2016年春苏教版高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何 章末复习提升
苏教版高中数学选修2-1第3章 空间向量与立体几何.docx
第3章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算双基达标 (限时20分钟)1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且向量BM →＝x a ＋y b＋z c ，则8xyz ＝________.解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c ， 即x ＝－12，y ＝12，z ＝1，所以8xyz ＝－2. 答案 －22．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是________．解析 如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →. 答案 AM →3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．解析 如图所示，因DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.答案 BD 1→4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．①AB →＝AC →＋BC →②AB →＝－AC →－BC →③AC →与BC →同向④AC →与CB →同向解析 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．答案 ④5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)解析 EF →＝AB →＋CD →2＝a －2c ＋5a ＋6b －8c 2＝3a ＋3b －5c. 答案 3a ＋3b －4c6．已知平面四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，运用向量法证明EF ∥AB .解 因为EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，所以向量EF →与AB →是共线向量，且所在直线了 不重合，所以EF ∥AB .综合提高（限时25分钟）7.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a ，b ，c 表示向量MN →＝________.解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案 －23a ＋12b ＋12c8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是________(填序号)．①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →＋DD 1→－2DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式运算的结果不为向量BD 1→.故填①②。
高中数学苏教版选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.1+2
[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间向量及其线性运算
阅读教材 P81 的部分，完成下列问题． 1．空间向量
大小 又有______ 方向 的量叫做空间向量． 在空间，把既有______
2．空间向量的线性运算 空间向量的 线性运算 定义(或法则) 设 a 和 b 是空间两个向量， 过一点 O 作 a 和 b 的____________ 相等向量 → → 平行四边形法则 ．平行四 OA和OB，根据平面向量加法的_________________ → 边形 OACB 的对角线 OC 对应的向量OC就是 a 与 b 的和， 记 作 a＋b
【自主解答】 对于(1)：单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量，而 其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且 方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的， 故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．
【答案】 3
空间向量的线性运算 → → → → 化简：(AB－CD)－(AC－BD)． 【精彩点拨】 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为
减法运算． 【自主解答】 法一：将减法转化为加法进行化简．
→ → → → ∵AB－CD＝AB＋DC， → → → → → → → → ∴(AB－CD)－(AC－BD)＝AB＋DC－AC＋BD → → → → → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA → → ＝AD＋DA＝0.
【答案】 (1)(2)(3)(4)
1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空 间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． 2． 对于有关向量基本概念的考查， 可以从概念的特征入手， 也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1.1空间向量及其运算
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.2
第四页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第五页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第六页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第七页，编辑于星期五：十七点 十五分。
第十八页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第十九页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第二十页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第二十一页，编辑于星期五：十七点 十五分。
第二十五页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第二十六页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第二十七页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第二十八页，编辑于星期五：十七点 十五分。
第三十二页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第三十三页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第三十四页，编辑于星期五：十七点 十五分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第三十五页，编辑于星期五：十七点 十五分。
第六十七页，编辑于星期五：十七点 十五分。
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.3)ppt课件
3.2.3 空间的角的计算
5
[预习导引]
1.两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b
所成的角. (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.
(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，
1234
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的 正弦值为________.
解析 建系如图，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
A(1,0,0)， ∴B→C1＝(－1,0,1)，A→C1＝(－1,1,1)，A→1B＝(0,1，－1)，
则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a|a|··b|b||.
3.2.3 空间的角的计算
6
2.直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面
内的射影所成的角. (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2.
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，
3.2.3 空间的角的计算
34
1234
∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝64－24－1＝0，∴A→B1⊥C→1B. 即AB1与C1B所成角的大小为90°. 答案 90°
3.2.3 空间的角的计算
35
1234
4.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角 坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z 轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2， ∠VDC＝θ.当θ＝π3 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
最新高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.1)ppt课件
3.1.1 空间向量及其线性运算
7
(2)运算律
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；
结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
4.共线向量定理
(1)共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合 ，则这些向量叫做 共线向量 或平行
向量，记作a∥b.
3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.1 空间向量及其线性运算
10
(2)不相等的两个空间向量的模必不相等； 解 假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只 要它们的方向不相同即可. (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； 解 假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点 和终点.
