2019年人教版高考数学一轮复习4.1平面向量的概念及线性运算优质课教案
高三数学一轮复习 第4篇 平面向量的概念及线性运算学案 理
第三十八课时向量的线性运算课前预习案1.了解向量的实际背景。
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
3.理解向量的几何表示。
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
12.3.共线向量定理 a r 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得=b a λr r ，则向量b r 与非零向量a r共线．1.设a r 、b r 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是( )A ．a b =-r rB ．//a b r rC ．2a b =r rD ．//a b r r 且||||a b =r r2.（2013四川（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AOλ+=u u u r u u u r u u u r,则λ=_________.3．（2013江苏）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.课堂探究案考点1 向量的有关概念 【典例1】判断下列各命题是否正确.（1）若||a r =||b r，则a r =b r ;（2）若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；（3）若a r ∥b r ,b r ∥c r ，则a r ∥c r;（4）两向量a r ,b r 相等的充要条件是：|a r |=|b r |且a r ∥b r；【变式1】判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a r 与b r 平行，则a r 与b r的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；其中假命题的个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5考点2 平面向量的线性运算【典例2】设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0【变式2】平行四边形OADB 对角线交点C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a r ，OB →＝b r ，用a r 、b r 表示OM →、ON →、MN →.考点3 平面向量共线定理及应用【典例3】设两个非零向量1e ρ和2e ur 不共线．(1)如果AB →＝1e ρ－2e u r ，BC →＝31e ρ＋22e u r ，CD →＝－81e ρ－22e u r ，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝1e ρ＋2e u r ，BC →＝21e ρ－32e u r ，CD →＝21e ρ－k 2e u r ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．【变式3】设1e ρ，2e ρ是两个不共线的向量，则向量m u r ＝－1e ρ＋k 2e ρ(k ∈R)与向量n r ＝2e ρ－21e ρ共线的充要条件是 ( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝21当堂检测1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝3BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝02．已知向量a r ，b r 不共线，c r ＝k a r ＋b r (k ∈R )，d u r ＝a r －b r .如果c r ∥d u r，那么( )A ．k ＝1且c r 与d u r 同向 B.k ＝1且c r 与d u r反向C ．k ＝－1且c r 与d u r 同向D ．k ＝－1且c r 与d u r反向课后拓展案 A 组全员必做题1．给出下列命题：①两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；②λa r＝0 (λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa r ＝μb r ，则a r 与b r共线．其中错误命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．02．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a r ，AD →＝b r ，则BE →＝____________.3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中正确命题的序号是________．组提高选做题1.（2012（大纲理））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===u u u r r u u u r r r r r r ,则AD =u u u r（ ）A ．1133a b -r rB ．2233a b -r rC ．3355a b -r rD ．4455a b -r r2.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．参考答案1.C2.23.12；【典例1】（1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）不正确. 【变式1】B 【典例2】B【变式2】1566OM a b =+u u u u r r r ，2233ON a b =+u u u r r r ，1126MN a b =-u u u u r r r .【典例3】（1）略；（2）43.【变式3】D1.D2.D组全员必做题1.B2. 12a b -+r r3. ④组提高选做题1.D2.-2。
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
高三数学一轮复习教案全套 人教A版平面向量的概念与线性运算
高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.1平面向量的概念与线性运算
【教学目标】
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点难点】
1.教学重点理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
平行四边形法则
，得BA →＝PC →.又AP →＝
＋AB →)＝12·2AD →＝AD →
.。
高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计
5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
2019版高考数学第5章平面向量1第1讲平面向量的概念及线性运算教案
第1讲 平面向量的概念及线性运算了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [说明] 三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③D ．①②解析：选 A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A. 12a ＋12b B. 12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．[典例引领]角度一 用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二 求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】 因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →， 又AM →＝λAB →＋μBC →， 所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[通关练习]1．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A. AB → B. DA → C. BC →D ．0解析：选D.因为AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋CD →＋DB →＋BA →＝0.2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.3．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又PA →＋BP →＋CP →＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0. 所以k ＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[通关练习]1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( ) A ．λ＝0 B ．λ＝－1 C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.答案：3求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A. AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C. QC →－QP →＋CQ → D. PA →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：选A.BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1，故选D.5．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D .依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 6．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13. 答案：[3，13]7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝ －a －b .答案：b －a －a －b8．(2018·豫西五校联考)若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．解析：由题设知CM MB ＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.答案：349.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ， 故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －k λb ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝k λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43. 综上，k 的值为43.1．(2018·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D. 3．给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． 其中为真命题的有________(填上序号)．解析：由向量的平行四边形法则知道，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量．所以①是真命题；若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题．答案：①②③4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ，又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
《4.1第一节 平面向量的概念及其线性运算》 教案
③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3
)
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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若
a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命 题．综上所述，假命题的个数是 3.
