《微积分二》二重积分
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
《微积分二》二重积分
例 例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解 矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以
D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念 二、二重积分的计算
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 2 2
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二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
《微积分二》二重积分共45页PPT
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
谢谢！
39、没有不老Байду номын сангаас誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用二重积分是微积分中重要的计算工具之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍二重积分的定义、计算方法和应用。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，则二重积分的定义如下：∬D f(x,y) dA = lim Δσ→0 ∑ f(xi,yi) Δσ,其中D是平面上的一个有界闭区域，Δσ是D中的一个小面积，Δσ=ΔxΔy，xi和yi是Δσ的中点。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系中的二重积分直角坐标系中的二重积分可以通过重积分法进行计算，即首先对其中的一个变量积分，再对另一个变量积分。
2.极坐标系中的二重积分对于极坐标系中的二重积分，可以将二元函数表示为极坐标形式，再进行积分计算。
设D是在极坐标系下的一个有界闭区域，则有：∬D f(x,y) dA = ∫θ1^θ2 ∫r1^r2 f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ,其中θ1和θ2是θ的取值范围，r1和r2是r的取值范围。
三、二重积分的应用二重积分在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。
1.面积计算二重积分可以用于计算平面区域的面积。
设D是平面上的一个有界闭区域，用f(x,y)=1表示D上每一点的函数，那么二重积分∬Df(x,y)dA就等于D的面积。
2.质量、质心和转动惯量二重积分可以用于计算平面物体的质量、质心和转动惯量。
设D是平面上的一个有界闭区域，其上的密度函数为ρ(x,y)，则二重积分∬Dρ(x,y)dA就等于D上物体的质量。
质心的坐标可以通过二重积分的计算得到，分别为Xc=∬Dxρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA，Yc=∬Dyρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA。
转动惯量的计算也可以类似地进行。
3.二维几何中心和弧长二重积分可以用于计算平面曲线的几何中心和弧长。
设曲线L由参数方程x=f(t)，y=g(t)表示，其中a≤t≤b，则曲线的几何中心的x坐标为Xc=1/L ∫a^b x(t) ds，y坐标为Yc=1/L ∫a^b y(t) ds，其中L=∫a^b √[f'(t)^2+g'(t)^2] dt。
二重积分的算法
二重积分的算法1. 引言在微积分中，二重积分是一种对平面上的函数进行求和的方法。
它可以用来计算平面上某个区域内函数值的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的算法，并详细说明如何进行计算。
2. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将闭区域D分成许多小区域ΔA i，其中i=1,2,…,n。
选择一个点(x i∗,y i∗)属于第i个小区域ΔA i，则二重积分可以定义为：∬f D (x,y)dA=limmaxi∥ΔA i∥→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i其中∥ΔA i∥表示小区域ΔA i的面积。
3. 计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤如下：步骤1：确定积分区域首先需要确定要进行积分的区域D。
这个区域可以是矩形、三角形、圆形等等。
根据实际情况选择适当的坐标系，并确定区域的边界方程或者坐标范围。
步骤2：确定积分顺序根据实际情况，选择适当的积分顺序。
二重积分可以按照x先积分再积分y，也可以按照y先积分再积分x。
选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
步骤3：确定积分限根据积分区域和所选的积分顺序，确定每个变量的取值范围。
这些取值范围将成为二重积分的限制条件。
