塑性理论 第六章 屈服准则

2
1 k s 3
2
M(0,-τ1)
2 2 2 ( x y ) y z z x 6 xy yz zx 2 s2 6k 2
( 1 2 ) 2 3 3 1 2 s2 6k 2
C D
2 s 3 s
}
σ1
Tresa六边形
' 2
σ2
1 s 2
C1
2 s
D
1'
C
E P
1 s
1 2 s
F
B
2 s 3
G A
2 s
1 s
H L
I J
K
2 s
1 2 s
3、 平面上的屈服轨迹 在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON的平面称为
2 s 3
屈雷斯加六角柱面
N
σ3
密塞斯原柱面
I1
屈服表面的几何意义： 若主应力空间中的一 点应力状态矢量的端点 位于屈服表面，则该点 σ2 处于塑性状态； 若位于屈服表面内部， 则该点处于弹性状态。
J K
L
I
0
H
G
F E
A
B
C
D
σ1
C1
主应力空间中的屈服表面
2、两向应力状态下的屈服轨迹
屈服表面与主应力坐标平面的交线
2
在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不 变量 I ' 达到某一定值时，该点就进入塑性状态。
2
屈服函数为：
f ( ij )=J 2 C
应力偏张量第二不变量为 ：
2 2 1 2 2 2 2 I 2 x y y z z x 6 xy yz zx C 6 '
用主应力表示 ： y 1 2 2 2 I ' 2 1 2 2 3 3 1 C 6 求C： 对于单向拉伸 ：
τ1
1 1 2 1
τ1 x τ L(0,τ1)
O
1 2 得 ： C s 3
max 1 s min 2 3 0 s s C max K
2 2
max min s 2 K
设
1 2 3
1 3 2K
如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为：
max 1 2 , 2 3 , 3 1 2K s
米塞斯屈服准则考虑中间应力使用方便。
这些特点对于各向同性理想塑性材料的屈服准则有普遍意义
例题：一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求 此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）
解：
根据平衡条件可求得应力分量为：
s
P z
p r pr z 0 2 rt 2t p 2 r pr 0 2t t
当主应力不知时，上述Tresca准则不便使用
对于平面变形及主应力为异号的平面应力问题：
max
x y 2 xy 2
2
屈雷斯加屈服准则可写成：
2 x y 4 xy s2 4 K 2 2
6.3 Mises屈服准则
1913年，德国力学家米塞斯： f( ij ) = C 与坐标的先择无关， 对于各向同性材料，屈服函数式 与塑性变形与应力偏张量有关，且只与应力偏张量的第二不变量 I ' 有关。

平面:
1 OM 1l 2 m 3n ( 1 2 3 ) 0 3
1 2 3 0
2
2 1 3
3
1
3 2 1
2 3 1
o
p
1 2 3
3
3 1 2
I J
K
2 s
1 2 s
21 3 22 2 s2
21 2 ( 2 s ) 2 2
( 2 s )2 3 1
}
Mises椭圆
J I K L A
σ3
I1
H 0 B
N
G
F E
σ2
同样，对于Tresa 1 2 s
2
……(a)

