考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题
考研数学等价无穷小代换
考研数学等价无穷小代换更多技巧尽在考研数学（）每周至少更新两次众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。
这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。
以下x均趋近于0常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/22三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2(2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3arcsin x －arctan x ~x3/2下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。
当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。
lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。
需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。
考研数学求数列极限的方法总结
考研数学求数列极限的方法总结有关考研数学求数列极限的方法总结总结是事后对某一阶段的学习或工作情况作加以回顾检查并分析评价的书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，不如静下心来好好写写总结吧。
以下是店铺整理的有关考研数学求数列极限的方法总结，希望对大家有所帮助。
考研高数求极限的方法指南1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题
2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限30tan sin limx x xx→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim 1αβ=时,命题是假命题． 对于例1，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin lim lim 1tan x x x xαβ→→== 所以，证明的结论是错误的．正确解答:2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→--==.例2：求201sin(sin )lim x x x x→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：()2211sin sin sin ,0x x x x x⎛⎫ → ⎪⎝⎭精选文库而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin limx x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1． 应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==. 注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3． 巩固相应知识点① 无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 ② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当0x →时,精选文库 sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭ ()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学中，求极限时等价无穷小替换是一个十分重要的技巧。
它可以帮助我们方便快捷地解决极值问题，为本科学生的学习和考试提供便利。
在本文中，我们将讨论求极限时等价无穷小替换的技，并且运用它来解决相关问题。
首先，让我们来介绍一下什么是求极限。
求极限是数学用来描述某个变量朝特定方向发散时的行为特征的技巧。
当我们求极限时，我们就是想要描述某个变量在靠近特定点时变化的规律。
例如，当我们求给定函数f(x)在x=a处的极限时，我们就想要描述x靠近a时f(x)的变化趋势。
然而，有时我们会遇到一些极限中的极限无法用定义的形式求出。
在这种情况下，我们就要使用求极限时等价无穷小替换的技巧。
在这里，我们先要介绍一下什么是无穷小。
无穷小是整个实数范围中正数的一种特殊集合，该集合中的任何一个正数都可以无限接近0，但永远不能等于0。
接下来，我们再来讨论一下求极限时等价无穷小替换的技巧。
这一技巧要求用无穷小替换极限表达式中的变量，然后运用定义求极限的方法来求出原极限的值。
不仅如此，我们还可以借助这一技巧来简化一些复杂的极限表达式。
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等价无穷小在求极限中的应用
等价无穷小在求极限中的应用摘要：在数学分析中，极限的计算占据着重要的地位，合理的应用等价无穷小的代换，在某些极限运算中可以使计算更加简便。
本文主要对无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小及误区进行介绍，并总结代换定理加以证明。
关键词：极限等价无穷小代换引言：利用等价无穷小的代换求极限，在求函数极限中是一种比较重要的方法，也是数学分析学习中重要的知识点，而在函数极限运算过程中趋近方式有多种，计算方法比较类似，本文主要对的情况进行介绍，那么了解什么是极限、什么是无穷小和什么是等价无穷小就非常重要了，接下来我们就对极限、无穷小和等价无穷小进行介绍。
、极限：设在某个空心邻域内的函数，现在讨论当时。
