2020届高考数学(文)热点猜押练二强化练1 情景化问题(含解析)

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2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)

高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =；10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件．输出683S =，【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A B C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-，则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时，满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=，由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-，则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称，则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)；直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π，【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠．则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ．【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=．【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =，【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ．【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a =3b =，则渐近线方程为y =．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标x ，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标x =，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且AD =4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =，由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ，由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥，所以：1A O ⊥平面ABC ，所以：1AO BC ⊥，又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影，所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量，所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X 人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±，则2PA y k x =+，2PB yk x =-，又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或k ．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率k =时，HN ；当HM 斜率k =时，HN ．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3．【解析】解：（Ⅰ），()0f x …在x R ∈上恒成立，12x e a x ∴+…，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =，当12x >，即()0h x '>，函数单调递增，当12x <，即()0h x '<，函数单调递减，，0a ∴<…故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x >；()0g x '<，可得0x <．()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．，，∴ 1.6>，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =+．（2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=，由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x ma∀∈+∞，()（Ⅱ）若f（2）1a<+，求a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，a>时，，当且仅当1，()…恒成立，f x m∴…，2m（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。

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高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =，故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±，故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =，故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时，实数k 的取值范围是112k <<，故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =，故展开式中含2x 项的系数为210159C =，故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53．【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号，故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ．设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②．（1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =，所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ，所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，，设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；（2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <；（3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<，即16m <；证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->，所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅；当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >；综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立，所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟，所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)冲刺卷(二)(解析版)

则最大利润是__________元.
【答案】 5000
【解析】设每天安排生产 x 个遥控小车模型， y 个遥控飞机模型，则生产 (30 x y) 个遥控火车模型，依 10x 12 y 8(30 x y) 320, 30 x y 0,
题得，实数 x, y 满足线性约束条件 x 0, y 0,
4
4…
4
.故答案为
4.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 A，， B C 是 ABC 的内角， a，， b c 分别是角 A，， B C 的对边.若 cos2 B sin2 A sin Asin B cos2 C ,
（1）求角 C 的大小；
【答案】B
【解析】因为 f (x) [b, 2a b] ，又依题意知 f (x) 的值域为[5,3] ，所以 2a b 3 得 a 4 ，
b
5 ，所以 g(x) 5 cos 4x ，令 4x
k
2
(k Z) x
，得
k 4
8
(k Z) ，则 g(x) 的图象的
k 对称中心为 4
)
3, 1
A．
2, 0
B．
5, 1
C．
2,1
D．
【答案】B
【解析】由
f
x 1
f
1 x 可知函数
f
x 的对称轴为 x=1.因为
f
x
在
[5,
5]
上是增函数,所以
f
x 在 [5,
5]
上是减函数,因为
x
1 2
,1
,所以
1 2
x 1 0
,又因为不等式

2020年全国高考数学临考押题试卷(文科)-含答案与解析

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

河北省衡水中学2020届高三押题II卷文数学试题(含解析答案)

2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 学%科%网...12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.学%科%网...请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，学,科,网...共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，学,科,网...则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y= =1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y= =，时不满足条件y2≥x，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A学,科,网...【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，学,科,网...则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.学,科,网...在中，由余弦定理，得.解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.学,科,网...又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..【答案】（1）.（2）见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值. 试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①学,科,网...又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.学,科,网...设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，学,科,网...而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.21 / 21 （2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而，从而. 当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。

2020年全国高考仿真模拟文科数学试卷(二)解析版

2 5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十
四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四
个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十
-1-
尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )
11．若 x，y，z∈R＋，且 3x＝4y＝12z，x＋y∈(n，n＋1)，n∈N，则 n 的值是( ) z
2
3
6
12
答案 C
解析 ∵等边三角形 ABC 的边长为 2，∴A→B·A→C＝B→A·B→C＝C→A·C→B＝2，
-3-
又A→E＝λA→B，A→F＝μA→C，
∴E→C＝E→B＋B→C＝B→C＋(1－λ)A→B，F→B＝F→C＋C→B＝(1－μ)A→C－B→C，
∴E→B·F→C＝(1－λ)·A→B·(1－μ)A→C＝(1－μ)(1－λ)A→B·A→C ＝2(1－μ)(1－λ)＝2， 3
7．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则 Aω的可能取值为( )
-2-
A.π
B．π
C.3π
象关于 y 轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ 2
＝π，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0， 2 ∴cosω·1e＝cos3ω·e13＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则 Aω＝π.故选 B.
2020 年全国高考仿真模拟试卷(二)
数学（文科）解析版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．

