不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(一)带答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分4．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.5．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y+++≥.6．设0x y <<，求证：2222()()()()x y x y x y x y +->-+.7．设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R ++≤++.8．证明：对于任意实数,x y ，有4421()2x y xy x y +≥+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．22．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．4．解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(, |20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.5．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xy xy ++≥⋅⋅⋅=.....................................(10分) 6． 2222()()()()x y x y x y x y +---+ (2)分222()[()]x y x y x y =-+-+()(2)x y xy =--， ………………8分 ∵ x y <， ∴ 0x y -<，又0x <，0y <， ∴20xy -<，∴ ()(2)0x y xy -->， ………………12分 ∴ 2222()()()()x y x y x y x y +->-+. ………………14分7．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++. 证：由柯西不等式得， 111x y z ax by cz a b c ++=++111ax by cz a b c≤++++，…3分 记S 为ABC ∆的面积，则2242abc abc ax by cz S R R ++===， ……6分 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R ++++≤=++22212a b c R ≤++， 故不等式成立． 8．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法三轮复习考前保温专题练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz+=的最小值为________ 评卷人得分 二、解答题3．已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n n a b ab a b ++++≥． 证明：先证112n n n n a b a b a b +++++≥， 只要证112()()()n n n n a b a b a b +++++≥，即要证11n n n n a b a b ab +++--≥0，即要证()(n n a b a b --)≥0， ………5分 若a b ≥，则a b -≥0，n n a b -≥0，所以()(n n a b a b --)≥0，若a b <，则0a b -<，0n n a b -<，所以()()0n n a b a b -->，综上，得()(n n a b a b --)≥0．从而112n n n n a b a b a b +++++≥， ………8分 因为2a b ab +≥， 所以11n n n na b ab a b ++++≥． ………10分4．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．5．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．6．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b +1b －c +1c －d ≥9a －d【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．4 评卷人得分 二、解答题3．4．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分 333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥327abc =⋅27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分5．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分6．略7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. ……………………………………………………………………………………10分8．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法晚练专题练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题 3．设123,,a a a 均为正数, 且123a a a m ++=, 求证: 12233111192a a a a a a m++≥+++.4．已知关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，求实数a 的取值范围．5．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y +++≥.6．已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．7．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．8．已知,,,a b x y R +∈且11a b >，x y >。
求证：x y x a y b >++本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x f x x a=+皆可。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题 1．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分2．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．证明: 因为122331111()a a a a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++ 31223311113a a a a a a ≥⋅⋅+++·31223313()()()a a a a a a +⋅+⋅+=9……………………………… 6分当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)4．选修4－5：不等式选讲解：∵|1||||(1)()||1|x x a x x a a ------=-≤恒成立， ……………………5分∴要使关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，当且仅当|1|2a -<， ……8分 即13a -<<．所以实数a 的取值范围为(13)-，． ……………………10分5．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xyxy ++≥⋅⋅⋅=.………………………………(10分) 6．证明：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2+ ⎝⎛⎭⎫b c －c a 2+ ⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得 2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．……………………10分7．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分8．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法章节综合学案练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >．(1)求证：127abc ≤； (2)求证：2223a b c abc ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．设,,a b c 均为正实数，求证：111111222a b c b c c a a b +++++++≥．6．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．7．设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．8．已知,,x y z 均为实数.(Ⅰ）若1x y z ++=,求证:31323333x y z +++++≤；(5分) (Ⅱ）若236x y z ++=,求222x y z ++的最小值.(5分)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3． 4． 证明：（1）33a b c abc ++≥⋅，而1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（1）知313abc ≤ 2223a b c abc ∴++≥，当且仅当a b c ==时取“=”. ………………10分5．选修4－5：不等式选讲解： ∵,,a b c 均为正实数，∴b a ab b a +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当b a =时等号成立；则cb bc c b +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当c b =时等号成立；ac ca a c +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当a c =时等号成立；三个不等式相加得， ba a c cbc b a +++++≥++111212121，当且仅当c b a ==时等号成立．……………10分．6．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分7．解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2z x y ==时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分8．（1）证明：因为2222(313233)(111)(313233)27x y z x y z +++++≤+++++++= 所以313233x y z +++++≤33 …………5分 (2）解：因为(12+22+32)(x 2 + y 2 + z 2)≥(x + 2y +3z )2=36 …………8分 即14(x 2 + y 2 + z 2)≥36，所以x 2 + y 2 + z 2的最小值为187 …………10分。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(六)带答案新教材高中数学
(Ⅱ）由（Ⅰ），函数 ，
所以函数 的最小值为25，当且仅当 时取得．……………10分
8．(不等式证明选讲)由柯西不等式可得
………………………………(6分)
……………………………………………………(10分)
(其它证法酌情给分
评卷人
得分
二、解答题
3．当 =-2时,不等式 < 化为 ,
设函数 = , = ,
其图像如图所示
从图像可知,当且仅当 时, <0,∴原不等式解集是 .
(Ⅱ)当 ∈[ , )时, = ,不等式 ≤ 化为 ,
∴ 对 ∈[ , )都成立,故 ,即 ≤ ,
∴ 的取值范围为(-1, ].
4．解法一： = ………,y=1时取等号）…………………………10′
解法二：∵ ，∴ …………………………3′
∵ ∴ …………………………6′
∴
∴ …………………………9′
∴ 的最大值为2.…………………………10′
5．
6．
7．（选修4—5：不等式选讲）
证明：（Ⅰ）因为 ，利用柯西不等式，得 ，
高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．．（汇编年高考湖北卷（理））设 ,且满足: , ,则 _______.
2．已知 均为正数，求证： .
