B',DE∥B'A',EC∥A'C',
脚A处的俯角为45°,则山高BC=__________
m.
450
解析 依题意∠AMD=45°,
则 AM=√2MD=300√2,∠CMA=45°+15°=60°,∠CAB=60°,
故∠MAC=180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°.
在△MAC
中,由正弦定理,得sin∠
解得 AC=300√3,
则 BC=ACsin 60°=450.
=
,即sin60°
sin∠
=
300√2
,
sin45°
规律方法
解决高度问题的三个注意点
(1)理解好两类角:仰角、俯角是在铅垂面上所成的 角,方向角、方位角是
在水平面上所成的角,注 意区分.
(2)画好两个图形:高度问题一般涉及空间与平面 问题,因此要画好两个图
故 BC=
20×
2
2
1
2 =10 2,
√
所பைடு நூலகம் B,C 两点间的距离是 10√2海里.
=
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正弦定理、余弦定理【知识要点】1．基本概念：由斜三角形六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少一个是边），求其余三个未知元素的过程，叫做解斜三角形. 2．．正弦定理（1）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相 等，并且等于其外接圆的直径，即：R CcB b A a 2sin sin sin === （2）三角形面积公式：B ca A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===（3）用正弦定理可解决以下两类问题：① 已知两角和任一边，求其余边和角； ② 已知两边和其中一边的对角，求其余的边和角（这时要对解进行讨论）. 3．余弦定理（1）三角形任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=也可变形为bcac b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；abc b a C 2cos 222-+=（2）用余弦定理可解决以下三类问题：① 已知三边，求三个角；② 已知二边和它们的夹角，求其余边和角； ③ 已知二边和其中一边的对角，求其余边和角（这时也需要讨论）.4．解三角形时，须掌握下列基本关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形中，大边对大角，大角对大边； （3）三内角和︒=++180C B A ，由此可得：()(),cos cos ,sin sin C B A C B A -=+=+ (),2sin 2sin C B A -=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+等. 【基础练习】 1．在ABC ∆中，bc c b a++=222，则=A .2．在ABC ∆中，,15,5,30==︒=∠b a A 则=c .3．在ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的条件.4．在ABC ∆中，,2,60=︒=∠b A 3=∆ABC S 则=++++CB A cb a sin sin sin .【典例剖析】【例1】(1) 已知在ABC ∆中，,30,45,10︒=︒==C A c 求b a ,和.B(2) 已知在ABC ∆中，,6,2,45==︒=∠c a A 解此三角形. 解：(1)∵CcA a sin sin =∴21030sin 45sin 10sin sin =︒︒⨯==C A c a︒=--︒=105180C A B ，()()13252654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin +=+=+⨯=︒=︒︒⨯==C B c b(2) 法一：由正弦定理得23222645sin 26sin =⋅=︒=C ∵3226sin =⨯=A c ， ,623,6,2<<==c a∴有两解，即︒=∠60C 或︒120，︒=∠75B 或︒15. 由,sin sin B Aab =得13-=b 或13+=b ∴,13+=b ,60︒=∠C ︒=∠75B 或13-=b ,,120︒=∠C .15︒=∠B 法二：由余弦定理得()445cos 62622=︒-+b b∴02322=+-b b 解得13±=b又(),cos 2226222C b b ⨯-+=得︒=∠±=60,21cos C C 或︒120， 所以︒=∠75B 或︒15.∴,13+=b ,60︒=∠C ︒=∠75B 或13-=b ,,120︒=∠C .15︒=∠B变式练习1：在ABC ∆中,,75,60,8︒=︒==C B a 则b 等于 （ ）A.24B.34C.64D.332变式练习2：在ABC ∆中，,22,32,45==︒=∠b a B 则A 为 （ ） A.︒60或︒120 B.︒60 C.︒30或︒150 D.︒30 【例2】已知ABC ∆的三边长37,4,3===c b a ,求三角形的最大内角. 解：显然∠C 最大,()2143237432cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ab c b a C且︒<∠<︒1800C ∴︒=∠120C变式练习：（06辽宁）ABC ∆的三内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,,设向量()(),,,,a c a b b c a --=+=若p ∥则角C 的大小为 （ ） A.6π B. 3π C. 2π D. π32【例3】已知c b a ,,是ABC ∆中三内角C B A ,,所对边的长，S 是ABC ∆的面积，若,35,5,4===S b a 求c 的长度.解：,sin 21C ab S = 23sin =∴C ，又︒<∠<︒1800C ，于是=∠C ︒60或︒120.由余弦定理得：C ab b a c cos 2222-+=，∴当=∠C ︒60时;21,=c 当=∠C ︒120时.61,=c ∴c 的长度为21或61.变式练习：（06全国Ⅱ）在ABC ∆中, ,45=∠B,552cos ,10==C AC （1）求BC 边的长;（2）记AB 的中点为D ,求中线CD 的长.【巩固提高】 一、选择题1．已知在ABC ∆中，,20,18,150==︒=∠b a A 则满足此条件的三角形个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.无数个2．已知在ABC ∆中，,222bc c b a ++=则A 等于（ ）A.︒60B.︒45C.︒120D.︒303．（08北京）已知ABC ∆中，若,60,3,2 ===B b a 那么A 等于 （ ）A. 135B. 90C. 45D.704．