2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(二)文科数学

2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）数学(文科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】可求出N ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{}1,0,1M =-，{}()2200,2N x x x =-<=，∴M N =I {}1 故选B【点睛】本题考查二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.复数1ii-对应点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解. 【详解】由题得1(1)1i i iz i i i i--⋅===--⋅. 所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限. 故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若1tan 2α=，则cos2=α( ) A. 45-B. 35- C.45D.35【答案】D 【解析】【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r，1a =r ，3b =r ，则a b -r r =( )A. 0B. 2C.【答案】D 【解析】直接利用向量的模的公式求解.【详解】由题得a b -=vv 故选D【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.已知抛物线2y ax =上的点(1,)M m 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( ) A. 24y x = B. 22y x = C. 25y x = D. 23y x =【答案】A 【解析】【分析】利用抛物线的定义，转化列出方程求出ａ，即可得到抛物线方程．【详解】抛物线2y ax =的准线方程x 4a =-， ∵抛物线2y ax =上的点()1,M m 到其焦点的距离为2， ∴124a+=， ∴a 4=，即该抛物线的标准方程为24y x =，故选Ａ【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查． 6.设随机变量ξ的概率分布列如下表，则(21)P ξ-==( )A.712B.12C.512D.16【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量ξ的概率分布列，求出a 的值，再利用和概率公式计算()21P ξ-=的值．【详解】解：根据随机变量ξ的概率分布列知，111a 643+=＋＋1，解得1a 4=；又21ξ-=， ∴ξ＝1或ξ＝3，则()()()11521136412PP P ξξξ-===+==+= 故选C ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，考查转化思想与计算能力，是基础题． 7.已知()x f x e x =-，命題:,()0p x R f x ∀∈>，则( ) A. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ B. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈< C. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ D. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】分析】利用导数求出函数的最小值，可知p 是真命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得结果. 【详解】由题意可得，令()0f x '=，则0x =∴()xf x e x =-在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增， ∴()()f 010x f ≥=>，即p 是真命题，命題():,0p x R f x ∀∈>的否定为：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤，故选A【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查全称命题的否定为特称命题，属于容易题. 8.已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>与()cos (0,0)2Ag x x A ωω=>>的部分图像如图所示，则( )A. 31,A ωπ== B. 2,3A πω== C. 1,3A πω==D. 32,A ωπ==【答案】B 【解析】【分析】先根据最值分析出A 的值，再根据周期分析出ω的值. 【详解】因为A ＞0,所以1, 2.2AA =∴= 由题得23,.4423T ππωω==∴= 故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A. 2.6B. 3C. 3.1D. 14【答案】C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．11.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将ADE ∆，BEF ∆，CDF ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EDF '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 5πD. 11π【答案】A 【解析】【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【详解】解：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ．三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 1146++=6∴球的表面积为264()2π⋅=6π．故选A ．【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. )+∞B. 7(1,)6C. 7(6D. 【答案】B 【解析】【分析】根据点坐标得到线段|F 2Q |和|F 2A |，从而得32a ＞2b a ，进而有|AQ |＝232a ba =-，结合|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即可求得离心率的范围. 【详解】AF 2垂直于x 轴，则|F 2A |为双曲线的通径的一半，|F 2A |＝2b a ，A 的坐标为2bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，|AF 1|222b a a +==. Q 32a c ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴|F 2Q |＝32a . 又|F 2Q |＞|F 2A |⇒32a ＞2b a，故有|AQ |＝232a b a =-；A 在第一象限上即在右支上，则有|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即222b a a +＋32a －2b a＞32×2c ⇒22432a a a +＞3c ⇒7a ＞6c ⇒e ＝c a ＜76.∵e ＞1，∴1＜e ＜76.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在61(2)2x -的展开式中，二项式系数最大的项为________．【答案】320x - 【解析】【分析】判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．【详解】解：因为6122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，共有7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为()33334612202T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n ，故答案为320x -【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大．14.已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______．【答案】92【解析】【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【详解】解：∵正实数,a b 满足21a b +=，∴112a b +=（2a+b ）115592222b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时取等号． ∴112a b +的最小值为92故答案为92：．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题． 15.已知函数()()21+4,1,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩的定义域为R ，数列{}()n a n N*∈满足()naf n =，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_____．