下2非惯性系中的质点动力学
第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
非惯性系下质点的运动规律研究
Abstract
In mechanics textbook, according to Newton’s law motion, only the mathematical expression of particle motion theorem and its corresponding conservation law in inertial system and “special Non-Inertial system” (center of mass system) are deduced. In order to study the motion law of particle in “general Non-Inertial system”, based on Newton’s law of motion, this paper deduces the momentum theorem, kinetic energy theorem, angular momentum theorem of particles in “general Non-Inertial system” and their corresponding conservation laws.
由于科里奥利力的方向始终和质点相对于 k′ 系的位矢 r′ 垂直， Fc ⋅ dr′ = −2mω × vr ⋅ dr′ = 0 。 根据以上所得，则有
d
1 2
mvr2
=ma
⋅
dr
′
−
ma0
+
mω
×
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
第四章非惯性系中的质点力学
小结：选用不同的 s 系，其 加速度变换公式的具体分 析结果不同。
§4.3 非惯性系内质点动力学
当计入惯性力，就可在非惯性系中得到形式上和惯性 系一样的动力学规律（如三个定理，三个守恒定律）.
(x 0为势能零点 s系中 2. 当非惯性系以匀角速度 绕固定轴转动时, 2 1 2 2 F m ( r ) m e ( m ) Ic 2
牵连惯性 力 非惯性系中的 质点的动力学 方程
m a F
§4.2 非惯性系内质点的动力学方程
科氏 力
对惯性力作几点说明:
1.惯性力不是相互作用力,不遵从牛顿第三定律，它不 存在反作用力。 2.惯性力仅存在于非惯性系之中。 3.在非惯性系中惯性力真实存在，不是假想的力。 4.惯性离心力
m ( r )
三.落体偏东
以自由落体运动为例，研究科氏力对质点竖直运动的影响
在地面参照系oxyz中，其单位 矢量为i、j 、k.，且 i 水平向 南, j 水平向东, k 竖直向上. 质 点在z轴上 z h 处自由下落， 不计空气阻力，且不受其它物 体的作用， F 0
这里惯性离心力是保守力, 1 对应的势能为 V m 2r2 2
1 2 1 22 1 22 m m v r 0 m r 0 2 2 2
§4.4 地球自转的动力学效应
本节应用非惯性系内动力学理论解决实际问题的范例.
一. 质点相对地球的运动微分方程
1.有关地球运动的几个量. 2.地球为非惯性系时质点在地球表面附近运动微分方程. 地球既有自转又有公转,是非惯性参照系,以日心系为S系.
3. 通过前面分析,我们可利用运动系把质点的复杂运动 分解成为几个比较简单的运动的合成.
非惯性系内质点的动力学方程
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第16~17章)【圣才出
第16章非惯性系中的质点动力学16.1复习笔记一、基本方程1．非惯性系中的质点动力学基本方程（或称为质点相对运动动力学基本方程），其表达式为r Ie ICma F F F =++v v v v 式中，e Ie F ma =-v v ，表示牵连惯性力；C C I F ma =-v v ，表示科氏惯性力。
2．在动参考系内，把非惯性系质点动力学基本方程写成微分形式22Ie IC d d r m F F F t'=++v v v v 3．几种特殊情况（1）当动参考系相对于定参考系作平移时，则C 0a = ，0F =IC ，于是相对运动动力学基本方程为r Iema F F =+v v v （2）当动参考系相对于定参考系作匀速直线平移时，则C 0a = ，e 0a = ，Ie 0F F ==IC，于是相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，其表达式为r ma F= ①相对于惯性参考系做匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。
②发生在惯性参考系本身的任何力学现象，都无助于发现该参考系本身的运动状况，这称为经典力学的相对性原理。
（3）当质点相对于动参考系静止时，则r r 00a υ==v v ，，0F =IC ，所以质点相对静止的平衡方程为F F +=Ie 上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有r 0a =，质点相对平衡方程为0Ie IC F F F ++=v v v 上式称为质点相对平衡方程。
可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。
二、非惯性系中质点的动能定理1．质点相对运动动能定理的微分形式质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
即2r 1d()δδ2F mv W W ''=+Ie 2．质点相对运动动能定理的积分形式质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。
