习题课(23)

72 Fa = − 2 +18λ a = 0, (1) a b 72 2 4 2 代入(3)， Fb = − 2 + 8λb = 0, ( 2) ⇒ a = b ，代入 ，得 9 ab Fλ = 9a 2 + 4b 2 − 72= 0, ( 3)
b 2 = 9, b = 3, a = 2 ，得唯一驻点 ( 2, 3) ，
1 ( y − 2 x )( 2 y + x ) = 0 ， y = 2 x 或 y = − x . 2
把 y = 2 x 代入 (3) 得 5 x 2 + 8 x 2 + 32 x 2 − 1= 0 ，
1 2 4 即 45 x =1 ， x = ， y = ， 45 45
2
2
1 1 x + y = ，d= . 9 3
2 2
+ λ ( x1 + x 2 −1.5 ) ，
Q x1 = −4 x1 − 8 x2 +13+ λ = 0 令 Q x 2 = −8 x1 − 20 x2 + 31+ λ = 0 ， Q = x + x −1.5= 0 λ 1 2
解之得 x1 = 0 ， x2 =1.5 ，
万元全部用于报纸广告， 可使利润最大。 即将广告费用 1.5 万元全部用于报纸广告 ， 可使利润最大 。
1 1 1 最小值存在， 即为最小值点， ∵ 最小值存在 ， ∴ 唯一驻点 P ( , , ) 即为最小值点 ， 4 4 8
d min =
x + y − 2z − 2 6
P=
7 4 6
.
2 x−3 y+ z =0 ． 上竖坐标 z 的 4．求空间曲线 2 2 2 2 x + 3 y + z = 30
习题课二十三
一、选择题
的极小值点是（ 1． 函数 z = x 3 + y 3 − 3 x 2 − 3 y 2 的极小值点是 （ B ） ． （0 （ A） 0， 0） （ ； （0 （ C） 0， 2） （ ； （2 （ B） 2， 2） （ ； （2 （ D） 2， 0） （ 。
二、解答题
1. 求曲面 z = x 2 + y 2 与平面 x + y − 2 z = 2 之间的 最短距离。 最短距离。
2 2
1 2 2 2 把 y = − x 代入 (3) 得 5 x − 2 x + 2 x − 1 = 0 ， 2
1 1 2 即 5 x =1 ， x = ， y = ， 5 20
2
2
1 1 x + y = ，d= . 4 2
2 2
1 1 由于最值必存在，故长半轴 a= ，短半轴 b= 。 2 3
x2 2 z2 5．求椭球面 + y + =1 与平面 2 x + 2 y+ z +5= 0 之间 ． 2 4 最短距离。 最短距离。
2 2
2
2
(a,b)
这 是 长半 轴 为 短 半 轴为
18 ，
o
8
x
8 的椭圆。
x y ax by 切线方程为 + =1 ，化为截距式： 8 + 18 =1 ， 化为截距式： 8 18
a b
设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为 S， 则 ，
1 8 18 1 72 S = ⋅ ⋅ − π ⋅ 18 ⋅ 8 ， 即 S = − 3 π ( a > 0 ,b > 0 ) 。 2 a b 4 ab 72 min : S = − 3 π 求条件极值问题： ， ab s ⋅ t : 9 a 2 + 4 b 2 − 72 = 0 72 令 F ( a ,b ,λ ) = − 3 π + λ ( 9 a 2 + 4 b 2 − 72 ) ， ab
为椭圆上的任一点， 解：设 M ( x , y ) 为椭圆上的任一点，点 M 到原点的距离
d = x 2 + y 2 ，d 的最大值即为长半轴 a，d 的最小值即 ，
为短半轴 b。 。
设 f ( x , y ,λ )= d 2 + λ (5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 −1)
= x 2 + y 2 + λ (5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 −1) ，
7．在椭球面 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 的位于第一卦限部分上 ． 求一点， 求一点 ， 使得在此点的切平面与三个坐标面所围成的 三棱锥的体积最小. 三棱锥的体积最小
解 ：设 F ( x , y ,z )= 4 x 2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 ，
F x = 8 x ， F y = 2 y ， Fz = 2 z ，