【答案】3a > 【解析】【分析】根据已知得到关于a 的不等式组，解之即得.【详解】由题得21211,,32+3a a a a a a a >>⎧⎧∴∴>⎨⎨<<⎩⎩. 故答案为3a >【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在ABC ∆中， 6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【答案】106【解析】【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为2111sin 561()6225ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯-=又由126(),2ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积126106252S =⨯⨯⨯=.故填106.考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中， 25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】(1) 5n a =或n a 21n =+(2) 22n S n n =+或5n. 【解析】【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题得()()()2525511d d d +=-+，解方程得到d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求n S .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则15a d =-，452a d =+，13511a d =+ 因为1a ，4a ，13a 成等比数列，所以()()()2525511d d d +=-+，化简的22d d =，则0d =或2d = 当0d =时，5n a =.当2d =时，153a d =-=，()312n a n =+-? 21n =+ (2)由(1)知当5n a =时， 5n S n =. 当21n a n =+时，13a =则()232122n n n S n n ++==+.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述22⨯列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据表格中数据的关系，完善22⨯列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0,1,2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望. 【详解】(1)所求的22⨯列联表如下：(2)在本次试验中()221001020304040605050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.6710.828=>故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关. (3)由题意可知ξ的可能值为0,1,2()0436105C P C ξ===，()122436315C C P C ξ===，()212436125C C P C ξ===， ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形， //AB CD ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证:平面BD ⊥平面SAD ；(2)若120SDA ∠=︒，求二面角C SB D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)77. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点M ，连接DM ，可得DB⊥AD 又侧面SAD⊥底面ABCD ，可得BD⊥平面SAD ，即可得平面SBD⊥平面SAD （2）以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量为：(),,n x y z =v ，面SBD 的法向量为)3,0,0m =v．利用向量即可求解．解析：（1）因为090ABC ∠=，BC CD =，所以045CBD ∠=，BCD ∆是等腰直角三角形，故2BD CB =，因为2AB BD =，045ABD ∠=，所以ABD ∆∽BCD ∆，090ADB ∠=，即BD AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以BD ⊥平面SAD ，所以平面SBD ⊥平面SAD . （2）过点S 作SE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以SE ⊥底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060SDE ∠=，过点D 在平面SAD 内作DF AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以DF ⊥底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，设1BC CD ==，()22262,0,,222B C S ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()262,0,2,DB BS ⎛==- ⎝⎭u u u v u u u v ，22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，设(),,m x y z =v是平面SBD 法向量，则2026202y x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取)3,0,0m =v，设(),,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则2202620x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取)3,3,1n =--v ，()()()2227cos ,31331m n m n m n⋅===+⋅+-+v v v vv v所以二面角C SB D --.20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =MN，，0OM ON OM ON ==⋅=u u u u ru u u r u u u u r u u u r，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r，()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21.已知函数2()(1)1f x a x lnx a =+--+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数32ln (1)y x a x x =++-的图像上方. 【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）求出()'f x ()2211a x x+-=，x ＞0，由此利用导数性质讨论函数f （x ）的单调性；（2）问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+且()()121f x a x x =+-' ()2211a x x+-=当1a ≤-时，()0f x '< ，函数()f x 在()0,∞+上为增函数；当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增 (2)证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+ 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=- 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-，当0x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，所以()()11g x g e a e ≥=--+ 又1a <，所以1111a e e--+>->-即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方.【点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=，可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-，则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -，所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =，所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥，∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b+，12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12aba b ≤+，所以2a b ab +≥.法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020年高考数学押题密卷(含解析)