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证明：任取一点 O， KL ＝ OL － OK . ∵K、L 为 MN、PQ 的中点． 1 1 ∴ OK ＝2( OM ＋ ON )， OL ＝2( OP ＋ OQ )． 又∵M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点， 1 1 ∴ OM ＝2( OA ＋ OB )， ON ＝2( OC ＋ OD )， 1 1 OP ＝2( OB ＋ OC )， OQ ＝2( OD ＋ OE )． 1 ∴ KL ＝ OL － OK ＝2[－( OM ＋ ON )＋( OP ＋ OQ )] 1 ＝ [－( OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD )＋( OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE )] 4 1 1 ＝4(－ OA ＋ OE )＝4 AE .
复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．
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【例题 2】 【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝ OB.设 OA ＝a，
2019-2020年高三数学一轮复习讲义 平面向量的概念及线性运算教案 新人教A版
2019-2020年高三数学一轮复习讲义 平面向量的概念及线性运算教案 新人教A 版自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量 （2）表示方法： 用 有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示． (3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或____． 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __． 向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的 和 ，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的 三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，|，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．] 3.如图，正六边形ABCDEF 中，＋＋＝( )A ．0 B. C. D .４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( )A.＝0 B .＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m 成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ， 则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上． 变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确． 故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二 向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的 中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ， 试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝ ＝＝ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三 共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝（－8e 1－2e 2) ＝CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长 线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值. 解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明 在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．(4)设，不共线，点P 在AB 上，求证：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R . 证明：∵P 在AB 上，∴与共线． ∴＝t .∴－＝t (－)． ∴＝＋t －t ＝(1－t )＋t .设1－t ＝λ，t ＝μ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成 的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ·OB ＝－αλ·OA →＋(αλ＋b )·OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量 其中的夹角为1200,的夹角为300, 且||1,|23,OA OB OC ===|||则 的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若 求证△ABC 是等边三角形.λμ+平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，＋＋＝ ( ) A ．0 B ． C ．D ．4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（ ）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， ＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，＝，且·＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则 向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝________； (2)AB →－AD →－DC →＝________；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __． 解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线． 解 (1)∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ， ＝3(a －b )， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )， ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：A 、C 、D 三点不共线． ∵＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴＝＋＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b . 而＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得＝λ， 即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果＝e 1＋e 2，＝2e 1－3e 2，＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．＝＋＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心解析：由||＝||＝||知，O 为△ABC 的外心；＋＋＝0，知，N 为△ABC 的重心． 答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若＝λ (λ＞0)，＝μ (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，＋＝2＝λ＋μ⇔＝λ2＋μ2，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足＋ ＋＝，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点 解析：∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线. 14.已知＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C .23 D.344．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解 依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有＝λ，＝μ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有＝12，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确． 若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则＝λ时，λ＞1，＝μ时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a ＋b ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且＝a ＋b ，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞ ＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 1＋a 200，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交 直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ， 求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。
高考数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT
)
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：
①A→B＋C→D＝B→C＋D→A；②A→C＋B→D＝B→C＋A→D；③A→C－B→D
＝D→C＋A→B.其中正确的有(
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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[解析] ①式的等价式是A→B－B→C＝D→A－C→D，左边＝A→B ＋C→B，右边＝D→A＋D→C，不一定相等；②式的等价式是A→C－ B→C＝A→D－B→D，A→C＋C→B＝A→D＋D→B＝A→B成立；③式的等价式 是A→C－D→C＝A→B＋B→D，A→D＝A→D成立．
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[解析] 由题中条件得M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13
A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C＝xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－
16.
[答案]
1 2
－16
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向量的线性运算的解题规律 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角 形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量， 运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．向量加法的三角 形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形 法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则 的要素是“起点重合”．
第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算
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1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两 个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、 减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及 其意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的 性质及其几何意义.
高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案
1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
高考理科第一轮课件(4.1平面向量的概念及线性运算)
（2）选D.向量的共线与向量的平行是同义的，故A正确；根据 相反向量的概念可得B正确；由向量相等的概念可知C正确；当 两向量的模相等时，方向不一定相同.故D不正确. （3）①不正确，虽然终点相同，但两个向量也可 能不共线，如图，a,b不共线；②不正确，向量不 能比较大小；③不正确，当λ=μ=0时，a与b可为 任意向量，不一定共线.综上①②③都不正确. 答案：①②③
【规范解答】（1）选A.∵ AB BC CA＝0， ＋ ＋ ∴ 2AD 2BE＋2CF 0， ＋ ＝
即 AD BE CF 0. ＋ ＋ ＝ （2）选D.由题意得 PA PB PC PC PA， ＋ ＋ ＝ －
即 PB ＝－2PA 2AP. ＝
)
4.如图，正六边形ABCDEF中， ＋CD EF ＝( BA ＋
(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF
)
【解析】选D.BA CD EF CD DE EF CE EF CF. ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
【解析】①正确；②数与向量的积为向量，而不是数，故不正
确；③当a=b时|a|=|b|且a∥b，反之不成立，故错误；④当 a,b不同向时不成立，故错误． 答案：①
考向 2 平面向量的线性运算
【典例2】（1）如图，
D，E，F分别是△ABC的边AB，
BC，CA的中点，则(
A AD＋BE＋CF＝0 B BD－CF＋DF＝0 C AD＋CE－CF＝0 D BD－BE－FC＝0
2019高三数学人教A版理一轮课件：第4章 第1节 平面向
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa . [知识拓展] → 1 → → 1．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝2(OA＋OB)． → → → 2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
(对应学生用书第 69 页) [基础知识填充] 1．向量的有关概念 (1) 向 量 ： 既 有 大小 又 有 方向 的 量 叫 做 向 量 ， 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 长度(或模) ．
(2)零向量： 长度为0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于
[易错警示]
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它 与函数图象的移动混为一谈． a a (4)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量． |a| |a|
→ → 4． (教材改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O， 且OA＝a， OB＝ → → b，则DC＝________，BC＝________(用 a，b 表示)．
b－a → → → → －a－b [如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
→ → → → → BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.]