3.1.1 空间向量及其线性运算
13
跟踪演练1 给出以下命题： ①若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是________.
O→B＝O→A＋A→B＝ a＋b ；
C→A＝O→A－O→C＝ a－b . (2)运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
3.1.1 空间向量及其线性运算
6
3.空间向量的数乘运算 (1)定义 实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘 运算.当λ>0时，λa与a方向 相同 ；当λ<0时，λa与a方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝ 0 .λa的长度是a的长度的|λ|倍.如图所示.
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.5)ppt课件
2019/8/29
最新中小学教学课件
30
规律方法 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的 方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； ②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； ③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转 化为数量积为零.
3.1.5 空间向量的数量积
15
跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱
④|a·b|≤|a|·|b|
3.1.5 空间向量的数量积
8
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，
E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： (1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解 如图，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
3.1.5 空间向量的数量积
1234
27
课堂小结
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量 积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向 量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两 个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
3.1.5 空间向量的数量积
28
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
苏教版高中数学选修(2-1)课件空间向量在立体几何中的应用复习课
灿若寒星整理制作
空间向量在立体 几何中的应用
淮安市楚州中学陈军
考试要求:
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、 减法和数乘运算；
2.了解空间向量的基本定理。理解空间向量坐标 的概念，掌握空间向量的坐标运算。
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质。掌握 用直角坐标系计算空间向量数量积的公式。掌 握空间两点间距离公式。
方法指导： 2.怎样利用向量证平行？
①运用共线向量基本定理可证线 线平行；
②利用共面向量基本定理可证线面 平行；
③面面平行可转化为证明线面平行 或线线平行。
方法指导：
3.怎样利用向量证明垂直？
①利用两条直线的方向向量的数量 积为零证线线垂直；
②线面垂直可以转化为证明线线垂 直；
③面面垂直可用判定定理，也可求 两个平面的二面角是直角。
是边长பைடு நூலகம்１的正方形，ＳＤ 底
Ｓ
面ＡＢＣＤ．ＳＢ＝ 3．
（Ⅰ）求证：ＢＣ ＳＣ； Ｍ Ｄ
（Ⅱ）求平面ＡＳＤ和平面Ｂ
ＳＣ的二面角的大小；
Ａ
（Ⅲ）设棱ＳＡ的中点Ｍ，求 异面直线ＤＭ与ＳＢ所成的角的
大小．
Ｃ Ｂ
应用举例：
3．三角形ＡＢＣ
中， Ｃ＝６０°，ＣＤ为 Ｃ的平分线，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２ 过Ｂ作ＢＮ ＣＤ于Ｎ，延长ＢＮ交ＣＡ于Ｅ，作ＡＭ ＣＤ，
两条直线垂直
直线与平面垂直 二个平面垂直
方法指导：
1.怎样利用向量求角？求角一般用向量的夹 角公式。
①异面直线所成的角是：两条直线上的方向 向量的夹角或它们的补角。取其中的锐角 或直角（即它们夹角的余弦值为非负）
②直线与平面所成的角即直线方向向量与平 面法向量所成的锐角的余角
(教师用书)高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末归纳提升课件 苏教版选修2-1
图 3－1
【思路点拨】 先建立空间直角坐标系．(1)法一：利用 共线或共面向量定理来证明线面平行；法二：利用平面的法 向量来证明线面平行． (2)利用两平面的法向量垂直来证明．
【规范解答】 (1)法一 如图所示，以 A 为坐标原点， AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系 A－xyz.
又 H 为△PBQ 的重心， 1 5 5 所以 HC＝ 3PC＝ 3 .同理 FH＝ 3 . 5 5 9＋9－2 4 在△FHC 中，由余弦定理得 cos∠FHC＝ ＝－ . 5 5 2× 9 4 即二面角 D—GH—E 的余弦值为－5.