7．已知实数 ．
(Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求函数 的最小值．
8．已知 为正数，且满足 ，
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第六单元不等式、推理与证明听课答案
本社目为敕和专用"第六单元不等式、推理与证明I便用建议■ SHIYONGJIANY1. 编写意图(1) 重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度，以基本的选题和细致全面的讲解进行组织，使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法，为不等式的应用打下良好的基础.(2) 二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题，是高考重点考查的两个知识点，我们不把探究点设置为简单的线性规划问题，而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.(3) 对于合情推理，主要在于训练学生的归纳能力，重点在一些常见知识点上展开.2. 教学建议(1) 在各讲的复习中首先要注意基础性，这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础，大多数例题、变式题学生都可以独立完成，在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用，教师引导学生独立思考完成这些探究点，并给予适度的指导和点评.(2) 要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模，本单元涉及了较多的应用题，在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题，重视解题的过程.(3) 不等式在高考数学各个部分的应用，要循序渐进地解决，在本单元中涉及不等式的综合运用时，我们的选题都很基础，在这样的探究点上不要试图一步到位，不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务在本单元只涉及基本的应用，不要拔高.(4) 推理与证明是培养学生良好思维习惯，学习和运用数学思想方法，形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度，对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.3. 课时安排本单元共7讲,1个小题必刷卷,1个单元测评卷，建议每讲1个课时完成，小题必刷卷、单元测评卷各1个课时完成，本单元建议用9个课时完成复习任务.第34讲不等关系与不等式考试说明了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系；了解不等式(组)的实际背景.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)> = < (2)> = <2. (1)b<a (3)> a+c>b+d (4)> < > (5)>对点演练2 2 21. (3,8)［解析］T 1<a<2,二1<a<4.又2<b<4,^3<a+b<8,即卩a+b 的取值范围为(3,8).2 22. f (x)>g(x)［解析］••fx)-g(x)=x-2x+2=(x- 1) +1>0,「.f (x)>g(x).2 2 o3.2 ［解析］①ac >bc,两边同时除以c可得到a>b,符合题意；②->-，当c<0时，不能得到a>b,不符合题2 2意③ >b，当a=-2,b=-1时，不能得到a>b,不符合题意;@由2018-a<2018-b，得-a<-b，则a>b,符合题意.综上可知①④符合题意，则能得到a>b的条件的个数为2.4. (-7,7)［解析］由题可知-1<a<2,-3<b<5,A - 2<2a<4,-5<-b<3,结合不等式的性质可得2a-b € (-7,7). 5(24,8)［解析］当-3<a< 0时-€ (-24,0］;当0<a<1时，一€ (0,8).综上可知-的取值范围是(-24,8).6.A > B ［解析］2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A-B=a +b - (ab+a+b-1)d(2a +2b - 2ab- 2a-2b+2)=_［(a +b -2ab)+(a -2a+1)+(b- 2b+1)］ = ［(a-b) + (a-1) +(b-21)］>0,故A>B.【课堂考点探究】2 2例1 ［思路点拨］(1)由于Q含有根号，所以可考虑先得到P-Q，然后利用因式分解与配方法进行变形，a b c确定P-Q的符号，进而判断P,Q的大小关系;(2)令3 =4 =6 =k将a,b,c转化为对数形式，然后作商比较大小.例2 ［思路点拨］(1)利用不等式的性质与特殊值法求解；(2)利用不等式的性质，特殊值法及函数的单调性求解.(1)B ⑵D ［解析］(1)v a<b<1,.・. a+<b+1<0, •••-------------- >0且> ，则2 2-------------• (a+1)<--------------- •(b+1),(a+1) >(b+1)，则一>一,• A,CD中不等式成立;由a<b<-1,知当a=-3, b=-2时,一=-1,——二一,—<——，因此B中不等式不成立，故选B⑵由a>b,c<0,得ac<bc,选项A错误设幕函数f (x)=X，因为c<0,所以f (x)在(0,+切上是减函数，又a>b>0, 所以a<b ，选项 B 错误取 a=4,b=2,c=-4,则 log a (a-c )=log 48<2,log b (b-c )=log 26>2,此时 log a (a-c)<log b (b-c), 选项C 错误;一一=-「_ =_ >0,所以=>「选项D 正确.故选D.变式题 (1)B (2)D ［解析］(1)由 2“>2：得 m>n.当 m>n» 时，可得 m>n,|卩 m|m|>n|n| 当 m»>n2 2 2 2时,m|m|>0>n|n| ;当 n<mO 时,-n>-m>0,可得 n >m,故-n <-m,即 m|m|>n|n|，故选 B⑵取 a=2,b=4,c=3,d=2,则 d-a=0,c-b=- 1,此时 d-a>c-b ,故 A 中不等式不成立；取a=2,b=3,x=-1,则-二,——=2, 此时-<——做B 中不等式不成立；取a=,b=3,c=1,d=-3,则b c =3,a d =8,此时b c <a d ，故 C 中不等式不成立; ----- = ——< 0,故D 中不等式成立.故选D.例3 ［思路点拨］(1)首先将已知不等式同时除以a,化为关于-厂的不等式组，然后利用不等式的性质可 求得-的取值范围;(2)首先根据函数解析式明确条件中的两个不等式 ，令2a-b=mf(1)+ nf (-1),通过比较系数求得mn 的值，即可根据条件中两个代数式的取值范围确定2a-b 的取值范围.(1)A (2)-—［解析］(1) •••三个正数 a,b,c 满足 a < b+c < 2a,b < a+c < 2b, • 1W- +- < 2-< 1+-< 2 •-，即-2 •-W -1- Y --，与 1 <-+- < 2 相加，得 1- 2 •-W -- K 2--,解得 -故选 A.⑵由函数的解析式可知 0<a+b<2,-1<-a+b<1,即令2a-b=m(a+b)+n(a-b),即2a-b=(m+na+(m-n)b,比较系数得 解得 即 2a-b=-(a+b)*(a-b).而0<-(a+b)<1,-Y-(a-b)<-,所以-Y-(a+b)k(a-b)<-,即 2a-b € -- 变式题 (1)A (2)(-1,0)［解析］(1)设 a +3 B =入(a + 3 )+V ( a +2 3 )=(入 +v) a +(入 +2v) B .比较系数得解得即 a +3 3 =-1( a + 3 ) +2( a +2 3 )，而-1 W - a - 3 W 1,2< 2 a +4 3 < 6,所以 1Wa +3 3< 7.故a +3 3的取值范围是［1,7］.故选A.<0.又•••a>b,.・.a -b>0,.・ --------------- <0,即-1<ab<0,故 ab 的取值范围是(-1,0).⑵•••&-—<・_,•••&--- -一 v0,「.备用例题JiAOSHI EJC YONG LlTl【备选理由】例1将不等式比较大小与函数进行交汇；例2利用作差法比较大小，并与对数的运算性质相结合,是对探究点一比较大小方法的深化；例3考查不等式性质在实际生活中的应用.例1 ［配合例1使用］［2018 •武汉4月调研］记min{a,b,c}为a,b,c中的最小值若x,y为任意正实数，则M=min - -的最大值是()A 1+ 一B 2C2+ 一 D -［解析］D 设a=2x,b=-,c=y+-=^-则M=min - 一=min{ a,b,-+1 .令a=b=4,得a=b= ― (1)当 aJ \W b W或b W a W时,c=-+-A —=+—==，所以min • a,b—+ - =a或b,其最大值为；(2)当a>b》或b >a> 时,C=-+-W=+== 所以min ‘ a,b,-+-} =c，其最大值为.综上所述,M的最大值为，故选D例2 ［配合例1使用］［2019 •长沙联考］设a=ln-,b=lo 一-,则（）Aa+b<ab<0 B.ab<a+b<0Ca+b<0<ab D.ab< 0<a+b［解析］B 由题得a=ln-<ln 1=0,b=lo ->lo 1=0所以ab<O.a+b=ln-+lo -=-ln 2+—=1 n 2—— =ln2 • ----- <0,ab- (a+b)=ab-a-b= ln_ • lo _-1n_- lo _=-ln 2 • 一+ln 2 - 一=ln 2 -一- 一=ln2 • —-_ =ln 2 •二<0,所以ab<a+b,故选 B.例3 ［配合例3使用］已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是()A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D-不确定［解析］A 设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x,y元，则6x+3y>24,4x+4y<20，得2x+y>8,x+y<5,因此2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5X 8-8 X 5=0,因此2 枝玫瑰的价格高，故选A.