非惯性系中的功能原理及应用
非惯性系中的功能原理及应用摘要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。
为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。
关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理The function of the inertial system principle and applicationAbstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using theprinciple.Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem0 引言处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。
力学2动力学II-非惯性系讲解
设有一质量为m的质点，在真实的外力F 的作 用下相对于某一惯性系S产生加速度 a ，
则根据牛顿第二定律，有:
F ma
假 沿设直线另运有动一。参在考S系参S考相系对中于,惯质性点系的S加以速加度速是度aa。0
则： a a a0
aAB aAC aCB
将此式代入上一式可得：
e
er
方向描述：er ：径向方向
e ：极角增加方向
O
位矢 r rer
速度
v
dr dt
d( rer dt
)
dr dt
er
r der dt
dr dt
er
r
d
dt
e
vr er
v e
r
P
X
e
r
der
d er
der der e der er d d
vr : v :
dt
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本地加速度
牵连横向 加速度
牵连向心 加速度
科里奥利 加速度
a a d r ( r ) 2 v
dt
a绝 a相 a牵
牵连加速度
f惯性力 ma牵
m
d
dt
r
[m
(
r
)]
2m(v )
欧拉力
对匀速转动的S'系：
非惯性系中的牛顿第二定律：
虚拟力
F ma F真实力 R
惯性力不是物体间的真实的相互作用,是一种假想的 力。它既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。
20第5章第二十讲 质点动力学
第五章质点动力学动力学的任务•研究物体机械运动一般规律动力学基本线索动力学内容•质点动力学、动力学普遍定理、刚体动力学、动静法、分析力学物体机械运动状态改变量力对物体机械作用量动力学两类问题第一类问题•已知运动，求力第二类问题•已知力，求运动舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞若已知初速度、飞离甲板的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。
若已知推力和跑道长度，则需要多大的初速度和多长时间才能达到飞离甲板所需速度。
ABv1v2载人飞船的交会与对接质点动力学(dynamics of a particle)本章研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程。
1.惯性系质点动力学基本方程2.非惯性系质点动力学基本方程3.地球自转对质点运动的影响1.惯性系质点动力学基本方程质点动力学基本方程（牛顿第二定律）（1683-1727）1. 惯性系质点动力学基本方程•矢量形式•直角坐标形式xy质点运动微分方程∑∑∑===iizi iyi ixF zm F ym F xm1.惯性系质点动力学基本方程•自然坐标形式•极坐标形式？质点运动微分方程∑∑∑===bi ni τi FF sm F s m 02ρ1. 惯性系质点动力学基本方程求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下1.确定研究对象，选择适当的坐标系；2.进行受力分析，画受力图；3.进行运动分析，计算运动参数；4.列出质点的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解；对第一类问题，需要确定加速度，对第二类问题，加速度方向要和投影轴方向一致，并写出初条件。
5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。
【例】圆锥摆。
质量为1kg 的重物，被绳限制在水平面内作圆周运动，成为锥摆形状；绳长l =30cm ，与铅垂线角度θ=60°。
求：速度v 及张力T 的大小。
1. 惯性系质点动力学基本方程G解：以小球为研究的质点，作用力：重力G ，绳子拉力T 。
非惯性系中的动力学专题
3.2非惯性系中的动力学【基本知识】一、联接体问题在力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体，叫做联结体。
解有关联结体的问题一般要用到隔离法，适当辅以整体法。
联结体总是相联系的两个或多个物体，这种联系既表现在力上，也表现在运动上。
力的联系往往会与一些临界情况相结合，运动的联系同样视具体的情况有所不同，可能表现为位移、速度或加速度的某种关系等，这种联系也可以称之为约束。
因此，解联结体问题就是寻找约束，然后建立方程。
例如，如果两物以绳、杆相连接，那么沿绳或杆方向的速度相同。
如果两个物体直接接触，那么它们在垂直接触面（或切面）方向的速度相同。
有些联结体中各物体具有不同的加速度，可以通过它们的受力或运动关系来确定它们的加速度的关系。
