§1 矩阵的初等变换

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§1 矩阵的初等变换

1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解：回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。

矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。

本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。

首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。

矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。

矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。

矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。

特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。

矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。

例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9B=A+2*R2+R31 2 3 4 54 7 10 13 167 11 15 19 234 5 6 7 85 6 7 8 9行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。

列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。

例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即： A：1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9B=A+2*C1-C4-C51 2 3 2 1 0 72 3 4 -2 -3 5 83 4 5 -2 -3 6 9列变换可以用于转换特定的矩阵形式，如获得对称矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵等。

行列式变换通常指的是改变矩阵的行或列，以改变矩阵的行列式的值。

例如，给定一个矩阵A，其中有相同的元素，将第1行减去第2行，第3行减去第2行，可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 41 2 3 41 2 3 4B=A-R20 0 0 00 0 0 00 0 0 0行列式变换可以用来计算行列式的值，也可以用于转换矩阵的特定形式，如转置、依赖度等。

矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。

常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。

2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。

3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。

矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。

2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。

3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。

4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。

5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。

总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。

矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？（都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？（阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程；将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

1矩阵的初等变换

§1
矩阵的初等变换
主要内容：一、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等变换三、矩阵之间等价四、行阶梯形矩阵五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) . 定义:把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c” ) .
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 2 8 10 r2 r1 1 1 4 5 8 10 2
4 0 4 5 A1 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1 矩阵的初等变换
例 A与A3等价
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 1 8 10 r2 2 r1 0 1 4 5 8 10 2
2 0 3 4
3 0 3 5
4 5 0 0 A3 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
2 3 0 0 1 0 0 1
4 0 0 0
5 0 A1 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r2 r3 0 A1 1r4 0 0 2 1 0 0 3 0 0 1 4 0 0 0 5 r r 0 A2 0 0
3
1 4 0 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r1 2 r2 0 A3 r1 3r3 0 0

大学高等数学及线性代数课件3-1

§1 矩阵的初等变换
定理1：（只记结论）
⎛ Er O ⎞ 设 A是m × n阶矩阵，则 A ~ ⎜ ⎜ O O ⎟ ，其中0 ≤ r ≤ min(m, n), ⎟ ⎝ ⎠ m×n ⎛ Er O ⎞ ⎜ ⎜ O O ⎟ 称为A的标准形或叫等价标准形。 ⎟ 这是个什么类 ⎝ ⎠ m×n 型的矩阵呢？注释：所有n阶可逆方阵A的标准形都是n阶单位阵En
只能施行初等行变换
(
A
−1
)
只能用初等列变换
⎛ A⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ → L → ⎜ −1 ⎟ ⎜E⎟ ⎜A ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ 例：设 A = ⎜ 2 2 1 ⎟, 求 A−1. ⎜ 3 4 3⎟ ⎠ ⎝
【1】此方法只能用初等行变换！！【2】若不知A是否可逆，仍可用上述方法做，只要矩阵[A E]左子块出现一行（列）的元素全为零，则A不可逆。
这三个矩阵既可理解为行变换，又可理解为列变换得到的。
定理：设A是n × s阶矩阵； B是m × n阶矩阵；则 [1]E (i, j ) A表示互换 A的第 i, j行； BE (i, j ) 表示互换 B的第 i, j列； [ 2]E (i ( k )) A表示 A的第 i行乘以 k ( ≠ 0); BE (i ( k )) 表示 B的第 i列乘以 k ( ≠ 0); [3]E (ij ( k )) A表示 A的第 j行的 k倍加到第 i行； BE (ij ( k )) 表示 B的第 i列的 k倍加到第 j列.
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ ⎟ E(i(k)) = ⎜ ⎟ E(i, j) = ⎜ M O M ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 L 0 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ O ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

§1 矩阵的初等变换

则 E ( ij ( k ))
1
E ( ij ( k )) .
四、初等矩阵的应用
引例
2 1 3 1 0 0
1 0 5 2 2 0 0 2 1 6 0 1 0 3 4 5 2 2 5 2 2 6 5 10 30 0 4 3 0 4 1 0 0 2 5 2 2 5 2 0 1 0 1 2 6 1 2 6 5 0 1 3 0 4 13 25 11
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci ) 得到初等矩阵 E ( ij ( k ))
1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri r j）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1 2
3
2
(1)
4
解
1 2 32
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6, 3 x 2 3 x 3 4 x 4 3,

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。

它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。

1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。

2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。

3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。

二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。

1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。

消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。

2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。

三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。

计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。

§1矩阵的初等变换

§3.1 矩阵的初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1．互换两行（记j i r r ↔）；2．以数)0(≠k k 乘以某一行（记k r i ⨯）； 3．把某一行的k 倍加到另一行上（记j i kr r + ）．若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换．定义2 若矩阵A 经有限次初等行变换变成B ，则称A 与B 行等价，记；若矩阵A 经有限次初等列变换变成B ，则称A 与B 列等价，记；若矩阵A 经有限次初等变换变成B ，则称A 与B 等价，记B A ~ ．等价关系满足：1．反身性： A A ~；2．对称性： A B B A ~~⇒；3．传递性：B A ~,C A C B ~~⇒．例用初等行变换解线性方程组：解：（称B 是该线性方程组的增广矩阵）,，）（13111141211B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---称为行阶梯形矩阵，特点：横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行行数；竖线后面第一个元素为非零元)(231311411B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---称为行最简形矩阵，特点：在行阶梯形的基础上，每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列其余元素为0。