第35讲一元二次不等式及其解法考试说明1 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.【课前双基巩固】知识聚焦2. {x|x<x 1 或X>X2} {x|x 工X’} R {X|X 1VXVX2} ? ?对点演练1. (-出，-2］U ［4,+^)［解析］由x2-2x-8=(x-4)(x+2)>0,解得x<-2 或x>4,即不等式的解集为(-，- 2］U ［4,+x).2. - ［解析］由题意可得A= - ,B={x| 1<x<2}, AAP B=- .2 23. a<- 3或a>6 ［解析］因为方程3x +2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根，所以△ =(2a) -4X 3X (a+6)>0, 解得a<-3或a>6.4. (-5,3)［解析］原不等式等价于(x+5)(x-3)<0,解得-5<x<3,即该不等式的解集为(-5,3).5. - -［解析］由(x+1)(3-2x)>0,得(x+1)(2x-3)< 0,二不等式的解集为- -. 工2时，必须满6. (-2,2］［解析］原不等式可整理为(2-m)x+(4-2n)x+4>0.当m=2时，不等式为4>0该不等式恒成立当m解得-2vm<2.综上知实数m的取值范围是(-2,2］.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］通过解一元二次不等式得到集合A,解一元一次不等式得到集合B然后求A n B;(2)首先根据一元二次不等式的解集，结合根与系数的关系得a,b的值,再解不等式.I2 t(1)D (2)A ［解析］(1)由题意得A={x|x -5X+6》0}={x|x <2 或x>3},B={x| 2x-1>0}= - ,AA n B=2 2⑵•••不等式ax+bx+2>0 的解集为{x|- 1<x<2},二ax +bx+2=0 的两根为-1,2,且a<0,二-1+2=-_,(-1)x 2二,解得a=-1,b=1,则2x2+bx+a>0可化为2x2+x-1>0该不等式的解集为变式题或-故选A(1)(-1,-lg2)［解析］(1)由一元二次不等式f(x)<0的解集为亠一U 一知f(x)>0的解集为一-，则一<10乂,得不等式的解集为x € (-1,-lg 2 ).⑵解方程(x-a)(x+1)=0的两根为-1,a.①当a<-1,即-3<a<-1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>-1};②当a=-1时，原不等式的解集为{x|x € R且x工-1};③当a>-1,即-1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<- 1或x>a}.综上所述，当-3<a<-1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>-1};当a=-1时，原不等式的解集为{x|x € R且X K -1};当-1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<- 1或x>a}.例2 ［思路点拨］分a=0与a K 0两种情况讨论,结合二次函数的图像特征建立不等式组进行求解.2C ［解析］若a=0,则不等式等价于3>0,该不等式恒成立，满足条件；若a K0,要使ax+ax+a+3 >0对一切实数x恒成立，则解得a>0.综上可得实数a的取值范围是［0,+叼,故选C2 _________________________ __________ . . ____________________________ ___________________________________例3 ［思路点拨］可令f(x)=x +ax- 3a,由题意及二次函数图像可知，只要f (x)在-1和1处的函数值小于0即可;或将参数a分离岀来，转化为求函数的最值来解决.A ［解析］方法一:令f (x) =x2+ax-3a,则由题意及二次函数f(x)的图像知-即--解得a>-故选A.2方法二:由x+ax-3a<0,知a>_,由题意知当x € [-1,1]时,a> 一.令g(x)=—，当x=0 时,g(x)=O；当x€［-1,1］,且x 工0 时,g(x)=—= --- =---------- ,W g(x)max=g(i)=_.故a>,故选A.例4 ［思路点拨］将已知转化为关于a的不等式，然后利用一次函数的单调性求x的取值范围.2 2(-,2)U (4,+叼［解析］已知不等式等价于(x- 3)a+x - 6x+9>0,令g但)=(x-3)a+x-6x+9，由题意，知x +(a- 6)x+9- 3a>0对|a| < 1 恒成立，等价于g(a)=(x- 3)a+x-6x+9 当a€ ［-1,1］时的函数值恒大于0.当x=3 时,g(a)=O,不符合题意当x丰3时，由一次函数的单调性得- -- -解得x<2或x>4.故x的取值范围为(-g,2) U (4,+x).应用演练1. A ［解析］命题"ax -2 ax+3>0恒成立"是假命题，则ax - 2ax+3< 0有解.当a=0时,ax-2ax+3w 0不成立;当a^ 0时，要使ax2- 2ax+3< 0有解，则或a<0,解得a<0或a> 3.故选A2. D ［解析］•••对于满足K x< 4 的一切x,都有f (x)=ax-2x+2>0,「.a 工0,且a> ---- =2-- --- 对任意的1Wx w4恒成立，•.•-€-€ 1, —2 -- --- €-,二实数a的取值范围是- g，故选D3. (-g,1)U (3,+g)［解析］由题意，知对任意a€ ［-1,1］,f (x)=x+(a-4)x+4-2a>0 恒成立，等价于(x- 2)a+x - 4x+4>0 对任意a€ ［-1,1］恒成立.令g(a)=(x- 2)a+x -4x+4,当x=2 时,g(a)=0,不符合题意当X K 2 时，由一次函数的单调性得解得x<1或x>3.故x的取值范围是(-g ,1) U (3,+ g).例5 ［思路点拨］(1)由题意分Kt w 10,10<t w 15,15<t w20三种情况，分别求得日销售量，然后与相应的销售利润相乘可得F(t)的解析式；⑵结合(1)中的日销售利润函数分别求解对应的一元二次不等式即可.解：(1)由题意可得:2 2 2当1W t w 10 时，日销售量为10t+ (-t +20t )=-t +30t, 日销售利润为40 (-t +30t);2 2 2当10<t w 15 时，日销售量为-10t+ 200+(-t +20t )=-t +10t+200，日销售利润为40(-t +10t+ 200);当15<t w 20 时，日销售量为-10t+ 200+(-t +20t )=-t +10t+200，日销售利润为20(-t +10t+ 200).综上可得F(t)=2⑵当K t < 10 时由40(-t +30t)> 5000,得5< t < 10;2当10<t < 15 时，由40(-t +10t+200)> 5000,得10<t < 15;当15<t < 20 时,不等式20(-t 2+10t+ 200) > 5000 无解.故第5天至第15天产品甲给该公司带来的日销售利润不低于5000元.变式题解:(1)W=x&)- (16x+40)= ------------ - 16x+4360,10<x<100,即年利润W万元)关于年产量x(万件)的函数解析式为W=- ----------- 16x+4360(10<x<100).当WN760时，由- -解得x=50(万件).故年利润为2760万元时该公司一年内共生产电饭煲50万件.2QW= --------- - 16X+4360》2360,整理得x -125x+2500< 0,解得25<x< 100，又10<x<100，所以25<x<100.故为了让年利润W不低于2360万元,年产量x的取值范围是［25,100).备用例题I JiAOSlil 0CIYONG Lin ______________________________________________________________________________【备选理由】例1考查解含参数的一元二次不等式问题，需要对参数进行分类讨论；例2是一元二次不等式在给定区间上的存在性问题，能开阔视野、拓展思路，完善知识体系；例3考查另一种形式的一元二次不等式恒成立问题.2例1 ［配合例1使用］解关于x的不等式a(a-1)x-(2a-1)x+1>0，其中a€ R解:由题得(ax- 1)［(a- 1)x-1］>0.①当a<0 时,x € -x - u —g ;②当a=0 时,x € (-1，+g);③------------------------------ 当0<a<1时,x€④当a=1 时,x € (-g,1);⑤当a>i时,x € -K _ U OO .2例2 ［配合例3使用］若关于x的不等式x +ax- 2>0在区间［1,5］上有解，则实数a的取值范围为()A —°° B. -----C (1,+O) D. -O -一［解析］A 不等式x +ax-2>0可化为a ——-x.设f(x)=--x,x€ ［1,5］,由题意得a>f(x)mm.因为函数f(x)在［1,5］上是减函数，所以f (x)min=f(5)亠-5=- —，故选A例3 ［配合例2使用］［2018 •银川二中模拟］已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i= 1,2,3)都成立的x的取值范围是()A -B —C -D -2 2［解析］B (1-a i x) <1? x-2a i x<0? x -—<0,其解集为—.又0<—J<—,故选 B.第36讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明1 .会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【课前双基巩固】知识聚焦1. 边界边界公共部分2. 不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最大值最小值对点演练1.4 ［解析］作岀不等式组表示的平面区域，如图中△ ABC及其内部所示，则&ABC==4.2.—［解析］作岀满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，由z=3x+2y得y二-x+_，因此将求z=3x+2y的最大值转化为求直线y=--x+-的纵截距的最大值.