代入（ ， ，得 再代入（ ， 把 y = − x 代入（ 4） 得 z = −5 x ，再代入（5）
得 2 x + 3 x + 25 x − 30 = 0 ， 30 x = 30 ，
x = ±1 ， y = m1 ， z = m5 ，
故得驻点 (1,−1,−5) ， (−1,1,5) ，于是 z max = 5 ， z min = −5 . −
f x = 2 x +10λx + 4λy = 0 (1) x + λ ( 5 x + 2 y )= 0 令 f y = 2 y + 4λ x +16λ y = 0 ⇒ y + λ ( 2 x + 8 y )= 0 (2) 5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 −1= 0 (3) 2 2 f λ = 5 x + 4 xy + 8 y −1= 0 −x 2 2 (1)得 代入(2) (2)化简得 由(1)得 λ = ，代入(2)化简得 2 y − 3 xy − 2 x = 0 ， 5x+2 y
(1) Fx = 2λ 1 + 4λ 2 x = 0 F = −3λ + 6λ y = 0 (2) 1 2 y F =1+ λ + 2λ z = 0 (3) ⇒ y = − x , 1 2 令 z (4) Fλ 1 = 2 x − 3 y + z = 0 Fλ 2 = 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 − 30= 0 (5)
x2 2 z2 设 F ( x , y ,z ,λ )= ( 2 x + 2 y+ z +5)2 +λ ( + y + −1) ， 2 4
Fx =4( 2 x + 2 y + z + 5)+ λx =0 F y =4( 2 x + 2 y + z + 5)+ 2λy =0 1 Fz = 2( 2 x + 2 y + z + 5)+ λz =0 2 x2 2 z2 Fλ = + y + −1=0 2 4
即 L( x1 , x2 )= −2 x1 − 8 x1 x 2 −10 x2 + 13 x1 + 31 x2 + 15 ，
2 2
Lx1 ( x1 , x2 )= −4 x1 − 8 x2 +13= 0, 由 Lx 2 ( x1 , x2 )= −8 x1 − 20 x2 + 31= 0,
椭球面上的任一点 上的任一点， 解: 设 M ( x , y ,z ) 为椭球面上的任一点， 2 x+ 2 y+ z +5 . 则点 M 到平面的距离为 d = 3 原问题等价于求条件极值 原问题等价于求条件极值
min : f ( x , y ,z )= 9d 2 = ( 2 x+ 2 y+ z+5)2 , x2 2 z2 + y + =1. s.t : 2 4
在第一卦限的椭球面上任取一点 M ( x , y , z )( x > 0, y > 0, z > 0) ，
2 2
的任一点， 解：设 M ( x , y , z ) 为曲面 z = x + y 的任一点，
则点 M 到平面 x + y − 2 z = 2 的距离为
d= x + y − 2z − 2 6
， 6d 2 = ( x + y − 2 z − 2 ) 2 .
设 F ( x , y , z ,λ )= ( x + y − 2 z − 2) 2 + λ ( x 2 + y 2 − z ) ，
解得 x1 = 0 .75 ， x 2 = 1 .25 。
利润函数 L( x1 , x 2 ) 在 ( 0.75, 1.25 ) 处的二阶偏导数为
A= Lx1 x1 ( 0.75, 1.25 )= −4 ， B = Lx1 x 2 ( 0.75, 1.25 )= −8 ， C = Lx 2 x 2 ( 0.75, 1.25 )= −20 ，
最大值和最小值. 最大值和最小值.
解：求函数 f ( x , y , z ) = z 在约束方程 2 x − 3 y + z = 0 下的极值. 和 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 − 30 = 0 下的极值.
设F ( x , y ,z ,λ )= z + λ 1 ( 2 x − 3 y + z )+ λ 2 ( 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 − 30)
∵ AC − B 2 = 80− 64=16> 0 ， A= −4< 0 ， < 处达到极大值，即最大值。 ∴ L( x1 , x2 ) 在 ( 0.75, 1.5 万元 ， 报纸广告费用为 可使利润最大。 1 .25 万元 时 ， 可使利润最大 。