图 3－2
【思路点拨】
(1)由线线平行⇒线面平行，由线面平行
⇒线线平行．(2)思路一：“几何法”，找出∠FHC 为二面角 D—GH—E 的平面角，解三角形求二面角的余弦值．思路二： “向量法 ”，建立空间直角坐标系用法向量法求二面角的余 弦值．
【规范解答】 (1)如图(1)，因为 D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP，BP 的中点， 所以 EF∥AB，DC∥AB. 所以 EF∥DC. 又 EF⊄平面 PCD，DC⊂平面 PCD. 所以 EF∥平面 PCD. 又 EF⊂平面 EFQ， 平面 EFQ∩平面 PCD＝GH， 所以 EF∥GH. 又 EF∥AB，所以 AB∥GH.
x ＝0 2 ∴ y2＝z2
，令 z2＝1，则 n2＝(0,1,1)，
∵n1· n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 PMC⊥平面 PDC.
正方形Байду номын сангаасABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互 相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠ AEF＝45° ，求证：EF⊥平面 BCE. 【证明】 因为△ABE 为等腰直角三角形，AB＝AE，
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何章末复习提升
(2)取A1C的中点E，连结DE，由于E(1,0,1)， 所以E→D＝(0,1,1)，又B→C1＝(0，－2，－2)，
所以E→D＝－21B→C1，又 ED 和 BC1 不共线， 所以ED∥BC1， 又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D， 故BC1∥平面CA1D.
题型三 利用空间向量求空间角 1.求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面 直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， ∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
第3章——
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
1.空间向量 (1)空间向量的知识脉络： 向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量 的坐标运算→应用. (2)空间向量的概念： ①定义：具有大小和方向的量称为向量；②向量相等：长 度相等且方向相同.
(4)求空间的距离 两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到 平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图③， 设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，
→ 则点B到平面α的距离为|AB·n| .
|n|
题型一 空间向量及其运算 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运 算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律 与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及 数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础.
h)，C(0， 5，0)，C1(0， 5，h)，
从而A→B1＝(4,0，h)，A→1C＝(2， 5，－h)， 由A→B1⊥A→1C，有 8－h2＝0，h＝2 2. 故D→A1＝(－2,0,2 2)，C→C1＝(0,0,2 2)，D→C＝(0， 5，0).
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.1)ppt课件
15
A→E·D→1F＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0， 所以A→D⊥D→1F，A→E⊥D→1F，又 AD∩AE＝A， 所以D→1F⊥平面 ADE， 从而D→1F是平面 ADE 的法向量.
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
16
规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的 数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直 相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
27
谢谢欣赏！
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
23
课堂小结 1.直线的方向向量的应用 利用方向向量可以确定空间中的直线.若有直线 l，点 A 为直线上的 点，向量 a 是 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置还可以具体地表示出直线 l 上的任意点.
y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
12
则 A(0,0,0)，D(12，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
A→D＝(12，0,0)是平面 SBA 的法向量， 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，u)，有 n⊥D→C，n⊥D→S，
则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝21＋λ＝0，∴λ＝－12. n·D→S＝(1，λ，u)·(－21，0,1)＝－12＋u＝0， ∴u＝12，∴n＝(1，－21，21).
高中数学选修2-1-第三章 空间向量与立体几何 复习课件-苏教版
由题意知 DA1 是平面 ABD1 的一个法向量, DA1 =(1,0,1), DC1 是平面 BCD1 的一个法向量, DC1 =(0,1,1),
所以 cos
< DA1 , DC1 >=
DC1 DA1 DC1 DA1
=1 2
.
所以< DA1 , DC1 >=60°.即二面角 A-BD1-C 的大小为 60°.
3 AE-C 的大小为 π .
3
(1)求PB的长度;
(1)解:因为 AB 平行且等于 EC, 所以四边形 ABCE 是平行四边形,所以 BC∥AE, 又因为 BD⊥BC,所以 BD⊥AE, 所以 AE⊥FB,AE⊥FP, 即∠PFB 为二面角 P-AE-C 的平面角, BF= 3 ,PF=2 3 , 由余弦定理 BP2=BF2+PF2-2BF·PFcos∠BFP=9, 得 BP=3.
(2)P点到平面EFB的距离.
解:(2)设 n=(x,y,z)是平面 EFB 的单位法向量,即|n|=1,n⊥平面 EFB, 所以 n⊥ EF ,且 n⊥ BE .又 EF =(-a,a,0), BE =(0,-a,a),即
x
3,
x2 y2 ax ay
z2 0,
1,
得其中的一个解是
( 5 ,0, 2 5 ).