例题1：如图所示,两个木块A和B,质量分别为mA和mB,质量分别为mA和mB （只要求帮做一下受力分析）紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ角.A、B间的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止,现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B间之间不发生相对滑动,则：1．μ的数值应满足什么条件?2．推力F的最大值不能超过多少?（只考虑平动,不考虑转动问题）二、质点系牛顿第二定律及质心运动问题（1）质点系的牛顿第二定律如果质点系在任意的x方向上所受的合力为Fx，质点系中n各物体在x方向的加速度分别是a1x、a2x、…、anx，那么有：Fx=m1·a1x+m2·a2x+…+mn·anx质点系动力学方程不涉及内力，所以在处理一些联结体问题时利用这个方程往往能带来很大的方便。
（2）质心和质心的运动1 求质心：在某方向上有n个质点m1、m2、…、mn，在此方向上建立坐标系的x轴，各质点在x轴上的坐标分别为x1、x2、…、xn,则质心在x坐标上的位置：=同理可以求得质心的速度：=质心的加速度：=②质心动力学方程：F=mac F 为此方向上质点系所受的合外力。
2024年中科大理论力学课后习题答案
注意事项
在使用课后习题答案时，学生需要注意以下几点：一是不要完全依赖答案，要 注重自己的思考和总结；二是要注意答案的适用范围和条件，避免盲目套用； 三是要及时反馈和纠正答案中的错误或不足之处。
2024/2/29
6
02 质点与刚体运动 学
2024/2/29
7
质点运动学基本概念
质点的定义
质点是一个理想化的物理模型，忽略 物体的形状和大小，只考虑其质量。
2024/2/29
02
答案
根据牛顿第二定律，合外力$F_{ 合}=ma$，则合外力做的功 $W_{合}=F_{合}l=mal$，其中 $l=v_{0}t+frac{1}{2}at^{2}$为 物体在t时间内的位移。功率 $P_{合}=F_{合}v=mav$，其中 v为物体在t时刻的瞬时速度， $v=v_{0}+at$。
15
实际应用举例及拓展
2024/2/29
01
应用一
汽车行驶过程中的动力学分析。汽车行驶时受到发动机的动力、地面的
摩擦力和空气阻力等作用，通过动力学分析可以优化汽车的设计和行驶
性能。
02
应用二
航空航天领域的动力学问题。航空航天领域涉及大量的动力学问题，如
火箭发射、卫星轨道计算等，需要运用动力学原理进行精确分析和计算
03 题目2
一轻绳跨过定滑轮，两端分别系 有质量为m1和m2的物体，且 m1>m2，开始时两物体均静止 ，当剪断轻绳后，求两物体的加 速度和速度变化。
25
04
答案
剪断轻绳后，两物体均做自由落 体运动，加速度均为g。由于两 物体初始时刻均静止，因此速度 变化量相同，即$Delta v=gt$， 其中t为物体下落的时间。
非惯性系下力学问题
非惯性系下力学问题(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--渤海大学本科毕业论文题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠主修专业物理学教育数理学院物理系所在院（系）入学年度 2008年完成日期 2011年6月1日指导教师丁文波非惯性系下力学问题的探讨张亚楠渤海大学物理系摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。
在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
了解非惯性系下的力学问题很重要。
对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。
随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。
在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。
近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。
本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。
第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。
第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。
第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。
关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力Mechanics Problems in the non-inertial frameZhang Ya-nan Department of Physics， Bohai UniversityAbstract: Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions,mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The second part of the non-inertial friction about the friction follower force, including the inertia force. The third part through the analysis of liquid internal buoyancy and pressure change in the non-inertial reference frame on a different reference liquid buoyancy and pressure variation.Key words: Non-inertial；Friction；Pressure；Buoyancy目录引言 (1)一、非惯性系概述 (3)（一）非惯性系和惯性系 (3)（二）平动非惯性参考系 (5)1. 