易知直线2x+y=4与x+2y=4的交点为C- -，由图知当直线y二-x+一经过点C时,z取得最大值，其最大值为3X-+2 X-=一.3.350 ［解析］设每周生产空调x台、彩电y台，则生产冰箱120-x-y台，总产值为z千元，依题意得目标函数z=4x+3y+2(120-x-y )=2x+y+240，且x,y 满足- -€ €行域如图中阴影部分内的整点.解方程组得-- 即其可€ €即M(10,90).让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移，可得z=2x+y+240在M(10,90)处取得最大值，且z max=2 X 10+90+240=350(千元）.4•- ［解析］画岀满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示.易知当直线y=-x-_z 经过B--时,z 取得最大值，最大值为--2X -- —.2 2画岀可行域，如图中阴影部分所示，易求得点A(1,2),B(3,4).x +y 的几何意2 2义为可行域内的点到原点 o 的距离的平方.由图知，可行域内的点A 到原点的距离最小，所以x +y 的最2 9小值是1 +2 =5.6.1 ［解析］画岀不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由z=y-ax ，得 y=ax+z,要使z 取最大值时 的最优解有无数个，则直线y=ax+z 必平行于y-x+ 1=0，所以a=1.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)首先作岀满足条件的平面区域，然后观察区域的形状;(2)首先画岀不等式组表示的 平面区域，然后分析得岀直线y=kx+-将平面区域分为面积相等的两部分时所经过的定点，即可列方程求5.5 ［解析］由- (3,4)(1)C (2)- ［解析］⑴作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知平面区域是一个等 腰三角形，故选C. ⑵画岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线y=kx —恒经过点A -，当直线 y=kx+_再经过BC 的中点D--时,平面区域被直线y=kx+-分为面积相等的两部分.将点D 的坐标代入 直线方程得-=-k+-,解得k=-. 变式题(1)A (2)m ：2［解析］(1)作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.联立方程得A(1,0),所以平面区域的面积为-X 1 X 3亠,故选A(2)作岀_ 所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示.易知直线x=1与x- 2y+1=0的交点坐 得B(2,3)，标为理1,1).若使原不等式组所表示的平面区域的形状为三角形，则需满足点A位于直线x+y=m下方,据此有1+1<m即m的取值范围为m2例2 ［思路点拨］(1)首先画岀约束条件表示的可行域，然后通过平移等值线来确定目标函数的最值.(2)作岀可行域，求岀顶点的坐标，根据最优解的可能情况求岀a的值,再验证a的值是否符合题意.(1)B (2)B［解析］⑴作岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.由得A -.令z=x-4y,则y=-x--z,平移直线y=-x--z,由图可知，当直线y=-x--z经过点A时，直线y=x--z在y轴上的截距最小此时z 有最大值，为-4,故选B.(2)作岀约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(2,0),B(1,1).若z=ax+y过点A时取得最大值4,则2a=4,解得a=2,此时目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z.平移直线y=-2x+z,易知当直线经过A(2,0)时,y=- 2x+z在y轴上的截距最大，此时z的最大为4,满足条件.若z=ax+y过点B时取得最大值4,则a+1=4,解得a=3,此时目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z.平移直线y=-3x+z,易知当直线经过A(2,0)时,y=- 3x+z在y轴上的截距最大，此时z的最大值为6,不满足条件.综上所述，a=2.故选B.变式题(1)B (2)C ［解析］(1)画岀约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示).由z=-2x-y得y=- 2x-z.平移直线y=-2x-z,由图可得，当直线y=-2x-z经过点A时,直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值.由-解得故点A(2,3),.・.z min=-2X 2-3=-7，故选B(2)作岀可行域，如图中厶ABC及其内部所示，并作直线l:2x-y=0,平移直线丨，易知当丨经过点A —时,z取得最小值，.•• 2X ------ =- 4,解得a=3，故选C例3 ［思路点拨］设运送甲种货物x件，乙种货物y件，可获利润为乙然后根据已知条件确定x,y满足的不等式组和目标函数，再画岀平面区域，平移等值线找到最优解.62 ［解析］设运送甲种货物x件，乙种货物y件,可获利润为乙则由题意得即€且z=8x+10y.作岀不等式组对应的平面区域如图中阴影部分内的整点.由z=8x+10y得y=-」+—,平移直线y二_x+—,由图可知当直线y=-_x+—经过点B时,直线在y轴上的截距最大，此时z最大.由得即B(4,3),故Z max=8X 4+10 X 3=62,即一次运输获得的最大利润为62元.目标函数为z=60x+25y,画岀可行变式题A ［解析］设总收视人次为z.依题意得域如图中阴影部分所示.由图易知，目标函数在点M(6,3)处取得最大值.故选A2 2例4 ［思路点拨］(i)(x-1)+ y的几何意义为可行域内的点到点(1,0)的距离的平方，据此可求岀z的最小值;(2)利用z=——=2 •—的几何意义，即平面区域内的点(x,y)与定点 -的连线的斜率的2倍求解.(1)C (2)C2 2［解析］(1)作岀不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.(x-1) + y的几何意义为可行域内的点到点(1,0)的距离的平方，由图可得，点P(2,1)到点(1,0)的距离最小，此时z的值最小，最小值z min=(2-1) +1 =2, 故选C(2)作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.目标函数z—=2 •二表示平面区域内的点与点 -的连线的斜率的2倍.由图可得，目标函数在点qi,2)处取得最大值，最大值Z max=—一=3,在点B(2,1)处取得最小值，最小值Z min = ------ =—--- =—. 故目标函数Z=—的取值范围是-，故选C 变式题(1)B (2)B2 2［解析］⑴由题意，作岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.由方程x+y+6y-k=o,得2 2X +(y+3) =9+k,则此问题可转化为求可行域内的点到定点C(0,- 3)的距离最小时实数k的值.点C到直线x+2y+2=0的距离d=——=一==,易知点C到直线x+2y+2=0的距离即为点C到可行域内的点的距离的最小值,则有9+k==，解得k=-—.故选B.⑵由题意，作岀不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.不等式kx-y+k < 1等价于 X——，- 的几何意义是平面区域内的点与点(-1,-1 )连线的斜率，记P(-1,-1),由题意知k< Z min.由图可知点P与B(1 ,0)连线的斜率最小，所以Z min=——=_所以实数k的取值范围是-^-，故选B.tMV备用例题JIAOSHI 0C YONG UM【备选理由】 例1需要先由已知条件确定不等式组中的参数 ，再求目标函数的最值，增加了解题难度 例2是已知目标函数的最值求参数问题；例3考查线性规划在实际问题中的应用，进一步强化应用意识 例4与例5为非线性目标函数的问题，考查斜率型目标函数与距离型目标函数的最值 .例1 ［配合例2使用］［2018 •杭州二中模拟］已知不等式组 为9,若点P(x,y)€ S,则z=2x+y 的最大值为 ( )A3 B 6C 9D 12［解析］C 作岀不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示 则A(a,a),B(a,-a),所以平面区域的面积 S=- - a - 2a=9,解得a=3,此时A(3,3),B(3,- 3).由图可得当z=2x+y 过点A(3,3)时,z=2x+y 取得最大值9,故选 C例2 ［配合例2使用］［2018 •汕头二模］设变量x,y 满足约束条件 最小值为-4,则a 的值是()A 1B 0C- 1 D -表示的平面区域S 的面积 目标函数z=3x- 2y 的［解析］C 作岀约束条件所对应的可行域(如图中阴影部分所示).目标函数z=3x-2y可化为y二x-_z,平移直线y=»-J,由图可知，当直线经过点A时直线在y轴上的截距最大，此时z最小.由- -解得-•••A(a-1,a),「. 3(a-1)-2a=-4,解得a=-1,故选C.例3 ［配合例3使用］［2018 •南昌模拟］某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资本地养鱼场和远洋捕捞队.对本地养鱼场的调研结果是平均年利润率为0. 3,对远洋捕捞队的调研结果是平均年利润率为0. 4,为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于对本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，明年该公司投资这两个项目的利润之和最大为_________________ 千万元.［答案］2.2［解析］设该公司对本地养鱼场的投资金额为x千万元，对远洋捕捞队的投资金额为y千万元，利润之和目标函数z=0. 3x+0. 4y.画岀约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由z=0. 3x+0. 4y得y=-z--x,由图可知，当直线y=-z--x经过点M(2,4)时,z取得最大值此时Z max=0. 