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =，若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33．【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立．必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立．综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件．【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值，设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立，即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π，则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-，【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是．【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离，可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >，因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =，又ABC ∆的面积为42，且10a =，从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角，所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者合计男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人，再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者超越者合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =，又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有，得设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

2020年全国普通高等学校统一招生考试(新课标II卷)押题猜想卷文科数学(解析版)

2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标II 卷）押题猜想卷数学（文）第I 卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =I （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】C【解析】 {}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=Q ，因此，{}2,3M N =I ，故选：C.2. 复数i i 1z =-的虚部为（） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 【答案】B【解析】i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-, 所以复数z 的虚部为12-. 故选：B3．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D. 又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =．故选：B. 5.已知向量,a b v v 满足5,4,61a b b a ==-=v v v v ,则a v 与b v 的夹角θ=( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】由||b a -=r r ()2226126125254cos 1661b a a a b b θ-=⇒-⋅+=⇒-⨯⨯+=r r r r r r . 解得1cos 2θ=-.因为[]0,180θ∈︒,故θ=120°. 故选：B6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（）A B ．2 C D 【答案】D【解析】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y =，∴b a=∴双曲线的离心率为e c a === 故选：D ．7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（）A ．2B ．3CD ．【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆的面积为23R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a c b ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒故b 为最长边：2sin 3b R B ==故选B .8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．i>5B ．i<5C ．i>4D ．i<4【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（）A ．22 B 3C 5D ．72【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为2-；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+ ()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ， 3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③.故选：B11．已知1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】由已知得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的距离等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，故选：B. 12.已知是定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，且当[)0,1x ∈时，()1x f x x =-，则函数()()2sin g x f x x π=+在区间()3,5-上的所有零点之和为（）A ．13B ．18C ．15D ．17【答案】C【解析】由()()20f x f x -+=知()f x 关于()1,0成中心对称.又()f x Q 为奇函数，则()f x 周期为2.易知，()()()()10,350,10===-=f f f f作出函数()f x 在区间()3,5-图像如图所示.所以()2sin x x ϕπ=-在()3,5-间，所有零点之和为()()()8404210123415+++-+-+-+++++=.故选C第II 卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1）即320x y --=，故答案为：320x y --=14．已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为（） A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【解析】如图所示：画出可行域 00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9-【解析】由(0,)2πα∈，且4tan 23α=，得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+．故答案为：9-．16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o【解析】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，则()221113322A D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，312BD =+=，115142AB =+= 在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos 22BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin h AA θ== 所以60θ=o .故答案为：60o 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{n S n}的前10项和．【答案】（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6，即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．（2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=，令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 18．2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP 总量y （万亿元）的折线图. 注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP 的总量. 附注：参考数据：71492.01i i y ==∑，70.29y =，712131.99i i i t y ==∑()()271172165.15iii i t t y y ==--≈∑∑.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）详见解析（2）y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+;预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i t t y y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$，所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以. 又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以，所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面，所以为与平面所成的角，即，所以.20．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）320x y ++=或320x += 【解析】（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则221212244y y x x p==．因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又222121(1)(1632)AB m y m m =+-=+- ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m =所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分21．已知函数3211()1(,)32f x x ax bx a b =+++∈R ，其导函数设为()g x . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，试用,a b 表示()()12f x f x +；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()g x 的极值点恰为()f x 的零点，试求()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()()31226a f x f x ab +=-+；（Ⅲ）(,0)-∞ . 【解析】（Ⅰ）()2g x x ax b =++，24a b ∆=-.若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若>0∆，方程()0g x =有两个不等实根12a x -=，22a x -=()f x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增；（Ⅱ）因()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（Ⅰ）知240a b ∆=->，且12x x a +=-，222122x x a b +=-，()()120g x g x ==.于是，()()()()()()221212121212223363x x a b f x f x g x g x x x x x +=++++++ ()()322222636a b a a b a ab =-+-+=-+. （Ⅲ）由()22224a a g x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，则()g x 的极值点为2a x =-.于是，02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即33102482a a ab -+-+=.显然，0a ≠，则226a b a=+.由（Ⅱ）知，240a b ∆=->，24a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a > 于是，()()321222066a a f x f x a a ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭. 故()f x ，()g x 的所有极值之和为()22222246412a a a a b h a a a-=+-=-+=，因()226a h a a-'=-，若a >()0h a '<，()h a在)+∞上单调递减，故()0h a h<=.若0a <，知a >时有()0h a '<，则()h a在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，故()(h a h ≤=. 因此，当0a <时，所求的取值范围为,2⎛-∞- ⎝⎦.当a >时，所求的取值范围为(),0-∞，综上，()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(),0-∞ .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=；（2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 23．已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3] 【解析】(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜则原不等式的解集为()9,3-.(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].。