平动的非惯性系 (5)2. 非惯性系中牛顿运动定律的应用 (7)（三）转动非惯性参考系………………………………………………111. 转动坐标系中的运动学问题 (11)2. 转动非惯性系中的动力学问题 (13)3. 落体偏东——地球自转的动力学效应 (13)二、非惯性系中摩擦力的研究 (14)（一）摩擦力的从动性…………………………………………………14（二）非惯性系中的摩擦力……………………………………………151.惯性力的具体形式 (15)2.静摩擦力 (16)3.滑动摩擦力 (16)三、非惯性系中液体内部的浮力和压强的讨论...........................17（一）惯性系中液体内部浮力和压强的表达式...........................17（二）非惯性系中液体内部浮力和压强的表达式 (18)结论 (25)参考文献 (26)非惯性系下的力学问题的研究引言经典理论认为凡是牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，牛顿运动定律不成立的参照系为非惯性系[1]。
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
第六章 质点在非惯性系中的运动
质点在非惯性系中的运动飞行员的黑晕和红视现象爬升时：a > 5g俯冲时：a > 2g？北半球由南向北流动的河流对河岸将产生什么作用s as rxzyO 质点相对运动动力学的基本方程Mr′ x ′y ′z ′O′ F惯性参考系－ O x y z非惯性参考系－ O ´x ´y ´z ´ 绝对运动轨迹 s a －质点M在惯性参考系中的运动轨迹 相对运动轨迹 s r －质点M 在非惯性参考系中的运动轨迹 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。
相对位矢 r ´F －作用在质点上的力s as rxzy O Mr′ x ′y ′z ′O′ F对质点M 应用牛顿第二定律Fa =a m 根据加速度合成定理Cr e a a a a a ++=Cr e a a a F m m m ++=C e r a a F a m m m --=ege a F m -=rC gC 2v ωa F ⨯-=-=m m gCge r F F F a ++=mgCge 22d d F F F r ++='tm 非惯性系中质点的运动微分方程质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。
gCge r F F F a ++=m(1)当动系相对于定系仅作平动时 gCge r F F F a ++=m ger F F a +=m (2)当动系相对于定系作匀速直线平动时Fa =r m (3)当质点相对于动参考系静止时ge =+F F (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 0gC ge =++F F F 质点相对静止的平衡方程：即质点在非惯性参考系中保持相对 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
质点相对平衡方程飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象爬升时：a > 5g惯性参考系——地球非惯性参考系——飞机动点——血流质点牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
非惯性系中变质量质点的运动微分方程与应用
非惯性系质心动量概述课件
非惯性系动量与力的关系
01
在非惯性系中，动量与力的关系 表现为动量定理的形式，即力在 时间上的积累等于物体动量的变 化。
02
在非惯性系中，由于存在外部力 作用，物体的动量会发生变化， 这种变化与外部力的作用时间和 大小有关。
非惯性系质心动量与力的关系
在非惯性系中，质心动量与力的关系 表现为质心动量定理的形式，即力在 时间上的积累等于物体质心动量的变 化。
在非惯性系中，物体受到的力包括真实力和惯性力两部分。真实力直接 改变物体的运动状态，而惯性力则是因为参考系加速运动而产生的虚拟 力。
质心动量与力之间的关系可以通过质心运动定理来描述，即质心动量的 改变与受到的外力（真实力和惯性力之和）成正比。
质心动量是描述物体相对于质心的动量，其改变反映了物体整体动量的 变化。因此，在分析非惯性系中的运动问题时，需要考虑质心动量的影 响，以便更准确地应用牛顿第二定律。
质心动量在非惯性参考系中的变化
当观察者处于非惯性参考系中时，由于观察者的加速度或旋转，会导致观察到的质心动量发生变化。这个变化与 相对论效应有关，需要进行相应的修正。
非惯性系质心动量与相对论的关系
在处理非惯性系中的质心动量时，需要考虑相对论效应的影响。这有助于更准确地描述物理现象，并深入理解质 心动量与相对论之间的关系。
THANKS
在非惯性系中，由于参考系本身具有加速度，物体受到的力除了受到真实力外，还 会受到惯性力作用。
质心动量是描述物体相对于惯性系或非惯性系中质心的动量。在非惯性系中，质心 动量可能会发生变化，从而影响物体的运动状态。
因此，在非惯性系中应用牛顿第二定律时，需要考虑质心动量的影响。