3 X 2+0. 4X 4=2. 2,所以最大利润为2. 2千万元.则目标函数z=——的例4 ［配合例4使用］［2018宜昌三模］若实数x,y满足不等式组最大值是()A 1 B- 一［解析］B 画岀 - 表示的可行域，如图中阴影部分所示.将z=— 变形为z=1-—表示可 行域内的点与 理3,5）连线的斜率，由图知可行域内的点P 与点A 连线的斜率最小，目标函数在点P 处取得 最大值.由 即 P(0,1).则 Z ma = —二-,故选 B.例5 ［配合例4使用］［2018 •河南名校考前预测］已知实数x,y 满足-的取值范围为( )A[2, —] B — —C —D [4,10]2 2［解析］C 作岀- 表示的可行域，如图中阴影部分所示.（x-i ）+（y+i ）的几何意义为可行域 内的点（x,y ）与MU ）的距离的平方.由图可知，点M 到直线x- 2y+1=0的距离的平方，就是目标函数的最 2 2 小值，最小值为 ,点M 到C(0,2)的距离的平方，就是目标函数的最大值，最大值为1+3=10.所 2 2 以z=(x-1) +(y+1)的取值范围为— ，故选C 可得 2 2则z=(x-1)+(y+i)第37讲基本不等式考试说明1 .了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1) a>0,b>0 (2)a=b2. (1)2ab (2)23. ——两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4()2 一(2)-对点演练1.2 ［解析］当x>0时,x+-> 2 -=2,当且仅当x=1时等号成立，则x+-的最小值为2.2. ---------------------------------------------------------------------------------------- - ［解析］•••正实数x,y 满足2x+3y=2,「. xy= x2x - 3y <- ------------------------------------------- 二，当且仅当2x=3y=1,即x=-,y=-时等号成立,即xy的最大值为-.2 __3. 81 m ［解析］设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,二x+y=8,「.矩形菜园的面积S=xy< --------- =—=81 (m),当且仅当x=y=9时取等号，二当菜园的长和宽都为9 m时，菜园的面2 积最大,为81 m .4.1-2 一［解析］J x<0,.・・f(x)= -------- =2xi+仁-- -+K-2 - —+1=1-2 一，当且仅当-2x=—,即x二一时，等号成立，「.f (x)的最大值为1- 2 .5.3 ［解析］设x+2=t则x+一=t+_-2.又由x> 2得t >4,而函数y=t+--2在［2,+^ )上是增函数，因此当t=4时,t+ _-2即x+一取得最小值，最小值为4+--2=3.6.9 ［解析］2a+_= _ - 一=5+—+—> 5+2 •=9,当且仅当一=一，即a=3,b=9 时取等号••• 2a，的最小值为9.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)根据已知等式凑岀定值，然后利用基本不等式求最大值；(2)根据所求式子凑岀定值然后利用基本不等式求解.(1)- ⑵2 一+2 一［解析］(1) •/ x»,y>0,「. xy= X 2x X 3y< ---------------- =-，当且仅当2x=3y=3,即x=,y=1 时，等号成立，故xy的最大值是-.⑵2a+——+—=a+b+a-b+——+—,丁a>b»,「. a+b —>2 _,当且仅当a+b= _时取等号,a-b+一>2 _,当且仅当a-b= 一时取等号，联立_ 解得 ___ •••当___时,a+b+a-b+——+—>2 _+2 一,即2a+——+ —取得最小值2 一+2 一例2 ［思路点拨］(1)设数列｛a n｝的公比为q,由题意可得到关于mn的等式,则可利用常数代换法求岀-+-的最小值;(2)首先将已知等式变为一+—=1,然后采用常数代换法将a+b变换为(a+b)——展开后再利用基本不等式求最值.m n 4(1)A (2)2+ ［解析］(1)设数列｛a n｝的公比为q(q^ 0).根据题意，得a m=q ,a n=q ,a4=q ,m+2n 8由a m =，得q =q ,•- m+?n=8, •- ---- =1,又mn € N,---------- +------ —>-+2 —=1，当且仅当一=—，即卩m=4,n=2 时取等号(2)因为3a+b=2ab,所以一+—=1,又a>0,b>0,故a+b=(a+b) _ — =2+—+_> 2+ 一,当且仅当一=_时取等号即a+b的最小值为2+ 一例3 ［思路点拨］首先根据条件等式用a,b表示岀c,并代入一中，利用基本不等式通过求最值确定a,b 的关系，进而将a+b-c转化为关于b的式子，最后通过配方求解.C ［解析］根据题意得c=a2-ab+4b2,所以一=— ------ =_+一-1》2 _-1=3，当且仅当-J,即a=2b时取等2 2 2 2号，所以a+b-c=2b+b-4b +2b -4b =-6b +3b=-6 -一+_,所以当b=时,a+b-c 取得最大值-，故选C应用演练2 2 2 2 2 21. A ［解析］T 0< =••• 0<x ~,1-4x >0,则y=x (1-4x ) = X (4x ) X (1-4x ) ------- —匚,当且仅，等号成立，即y=x (1- 4x )的最大值为一，故选A— 2 2 当x= 士一时2. D ［解析］因为a=-［(a+b)+(a-b)］,所以a+—+一=(a+b) +—+-(a-b)—又因为-(a+b) +—>2 ，当且仅当-(a+b)=——时取等号，-(a-b)+—>2 -= 一,当且仅当-(a-b)=—时取等号，所以a—+—>3 一,当且仅当-即 -时取等号，故选D.3. C ［解析］由函数的解析式可得M1,1),则-+-=1(a>0,b>0),则a+b=(a+b) - - =2—+- >2+2 - •- =4,当且仅当a=b=2时等号成立.综上,a+b的最小值为4,故选C4. 8+4 ［解析］由题得-+-= - - • (2x+3y)=8—+—> 8+2 —• —=8+4 ，当且仅当一=—，即x=——,y=——时等号成立.5. 8 ［解析］Ta,b,c 均为正数，且abc=4(a+b),「. c= --- ,• a+b+c=a+b+ ------ =a+b+4 >2 • -+2 • -=8,当且仅当a=2,b=2时取等号,• a+b+c的最小值为8.例4 ［思路点拨］(1)首先利用导数与函数单调性的关系将问题转化为一个不等式恒成立问题，然后转化为求函数的最值问题，最后利用基本不等式求函数的最值；(2)首先利用基本不等式确定两个对数MN 中的真数的取值范围，由此得到MN的取值范围，然后计算岀Q的值，进而得到MN,Q的大小关系.(1)D (2)B ［解析］(1)函数f (x)的定义域为(0,+ V,f' (x)=4x+--a.由已知有f (x)> 0在定义域上恒成立, 所以4x+-a >0对于x € (0,+s)恒成立，即a< 4x+_恒成立,所以a< - .因为4x+_ >2 • -=4, 当且仅当x=-时等号成立，所以a < 4,故选D⑵•••f(a)=f(b),.・.|lg a|=| lg b|,「.lg a+lg b=0,即ab=1. J _= = ------- = ---- <—=—,••. Nlog 2 _= <-2. ---------------- >_乂，二Mlog ------ >-2.又•.•Q=n _=-2,二M>Q>故选B.变式题(1)A (2)- 懈析］(1)由题意得f' (x)=3ax +2bx+c.因为函数f (x)在R上单调递增，所以可得c>-，且a>0所以^>———> --------------------- =1,当且仅当c=b=3a时等号成立，所以——的最小值为1,故选A⑵易得函数f(x)=e x-e-x+x3+3x在R上单调递增，且为奇函数,又f (2a-1)+f (b-1)=0，即f (2a-1)=-f (b-1)，所以2a-1=1-b,即2a+b=2.所以一+——= ---------- -- ---------- +b+-=2(a+1)+b+—+--4 —+-= 一-［2(a+1)+b］ x-=- x —— ------ >-x (5+4)=-,当且仅当a=-,b=-时取等号.例5 ［思路点拨］(1)首先求岀运输到第x年年底该大货车运输累计收入与总支岀的差，然后令其大于0,即可得到结论;(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支岀，可得年平均利润，再利用基本不等式即可得结论.解:(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，2 *则y=25x- ［6x+x(x-1 )］-50=-x +20x- 50(0<x< 10,x € N),由-x2+20x- 50>0，可得10-5 -<x< 10.••• 2<10-5 _<3,A大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支岀.⑵•/利润=累计收入+销售收入-总支岀，。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法考前冲刺专题练习(一)带答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|x a -+≥．…………………………………………………………………… 10分4．已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n n a b ab a b ++++≥． 证明：先证112n n n n a b a b a b +++++≥， 只要证112()()()n n n n a b a b a b +++++≥，即要证11n n n n a b a b ab +++--≥0，即要证()(n n a b a b --)≥0， ………5分 若a b ≥，则a b -≥0，n n a b -≥0，所以()(n n a b a b --)≥0，若a b <，则0a b -<，0n n a b -<，所以()()0n n a b a b -->，综上，得()(n n a b a b --)≥0．从而112n n n n a b a b a b +++++≥， ………8分 因为2a b ab +≥， 所以11n n n na b ab a b ++++≥． ………10分5．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．6．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．7．对于实数y x ,，若,12,11≤-≤-y x 求1+-y x 的最大值.8．已知实数a,b,c ∈R,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值，并求出取最小值时a,b,c 的值。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法晚练专题练习(六)带答案人教版高中数学