2020届全国Ⅱ卷高考压轴卷数学文科试卷(Word版含解析)

参考答案
1. 【答案】A 【解析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
2. 【答案】A 【解析】
z
=
1−i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
5. 【答案】B
7 / 17
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【解析】
由题意得： −a = (1, −1) ， b − a = (2, m −1)
−a = 2 ， b − a = 4 + (m −1)2
( ) cos = (−a) b − a =
2 − m +1
= 2 ，解得： m = 1
已知数列{an}满足 a1 = −2 ， an+1 = 2an + 4 ．
（1）证明：an + 4 是等比数列；
3 / 17
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 18. （本小题 12 分）
如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC， AB ⊥ BC ，D 为 AC 的中点， AA1＝AB＝2, BC＝3.
1
A.
B. 1
C. 3
3
D. －1
5.
已知向量 a
= (−1,1) ， b
= (1, m) ，若向量 −a
与b
−a
的夹角为 4
，则实数 m

2020届高考数学(文)热点猜押练二强化练2 组合型选择题(含解析)

2020届高考数学（文）热点猜押练二新情境新命题强化练强化练2 组合型选择题1.若错误!未找到引用源。

<错误!未找到引用源。

<0,给出下列不等式:①错误!未找到引用源。

<错误!未找到引用源。

;②|a|+b>0;③a-错误!未找到引用源。

>b-错误!未找到引用源。

;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④2.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出四个命题:①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.①②B.②③C.①④D.②④3.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的结论个数为 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个4.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为 ( )A.①②B.①③C.②④D.①④5.已知函数f(x)=错误!未找到引用源。