5
5
因为 N(1,1,0),所以 MN =(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1 的距离 d=| MN · n0|=1.
四、易错易误辨析 1.混淆向量与实数的运算性质致误 【典例4】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与 7a-2b垂直,求向量a,b的夹角.
错解:由题意得
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
第二十五页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)M→N＝M→B＋B→N＝12D→B＋34BC→′ ＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋CC→′) ＝12(－A→D＋A→B)＋34(A→D＋A→A′) ＝12A→B＋14A→D＋34A→A. ∴x＝12，y＝14，z＝34.
∴C→E ∥M→N ，即 C→E 与 M→N 共线．
第二十页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
第二十一页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
第二十七页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b，若点 D 满足B→D＝2D→C，
则Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD等于( )
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c
D.13b＋23c
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． [问题1] 向量a与向量b共线的条件是什么？ [提示1] b＝λa. [问题2] 空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量 呢？
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.2
第二十页，编辑于星期五：十七点 十二分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
设平面 A1B1C 的一个法向量是 n＝(x，y，z)， A→1C＝(－2,2，－2)，A→1B1＝(－2,0,0)， ∴n·A→1B1＝－2x＝0，且 n·A→1C＝－2x＋2y－2z＝0， 令 z＝1，解得 x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)， 设法向量 n 与B→M的夹角为 φ，二面角 B1－A1C－C1 的大 小为 θ，显然 θ 为锐角．
[思路点拨] 建系 → 求点B，C，E坐标
→
求A→E，B→C的坐标
→
cos
θ＝
→→ AE·BC →→
|AE||BC|
→ 求θ
第二十四页，编辑于星期五：十七点 十二分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求异面直线所成的角的两种方法 (1)几何法 ①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解．过某一点 作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角 形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时， 要注意异面直线所成角的范围． ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用， 如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理 及有关推论．
A．等于 90° B．小于 90° C．大于 90° D．不确定
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.1
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
第七页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
特殊向量
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第八页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
答案： B
第十二页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1所有的棱中，可作 为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
第二页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
第三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末复习
章末复习学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步理解空间向量的概念及运算.3.能熟练应用向量法解决立体几何问题．1．空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则2．用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论．关键点如下：(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题．(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．1．a ·b ＝a ·c (a ≠0)的本质是向量b ，c 在向量a 方向上的投影相等，b 与c 不一定相等．(√) 2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l与α所成的角为π6.(√)3．两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)4．若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．(×)类型一 空间向量及其运算例1 如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．答案 ③④解析 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．跟踪训练1 如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，M 分AC →成的比为12，N 分A 1D —→成的比为2，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.解 连结AN ， 则MN →＝MA →＋AN →，由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 又M 分AC →成的比为12，故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．又N 分A 1D →成的比为2，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D —→＝13(c ＋2b )．于是MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是P A 的中点，求证： (1)PC ∥平面EBD . (2)平面PBC ⊥平面PCD .证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DA ，DP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设DC ＝a ，PD ＝b ，则D (0,0,0)，C (a ，0,0)，B (a ，a,0)，P (0，0，b )， A (0，a,0)E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2. (1)DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2，DB →＝(a ，a,0)，PC →＝(a,0，－b )． 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ DE →·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2y ＋b 2z ＝0，ax ＋ay ＝0.令x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ab ， 因为PC →·n ＝(a,0，－b )·⎝⎛⎭⎫1，－1，a b ＝0， 所以PC →⊥n ，又PC ⊄平面EBD ，故PC ∥平面EBD . (2)由题意得平面PDC 的一个法向量为DA →＝(0，a,0)， 又PB →＝(a ，a ，－b )，PC →＝(a,0，－b )， 设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，PC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1－bz 1＝0，ax 1－bz 1＝0，得y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝ab ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，0，a b ， 因为DA →·m ＝(0，a,0)·⎝⎛⎭⎫1，0，a b ＝0， 所以DA →⊥m ，即平面PBC ⊥平面PCD .反思与感悟 1.