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz+=的最小值为________2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分4．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 5．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．6．已知对于任意非零实数m ，不等式|)32||1(||||1||12|+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数x 的取值范围．7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．42．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3． 4． （选修4-5：不等式选讲）证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分 故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39． 又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分同理2211a b ++++≥，…………………………………………………………………5分所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca++++++++++)≥≥． 所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分5．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分 333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥ 327abc =⋅27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分6．选修4－5：不等式选讲 解：211123m m x x m-+---+≤恒成立， ………………4分 211m mm-+-=11211m m -+-≥,∴只需1231x x --+≤, 综上x 的取值范围为(,3-∞-⋃-+∞． ………………10分7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. (10)分8．证明： ∵a 、b 、c 均为实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立；……………………4分 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立；……………………6分 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1．……………………8分 三个不等式相加即得a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1， 当且仅当a =b =c 时等号成立. ……………………10分。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法章节综合检测专题练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 4．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++++≥．5．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 6．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．7．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；8．设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4． 5． （选修4-5：不等式选讲）证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c -++)≥9 ．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c -++++++)≥39． 又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分同理2211a b ++++≥，…………………………………………………………………5分 所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca++++++++++)≥≥． 所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分6． 选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24ba b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024ba b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]24b a b a b -++>，即有44a b a b a b+>+（）． …………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．由柯西不等式可知：222222211()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤…………………………………………5分 故222242311x y z ++≥，当且仅当2311123x y z ==，即：6412,,111111x y z === 22223x y z ++取得最小值为2411…………………………………………10分 8．证明： ∵a 、b 、c 均为实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立；……………………4分 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立；……………………6分 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1．……………………8分 三个不等式相加即得a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1， 当且仅当a =b =c 时等号成立. ……………………10分。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(一)含答案新教材高中数学
高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.
2．考察下列一组不等式：33224433
252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=
的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法章节综合检测专题练习(一)带答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 评卷人得分 二、解答题3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．5．若⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x6．已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.7．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。
8．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y +++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2．3147评卷人 得分二、解答题3．4． 选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．5．证明：由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦…………………7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以1232332x x x ++++-<.…………………10分 26．7．8．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xy xy ++≥⋅⋅⋅=.………………………………(10分)。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.评卷人得分 二、解答题3．（汇编年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.4．2 ．（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。