对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精准定义如下:设在某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的 ,存在正数使得当时有 ,则称函数当时的极限为记作:或者、无穷小：设在某个空心邻域上有定义，若则称为当时的无穷小、等价无穷小:设当时与均为无穷小量，若，则称与是当时的等价无穷小记作：、常用的等价无穷小当时以下常用无穷小相互等价、、一、无穷小代换中的四则运算1.1乘法运算定理1设函数在上有定义且，若证明：1.2除法运算定理2设函数在上有定义若则二、特殊等价无穷小当时接下来我们对进行证明证明：利用公式求解，因为所以因为 ,所以证明利用公式求解,因为所以又因为，所以结束语这篇文章我主要对等价无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小代换以及误区进行了介绍，并总结了代换定理，等价无穷小的代换在我们的极限运算过程中比较重要合理利用使我们的计算更加简便，但是并不是所有的极限计算都能利用等价无穷小代换，比如加减法的运算过程有时候就不能直接运用等价无穷小的代换，而且是一个非常容易出错的地方，所以在运用等价无穷小代换的时候一定要看该题是否满足等价无穷小代换定理。
参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学上[M].5版.北京.高等教育出版社.2000[2]华东师范大学数学系.数学分析上[M].2版.北京.高等教育出版社.1991[3]唐加冕.等价无穷小代换在求极限中的应用[J].赤峰学院学报.2010.2。
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ． 例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1lim xx x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．(6):112~114。
用等价无穷小代换求极限的两个误区
用等价无穷小代换求极限的两个误区
等价无穷小替换的误区：代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换；复合函数的中间变量不能做等价无穷小替换。
在一个变化过程中，a趋于0的速度和b趋于0的速度一样快，而且，在这个变化过程中它们比值的极限为1，比值的极限是1。
用等价无穷小替换原则是：整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换，而加减时一般不能用等价无穷小替换。
这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式，一般取了前面的1到3项。
如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数。
用得较多的是泰勒公式在x ＝0处的展开式。
在出现加减的式子中，如果要使用等价无穷小，就需要注意了，否则易算错。
对于f（x）／g（x）型：在使用等价无穷小替换时，如果分母（分子）是x的k次方，本着上下同阶的原则，应把分子（分母）展开到x的k次方。
考研数学满分学姐经验谈(一)：等价无穷小在求极限中的应用
考研数学满分学姐经验谈（一）——等价无穷小在求极限中的应用文都考研命题研究中心考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。
使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。
例如求当x趋于无穷时函数sin x/x的极限。
sin x当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现（当然，近来出现频率渐有增加）。
对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sin x的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了！此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。
但加减法不适用。
这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。
再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。
这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。
一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换（这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述）。
例如lim x→2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，0[ln(1+x从而lim x→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2= lim x→0[x2+ x2/2]/x2=3/2。
又如lim x→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上lim x→0[x-sinx]/x3= lim x→0[1-cosx]/3x2=1/6。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充
Ｋｅ ｏｄ ： ｑ ｉ ｌｎｅｉ ｎｔ ｉａ； ｅ１ｃｍｅｔ ｆ ｄｌ ｔ ｙｗ ｒ ｓ ｅ ｖ ｅ ｃ ｉ ｓ ｌ ｒｐａｅ ｎ ； ｎ ｍｉ ｕ ａ ｉ ｆ ｎ ｅｍ ｉ ｉ ｓ
等价无 穷 小代换 方 法 是求 极 限 中最常用 的方 法 之一 ， 恰 当地选择要 代换 的无穷 小 ，可 以简化 计算 ，因而 也倍受 青 睐 ，但 学生 在应用 时往往 会 出现一些 常见 的错误 ，下 面