步骤4：进行二重积分计算根据所选的积分顺序和限制条件，将二重积分转换为一重积分或多个一重积分的组合。
使用数值方法或解析方法进行计算，得出最终结果。
4. 二重积分的常用算法在实际计算中，有几种常用的算法可用于求解二重积分。
矩形法矩形法是最简单直观的方法之一。
它将区域D划为若干个小矩形，并在每个小矩形的中心点处取样。
然后将每个样本值乘以对应小矩形的面积，再求和得到最终结果。
梯形法梯形法是一种改进的方法，它将区域D划分为若干个梯形，并在每个梯形的两个底边中点处取样。
然后将每个样本值乘以对应梯形的面积，再求和得到最终结果。
辛普森法则辛普森法则是一种更高级的方法，它利用了二次多项式的性质。
它将区域D划分为若干个小矩形，并在每个小矩形的四个顶点处取样。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。
首先，我们来介绍二重积分的概念。
在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。
如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。
这个过程可以用二重积分来表示。
二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。
我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。
而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。
在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。
首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。
闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。
一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。
根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。
在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。
接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。
对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。
对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。
然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。
接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。
最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。
对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。
二重积分公式
二重积分公式“二重积分公式”是指将复杂的定积分变形成两层积分，从而使计算简单易行的数学方法。
在微积分中，二重积分公式可用来计算含有两个变量的函数的定积分。
一般地，二重积分公式的积分限定应当是单变量连续函数f (x, y) 上的闭区间（a，b）×（c，d），即：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy其中，a、b、c、d 四个数值都是已知的，两个积分符号表示对 f (x, y) 进行双重积分。
二重积分公式的计算步骤如下：（1）首先将复杂的定积分表达式变形成两层积分的形式：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy（2）然后内层积分，即将 x 变量作为不变量，固定y 的值，用其他技巧把 y 和 f (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 x 的积分：∫a b F (x, y) dx（3）最后外层积分，先把 y 变量作为不变量，把 F (x, y) 抽象出来，再用其他技巧将 y 和 F (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 y 的积分：∫c d G (y) dy（4）通过计算内层积分和外层积分，就可以得到最终的定积分结果：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy = ∫c d G (y) dy ∫a b F (x, y) dx总而言之，二重积分公式就是将复杂的定积分变形成两层积分，并用计算内层积分和外层积分的方法来求解定积分的数学方法。
除此之外，二重积分公式还有一些特殊情况。
例如，如果 a=b 或 c=d，那么就可以将二重积分公式变成单重积分。
另外，如果 a=c 且 b=d，那么就可以将二重积分公式变成求面积的公式。
总之，二重积分公式是一种非常有用的数学工具，能够帮助我们快速求解含有双重变量的定积分问题，简化复杂的计算过程，使得定积分的计算变得更加简单易行。
二重积分求法
二重积分求法一、什么是二重积分二重积分是微积分中的重要概念之一，它可以理解为对一个二元函数在一个有限区域上的积分运算。
