第1章1.1.3集合的基本运算

必修一：第一章：集合
题型探究
【升华提高】 （1）分析已知的交并补，弄清其实质是关键.在分析 时常用集合运算的性质， 如：A∩B=A⇔A⊆B, A∪B=B⇔A⊆B. （2）若集合带参，则其具有不确定性, 要注意考虑 其为∅的情况,否则易漏解. （3）连续数集的问题借助数轴分析，而有限集常用 韦恩图分析.
（1）理解集合的意义及“交” 的定义是解题之关键；
（2）与“并”一样，连续性的数集的交运算要注意利
用数轴；
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知识导学
②“交”的简单性质 （1）交换律：A∩B=B∩A； （2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)； （3）A∩B⊆A,A∩B⊆B，A∩∅=∅, A∩A=A；
（4）A⊆B⇔A∩B=A；
若研究其实数解，则U=R 若研究其整数解，则U=Z
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【温馨提示】
（1）全集的相对性：全集是相对于所研究问题 而言的一个相对概念，它含有研究范围内全部元素， 因问题而异而异.
（2）全集的绝对性：研究问题的范围确定后，
全集即确定，同一问题中，全集是确定的.
（3）在同一问题中，任何集合都是全集的子集.
则U={图中所有的鸟}
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再如： 要研究高一（13）班学生男女生各多少？ 军训效果怎么样？
则U={高一（13）班的所有同学}
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再如:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是什么？ 在整数范围内的解集是什么？
{x | 1 x 4}
{2，3，4}
(ð U B)
A {1,2}
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x5 0 },则 (2)已知集合A={x||2x-1|<x+4},B={x| x2
A∪B=(
)
A.{x|2<x<3}
C.{x|-1<x<5}
B.{x|-1≤x≤5}
D.{x|-1<x≤5}
【解析】 D
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【巩固训练】3.集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a1=0},若A∩B=B,则a的取值范围是 .
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题型三：韦恩图的应用
【典例3】 (1)全集U={所有不大于30的质数} ，若A、
U A) I ( U B) 3, 7 , ，(痧
“并”用韦恩图表示（阴影）：
求两个集合的“并”叫 “并运算”
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例1.设集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( A.{0,1} C.{0,1,2} B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}
)
【解析】选D.
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例2.已知A={x|2≤x<4},B={x|3x -7≥8-2x},则 A∪B= .
补，记为 ðU A .
事实上： ðU A {x | x U且x A} “补”用Venn图表示为：
U
U
A
A
求一个集合的“补” 叫 “补运算”.
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例6.（1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}， M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，求 ð U（M∪N）. 【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6，7}， 所以M∪N={1，3，5，6，7}， 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以 ð U（M∪N）={2，4，8}.
B={3，4，5，6}，求 痧 UA ,
(ð U A) B , (ð U B)
U
B ,痧 U (A
B) ,
U
(A
B) ,
A.
, ð . 【解析】：ð U A 4, 5, 6, 7, 8 U B 1, 2 , 7 , 8
ðU ( A B) {7,8} (ð U A) B {4,5,6} ð U (A B) {1,2,4,5,6,7,8}
，集合 A 、B U { x | x 7, x N }
B ) {0, 5} , (ð A) U
(ð U B ) { 2, 3} , ð U (A
B {1, 6} ,
试求A、B.
【解析】：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
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浓缩提炼
交、并、补运算
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②“补”的定义 例：在高一年级中研究军训的情况，全集U={高一
年级的同学},现有A＝{高一年级参加了军训的同学}，
B＝{高一年级没有参加军训的同学}是个怎样的 集合？ ——B是全集中不属于A的元素构成的新集合.
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若全集为U，对于一个集合A,由全集U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合A的补集，简称为：A的
B满足：A I
(ð U B) 5,13, 23
A U(ð U B) 2, 3, 5, 7,13,17, 23 , 你能求出集合A，B吗？
【解析】：A 2, 5,13,17, 23 , B 2,11,17,19, 29
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(2)已知全集U，M、N是U的非空子集,且 ðU M N ， 则必有：
(A∪B)∩C=__________________.
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【巩固训练】3.若全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝ {1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝（ C ）
A.{5,7}
C．{2,4,8}
B．{2,4}
D．{1,3,5,6,7}
【解析】借助于Venn图，如图所示 ∁U(M∪N)＝{2,4,8}．
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【巩固训练】1.已知集M={x|2x-4=0},N={x|x2-3x+m=0}. (1)当m=2时,求M∩N,M∪N. (2)当M∩N=M时,求实数m的值.
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【巩固训练】2.(2015·临沂)已知方程x2+px+q=0的两
个不相等实根为α,β.集合A={α,β},B={2,4,5,6}, C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=∅,求p,q的值.
（4）A∪B=∅⇔A=B=∅；
（5）A⊆B⇔A∪B=B.
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2.交
？
知识导学
什么叫集合的“交”
例：已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6， 7}，C={3，4}，试观察C集合，你有什么发现？ 观察可得：集合C是由集合A和集合B的公共元素 构成的一个集合.
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题型二
已知交并补求参
【典例2】（1）已知集合A={0,2,a},B={1,a 2}.若
A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为 (
A.0 B.1 C.2
)
D.4
（2）已知A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},当a为
何值时， （1）A∩B=B；（2）A∩B=Φ；（3）A∪B=R.
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新课导入
前面我们学习“集合”这一部分的前两节：
1.集合的概念与表示；
2.集合间的关系
今天我们来学习“集合” 的第3节——集合的运算.
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新课导入
§1.1.3 集合的基本运算
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1.并
例：已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6， 7}，C={1，2，3，4，5，6，7}，观察集合C,你有什
5 C={x|x≤0或x≥ }，则A∪B=_________________， 2
A∪B∪C=__________________.
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题型探究
【巩固训练】2.集合A={y|y=x2-2x}，B={x|y=-x2}， C={x|x2-5x+6≤0}，则A∪B=_________________，
)
【解析】C
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例4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-1<x<3}, N={x|-2<x<1},则M∩N= ( )
A.{x|-2<x<1}
C.{x|1<x<3} 【解析】B
B.{x|-1<x<1}
D.{x|-2<x<3}
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例5.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4}, 那么集合M∩N= {（3，-1）} . 【温馨提示】
集合运算的典型问题 混 合 运 算 性 质 的 应 用
定 义
性 质
A. ðU N M
B. M ⊂ =
ðU N
C. 痧 UM
U
N
D.M=N
【解析】选A
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【升华提高】 （1）有限集的运算问题，利用韦恩(Venn)图，往往 可以简化思维； （2）经典韦恩图：注意图中各块对应的集合,
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【巩固训练】已知全集
满足： A
【解析】{x|x≥2} 【温馨提示】
（1）求“并”时，重元只能算一次； （2）借助数轴的直观性求并集是一种重要的方法.
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