ｃ ｎ ｂ ｅ ｌｃ ｄ ｂ ｑｕｖ ｌｎ ｎ ｎｉ ｓｍａ ；ａ ｈ ａ ｅ ｔｍｅ， ｓ ｍｅ ａ ｐｌ ａ ｉｎ ｅ ａ ｌ ｓａ ｅ ｇ ｖ ｎ． ａ ｒ ｐ ａ ｅ ｙ ｅ ｉａｅ ｃｅ ｉ ｅ ｉ ｆ ｔ ｉ ｌ ｔｔｅ ｓ ｍ ｉ ｅ ｏ ｐ ｉ ｔｏ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｉｅ ｃ
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考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方法探讨
考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方
法探讨
等价无穷小量求函数极限是求取函数极限的一种重要方式，它通过无穷小量的折中把复杂的极限问题简化为可以用微积分的知识解决的问题，因此在考研数学中运用广泛。
首先，要理解“等价无穷小量求函数极限”，我们需要熟悉极限。
极限概念可以描述一个函数在某个点附近的变化情况，也可以用来描述函数在某个点处的行为。
它的定义是：当x趋近于某个值时，f(x)的值将趋近于某个值L。
极限的计算一般有两种方法：一种是直接法，即根据已知条件直接求得极限；另一种是间接法，即把极限间接表示成等价无穷小量，然后用微积分的知识求得极限。
其次，要正确使用等价无穷小量求函数极限，可以用一些例子来说明，例如求一元函数f(x)=3*x+2在x=1处的极限，我们可以用
δ/Δx=0的方法，即把它表示成Δx→0时f(x+Δx)-f(x)→0，就可以把极限问题简化为Delta x 是一个无穷小量，所以我们可以把它表示成δ/Δx=0，即Δx→0时δ→0，这时候我们就可以用微积分的知识求得极限，得出f(x)在x=1的极限为5。
此外，使用等价无穷小量求函数极限需要注意几点：
1、针对不同的函数和情况，需要使用不同的量来表示无穷小量；
2、极限的求解结果往往不能确定，因此我们需要考虑多种极限值；
3、在求解过程中，要熟练掌握高等代数、微积分等知识，以便更好地理解和使用等价无穷小量来求解极限问题;
4、熟悉一些典型的极限求解方法，以便在遇到极限问题时能够及时应用。
总之，等价无穷小量求函数极限在考研数学中有重要意义，使用这种方法可以更好地理解极限概念并正确求解极限问题，但也需要熟悉相关知识，并能够正确运用。
极限运算时最容易忽略的两个问题
㊀㊀㊀解题技巧与方法１３７㊀㊀极限运算时最容易忽略的两个问题极限运算时最容易忽略的两个问题Һ丁艳风㊀（郑州升达经贸管理学院基础部，河南㊀郑州㊀４５１１９１）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限是分析学科的工具．本文主要论述了初学者在求极限时易忽略的两种情况：首先分析了等价无穷小代换在加减中怎么使用，从而避免学生在求极限时发生类似的错误；其次分析了当函数表达式复杂时，如何使用泰勒公式简化函数，便于求极限，同时总结了使用泰勒公式的技巧，为学生后续求极限提供了解题效率更高的方法．ʌ关键词ɔ极限；等价无穷小代换；泰勒公式；麦克劳林公式引㊀言高等数学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限．这就决定了高等数学中的许多基本概念都以极限思想为基石，因此，学好极限对高等数学的学习有着举足轻重的作用．函数的极限运算是高等数学的核心内容之一，而选择极限的计算方法的合适与否，直接关系到计算过程是否简便快捷及计算结果是否正确．笔者通过大量的实践教学发现：在求极限的过程中，学生最易忽略也最易出错的两个问题：一㊁等价无穷小代换在加减中的使用；二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用．针对以上两个问题笔者利用例子来分析和研究．一㊁等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换是解决 ００ 型未定式极限的一个非常有效的途径和手段．在高等数学教材中，等价无穷小代换定理仅仅以极限积或商的形式表现等价无穷小代换，并没有给出该方法的使用局限性和适用范围．特别是对于解决 ０－００ 或 ０＋００ 型未定式极限时，学生在利用等价无穷小代换定理计算极限时往往容易出错，究其原因是学生没有弄清楚代换的条件及对象．另外就是对无穷小的等价概念模糊不清，导致出现许多学生乱套公式的现象．因此，教师应对此问题加以强调和关注．１．几种常见的等价无穷小首先弄清楚一个概念：无穷小是相对于一个极限过程而言的，一个变量在某个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中就不一定是无穷小量了．如ｓｉｎｘ在ｘң０时是无穷小量，但是在ｘң１或ｘңπ２时，都不是无穷小量，所以在使用等价无穷小代换时首先应准确判断一个量是否为无穷小量．其次熟记常见的几个等价无穷小代换公式：当ｘң０时，ｓｉｎｘ ｘ；ａｒｃｓｉｎｘ ｘ；ｔａｎｘ ｘ；ａｒｃｔａｎｘ ｘ；ｅｘ－１ ｘ；ｌｎ（１＋ｘ） ｘ；１－ｃｏｓｘ ｘ２２；ｎ１＋ｘ－１ ｘｎ．以上公式不仅要熟记，对于公式的推广形式更要会灵活运用：在ｘ的某个变化过程中，只要关于ｘ的函数φ（ｘ）ң０，则上面公式中的所有ｘ都可以换为φ（ｘ）．即：当ｘң （表示任何过程）时，有φ（ｘ）ң０，则有ｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｅφ（ｘ）－１ φ（ｘ）；ｌｎ［１＋φ（ｘ）］ φ（ｘ）；１－ｃｏｓφ（ｘ） ［φ（ｘ）］２２；ｎ１＋φ（ｘ）－１ φ（ｘ）ｎ．在此基础上也能推出许多其他公式，因此，我们要熟记上述公式．２．等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换定理只给出了函数在乘除之间可以使用，在加减中是否能使用没有给出明确的说明，致使有些学生在做练习时出现如下解法：如：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．虽然上式分子是相减的形式，但有的学生看都不看就将其写成如下形式：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝０．显然上述方法是错误的，原因在哪里呢？原因主要在于初学者在使用课本中的等价无穷小代换定理时没有注意：用等价无穷小代换时需要换掉整个分子或分母，而不能只换掉分子或分母的一部分．