sin ωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移错误!未找到引用源。

个单位长度得到函数g(x)的图象,有下列几个结论:p1:g(x)在错误!未找到引用源。

上单调递增;p2:g(x)为奇函数;p3:y=g(x)的图象关于直线x=错误!未找到引用源。

【解析版】2020年河南省高考数学(文)预测押题试卷

河南省高考数学（文）预测押题试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•许昌二模）合集U={0，1，2，3}，∁UM={2}，则集合M=（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：利用全集和补集的定义，确定集合M元素的构成．解答：解：∵合集U={0，1，2，3}，CUM={2}，∴M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合，集合M={0，1，3}，故选A．点评：本题考查全集和补集的定义，确定M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合是解题的关键．2．（5分）（•许昌二模）复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．分析：2个复数相除，把分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可．解答：解：复数===﹣i，∴复数的虚部为﹣1，故答案为D．点评：本题考查复数代数形式的乘除法．3．（5分）（•许昌二模）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线方程化为标准方程，确定p的值，即可得到结论．解答：解：抛物线y=﹣4x2可化为∵2p=，∴∴抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是故选C．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，将抛物线方程化为标准方程，确定p的值是关键．4．（5分）（•许昌二模）图中所示的是一个算法的流程图，已知a1=3，输出的b=7，则a2的值是（）A．11 B．7C．14 D．3考点：程序框图．专题：图表型．分析：本题框图是一个顺序结构，其功能是求出输入的两个数的平均数，由a1=3，输出的b=7，易求得a2解答：解：由框图知其功能是求出输入的两个数的平均数，∵a1=3，输出的b=7，∴3+a2=14，∴a2=11．故选A．点评：本题考查顺序结构，解题的关键是上框图得出算法的运算规则，根据其运算规则求值．5．（5分）（•许昌二模）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x ﹣）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x ﹣）=sin2（x﹣），=，再根据函数y=Asin（ωx +∅）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵函数y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x ﹣）=sin2（x﹣），=，故把函数y=sin （2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．6．（5分）（•许昌二模）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据所给的锥体的体积和锥体的高，得到这个锥体的底面面积的值，根据面积确定图形，这是选择题目特有的方法．解答：解：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据锥体的体积是知=，∴s=1，即底面面积是1，在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，故选D．点评：本题考查由几何体确定俯视图，本题是一个基础题，题目的解决方向非常明确，只要得到一个底面面积是1的图形就可以．7．（5分）（•许昌二模）公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2B．4C．8D．16考点：等比数列．分析：由2a3﹣a72+2a11=0结合性质求得a7，再求得b7，由等比数列的性质求得b6b8．解答：解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11=0得∵a72=2（a3+a11）=4a7∴a7=4或a7=0∴b7=4∴b6b8=b72=16故选D点评：本题主要考查等差数列和等比数列的性质．8．（5分）（•许昌二模）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y 仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为（）A．（3，5）B．C．（﹣1，2）D．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，直线z=ax+y的斜率小于直线x+2y﹣3=0的斜率，即﹣a＜﹣，解得a＞．故选B．点评：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．9．（5分）（•许昌二模）点P为双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的应用．专题：计算题．分析：由题意：PF1⊥PF2，且2∠PF1F2=∠PF2F1，故∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°．设|PF2|=m，则|PF1|=m，|F1F2|=2m．由e=，能求出双曲线的离心率．解答：解：由题意：PF1⊥PF2，且2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°．设|PF2|=m，则|PF1|=m，|F1F2|=2m．e===+1．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．10．（5分）（•许昌二模）若实数x，y满足|x﹣1|﹣lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．解答：解：∵|x﹣1|﹣lg=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选B．点评：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．11．（5分）（•许昌二模）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）A．18 B．24 C ．18D．24考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．解答：解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴36=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，即36=PA2+PB2+P C2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC则三棱锥P﹣ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤18，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为18，故选A．