几个著名的不等式.doc

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【本讲教育信息 】

一 . 教学内容：

几个著名的不等式

二、本周教学目标：

1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点．

2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想．

3、能将基本不等式推广到一般形式．

4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。

三、本周知识要点：

定理 1：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则

( ac bd )

2

(a 2 b 2 )(c 2

d 2 )

当且仅当 ad bc 时等号成立。

定理 2：（柯西不等式的向量形式）设α，β是平面上的两个向量，则 当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立．

定理 3：（柯西不等式的一般形式）给定两组实数

a 1， a 2， ， a n ；

b 1， b 2， ，b n 有

n

n

n

( a i b i ) 2

(

a i 2 ) (

b i 2 )

，（ *）

i 1

i 1

i 1

当且仅当

a i

kb i (i

，， ，

n ) 时等号成立。

1 2

n

n

n

f ( x) (

a i 2 )x 2 (2

a i

b i )x

b i 2

证明： i

1

i 1

i 1

（ 1）若

a i

全为 0，则结论显然成立；

n

2

（ 2）若 a i

不全为

a i

0，则 i

，

f (x)

为首项系数大于

0 的一元二次函数，并且

..

n

f ( x)

(a i x b i ) 2

( x) 的判别式

i 1

，故

f

n

n

n

(2 a i b i )2

4 a i 2

b i 2

i 1

i 1

i

1

，即

n

n

n

(

a i

b i )2

(

a i 2 ) (

b i 2 )

i 1

i 1

i 1

显然，当且仅当 a i kb i (i

，， ， n) 时等号成立。

1 2

定 理4

： 设

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 为 任 意 实

数 ， 则

这个不等式通常称为三角形不等式

定理 5： n 个正数的算术—几何平均不等式：

a 1 a 2

a n

其中，

n 称为这 n 个正数的算术平均，

几何平均．这个不等式通常称为算术－几何平均不等式，它表明：

于它们的几何平均．

n

a 1a 2

a n 称为这 n 个正数的

n 个正数的算术平均不小

【典型例题】

设 a ， b ， c 为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，求证： (a 1 )2 (b 1 ) 2 (c 1 )2 100

例 1. a b c

3

1

(12 12 12 )[( a 1)2

(b 1)2 (c 1)2 ]

证明： 左边＝ 3

a

b c

＝＝

证：原不等式等价于

a2 b2 c2 d 2 ( (a c)2 (b d )2 ) 2

a2 b2 c2 d 2 2 a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d )2 a2 b2 c2 d 2

ac bd

证：设(x1, y1 ), ( x2 , y2 ), ( x

3

, y

3

)

，则

( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2

( x2 x3 ) 2 ( y2 y3) 2

( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2

根据三角不等式，即得

例 4. 把一条长为 m的绳子截成三段，各围成一个正方形．怎样截法才能使这三个正方形的

面积和最小 ?

解：设三段的长度各为x，y， z 则 x＋ y＋ z＝ m．三个正方形的面积和为

因为 ( x2 y2 z2 )(12 12 12 ) ( x y z)2 m2

m m2 m 2

当且仅当 x＝ y＝ 3 时等号成立，所以x

2 y2 z2

有最小值 3 ，从而S有最小值48 81

例 5. 已知x≠ 0，当x取什么值时，x2＋x2 的值最小 ?最小值是多少 ?

81 81

分析：注意到 x2＋x2 是和的形式，再看x2·x2 ＝ 81 为定值，从而可求和的最小值

81 81

x 2

81

解： x≠0 x2＞0，x2 ＞ 0，∴x2＋x2 ≥ 2 x2 ＝ 18，

81

当且仅当 x2＝x2 ，即 x＝±3时取“＝”号

81

故 x＝±3时， x2＋x2 的值最小，其最小值是18