那么，我们遇到这种问题时该如何处理呢？下面的定理就告诉我们该怎么做！定理１㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ），γ（ｘ），γᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），γ（ｘ） γᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．该定理的证明许多文献中都有介绍，这里只给出定理的应用．此定理告诉我们若分子为某两个无穷小量的和或差时，只要满足条件就可以使用等价无穷小代换．如前面的例子：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．上式的分子为两个无穷小量的差，但是ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｔａｎｘ＝１，不满足定理的条件，所以不能直接使用等价无穷小代换．事实上，我们可以先对分母进行等价无穷小代换，再使用洛必达法则或者把分子化为两个因式乘积的形式再使用等价无穷小代换．正确的解法：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘ３＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ（ｃｏｓｘ－１）ｘ３＝ｌｉｍｘң０－ｘｘ２２ｘ３＝－１２．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３８㊀例１㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１．解㊀当ｘң０时，ｓｉｎ２ｘ ２ｘ，ｔａｎｘ ｘ，３１＋ｘ－１ｘ３，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘｔａｎｘ＝ｌｉｍｘң０２ｘｘ＝２ʂ１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１＝ｌｉｍｘң０２ｘ－ｘｘ３＝３．显然，我们在满足定理条件时使用等价无穷小代换就不会出错了．其实，除了分子是某两个等价无穷小量的和或差可以用等价无穷代换外，分母是两个无穷小量的和或差也有相同的结论，因为有下面的定理．定理２㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]．例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２．解㊀当ｘң０时，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２ｔａｎｘ２＝５ʂ１，ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＝１２ʂ－１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２＝ｌｉｍｘң０５ｘ２－ｘ２２ｘ２＋ｘ２＝４３．当然，若先使用换元法把ｘ２化为ｔ，再使用洛必达法则也很容易就能解决本题；也可以使用泰勒公式进行计算，这就是我们接下来要讲的另一个学生不易想到的问题．二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用求函数极限的方法有很多，对于 ００ ɕɕ等型未定式，我们常用的是洛必达法则，此法则简单易掌握，但具有一定的局限性，即对于繁杂的函数并不适用．当遇到使用洛必达法则求极限越求导越麻烦时，我们不妨换一下思路，利用泰勒公式进行求解，因为泰勒公式不仅能起到化繁为简的作用，也能解决大多方法解决不了的问题．接下来，我们将对利用泰勒公式计算 ００型未定式极限的方法进行探讨．１．泰勒公式和麦克劳林公式在利用泰勒公式求解函数极限时，我们通常采用带有佩亚诺余项的泰勒公式．即：ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆᶄ（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆᵡ（ｘ０）２！（ｘ－ｘ０）２＋ ＋ｆ（ｎ）（ｘ０）ｎ！（ｘ－ｘ０）ｎ＋ｏ（（ｘ－ｘ０）ｎ）．（１）令ｘ０＝０，则（１）式为ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆᶄ（０）ｘ＋ｆᵡ（０）２！ｘ２＋ ＋ｆ（ｎ）（０）ｎ！ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）．（２）（２）式称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式．２．无穷小量的运算想要熟练掌握泰勒公式，还需掌握下面的运算．无穷小量的运算：ｍ，ｎ为正整数，ｑ＝ｍｉｎ｛ｍ，ｎ｝，则有下列式子成立：ｏ（ｘｍ）ʃｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｑ），ｏ（ｘｍ）ｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｘｍｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｋｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｋｘｎ）＝ｏ（ｘｎ）．３．例题解析我们下面结合着可以使用泰勒公式的例子来对此法做一个分析：例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４．分析㊀分式的分母为ｘ４，因此解答本题的关键是将ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘｓｉｎｘ进行泰勒展开并确定其具体展开到第几项．我们先把２ｃｏｓｘｓｉｎｘ利用倍角公式化为ｓｉｎ２ｘ．ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式展开式分别为ｓｉｎｘ２＝ｘ２－ｘ６３！＋ｘ１０５！