（在外表面）
p
2r
z
t

P

p （在内表面） 0
当外表面屈服时：
pr 1 t
2 z
pr 2t
3 0
……(b)
1）由米塞斯屈服准则
( 1 2 ) 2 3 3 1 2 s2
2 2 2
与等效应力比较得 ：
2 1 2 2 2 2 2 e ( x y ) y z z x 6 xy yz zx s 2
用主应力表示为 ：
1 2 2 2 e (1 2 ) 2 3 3 1 s 2
6.2 Tresca屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加: 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。即材料处于 塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值， ——又称为最大切应力不 变条件:
max
max min
2
C
C为材料性能常数，可通过单拉求得 :
材料单向拉伸时的应力 : K为材料屈服时的最大切应 力值，即剪切屈服强度
证明：
在弹性变形时有下列广义虎克定律：
单位体积的弹性变形能可借助于这个式子用应力表示为：
其中与物体形状改变有关的部分，可将此式中的应力分量代以偏差应力 分量而求得：
于是，发生塑性变形时的单位体积形状变化能达到的极值是： 所以，密赛斯屈服准则也称为变形能定值理论。
密赛斯屈服准则的简化形式： 为了将密赛斯屈服准则简化成与屈雷斯卡屈服准则同样的形式并 考虑中间主应力 2 对屈服的影响，这里引入洛德应力参数：
3 0 对于Mises 2 2 ( 1 2 ) 2 2 3 3 1 2 s2 6 K 2
σ2
1 s 2
2 s
D
1 2
2 1 2 2
wk.baidu.com
2 s
' 2
E
P F
1'
C
1 s
将坐标轴旋转45度:
第六章 屈服准则
本章主要内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 基本概念 屈雷斯加屈服准则 米塞斯屈服准则 屈服准则的几何描述 屈服准则的实验验证与比较 应变硬化材料的屈服准则
6.1 基本概念
金属变形：弹性+塑性
一、屈服准则（塑性条件）： 在一定的变形条件下，当各应力 分量之间满足一定关系时，质点才开 始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则。
σ
3
屈雷斯 加六角 柱面
N
I
1
密塞斯 圆柱面 H G F
J I K
L 0
E C D
σ
2
A
B C
1
σ
1
1、主应力空间的屈服表面
若变形体内一点的主应力为，则此点的应力状态可用主应 力坐标空间的一点Ｐ来表示：
P(1, 2 , 3 )
lmn
1 3
引等倾线ON
2 1 2 2 2 PN 1 2 3 ( 1 2 3 )2 3 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 3 ON表示应力球张量，NP表示应力偏张量 '12 ' 2 2 '32
则Mises屈服准则为:
e = s
需注意的是： 1） 应用密赛斯屈服准则时，单向拉伸时屈服剪应力为 s / 2 ，在纯 剪时屈服剪应力增大至 k s / 3 0.577 s ,是 s / 2 的１．１５５倍。这 和屈雷斯卡屈服准则认为剪应力达到 s / 2 为判断是否屈服的依据是不 同的； 2） 密赛斯当初认为，他的准则是近似的。由于这一准则只用一个式 子表示，而且可以不必求出主应力，也不论是平面或空间问题，所以显 得简便。后来大量事实证明，密赛斯屈服准则更符合实际，而且对这一 准则提出了物理的和力学的解释； 3） 一个解释是汉基（Ｈｅｎｃｋｙ）于１９２４年提出的。汉基认 为密赛斯屈服准则表示各向同性材料内部所积累的单位体积变形能达到 一定值时发生屈服，而这个变形能只与材料性质有关，与应力状态无关。
2 2 2
即：
(
pr pr 2 pr pr ) ( ) 2 ( ) 2 2 s2 t 2t 2t t
……(c)
所以可求得：
2 t p s 3r
……(d)
2）由屈雷斯加屈服准则
1 3 s
所以可求得：
即
pr 0 s t
t p s r
用同样的方法可以求出内表面开始屈服时的p值： 此时:
塑性材料试样拉伸时拉力与伸长量 之间的关系
f( x , y , z , xy , yz , zx )= C f( 1 , 2 , 3 )= C f(I1 , I 2 , I 3 )= C
' ' f(I 2 , I 3 )= C
屈服准则与应力和材料有关，C是与 材料性质有关而与坐标系的常数. 屈服准则是求解塑性成形问题必要 的补充方程 。
σ3 σ3
根据Mises屈服准则 e = s ，材料屈服。 P点屈服时：
P
N
2 s 3
2 PN s 3
且以N为圆心，以
2 s 3
σ1 σ1
0
σ2
主应力空间
的圆上的应力点，材料都屈服。
静水应力不影响屈服，所以，以ON为轴线，以 为半 径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则，这个圆 柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。
则：
代入密赛斯屈服准则，得：
两种屈服准则的共同点： 1. 屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数 ； 2. 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的； 3. 各表达式都和应力球张量无关 。 两种屈服准则的不同点：
1.
2.
屈雷斯加屈服准则未考虑中间应力使用不方便；
1 s 2 3 0
Mises屈服准则： 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 s 2
Mises屈服准则在纯剪切应力状态时：
σ2
O
σ1 σ
xy 1 3 k
2
得：
Mises屈服准则又可以表示为：
1 3 2
纯剪切线
1
平面上的屈服轨迹
2
1. 2.
说明： 密赛斯屈服准则在主应力空间是一个无限长的圆柱面，其轴线与 坐标轴成等倾角，其半径 2 或 2k 。这个圆柱面称为屈服轨迹 3 或塑性表面。可见，表示一点的应力状态Ｐ点，位于此圆柱面以 内，则该点处于弹性状态，若Ｐ点位于圆柱面上，则处于塑性状 态。
3 p
p 2t 3r 6rt 4t t p s rt
2 2
1）按米塞斯屈服准则: 2）按屈雷斯加屈服准则:
s
6.4 屈服准则的几何描述
屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭 的空间曲面称为屈服表面。 屈服轨迹：屈服准则在各种平面坐标系中的几何图形是一封闭曲线，称为 屈服轨迹。
二、关于材料性质的基本概念
a)实际金属材料
b)理想弹塑性 c)理想刚塑性 讨论：
d)弹塑性硬化
e)刚塑性硬化
1、实际金属材料在比例极限以下——理想弹性 一般金属材料是理想弹性材料
2、金属在慢速热变形时——接近理想塑性材料

s
3、金属在冷变形时——弹塑性硬化材料 4、金属在冷变形屈服平台部分——接近理想塑性
' 1 1' cos450 2 sin 450
1 2 s
B
' 2 2
} sin 45 cos45
0 ' 1 0
2 s 3
G A
2 s
1
1 ' ( 1' 2 ) 2
1 s
H L
1 ' 2 ( 1' 2 ) 2