非惯性系质心动量与力的关系
非惯性系质心动量概述课件
理论力学第四章
5. S 系与 S ′系间加速度变换公式
dv′ d 2 R dω dr ′ dv d dR + 2 + × r′ + ω × a= = v′ + + ω × r′ = dt dt dt dt dt dt dt
d *r ′ d*v′ d 2 R dω = + ω × v′ + 2 + × r′ + ω × dt + ω × r ′ dt dt dt
例3、内壁光滑的水平细管以匀角速度绕过其一端的竖直轴转动， 、内壁光滑的水平细管以匀角速度绕过其一端的竖直轴转动， 管内有一质量为m的小球 初始时小球与竖直轴的距离为a， 的小球， 管内有一质量为 的小球，初始时小球与竖直轴的距离为 ，且相 对管静止，求小球沿管的运动规律及所受的约束力。 对管静止，求小球沿管的运动规律及所受的约束力。 建立坐标系如图，受到惯性力如下： 解： 建立坐标系如图，受到惯性力如下：
ɺɺ + ω 2 sin θ = 0 θ
注：采用不同的坐标系,加速 采用不同的坐标系, 度变换公式的具体分解结果是 不同的. 相应在动力学问题中, 不同的. 相应在动力学问题中, 选用不同的非惯性系, 选用不同的非惯性系, 惯性力 中各项的具体内容是不同的. 中各项的具体内容是不同的.
非惯性系中，牛顿第二定律不能成立 非惯性系中，牛顿第二定律不能成立. 但是在引入惯性力之后, 但是在引入惯性力之后, 在非惯性系中可以把惯性力与相互作 用力等同看待, 此时在非惯性系内牛顿第二定律在形式上得以 用力等同看待, 此时在非惯性系内牛顿第二定律在形式上得以 等同看待 形式上 成立. 成立. 通过简单的类比, 通过简单的类比, 可以知道在惯性系中得到的动力学规 如三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 律 (如三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 则在 非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上说， 形式上不变地成立 非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上说，惯性系 与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯性力而已. 是否考虑惯性力而已 与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯性力而已.
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点动力学的应用
求：套筒运动到端点A所需的时间
z'
及此时对杆的水平压力。
y'
2、非惯性系中质点动力学的应 用
解：研究套筒B相对于OA的运动.
O
选取和杆OA一起转动的坐标
系O x’y’z’为动参考系.
分析套筒受力, 其中
FIe = mw2 x¢ FIC = 2mw x&¢
套筒的相对运动动力学方程为：
m
d2r¢ dt 2
2、非惯性系中质点动力学的应 用
（1）傅科摆
在北半球，球铰链悬挂一支摆，摆锤摆动时，与 地球表面有相对速度，由于地球自转的影响，会 产生向左的科氏加速度，对应的科式惯性力向 右，因此它不会像单摆一样在一个固定平面内运 动，而会向右偏斜，轨迹如右图所示。这种现象 是傅科1851年发现的，称之为傅科摆。它证明了 地球的自转。摆绳摆动的平面在缓慢地顺时针旋 转，旋转一周的周期为：
2、非惯性系中质点动力学的应 用
例 1 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。其悬挂点O以加速度a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
解：在悬挂点固结一个平移坐标系O x’y’。
O
x'
小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂点固定的单摆振动。
分析小球受力, 其中 FIe = ma0
φ
因动参考系作平移运动，所以科氏惯性力 FIC = 0
2
3) = 0.209s
m
d2r¢ dt 2
=
ห้องสมุดไป่ตู้mg
+
F1
+
F2
+
FIe
+
FIC
将相对运动动力学方程投影到y’轴上，得： F2 = FIC = 2mw x&¢
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x
2 z
y2
( AOB线为抛物线)
2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀 角速度ω 绕 Oy轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢 出. 试求:
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状. (2) 注入液体的最大高度H´ .
y
ω
F
n ge
其解为:
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s
2
R
gcto s
yC co 2 s tD si2 nt 2
o
900
yj
z k y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s
对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽 视. 下面, 我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力.