－ ＋（－１）ｎｘ４ｎ＋２（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ４ｎ＋２）．（３）ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３３！＋ｘ５５！－ ＋（－１）ｎｘ２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ２ｎ＋１）．（４）ｓｉｎ２ｘ＝２ｘ－（２ｘ）３３！＋（２ｘ）５５！－ ＋（－１）ｎ（２ｘ）２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ［（２ｘ）２ｎ＋１］．（５）ａ．若将它们最低分别展开到ｘ的２阶㊁３阶㊁３阶：ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘ＝ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｘ３＋５ｘ３３＋ｏ（ｘ３）．（６）则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０８３ｘ３＋ｏ（ｘ３）ｘ４极限不存在．ｂ．若将它们最低分别展开到ｘ的６阶㊁５阶㊁５阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５）ｘ４＝０．ｃ．若将它们最低分别展开到ｘ的１０阶㊁７阶㊁７阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７）ｘ４＝０．由ａ，ｂ和ｃ可知，由于每个函数变量的幂次不同，它们展开的次方也多少有点差异．若将三个函数展开到ｘ的３阶以下，无法求出正确的极限；若将三个函数展开到ｘ的６阶以上，可以正确求出极限，但ｘ６后面的更高阶的因式与ｘ４作商求极限后均为０，无计算的必要，所以三个函数ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ分别展开到６阶㊁５阶㊁５阶最合适．故由例３可以总结如下：利用泰勒公式对形如 ００型未定式求极限，遵循 上下几乎同阶原则 ，即将分子上的函数展开到与分母同幂次或接近的项即可．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］张卓奎，王金金．高等数学［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，２０１７．［３］陈大桥，等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广［Ｊ］．成都师范学院学报，２０１４，３０（５）：１１７－１１９．［４］刘艳．泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（２８）：３２８－３２９．。
利用无穷小量替换法求极限时应注意的问题
利用无穷小量替换法求极限时应注意的问题何冬梅;陈文华;王边疆【摘要】在某些0/0型不定式极限中,若能正确运用无穷小量替换法,将使问题简单化.但若忽略某些细节,则将导致出现错误,故应正确使用无穷小量替换法.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2011(030)002【总页数】3页(P58-60)【关键词】极限;无穷小量;替换法【作者】何冬梅;陈文华;王边疆【作者单位】保山学院,数学系,云南,保山,678000;保山学院,生物与化学系,云南,保山,678000;保山学院,数学系,云南,保山,678000【正文语种】中文【中图分类】B27极限是微积分中的基本概念，求极限则是高等数学的重要中的重要部分，而无穷小量替换法是求极限中的一种特殊的方法。
在求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可以用等价无穷小来替换，只要用来替换的无穷小选得恰当，某些”型不定式极限的计算，将变得简单易解。
但如果忽略了某些细节，则将导致计算结果错误，因此，正确运用无穷小量替换法就显得尤为重要。
笔者就此问题从以下几方面作了进一步的阐述。
以零为极限的变量称为无穷小量[1]P67。
设则称f (x)和g(x)是等价无穷小量，简称等价无穷小，记为f(x)～g(x)（x→x0）。
定理（等价无穷小替换原理）[2]P42在自变量同一变换过程中，设α1、α2、β1、β2都是无穷小，且α～αβ～β，若存在，则12，12定义：在求两个无穷小量之比的极限时，分子和分母都可用等价无穷小来替换，这种求极限的方法称为等价无穷小替换法。
它是解决型不定式极限计算问题的一种有效方法。
常见的等价无穷小有（当□→0时）例1：求极限解：法一利用洛比达法则法二∵x→0时，si n2x～2x arcsi n3x～3x∴原式显然，合理利用无穷小量替换法要比其它方法简单得多。
例2求极限解：法一（利用洛比达法则）原式法二（利用重要极限公式）原式法三（利用等价无穷小量替换法）∵x→0时，si n5x～5x,sin3x～3x∵原式虽然利用无穷小量替换法，将使求极限问题变得简单易解，但使用该法则不当，将导致错误。
用等价无穷小代换求极限的几个问题
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２１ ３０用等价无穷小代换求极限的几个问题用等价无穷小代换求极限的几个问题Һ周继振㊀张晓亮㊀许㊀峰㊀（安徽理工大学数学与大数据学院，安徽㊀淮南㊀２３２００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文指出了高等数学中应用等价无穷小代换求极限的几种常见错误，分析了产生错误的原因，并给出了应用等价无穷小求极限的条件．ʌ关键词ɔ无穷小；等价无穷小代换；极限ʌ基金项目ɔ安徽省教育厅省级质量工程支持：２０２０ｊｙｘｍ０４４０．等价无穷小代换是高等数学中求极限的一个有效且重要的方法，也是学生需要掌握的重点内容，其在考研和数学竞赛中经常出现．然而，看似简单的等价无穷小代换也有很多陷阱，若学生对使用等价无穷小代换的条件不能够深入理解，则极易出现各种错误．本文将分析使用等价无穷小代换时出现的常见错误以及原因．首先来回忆一下相关概念．定义１㊀若ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝０，则称当ｘң０时，ｆ（ｘ）为无穷小．