→ 3．D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量CD等于( → 1→ A．－BC＋ BA 2 → 1→ C．BC－ BA 2 → 1→ B．－BC－ BA 2 → 1→ D．BC＋ BA 2
)
高考数学理一轮复习 4.1 平面向量的概念及线性运算精品课件 新人教A
热点之一 平面向量的基本概念 1．着重理解向量以下几个方面： (1)向量的模； (2)向量的方向； (3)向量的起点和终点； (4)共线向量； (5)相等向量．
2．当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向．
要使 A、B、C 三点共线，则A→C＝λA→B， 即－23a＋13b＝λtb－λa.
∴有－ 13＝23λ＝t －λ
⇒λt＝＝1223
，
∴当 t＝12时，三向量的终点在同一条直线上．
从近两年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的 热点．尤其是向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题 的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关 概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题．
0.若存在实数 m 使得A→B＋A→C＝mA→M成立，则 m 等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] (1)∵CD 平分∠ACB，∴||CC→→AB||＝||AD→ →DB||＝21.
∴A→D＝2D→B＝23A→B＝23(C→B－C→A)＝23(a－b)．
∴C→D＝C→A＋A→D＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.
答案：C
▱ 3．在 ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，A→M＝4M→C，P 为 AD 的
中点，则M→P＝( ) A.45a＋130b C．－45a－130b
B.45a＋1130b D．－34a－14b
解析：如右图，M→P＝A→P－A→M ＝12A→D－45A→C ＝12A→D－45(A→B＋B→C) ＝12b－45(a＋b) ＝－45a－130b. 答案：C
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第四章平面向量高考导航
1.
[]
知识络
4.1 平面向量的概念及线性运算
典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题：
①向量AB的长度与BA的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
a∙；
①|a|＝a
②(a∙b) ∙c＝a∙ (b∙c)；
③－＝BA；
④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋
＝2MN；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).
其中正确的个为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
a∙正确；(a∙b) ∙c≠a∙ (b∙c)；OA－OB＝【解析】选D.| a|＝a
正确；如下图所示，
MN=+DC+CN且MN=++BN，
两式相加可得2＝AB＋，即命题④正确；
因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条
对角线，
即得(a ＋b)⊥(a －b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M
在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且=OC
31,设AB =a,
AD =b,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN .
【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以＝1
2DB ＝12(AB －AD )＝12
(a －b)，
AO ＝OC ＝12AC ＝12(＋)＝12
(a ＋b).[]
又＝13DO ， ON ＝13
OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1
3DO
＝b ＋13×12(a －b)＝16a ＋56
b ，
＝＋＝＋13
＝43OC ＝43×12(a ＋b)＝23(a ＋b). 所以MN ＝AN －AM
＝23(a ＋b)－(16a ＋56b)＝12a －16
b. 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量
由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.
【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1
2时，
则PA ∙(PB ＋PC )的值为 .
【解析】由已知得－＝λ(AB ＋)，
即AP ＝λ(AB ＋)，当λ＝12时，得AP ＝1
2(AB ＋)，
所以2AP ＝AB ＋，即AP －AB ＝－AP ， 所以BP ＝，
所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，
所以∙ (＋PC )＝∙0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题
【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB ＝a ＋b ， ＝2a ＋8b ， ＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线.
【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b)， 所以BD ＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线. (2)因为ka ＋b 和a ＋kb 共线，
所以存在实λ，使ka ＋b ＝λ(a＋kb)， 所以(k －λ)a＝(λk－1)b.
因为a 与b 是不共线的两个非零向量，
所以k －λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k ＝±1.
【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线
与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，+2+3=0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（ ） A.32 B.2
3 C.2 D.13
【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整可得OA ＋
OC ＋2(OB ＋OC )＝0.令三角形
ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点
为F ，则点O 在点F 与点E 连线的1
3
处，即OE ＝2OF.
设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝
1
2
∙OE ∙ (
h 2＋h 2)＝1
2
OE ·h ，
S △OAB ＝12AB ∙12h ＝1
4
AB ·h ，
由于AB ＝2EF ，OE ＝2
3
EF ，所以AB ＝3OE ，
所以S △OAC S △OAB ＝
h h AB OE ∙∙4
1
21
＝2
3
.故选B. 总结提高
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实，使这个实能够和其中一个向量把另外一个向量表示出.
3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a 与b 共线反向时，|a ＋b|＝||a|－|b||； 当向量a 与b 不共线时，|a ＋b|＜|a|＋|b|. ： ：。