与一元积分不同的是，二重积分在平面上对函数进行积分，求解的结果是一个数值。
二重积分的求解方法有多种，我们将在接下来的内容中逐一介绍。
二、重要概念在讨论二重积分求法之前，先来了解一些与二重积分相关的重要概念。
1. 积分区域积分区域是指在平面上确定的一个有限区域，通常用符号D表示。
在二重积分中，我们对函数在积分区域D上进行积分。
2. 二元函数二元函数是指依赖于两个变量的函数，通常用z=f(x,y)表示。
在二重积分中，我们对这样的二元函数进行积分。
3. 二重积分的累次积分将二重积分转化为累次积分是求解二重积分的常用方法之一。
通过将二重积分的积分区域分割成若干个小区域，可以将二重积分转化为两个一重积分的累次积分。
三、二重积分的求解方法接下来，我们将逐一介绍几种常用的二重积分求解方法。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过积分区域的类型来选择相应的计算方法。
(1) 面积型积分当积分区域D为矩形、长方形或平行四边形等面积型区域时，可以直接根据区域的几何性质求解面积。
(2) 变限积分当积分区域D为由直线、抛物线、圆等曲线围成的区域时，可以通过变限积分求解。
变限积分的本质是将积分区域D分割成多个小区域，分别计算每个小区域上的积分再相加。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，直角坐标系下的二重积分计算较为繁琐，这时可以通过转换到极坐标系下进行计算。
转换到极坐标系后，二重积分的计算变得更加简单，特别适用于对称性较强的函数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要定理之一，它将积分与导数联系起来。
对于二元函数f(x,y)，如果存在它的原函数F(x,y)，则可以通过牛顿-莱布尼茨公式直接求解二重积分，即将二重积分转化为一重积分。
四、二重积分的应用二重积分作为微积分的重要工具，在各个领域都有广泛的应用。
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。
本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。
一、二重积分的概念在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。
二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。
一般来说，二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。
二、二重积分的计算方法1. 通过直接定积分计算：如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。
具体计算方法如下：将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。
2. 通过极坐标变换计算：当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重积分转化为极坐标下的积分。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。
3. 通过变量代换计算：当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。
三、二重积分的应用1. 计算平面图形的面积：二重积分可以用来计算平面上的曲线或曲面的面积。
通过将曲线或曲面分割为小的面积元素，并将其面积相加，可以得到整个曲线或曲面的面积。
2. 计算质量和质心：对于有一定密度分布的平面图形，可以用二重积分来计算其质量和质心。
二重积分的计算步骤
二重积分的计算步骤在微积分中，二重积分是求解二元函数在一个二维平面内的积分。
本文将全面介绍二重积分的计算步骤，旨在帮助读者理解并掌握这一重要的计算工具。
第一步：确定积分区域和被积函数在进行二重积分的计算之前，首先需要确定积分区域和被积函数。
积分区域通常是一个二维平面上的有界形状，可以是矩形、三角形、圆形等等。
被积函数则是要在这个积分区域内计算的二元函数。
第二步：确定积分顺序在进行二重积分的计算之前，还需要确定积分的顺序。
一般情况下，可以选择先对x进行积分，再对y进行积分，也可以选择先对y进行积分，再对x进行积分。
这两种积分顺序的结果是相同的，但不同的积分顺序可能会影响到计算的难易程度和有效性。
第三步：写出积分表达式一旦确定了积分区域、被积函数和积分顺序，就可以写出二重积分的积分表达式。
对于先对x进行积分的情况，积分表达式为：∬ f（x，y）dxdy其中，f（x，y）是被积函数，dxdy表示先对x进行积分，再对y进行积分。
如果改变积分顺序，则积分表达式也需要相应地改变。
第四步：确定积分限在确定积分限时，需要将积分区域分解为若干个较小的区域，然后对每个小区域的积分限进行计算。
对于先对x进行积分的情况，积分限的表示为：∫a1 b1 ∫c1 d1 f（x，y）dydx其中，a1和b1分别表示积分区域在x轴上的上下限，c1和d1表示积分区域在y轴上的左右限。
第五步：进行积分计算二重积分的计算需要用到积分公式。
根据不同的积分顺序和积分限，可以选择使用不同的积分公式。
在对x和y进行分别积分后，将得到二重积分的结果。
这个结果可以解析地计算，也可以使用数值方法进行估算。