定义１中的极限过程ｘң０可以换为其他极限过程，例如ｘңɕ或ｘң１＋，根据定义１，易得１ｎ（ｎңɕ），ｘ２（ｘң０），１ｘ－１（ｘңɕ）均为无穷小．本文的极限过程总以ｘң０为代表．定义２㊀设ｌｉｍｘң０α＝ｌｉｍｘң０β＝０，若ｌｉｍｘң０βα＝Ｃ，则称ｘң０时，α与β是同阶无穷小．若Ｃ＝１，则称ｘң０时，α与β是等价无穷小，记为α β．根据高等数学中的两个重要极限，易得当ｘң０时，ｓｉｎｘ ｘ，ｌｎ（１＋ｘ） ｘ．等价无穷小的重要性体现在下面的定理上．定理１㊀设α αᶄ，β βᶄ，ｘң０，且ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０βα＝ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ．该定理的证明在高等数学教科书上能查到，在此证明省略．应用定理１时，大多是省略验证条件ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在．下面通过一个例子来说明在求解极限时如何使用定理１．例１㊀求极限ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１．解㊀因为１＋ｘ－１ｘ２，ｅｘ－１ ｘ，ｘң０，故ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１＝ｌｉｍｘң０１２ｘｓｉｎｘｘ２＝１２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１２．那么在使用的过程中学生容易犯的错误是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？一㊁加减运算中不可用等价无穷小代换，同阶不等价无穷小可以用等价无穷小代换例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ．该题的常见错误是分子直接用等价无穷小ｓｉｎｘ ｘ，ｘң０代换，从而得出错误结论，即ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝ｌｉｍｘң００ｘ３＝０．正解㊀根据泰勒公式，易得ｓｉｎｘ＝ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()，故ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()()ｘ３＝ｌｉｍｘң０１３！ｘ３－ｏｘ３()ｘ３＝１６．例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４．请读者指出下面的解题过程错在哪里．ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４＝－２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｓｉｎｘ＋ｘ２ｓｉｎｓｉｎｘ－ｘ２ｘ４＝－ｌｉｍｘң０（ｓｉｎｘ＋ｘ）（ｓｉｎｘ－ｘ）２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ３＝１２４．上面倒数第二步作等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎｘ，ｘң０是错误的，在这里继续用洛必达法则就可得出正确结论．正解㊀接上面解题过程的第三步可得ｌｉｍｘң０ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）－ｃｏｓｘｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ１２ｘ２＝１６．在加减运算中，什么条件下可以用等价无穷小代换呢？下面的定理２给出了回答．定理２㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０且ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ存在，则ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．证明㊀利用极限的运算法则，直接展开计算得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋αᶄ－βγ()＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．定理证毕．条件ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０也可以记为α－αᶄ＝ｏ（γ），即α－αᶄ为γ的高阶无穷小．例３中，显然ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ３＝１８，不符合定理２的条件．例４㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２．解㊀因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ２＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ４ｘ＝０，故可用等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎｘ，ｘң０，得ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ２＝０．二㊁复合函数的中间变量不可用等价无穷小代换这里以高等数学中常见的未定型为例．例５㊀求ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２．解㊀ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０１＋ｓｉｎｘ－ｘｘ()ｘｓｉｎｘ－ｘ[]ｓｉｎｘ－ｘｘ３＝ｅｘｐｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｘｘ３{}＝ｅ－１６．