建立地面坐标系如图示
质点相对于地球的运动微分方程为
900 z k
m rmgFgC
o y j
R
xi
即为: m r mkg 2m r
r gk2 r I
i jk
2r2cos 0 sin
(g ao ) sin
l
由微振动, sin
l (g ao ) 0
l
n2 0
mg
n2
g ao l
T 2 2 l
n
g ao
F ge
例二. 质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运 动. 旋转面容器绕其几何轴Oz 以匀角速度ω 转动.求: M点相对静止 处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r为任意值时M点都静 止, 求旋转面经线AOB的形状.
R
x i
x 0 y 0 0 ,z 0 h . x 0 y 0 z 0 0
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
x 2 ysi n A
z g 2 t y c o B s
由初始条件可得: A = 0, B = 0
x 2ysi代入( 2 ) 式整理可得: y 2 2y2g tco s
F在这里应理解为 质作 点用 或在 平动刚体 力.上的
上式可写 : 成 mar Fmae maC 我们定义 牵： 连惯性Fg力 emae 科氏惯性Fg力 CmaC
即有 mar FFgeFgC
写成微分方程的: 形m式 d~d2tr2有 FFgeFgC
d~2r dt2
称为相对r矢 的径相对导 .(参数见六版P上 17册 )8
解: 若 小 球 相 对 静则止a,r 0
将 0 FN Fge mg 沿 切 向 投 影
z ω
0 Fgecosmgsin
A
Bτ
m2rcos mgsin
即
2r tg
g
M r
θ
F
n ge
O
θ
mg
FN
若r为任意值即是变量y. 于是有:
tg dz 2 y
z 2 y2 C
y
dy g
2g
由图示坐标系的选择知 可 C 0
yo
h
H
omg F x
H –h R
解: (1)设曲线方程y为 f (x) 对曲线上相对静止意的点任 m进行受力分, 析
由上一题的解答可线知方曲程为
2 y
x2
2g
y
( 2 ) 设旋转抛物面下
xz 面以上的液体体积为
v
ω
v
R
2 xydx
R 2 x 3 dx 2 R 4
0
0g
4g
F
n ge
由 y 0 0y 0 0可 C 得 0D g 2 4 c 2 o
y g 4 c 2 ossi2 n tg c 2 ots 5
x i
代入
x 2ysi n 可得 z g t2 yco s
同理可得:
x gsi2 nsi2 n tgsi2 nt
4
2
积:x 分 g s 8 2 2 i得 n c2 o t sg s4 2 i n t2 E
静止时 , xz 面以上的液体体积为
yo
h
R 2 yo
H
omg
x F
由题意得
R 2 yo
v
2 4g
R4
H –h R
2R 2
yo 4g
由曲线方程可知
h 2 R2 2g
H ' H
h yo H
2 R2 4g
认识地球上的 科氏惯性力
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存 在着惯性力. 这些惯性力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测 出, 或可以通过人的感官感觉到.
例一 . (例2－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加 速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期.
解: (分析: 求运动周期就要先求动 运方程)
a 0 取小球分析,小球相对以O为原点的平动参考系动 的力学方程为
mar F mg F ge
O
将其沿切向投影:
φ
l
F
ml mgsin mao sin
x y z
2ysini 2xsinz cos j ycosk
∴( I ) 式的投影方程为:
x2ysin
1
y2x sin2z c os2
zg2y c os
3
x2ysin
1
y2x sin2z c os2
900 z k
zg2y c os
3
< 1 > 自由落体偏东
o y j 设运动初始条件:
地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严 格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科 氏惯性力的效应.
如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空 间视为‘ 匀速直线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可 用的.
但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑 相应的惯性力.
理论力学(II)
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动 力学方程, 则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力 有关, 还与非惯性系下产生的各种惯性力有关.
由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
maa m(ae ar aC)F