总结：二重积分的计算步骤二重积分是微积分中的重要工具，用于求解在二维平面内的积分。
它的计算步骤包括确定积分区域和被积函数、确定积分顺序、写出积分表达式、确定积分限以及进行积分计算。
掌握这些步骤可以帮助读者更好地理解和应用二重积分。
二重积分计算方法总结
二重积分计算方法总结二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量。
本文将总结二重积分的计算方法，并介绍其应用领域和注意事项。
一、二重积分的基本概念二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上进行积分运算。
具体地说，对于定义在平面区域D上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面区域D上的面积元素。
二重积分的计算方法有多种，下面将分别介绍。
二、二重积分的计算方法1. 基本方法：将平面区域D划分为若干个小矩形，计算每个小矩形上函数值与面积的乘积，再将所有小矩形的乘积求和即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量无限增加时，近似值趋近于准确值。
2. 极坐标法：对于具有极坐标方程的平面区域D，可以通过转换成极坐标系来简化计算。
具体做法是将二重积分转化为极坐标下的二重积分，并利用极坐标的相关性质进行计算。
3. 变量代换法：对于某些具有特殊形式的平面区域D，可以通过变量代换来简化计算。
常见的变量代换方法有矩形坐标系到极坐标系、直角坐标系到柱坐标系等。
4. 先y后x法：当被积函数的表达式较为复杂时，可以通过先对y 进行积分，再对x进行积分的方法来简化计算。
这种方法常用于计算面积和质心等物理量。
三、二重积分的应用领域二重积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 计算平面区域的面积：通过对二维平面区域上的函数进行二重积分，可以得到该区域的面积。
2. 计算平面区域的质量：假设平面区域上每个点的密度为ρ(x,y)，则通过对ρ(x,y)与面积元素dA进行二重积分，可以计算出该区域的质量。
3. 计算平面区域的重心：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x、y的乘积进行二重积分，可以求解出该区域的重心坐标。
4. 计算平面区域的矩：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x的幂次进行二重积分，可以计算出该区域的各阶矩。
《微积分二》二重积分PPT45页
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
《微积分二》二重积分
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
微积分课件 二重积分的概念
i为底作平顶柱体, 其体积为
O
y
f (i ,i ) i
D
x
i
(i ,i )
Vi f (i ,i ) i (i 1,2, ,n)
n
V f (i ,i ) i i 1
6
3.求和取极限
令di
表示
内任意两点间距离的最大值
i
(称为该区域的直径), 又令
y i
d max 1in
x
O
23
x+y=1
15
例2 估计 (x2 y2 9)d ,其中D : x2 y2 4.
D
解 由第八章二元函数最值的求法知：
要求 z x2 y2 9
在区域D : x2 y2 4的最值, 须先求出ƒ(x,y)在D内全部驻点的函数值、一阶偏导不 存在的点的函数值以及区域D的边界上的最值,再比较
di
,
O
x
若当d→0时(此时必有n→∞,但n→∞不能保证有d→0),
n
有
V
lim d 0
i 1
f (i ,i ) i
存在，
则定义此极限为曲顶柱体之体积.
注1 这种和式的极限的应用极广；各个领域中的不少 问题通常都要化为这种和式的极限；我们常把这种和 式的极限称为 二重积分.
7
§1 二重积分的概念
1
2 x2 ( y1)2 2
f (x, y)dxdy .
解 因ƒ(x,y)在闭区域D上连续,而 2,
则由得中值定理
I lim 1 f ( ,) 0 2
lim f ( ,) 0
lim f (,) ( ,) (0,1)
( ,) D
=ƒ(0,1)=1.
18
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D
n
其中D称为积分区域 f(x, y)称为被积函数 d 称为面积元素
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定义88(二重积分) 设f(x, y)是有界闭区域D上的二元函数 将D任意分成n个小区域n (i1, 2, , n) 在每个小区域i上任取一点(xi, yi) 作积分和
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例1. 利用二重积分的几何意义求下列二重积分.
(1) 2d , D : 由y x, y 2 x及y 2围成
D
(2) R 2 x 2 y 2 d , D : x 2 y 2 R 2
D
解： (1) 表示以平面z2 为顶、区域D为底的柱体的体积，
1 2 d =S 2 = 1 2 2 =2 D 2 D (2) 表示以球面z R 2 x 2 y 2 为顶，区域D : x 2 y 2 R 2 为底的曲顶柱体体积， 即半球的体积.