若这里采用等价无穷小来化简计算，则得如下的错误结论：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘｘ()１ｘ２＝１．下面分析上面的错误解法到底错在哪里．定理３㊀α αᶄ β，ｘң０，ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝ɕ，ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１且ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）存在，则ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．证明㊀注意到αβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄˑαᶄβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑαᶄβ()ｆ（ｘ），从而ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．定理证毕．根据定理３，得ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）不能代换为ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）的原因是ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１未必成立．易验证例５不满足定理３的条件，见例５的正解过程．请读者验证ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ可以作等价无穷小代换ｓｉｎｘ ｘ，ｘң０．类似于定理３，可得００型也可用等价无穷小代换．推论１㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０β＝０且ｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０αβ＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．证明㊀注意到αβ＝ｅｘｐβｌｎα{}＝ｅｘｐβｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}，从而ｌｉｍｘң０αβ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎα{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ{}＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．定理证毕．例６㊀求ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ．解㊀ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２２()ｘ＝ｌｉｍｘң０１２()ｘｌｉｍｘң０ｘ２()ｘ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０２ｘｌｎｘ{}＝０．三㊁遇零不可用等价无穷小代换在定理１中，当ｘң０时，ｌｉｍｘң０α＝０，切记，当ｘʂ０时，则αʂ０．例７㊀指出ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２ｓｉｎ１ｘｘ＝ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎ１ｘ＝０的错误，并给出正确解法．解㊀令ｘｎ＝１ｎπ，则ｘ２ｎｓｉｎ１ｘｎ＝０，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ() ｘ２ｓｉｎ１ｘ，ｘң０错误，正解如下．显然，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２，故对∀ε＞０，取δ＝ε，当０＜｜ｘ｜＜δ时，有ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｘ２ｘɤ｜ｘ｜＜δ＝ε，从而ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝０．上述几种利用等价无穷小代换求极限的方法，学生容易出错的原因是没有理解等价无穷小以及等价无穷小代换在乘除中的应用，个别题目在满足一定的条件下，加减和复合运算中也可以使用等价无穷小代换，但是条件验证较为复杂，这里不推荐使用．ʌ参考文献ɔ［１］许峰，范自强．高等数学：上［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１６．［２］赵琼．用等价无穷小代换求极限的两个误区［Ｊ］．高等数学研究，２００９，１２（５）：１７－１８．［３］国防科学技术大学大学数学竞赛指导组．大学数学竞赛指导［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００９．. All Rights Reserved.。
关于等价无穷小代换求极限的一点注记
关于等价无穷小代换求极限的一点注记摘要：本文通过一个例题提出问题，进而给出求极限对非乘积因子使用等价无穷小代换的几种特殊情形并给出若干充分条件。
关键词：极限; 无穷小；等价无穷小1. 问题的提出极限理论贯穿于高等数学教学的全过程，极限运算的方法和技巧也就成了教学的重要内容之一，在众多极限计算方法中，等价无穷小代换就是一种非常有效的方法，因为它能将复杂的极限化繁为简，化难为易，从而达到快捷，准确的目的。
但目前大多数的《高等数学》教材对这种方法都没有详细的阐述，甚至教师在教学中也只是强调只有乘积因子才能进行等价无穷小代换，但是学生在实际计算过程中，却又感到似乎还有一些其它情形也可以使用等价无穷小代换，从而他们经常感到非常困惑，以至于只能模仿例题“机械地套用”，使用时经常忽略代换的条件，从而导致错误的结果。
上课时讲了一道求极限的例题：当时, ，将其代入上式得：，所以。