点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．12．（5分）（•许昌二模）已知x1，x2是函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的两个零点，则（）A．＜x1x2＜1 B．＜x1x2＜1C．1＜x1x2＜e D．1＜x1x2＜10考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意f（x）=e﹣x﹣|lnx|的零点，即方程e﹣x=|lnx|的实数根．因此在同一坐标系内作出函数y=e﹣x与y=|lnx|的图象，并设x1＜x2，可得lnx2＜﹣lnx1，推出x1x2＜1．再根据x1＞且x2＞1得到x1x2＞，由此即可得到本题的答案．解答：解：函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的零点，即方程e﹣x=|lnx|的实数根同一坐标系内作出函数y=e﹣x与y=|lnx|的图象，如图所示不妨设x1＜x2，可得0＜x1＜1且x2＞1∵0＜﹣lnx1＜1，∴lnx1＞﹣1，可得x1＞∵x2＞1，∴x1x2＞又∵y=e﹣x是减函数，可得lnx2＜﹣lnx1，∴lnx2+lnx1＜0，得lnx1x2＜0，即x1x2＜1综上所述，可得＜x1x2＜1故选：B点评：本题给出含有指数和对数的基本初等函数，求函数的两个零点满足的条件，着重考查了指数函数、对数函数的图象与性质，以及函数的零点与方程根的关系等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共4小．每小题5分．13．（5分）（2010•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，⊥（﹣2），则|2+|的值是．考点：平面向量的坐标运算．分析：先由⊥（﹣2）可知•（﹣2）=0求出•=，再根据|2+|2=42+4•+2可得答案．解答：解：由题意可知•（﹣2）=0，结合||2=1，||2=4，解得•=，所以|2+|2=42+4•+2=8+2=10，开方可知|2+|=故答案为．点评：本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题．14．（5分）（•许昌二模）已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．考点：两角和与差的正切函数．专题：综合题．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵，∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（+α）===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．15．（5分）（•许昌二模）若函数f（x）=x3﹣x2ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为﹣4．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x）=x2﹣3x+a，函数，恰在[﹣1，4]上递减，说明f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围．解答：解：先求出f′（x）=x2﹣3x+a，∵函数，恰在[﹣1，4]上递减，∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，也就是说：方程x2﹣3x+a=0的根是x1=﹣1，x2=4用一元二次方程根与系数的关系，得：所以a=﹣4故答案为：﹣4点评：本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键．16．（5分）（•许昌二模）设数列{an}的通项为an=2n﹣10（n∈N+），则|a1|+|a2|+…+|a15|= 130．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据an判断出{an}是以2为公差，﹣8为首项的等差数列，再判断出当1≤n≤5时，an，≤0；当n＞5时，an＞0，再对所求的和式|a1|+|a2|+…+|a15|去绝对值和转化，由等差数列求和公式进行求值．解答：解：∵an=2n﹣10，∴数列{an}是以2为公差，﹣8为首项的等差数列，∴当1≤n≤5时，an，≤0；当n＞5时，an＞0，则|a1|+|a2|+…+|a15|=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+a7+…+a15）=﹣2（a1+a2+…+a5）+（a1+a2+…+a5）=﹣2×+=130故答案为：130．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项公式的应用，注意对所求的和式进行合理的转化．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•许昌二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC面积的最大值．考点：解三角形；三角函数的化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得，然后利用正弦定理化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，根据B的范围及特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据向量的减法法则由得到即得到b的平方等于6，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac 的最大值，根据三角形的面积公式，利用ac的最大值及B的度数求出sinB的值，即可得到面积的最大值．解答：解：（1）可化为：，即：，∴，根据正弦定理有，∴，即，因为sinA＞0，所以，即；（II）因为，所以，即b2=6，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得，有基本不等式可知，即，故△ABC的面积，即当a=c=时，△ABC的面积的最大值为．点评：此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．18．（12分）（•许昌二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x2+y2≤4，从区域W中随机取点M（x，y）．（Ⅰ）若X∈Z，y∈Z，令ξ=x2+y2，求ξ=4的概率；（Ⅱ）已知直线l：y=﹣x+b（b＞0）与圆x2+y2=4相交所截得的弦长为2．求y≥﹣x+b 的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；几何概型．