故 故
D
1 4 3 2 3 R x y d = R = R 3 2 3
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定义88(二重积分) 设f(x, y)是有界闭区域D上的二元函数 将D任意分成n个小区域n (i1, 2, , n) 在每个小区域i上任取一点(xi, yi) 作积分和
f (xi, yi ) i
i 1
n
如果当各小区域直径中的最大值d趋于0时 积分和的极 限存在 且与小区域的分割及点(xi, yi)的选取无关 则称此极 限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分 记作
0 0
1
1
e d x e y d y
x 0
1
( e d x)( e y d y)
x 0 0
1
1
(e1)2
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特殊地， Ⅰ. 若区域D是一矩形，即D {( x, y) | a x b , c y d}
f ( x, y)dxdy
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一、二重积分的基本概念
引例(曲顶柱体的体积) •用曲线网把D分成小区域 1 2 n •用小平顶柱体的体积近似代 替小曲顶柱体的体积Vi Vif(xi yi)i •用小平顶柱体的体积之和近 似代替整个曲顶柱体体积
2 ( x)
1( x)
f (x, y)d y]d x
提示 当 f(x, y)0 时 二重积分 f (x, y)d x d y 表示以曲面 截面是以区间[1(x0) 2(x0)] 为底、以曲线zf(x0 y)为曲 D 边的曲边梯形 zf(x, y)为顶 以闭区域D为底的曲顶柱体的体积V
0
1
1 x 2
0
x2 y d y
x2 d x
0 1
1
1 x2
0
yd y
2 y 1 x2 2 x ( )0 d x 0 2 1 1 x 2 (1 x 2)d x 2 0 3 5 1 1 x x 1 ( )0 2 3 5 15
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性质 3 如果闭区域 D 划分为两个闭区域 D1 与 D2 则
f ( x, y) d f ( x, y) d f ( x, y) d D D D
1 2
性质 4
1d d A (A 为 D 的面积) D D
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mA f (x, y) d MA
D
性质 7 设函数f(x, y)在闭区域D上连续 A 为D的面积 则 在D上至少存在一点( ) 使得
f (x, y) d f ( , ) A D
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二、二重积分的计算
2 2 2
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二重积分的性质 二重积分与一元函数定积分具有相应的性质 下面论及 的函数均假定在区域D上可积
性质 1 性质 2
kf (x, y) d k f (x, y) d D D
(k 为常数)
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y) d g(x, y) d D D D
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念 二、二重积分的计算
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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例 例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解 矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以
D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
Vn f ( xi , yi ) i
i 1 n
•将分割加细 取极限 求得曲 顶柱体体积的精确值
V lim f ( xi , yi ) i
d 0 i 1 n
i (xiyi)
提示 其中d为各小区域直径的最大值
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一、二重积分的基本概念
引例(曲顶柱体的体积) 设函数zf(x, y)在有界闭区域D上连续 且f(x, y)0 试求 以曲面zf(x, y)为顶 以区域D为底 以平行z轴的直线为母线 的曲顶柱体的体积
y
D
o
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D D
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x
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结束
f ( xi , yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
D
n
二重积分的几何意义
zf(x, y) 在D上为正 在D上为负 在D上有正 有负
f (xi, yi ) i
i 1
n
如果当各小区域直径中的最大值d趋于0时 积分和的极 限存在 且与小区域的分割及点(xi, yi)的选取无关 则称此极 限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分 记作
f ( xi , yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
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例 3. 2 计算二重积分 x 2 y d x d y 其中区域 D 是由 x0 y0
与x2y21所围成的第一象限的图形 解 D 可表示为 D{(x, y)|0x1, 0y 1 x2 } 所以
D
D
x 2 y d x d y d x
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1 在直角坐标系下二重积分的计算
(1)区域D为X型区域
b a
D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
2 ( x)
1 ( x)
y [ ff(( xx , ,yy ))d dyx ]d dx y f (x, y) d x d或写成
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二重积分的性质
性质 5 如果在区域 D 上总有 f(x, y)g(x, y) 则 f (x, y) d g (x, y) d
D D
特殊有 | f (x, y) d | | f (x, y)|d
D D
性质 6 设M与m分别是f(x, y)在D上的最大值和最小值 A 为D的面积 则有
1 在直角坐标系下二重积分的计算 ----化为两次定积分来计算
(1)区域D为X型区域 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
(2)区域D为Y型区域 D{(x y)| cyd 1(y)x2(y)}
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
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f (xi, yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
D
n
以曲面zf(x, y) 为顶、区域D为底的 曲顶柱体的体积
以曲面zf(x, y) 为顶、区域D为底的 曲顶柱体的体积的负值 xy面上方的柱体体积与 xy面下方的柱体体积之差
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 ( x)
1( x)
f (x, y)d y]d x
b
即
f (x, y) d x d y [
D
a
2 ( x)
1 ( x)
f ( x, y) d y]d x
注 计算一般二重积分只需取消f(x y)0的限制