6．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y x z yz zx xy x y z≥++++． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥． …………………3分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥．………10分3．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．7．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b +1b －c +1c －d ≥9a －d【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．3147 2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分 二、解答题3．4．D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-5．6．（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ； E 表示事件“恰有一人通过笔试”则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++4.05.04.06.05.04.06.05.06.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=38.0=---------------------------------------------------------------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，---------------------------------------------------------------------8分所以~(30.3)B ξ，，故9.03.03)(=⨯==np E ξ．-------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A BC ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.E ξ=⨯+⨯+⨯=． 7．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分8．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法强化训练专题练习(一)带答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >．(1)求证：127abc ≤； (2)求证：2223a b c abc ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥． 5．已知a ，b ，c 都是正数，且236a b c ++=，求12131a b c +++++的最大值．6．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413a b <+<7．设*n ∈N ，求证：12(21)n n n n n C C C n +++-≤． 8．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y x z yz zx xy x y z≥++++． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥． …………………3分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥．………10分2．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．[]0,42． 评卷人得分 二、解答题3． 证明：（1）33a b c abc ++≥⋅，而1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（1）知313abc ≤ 2223a b c abc ∴++≥，当且仅当a b c ==时取“=”. ………………10分 4． （选修4-5：不等式选讲）证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c -++)≥9 ．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c -++++++)≥39． 又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分同理2211a b ++++≥，…………………………………………………………………5分 所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca++++++++++)≥≥． 所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分 5．6．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23， …………………………8分 又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分7．选修4－5：不等式选讲证明：由柯西不等式，得12212(C C C )(111)(C C C )n n n n n n n n +++++++++≤ …………………………………5分((11)1)(21)n n n n =+-=-． ∴12C C C (21)n n n n n n +++-≤．…………………………………………………10分8．（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++4.05.04.06.05.04.06.05.06.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=38.0=---------------------------------------------------------------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =， ---------------------------------------------------------------------8分所以~(30.3)B ξ，，故9.03.03)(=⨯==np E ξ．-------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A BC ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270E ξ=⨯+⨯+⨯=．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(一)带答案人教版高中数学考点大全
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz+=的最小值为________ 评卷人得分 二、解答题3．（汇编年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.4．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．5．已知关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知对于任意非零实数m ，不等式|)32||1(||||1||12|+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数x 的取值范围．7．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；8．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b +1b －c +1c －d ≥9a －d【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．4 评卷人得分 二、解答题3．4．因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是 ()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++ 33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ⋅+++=+++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． …………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分5．选修4－5：不等式选讲解：∵|1||||(1)()||1|x x a x x a a ------=-≤恒成立， ……………………5分 ∴要使关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，当且仅当|1|2a -<， ……8分 即13a -<<．所以实数a 的取值范围为(13)-，． ……………………10分6．选修4－5：不等式选讲 解：211123m m x x m-+---+≤恒成立， ………………4分 211m mm-+-=11211m m -+-≥,∴只需1231x x --+≤, 综上x 的取值范围为(,3-∞-⋃-+∞． ………………10分 7．略8．。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第六单元不等式、推理与证明测评答案