这时有学生马上就提出了另一种解法：因为当时，，将其代入得.同一个函数的极限，怎么出现两个不同的结果呢？根据极限存在原理：一个函数的极限如果存在，那么其极限值一定是唯一的，所以这其中一定有一个结果是错误的。
哪种方法是错误的呢？我们用洛必达法则去验证，得知学生的方法是错误的，那么问题又出在哪呢？这是因为学生在计算极限时只注意利用等价无穷小代换这一性质, 而没有考虑到利用等价无穷小代换是有一定条件的，从而导致错误的结果。
因此本文将对等价无穷小代换求极限这一方法作进一步的分析和补充, 并指出求极限时对非乘积因子在某种条件下也可使用其等价无穷小代换。
2. 等价无穷小代换的条件设为同一变化过程中的非零无穷小，且定理1：如果存在，则=。
现在我们就可以回答为什么，这是因为当时，与并不是等价无穷小，所以导致错误结果。
下面给出求极限时可以使用等价无穷小代换的几种特殊情形，并加以证明。
定理2: 如果存在，则=。
证明：因为，所以，故=..=注：该此定理说明求极限时，分子或分母的因子可以用其等价无穷小代换。
等价无穷小代换求极限的讨论
等价无穷小代换求极限的讨论
张宇
【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(032)004
【摘要】给出了直接使用等价无穷小对分子或分母为和差多项式的各个单项进行代换的条件:根据被替换项的泰勒展开式得出用于替换的无穷小,该无穷小的最高次数,必须大于或等于被替换项整个分子或分母的无穷小阶数.
【总页数】4页(P15-18)
【作者】张宇
【作者单位】大连民族大学计算机科学与工程学院,辽宁大连 116605
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.利用等价无穷小代换法求极限札记 [J], 关鈺淋
2.关于用等价无穷小代换求极限问题的讨论 [J], 张萍
3.论述利用泰勒公式求极限和利用等价无穷小的代换求极限及二者的关系 [J], 陈丽
4.等价无穷小代换中含加减因式求极限的思考 [J], 徐清华;王瑞星;赵清波;吴克坚;刘烁
5.用等价无穷小代换求极限的几个问题 [J], 周继振;张晓亮;许峰
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2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．
考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限 解： 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．
若,则.考察这个命题，
，当时,这个命题是真命题；当时,命题是假命题． 对于例1，因为， ， 所以，证明的结论是错误的．
正确解答:
.
例2：求 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x
→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：
()2211sin sin sin ,0x x x x x
⎛⎫ → ⎪⎝⎭ 30tan sin lim
x x x
x
→-3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--==~',~'ααββ~''αβαβ--lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ
''''-⋅-''-==---lim 1αβ≠lim 1αβ=sin ,tan ,''x x x αβαβ====00sin lim lim 1tan x x x x
αβ→→==2
333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→--==201sin(sin )lim x x x x
→
而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x
均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．
正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x
≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．
例3：求极限sin lim
x x x
π→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1． 应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==. 注意：
①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．
②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3． 巩固相应知识点
① 无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.
(1)若()lim 0()
x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim
,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()
x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim
1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()
k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 ② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)
当0x →时,
sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭ ()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数。