证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． 3．证明面面平行的方法(1)转化为线线平行、线面平行处理． (2)证明这两个平面的法向量是共线向量．4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 (1)转化为证明线面垂直．(2)证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，D 1(0,0,1)， A (1，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1—→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和平面A 1FD 1的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1—→＝0，n ·D 1F —→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 类型三 利用空间向量求角例3 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1和C 1D 1的中点．试求：(1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．解 以点B 1为坐标原点，B 1A 1，B 1C 1，B 1B 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,0)，A (1,0,1)，B (0,0,1)，D 1(1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0， D (1,1,1)．(1)因为AD 1—→＝(0,1，－1)， EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以cos 〈AD 1—→，EF —→〉＝(0，1，－1)·⎝⎛⎭⎫12，12，02×22＝12，因为〈AD 1—→，EF →〉∈[0°，180°]， 所以AD 1与EF 所成的角为60°.(2)由图可得BA →＝(1,0,0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝||cos 〈BA →，F A →〉＝⎪⎪⎪⎪(1，0，0)·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭⎫122＋(－1)2＋12＝13，所以cos θ＝223.(3)设平面D 1DBB 1的一个法向量n 1＝(x ，y ，z )， 因为DB →＝(－1，－1,0)，B 1B —→＝(0,0,1)，由n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B —→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B —→＝z ＝0，令y ＝1，则n 1＝(－1,1,0)．同理可得平面C 1DB 的一个法向量n 2＝(－1,1,1)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝(－1，1，0)·(－1，1，1)2×3＝63，tan 〈n 1，n 2〉＝22.即二面角C 1－DB －B 1的正切值为22. 反思与感悟 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 的夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，再利用公式sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|，求θ. (3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值． (1)证明 如图，取AE 的中点H ，连结HG ，HD ，又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点， 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形， 得AB ∥CD ，AB ＝CD ， 所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH . 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ， 所以GF ∥平面ADE .(2)解 如图，在平面BEC 内，过B 点作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为坐标原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (0,0,0)，E (2,0,0)，F (2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以BA →＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量．又AE →＝(2,0，－2)，AF →＝(2,2，－1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2，－1,2)．从而|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝42×3＝23，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案 AG →解析 在△BCD 中，因为点G 是CD 的中点， 所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 答案 －2解析 a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0，∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0，解得λ＝－2.3．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)与b ＝(4,2－2m ，2－2m )平行，则m ＝________. 答案 1或3解析 当2－2m ＝0，即m ＝1时， a ＝(2,0,0)，b ＝(4,0,0)，满足a ∥b ； 当2－2m ≠0，即m ≠1时，∵a ∥b ，∴4－2m 4＝m －12－2m，解得m ＝3.综上可知，m ＝3或m ＝1.4．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM →·e ＝(x ，y ，z )·(1,1,1)＝x ＋y ＋z ＝0.5．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )． ∵|c |＝3，∴(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．一、填空题1．下列说法中不正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →. 答案 ①③④解析 依据相反向量的定义知，只有②正确．2．已知O 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由A ，B ，C ，D 四点共面知OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，所以－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.3．空间中，若向量a ＝(5,9，m )，b ＝(1，－1,2)，c ＝(2,5,1)共面，则m ＝________. 答案 4解析 ∵向量a ，b ，c 共面， ∴存在实数α，β，使得a ＝αb ＋βc ， 即(5,9，m )＝(α，－α，2α)＋(2β，5β，β) ＝(α＋2β，5β－α，2α＋β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋2β＝5，5β－α＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，β＝2.∴m ＝2α＋β＝4. 4．已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则平面α，β的位置关系为________．(填“平行”“垂直”) 答案 平行解析 ∵n ＝(－6，－2,10)，m ＝(3,1，－5)， ∴n ＝－2m .∴m ∥n .∴α与β平行．5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→，则abc ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算答案 －16解析 由平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，得AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→，又已知AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→，可得a ＝1,2b ＝1,3c ＝－1，解得a ＝1，b ＝12，c ＝－13，所以abc ＝－16.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A —→用D 1C —→，A 1C 1—→表示为________． 答案 D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →，且AC →＝A 1C 1—→， 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→， 即D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→.7．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________． 