题组一刷真题 角度1 .. 2 1. B ［解析］因为 A={x|x -X-2>0}={x|x> 2 或 x<-1}，所以?R A={X \- 1 < x < 2}.22. D ［解析］由 4-x > 0得-2W x <2,所以 A={x|- 2<x <2};由 1 -x>0 得 x<1 所以 B={x|x< 1}.故 A n B={x|- 2<x<1}，故选 D.角度23. C ［解析］可行域如图所示，2 2得 由图可知，当圆x+y =z 过点(3,-1)时,z 取得最大值，即2 2 2 — (x +y ) max =3 + - =10.4.3 ［解析］-的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.画岀可行域，如图中阴影部分所示由 得 C(1,3),由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.5.6 ［解析］约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数线z=3x+2y 经过可行域中的点A(2,0)时，目标函数z 取得最大值，所以Z ma =3X 2+2X 0=6.小题必刷卷(九)2 2 设z=x +y ，联立目标函数为z=2100x+900y.作岀二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100 时,z ma=2100X 60+900 X 100=216 000 .角度37. B ［解析］利用特殊值法检验排除，当a=2,b二时，选项ACD对应的不等式不成立，故选B.8. - ［解析］由已知得a-3b=-6，由基本不等式得2a—> 2 -―二,当且仅当a=-3,b=1时取等号9. 一［解析］由题意得x?y+(2y)?x=— _—= -------------- =-+—>2 -—= 一,当且仅当x= _y时，等号成立.角度410. -n(n+1)［解析］第一个等式中，1=一,2—第二个等式中，2=—,3 —;第三个等式中，3「,4—.由此可推得第n个等式等于- X ——-X -------------- dn(n+1).角度511. D ［解析］由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D题组二刷模拟212. D ［解析］因为 A=x| log 2X<2}={x| 0<x<4},B={x|x - 2x-3>0}={x|x> 3 或 x<-1}，所以?R A={X |X < 0 或 x > 4},所以(?R A)Q B={x|x<- 1 或 x > 4},故选 D13. D ［解析］已知一JV O,当 c<0 时，-〉->0,即 b>a>0,.・.> ,ac>bc,>0 成立，此时 0匕<1,二 ln_<0,同理当c>0时也可得只有D 错误，故选D. 14. A ［解析］由⑶,(4河知，乙参加了铅球比赛，由⑵可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由⑴ 可知，甲是最矮的 渗加了跳远比赛，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选A15. C ［解析］画岀不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 .由z=3x+y 可得y=- 3x+z,平移直线 y=-3x+z,结合图形可得,当直线y=-3x+z 经过可行域内的点A 时,直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得解得 故点A 的坐标为-- -,「.z min =3X -- +-=-3,故选C16. C ［解析］作岀约束条件所表示的可行域，如图所示，直线y=a(x+1)经过点(-1,0),而经过(-1,0),(0,2)两 点的直线的斜率为2,所以要使得“? x,y D,y <a(x+1)”成立，则a >2,所以实数a 的最小值是2,故选C.17. B ［解析］由 x>0,y>0,z>0得,x+y+z=x+(y+z)=［x+(y+z)］ — - =5+一+一 > 5+2 一 一=9,当且 仅当x=3,y+z=6时等号成立，故选B.J5y ■ \/ 、 4y7——i ---------- i -------- L .事 —Z-4! 3 4 5 最小值.由18. B ［解析］由约束条件画岀可行域如图所示，又z= = —x+y,所以当直线为DC时,z取最大值,Z max=io.即_x+y=10(1< y <4),所以3x +y =(10-y ) +y =2y - 2 0y+100(1 <y<4),当y=1 时,取最大值82, 当y=4时，取最小值52所以82-52=30，故选B.2 2 2 2 2 2 2 219. 322 ［解析］由T3,T4,T5归纳得岀T n=_［(i+2+・・+ n) - (1 +2+-+n )］,则T= X ［28-(1 +2 +-+7 )］.2 2 2又〔+2+・・・+7 二X 7X 8X 15=140, •••T7二X (784- 140)=322.20. 4 ［解析］因为等比数列的各项都为正数所以a2017a2019= =-,—— +——> 2 =4,当且仅当2a2017=a2019=1时，等号成立.21. 1+——［解析］设n条线段将圆最多分割成的部分数组成数列{a n},则n=1,a1=1 + 1, n=2,a2=a1+2,n= 3,a3=a2+3, n=4耳=&+4,…，归纳可得,a n=a n-1+n,以上式子相加整理得a n=1+1+2+3+-+n=1+ ------ ，故答案为1+ ----- .22. 32 n ［解析］由条件可得r=2，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离2 2为h,则所得截面S=n (16-4h),S2=n (16-h )- n ［4-(h-2)］ = n (16-4h),所以S=S2,由祖暅原理可得VZ.又匕=一n X 4 X ----- n X 2 =32 n，所以V1=32 n .。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法午练专题练习(六)含答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式
211
x --≤的解集为_________ 2．考察下列一组不等式：33224433
252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且
32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;
(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 4．已知a ，b ，c 都是正数，且236a b c ++=，求12131a b c +++++的最。
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《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211
x --≤的解集为_________ 2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b y x y x y
++++≤． 【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()2
22ax by a x b y x y x y
++++≤， 即证222()()()ax by x y a x b y +++≤． 即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分 即证2()0a b -≥，
而2()0a b -≥显然成立， 故()222ax by a x b y x y x y
++++≤． ……………………………10分 4．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设2
()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．
5．选修4—5：不等式选讲
已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．
6．设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明
22212x y z a b c R
++≤++.
7．若2
294 132y x y x +=+求，
的最小值，并求相应的x 、y 的值。
8．已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，求证：22cos sin a b c θθ+<
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分 一、填空题
1．[]0,4
2．4 评卷人
得分 二、解答题 3．
4．1()21+-=-+-x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．
【结束】
5． 选修4—5：不等式选讲
解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
6．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明
22212x y z a b c R
++≤++. 证：由柯西不等式得，
111x y z ax by cz a b c ++=++111ax by cz a b c
≤++++，…3分 记S 为ABC ∆的面积，则
2242abc abc ax by cz S R R
++===， ……6分 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R
++++≤=++22212a b c R ≤++， 故不等式成立．
7．（D ）解：由柯西不等式()()
()132119422222=+≥++y x y x 2
19422≥+∴x x 当且仅当 y x y x 321312=⋅=⋅即时取等号 …………………………………………8分
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=6141 132,32y x y x y x 得 …………………………………………………………10分
8．解：由柯西不等式，得
22cos sin a b θθ+ 11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ≤++
1222(cos sin )a b c θθ=+<． ………………………………10分。