在ABC ∆中，若,8,7,6===c b a 则ABC ∆的形状是 （ ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法判断 5．（08福建）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若,3222ac b c a =-+则B 的值为 （ ）A.6π B.3π C. 6π或65π D.3π或32π6．ABC ∆的对边分别为,,,c b a 且,1=a ,45 =B 2=∆ABC S ，则ABC ∆外接圆直径为 （ ） A.34 B.5 C.25 D.26 二、填空题7．在ABC ∆中，3:2:1::=C B A ,则=c b a :: .8．在ABC ∆中，,45,60,12︒=︒==+B A b a分别等于则b a , .9．在ABC ∆中，,sin cos 2sin C B A =则三角形形状为三角形.三、解答题10．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为.,,c b a 证明：()CB A c b a sin sin 222-=-.11．（08全国Ⅰ）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为,,,c b a 且.4sin ,3cos ==A b B a （Ⅰ）求边长;a（Ⅱ）若ABC ∆的面积,10=S 求ABC ∆的周长.12．（06年天津）在ABC ∆中,.43cos ,1,2===C BC AC （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.13． （07年全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为A b a c b a sin 2,,,=， （1）求∠B 的大小； （2）若,5,33==c a 求b .14．（07年福建）在ABC ∆中,53tan ,41tan ==B A （1）求C ∠的大小；（2）若,17=AB 求BC 的长.15．（07年浙江）已知ABC ∆的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+，（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为C sin 61，求∠C 的度数.16． 在ABC ∆中, 内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且c b a ,,成等比数列，.43cos =B （1）求C A cot cot +的值； （2）设,23=⋅BC BA 求c a +的值.第五章 单元检测Ⅰ卷一、选择题1．（07全国Ⅰ）已知),5,6(),6,5(=-=则与 （ ）A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B. 等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形3．在△ABC 中，较短的两边为32,22==b a ,且A =45°,则∠C 的大小是 （ ） A.15° B.︒75 C.120° D.60° 4．在△ABC 中，已知3,1||,4||===∆ABC S , 则²= （ ） A.－2 B.2 C.±2 D.±4 5．设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则a 的取值范围是 （ ） A.a ≥3 B.a ＞－1 C.－1＜a ≤3 D.a ＞0 6．（08湖南）在△ABC 中, AB =3，AC =2，BC =10，则²= （ ） A.27-B.32- C.32 D.23 7．（08全国Ⅰ）在△ABC 中，.,==若点D 满足2=则= （ ）A.3132+ B.3235- C.3132- D.3231+8．若△ABC 三边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐 角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（ ）A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶4 9．已知向量a)1,1(=，b)3,2(-=，若b a k2-与a垂直，则k = （ ） A.A ．1B.－1C.0D.210．已知向量a=)sin ,(cos θθ，b=)1,3(-，则b a-2|的最大值是 （ ）A.4B.－4C.2D.－211．已知b a ,是非零向量，则b a=是()()ba b a -⊥+的（ ）条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既不充分也不必要12．（07全国Ⅱ）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若,31,2λ+==则λ= （ ）A.32B.31 C. -31D.－32Ⅱ卷二、填空题13．在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52s i n s i n +=B C ，A = .14．在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B=时，BC 的长取得最大值.15．向量b a ,满足()()42-=-⋅+b a b a，且,2=a4=b ，则b a,夹角的余弦值等于 .16．c b a ,⊥ 与b a ,的夹角均为60°且2,1==b a,,3=c 则()22c b a-+= .三、解答题17．设21,e e 是两个互相垂直的单位向量，且,43,232121e e b e e a +-=+=求b a ⋅18．已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求及D 点坐标.19.ABC ∆的三个内角为C B A ,,，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个个最大值.20.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别是c b a ,,且31cos =A（1）求A CB 2cos 2sin 2++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值.21．在△ABC 中，3,1-=⋅=⋅ （1）求AB 边的长度； （2）求CB A sin )sin(-的值.22．已知在ABC ∆中, 内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 向量()()1,cos ,sin 31,1A n A m =-=且n m ⊥.（1）求∠A ；（2）设,3a c b =+求⎪⎭⎫⎝⎛+6sin πB 的值.。