答案 1,3解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 8．已知空间四点A (0,3,5)，B (2,3,1)，C (4,1,5)，D (x,5,9)共面，则x ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 －6解析 ∵A (0,3,5)，B (2,3,1)，C (4,1,5)，D (x,5,9)，∴AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(4，－2,0)，AD →＝(x,2,4)． ∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD →＝λAB →＋μAC →， ∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋4μ，2＝－2μ，4＝－4λ，解得x ＝－6.9．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案102解析 如图，过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N .可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1.∵BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝⎛⎭⎫322＋12＋⎝⎛⎭⎫322＋0＝52，∴|BD →|＝102.10.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是________．答案 105解析 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，C (0,4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4,2)，AC →＝(－4，4,0)，D 1E —→＝(0,4，－2)， cos 〈AC →，D 1E —→〉＝1632×20＝105， 所以异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105. 二、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解 如图所示，以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，则N (1,0,1)， 所以BD →＝(－2,2,0)，AD →＝(0,2,0)，AN →＝(1,0,1)，设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， 所以n ＝(1,0，－1)．因为cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28×2＝－12，所以sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，所以θ＝30°.12.如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°，当CD CC 1的值等于多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解 不妨设CDCC 1＝x ，CC 1＝1，使A 1C ⊥平面C 1BD . 则A 1C ⊥C 1B ，A 1C ⊥C 1D ，而C 1D —→＝C 1C —→＋CD →，A 1C —→＝A 1D 1—→＋D 1C 1—→＋C 1C —→ ＝AD →＋DC →＋C 1C —→， 由A 1C —→·C 1D —→＝0，得(AD →＋DC →＋C 1C —→)·(C 1C —→＋CD →)＝C 1C —→2－CD →2＋ C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝0，注意到C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝x 2－x 22，可得方程1－x 2＋x －x 22＝0，解得x ＝1或x ＝－23(舍)，所以当CDCC 1＝1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD .13．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图(1)，把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图(2)．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求BC 与平面ACD 所成角的正弦值．(1)证明 由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD . ∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面ABD .又∵AB ⊂平面ABD ，∴CD ⊥AB .(2)解 以D 为坐标原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知条件可得D (0,0,0)， A (1,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)， CD →＝(0，－2,0)，AD →＝(－1,0，－1)． 设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CD →⊥n ，AD →⊥n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧CD →·n ＝0，AD →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)． 设BC 与平面ACD 所成的角为θ，∵BC →＝(－2,2,0)， ∴sin θ＝|cos 〈BC →，n 〉|＝|－2|2×22＝12，∴BC 与平面ACD 所成角的正弦值为12.三、探究与拓展14．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．考点 向量法求解直线与平面所成的角 题点 向量法解决直线与平面所成的角 答案155解析 取BC 的中点O ，连结AO ，DO ，以点O 为坐标原点，OD ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32， B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0， 所以BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1， 所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝32＋325×1＝155，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155. 15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点． (1)证明：DF⊥AE ；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 ∵AE ⊥A 1B 1， A 1B 1∥AB ，∴AB ⊥AE ， 又∵AB ⊥AA 1，AE ∩AA 1＝A ， AE ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， ∴AB ⊥平面A 1ACC 1， 又∵AC ⊂平面A 1ACC 1， ∴AB ⊥AC .以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0， A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．设D (x 1,0,1)，则A 1D —→＝λA 1B 1—→，且λ∈[0,1]， 即(x 1,0,0)＝λ(1,0,0)， ∴D (λ，0,1)，∴DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， 又AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， ∴DF →·AE →＝12－12＝0，∴DF ⊥AE .(2)解 存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414.理由如下： 设平面DEF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，∵FE →＝⎝⎛⎫－12，12，12，DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， ∴⎩⎨⎧－12x 2＋12y 2＋12z 2＝0，⎝⎛⎭⎫12－λx 2＋12y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32(1－λ)z 2，y 2＝1＋2λ2(1－λ)z 2，令z 2＝2(1－λ)，∴n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．由题意可知平面ABC 的法向量m ＝(0,0,1)．∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1414，即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414，∴λ＝12或λ＝74.∵λ∈[0,1]，∴λ＝74舍去．∴点D 为A 1B 1的中点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 1＋1＋2 7 ＝ ＝ ， 5 10
4 9 同理可得：cos〈f，b〉＝5，cos〈f，c〉＝10.