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）列举可得总的基本事件，找出ξ=4时包含的基本事件，可得答案；（Ⅱ）由已知可得平面区域W的面积是4π，作出图象，可得满足y≥﹣x+b的点M构成的区域面积为S=π﹣2，由几何概型的公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）若X∈Z，y∈Z，则满足条件的点共有13个，即（﹣2，0）（﹣1，0）（0，0）（1，0）（2，0）（﹣1，1）（0，1）（1，1）（﹣1，﹣1）（0，﹣1）（1，﹣1）（0，2）（0，﹣2ξ=4时，包含的基本事件有（﹣2，0）（2，0）（0，2）（0，﹣2）共4个，故P（ξ=4）=（Ⅱ）由已知可得平面区域W的面积是4π，因为直线l：y=﹣x+b（b＞0）与圆x2+y2=4相交所截得的弦长为2．如图可得扇形的圆心角为，则满足y≥﹣x+b的点M构成的区域面积为S=π﹣2，（阴影）所以y≥﹣x+b的概率为点评：本题考查古典概型和几何概型的计算，列举和数形结合是解决问题的关键，属基础题．19．（12分）（•许昌二模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图2．（Ⅰ）求证：CD⊥A'B；（Ⅱ）求三棱锥A'﹣BDC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平面A′BD⊥平面BCD，根据面面垂直的性质，可得CD⊥平面A′BD，利用线面垂直的性质，可得CD⊥A′B；（Ⅱ）作出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式，可求三棱锥A'﹣BDC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，∵AB⊂平面A′BD∴CD⊥A′B；（Ⅱ）解：如图1，在Rt△ABD中，BD==2∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°在Rt△BDC中，DC=BDtan30°=∴S△BDC==如图2，在Rt△A′BD中，过点A′作A′E⊥BD于E，则A′E⊥平面BCD∵=∴VA′﹣BDC===点评：本题考查面面垂直、线面垂直的性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，掌握面面垂直、线面垂直的性质是解题的关键．20．（12分）（•许昌二模）如图，已知圆，经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线1交椭圆于C，D两点（1）求椭圆的方程（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）依据题意可求得F，B的坐标，求得c和b，进而求得a，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去，利用判别式大于0求得m的范围，设出C，D的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用直线方程求得y1y2，表示出和，进而求得•的表达式，利用F在圆E的内部判断出•＜0求得m的范围，最后综合可求得md 范围．解答：解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=m，，，，∴∵F在圆E的内部，∴，又⇒．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（•许昌二模）已知函数f（x）=ax﹣ex（a＞0）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）当a=时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）构造函数F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，利用导数证明F（x）≥0即可．解答：（Ⅰ）解：当时，，令f′（x）=﹣ex=0，x=﹣ln2当x＜﹣ln2时，f′（x）＞0；当x＞﹣ln2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ln2），递减区间为（﹣ln2，+∞）．（Ⅱ）证明：令F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，（1）当a=1时，F（x）=ex＞0，∴f（x）≤x成立；（2）当1＜a≤1+e时，F′（x）=ex﹣（a﹣1）=ex﹣eln（a﹣1），当x＜ln（a﹣1）时，F′（x）＜0；当x＞ln（a﹣1）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，ln（a﹣1））上递减，在（ln（a﹣1），+∞）上递增，∴F（x）≥F（ln（a﹣1））=eln（a﹣1）﹣（a﹣1）ln（a﹣1）=（a﹣1）[1﹣ln（a﹣1）]，∵1＜a≤1+e，∴a﹣1＞0，1﹣ln（a﹣1）≥1﹣ln[（1+e）﹣1]=0，∴F（x）≥0，即f（x）≤x成立．综上，当1≤a≤1+e时，有f（x）≤x．点评：本题考查导数与函数的单调性问题，导数的符号决定函数的单调性．22．（3分）（•许昌二模）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线，直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；（Ⅱ）利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证：=即可．解答：证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=点评：本题考查圆的切割线定理，弦切角定理的应用，考查逻辑推理能力．23．（3分）（•许昌二模）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（α为参数），点Q的极坐标为（2，π）．（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I）先消去参数得出圆C的直角坐标方程，再利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．即可得出圆C的极坐标方程；（II）先将点Q的极坐标化成直角坐标为，得出其在圆C内．从而当l⊥CQ时，|MN|最小，再利用圆心C（1，﹣1），及垂直关系得出直线l的斜率，从而得到直线L的方程．解答：解：（I）圆C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．∴圆C的极坐标方程可化为：ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣2=0，（II）∵点Q的极坐标为（2，π）．∴点Q的直角坐标为（2，﹣2），其在圆C内．从而当l⊥CQ时，|MN|最小，又圆心C（1，﹣1），∴kCQ==﹣1，∴kl=1，所以直线L的方程为：y+2=x﹣2．即x﹣y﹣4=0．点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系，转化的数学思想的应用，是中档题．24．（4分）（•许昌二模）设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax﹣1实数a的取值范围即可．解答：解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为﹣（5分）（2）函数y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，数形结合的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

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