章末复习提升
18
跟踪演练 1
如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底
面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、C、 → → → → D 的距离都等于 2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0； → → → → → → → → → → ②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA· SB＝ → → → → SC· SD；⑤SA· SC＝0，其中正确结论的序号是________.
①两向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0； ②两向量平行：a∥b⇔b＝λa(a为非零向量).
章末复习提升
7
(7)空间向量基本定理：
如果三个向量a 、b、c不共面，那么对空间任一向量p ，存
在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.
(8)空间共面向量定理：
如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要 条件是存在惟一的一对实数x、y，使c＝xa＋yb.
①加减法：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；
章末复习提升
5
②实数与向量积：λa＝(λx1，λy1，λz1)； ③数量积：a· b＝x1· x2＋y1· y2＋z1· z2；
2 2 ④a 的模：|a|＝ x2 ＋ y ＋ z 1 1 1.
(5)空间向量的夹角及其表示：
→ → 已知两非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉 ；且规 定 0≤〈a，b〉≤π，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉 ；若〈a，b〉
图①
图②
图③
章末复习提升
11
(2)证明空间的垂直 证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与 平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证 明这两个平面的法向量互相垂直. (3)求空间的角
立体几何中的角的计算，均可转化为两个向量的夹角的
计算：
章末复习提升
12
①异面直线所成角即为异面直线上两向量的夹角， 但要注意 π 向量的夹角范围是[ 0， π] ， 而异面直线所成角的范围是(0， 2].
章末复习提升
9
证明直线和平面平行，也可以使用下面的定理：
如图①，已知直线 a⊄平面 α，A，B∈a，C，D∈α，且 C、 D、 E 三点不共线， 则 a∥α 的充要条件是存在有序实数对 λ， → → → μ 使AB＝λCD＋μCE.
章末复习提升
10
→ → → 使用此定理时，我们常设AB＝λCD＋μCE，求 λ，μ；若 λ， μ 存在即可证明 a∥α；若 λ，μ 不存在，则直线 a 与平面 α 相交.
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a· b＋6a· c＋12b· c
＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
章末复习提升
17
2 | a | ＋2a· b＋3a· c f· a 且 cos〈f，a〉＝ ＝ 5 |f|· |a|
(2)空间向量的概念：
①定义：具有大小和方向的量称为向量；②向量相等：长
度相等且空间向量的运算： ①加法法则：平行四边形法则，三角形法则； ②减法法则：三角形法则；
③向量的数量积：a· b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角).
(4)空间向量的坐标运算：
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
章末复习提升
6
π ＝2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.令 a＝(a1，a2，a3)，b a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b ＝(b1， b 2， b3)， 则 cos 〈a， b〉 ＝ ＝ 2 2 2 . 2 2 2 |a||b| a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 (6)空间向量平行、垂直的条件：
章末复习提升
14
题型研修
突破重点，提升能力
题型一 空间向量及其运算 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运
算以及空间向量的坐标运算 .空间向量的运算法则、运算律
与平面向量基本一致 .主要考查空间向量的共线与共面以及
数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础.
章末复习提升
15
例1
→ → → 沿着正四面体 OABC 的三条棱OA、OB、OC的方向
有大小等于 1、2 和 3 的三个力 f1，f2，f3.试求此三个力的 合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值. → → 解 如图所示，用 a，b，c 分别代表棱OA、OB、
→ OC上的三个单位向量，
章末复习提升
16
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c， 则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c， ∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
章末复习提升
8
2.平面的法向量
若向量 a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面
α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量.
3.用空间向量处理立体几何问题的常用方法
(1)证明空间的平行
证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平 面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这 两个平面的法向量平行.
第3章——
章末复习提升
1 知识网络
2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
知识网络
系统盘点，提炼主干
章末复习提升
3
要点归纳
整合要点，诠释疑点
1.空间向量 (1)空间向量的知识脉络： 向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量
的坐标运算→应用.
②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对
值等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面
所成的角.
③如图②，设n1，n2分别是二面角αlβ中平面α，β的法向量，
则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角.
章末复习提升
13
(4)求空间的距离 两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到 平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图③， 设 n 是平面α 的法向量， AB 是平面 α 的一条射线，其中 A∈α ， → | AB n| . 则点B到平面α的距离为 · |n|