2B对应的线性方程组为取cx=3，则．例1. 用初等行变换化矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1314221312A为行阶梯形.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---91513142212．用初等行变换把矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=41311221222832A 化成行最简形.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00003232102301对n m ⨯矩阵A ，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成形式，（称之为标准形）．该标准形由 m 、n 、r 完全确定，特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.为了应用方便，以下引入初等矩阵的知识。

定义单位阵E 经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有如下形式：()行第行第j i j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101111011O OO ,()01111≠←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k i k k i E ,)(行第OO ()行第行第j i c c j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111OOO )(,上述))(,( )),(( ),,(k j i E k i E j i E 就是三种初等矩阵．例3 矩阵,,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛101110020110都是初等矩阵，且有 ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100110,/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001100211002,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111011 所以. , ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011101110021100201100110111,,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001001010100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102010001也都是初等矩阵，由于 ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001001010100001010100,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000100011000210001100020001 .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001102010001102010001 所以,0010101000010101001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10002100011000200011.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1020100011020100011一般的有：初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵. ),,(),(1j i E j i E =-，))1(())((1ki E k i E =- ， ))(,())(,(1k j i E k j i E -=-．定理1 设为矩阵，对作一次初等行变换，相当于左乘以一个相应的初等矩阵，对作一次初等列变换，相当于右乘以一个相应的初等矩阵，即，；，；，．定理2 设A 是可逆方阵，则存在有限个初等矩阵l P P P , , ,21Λ，使得证：A 可逆，则A 经有限次初等变换可变成单位阵E ，即，同样，即单位阵E 经限次初等变换可变成A ，所以存在有限个初等矩阵s P P P , , ,21Λ 和l s s P P P , , ,21Λ++ ，使得即推论 n m ⨯矩阵B A ~存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使B PAQ =．利用初等行变换求可逆阵的逆阵的方法：设 A 是n 阶可逆矩阵，则有有限个初等矩阵l P P P , , ,21Λ ，使得故 E A P P P l =---11121 Λ，而 111211 ----=P P P A l Λ 即 111121 ----=A E P P P l Λ所以由 E A P P P l =---11121 Λ和111121 ----=A E P P P l Λ 可得),(),( 111121----=A E E A P P P l Λ即上式表明只要对),(E A 作初等行变换，使得),(E A 的左边A 变成E ，则右边E 就变成1-A ．例4 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，求1-A ．解对 ),(E A 作初等行变换：所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-111253232311A ． .,, . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3413523431223212B A B AX 其中解矩阵方程例..B A B E A B A B A X A 11--=就变为时，变为把）施以初等行变换，当对矩阵（可逆，则分析：若M BP P P P B A EB P P P P B A E P P P P A E AA EA AA P P P P E A P P P P m m m m m 123112311231111123123ΛΛΛΘΛΛΘ=∴=⇒=⇒==∴=------ 换：）并对之施以初等行变矩阵（构造B A M 53⨯()⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫---- ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---31914110052020112291526205203213413523431223212123231323r r r r r r r r B A ~~M⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛------+-3164231000200013191411005202013132212325r r r r r r r r ~~ .~)()(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒⎪⎪⎪⎭⎫--⎝⎛-÷-÷3132233132231000100012123X r r .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313223X 所以 ., .3 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=3210113242A X A AX 其中解矩阵方程例⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+=1210113221000100012321011324222E A A X E A X A AX ）可得（由矩阵方程解()()., 11122---∴⋅-=E A A E A X 先求：方法Θ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⨯1000100011210113222263E E A E E A M M 换：）并对之施以初等行变矩阵（构造⎪⎪⎪⎭⎫----- ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-461351341100010001461110120100110101110021010110340011~~~().⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-1212105198421A E A X 所以方法2：换：）并对之施以初等行变矩阵（构造A E A M 263-⨯()⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛--=-3210113241210113222A E A M⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12121051984100010001330302011110340011~~..⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12121051984X 所以注：....Y CA Y CA E C A C A CA Y C YA B A X B AX 行变换求出或利用转置后进行初等作初等列变换，使则可以对矩阵，则若，则若列变换1111----=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛====→。

线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n，其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1，且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。

矩阵的初等变换

r
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .

E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一

矩阵的初等行变换与矩阵的秩

0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换：（1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）；（2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）；（3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵：（1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方；（2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

矩阵的初等变换

1 5
r3
rr1262rr33
1 0 0
0 1 0
0
0
．
1
1.1 矩阵的初等变换概念
定理2
任意一个矩阵 Amn ，都能经过有限次初等变换变成标准形矩阵。
例题
2 1 2 3
例2
将矩阵
A
4
1
3
5
化为标准形。
2 0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 3
2 0 1 2
解：
A
4
2
1 0
(E(i ，j))1 E(i ，j) ；(E(i(k)))1 E(i(k1)) ；(E(i ，j(k)))1 E(i ，j(k)) ．性质 2 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵，即
(E(i ，j))T E(i ，j) ；(E(i(k)))T E(i(k)) ；(E(ri krj ))T E(rj kri ) ．性质 3 对一个矩阵 Amn 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘一个相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A 右乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
线性代数
1.1 矩阵的初等变换概念
定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换．（1）交换矩阵中的第 i 行（列）与第 j 行（列）的元素，记作 ri rj 或 ci cj ；（2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记作 kri 或 kci ；（3）矩阵的第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应元素上，记作 ri krj 或 ci kcj ．（注意：第 j 行（列）的元素并没有改变。）矩阵的初等行或列变换统称为初等变换。
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1

线性代数3-1

0 0
1 0
0 1
0 0
0

0

A4

0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
:c4
4 c1

0
c5
5 c1

0
1 0
0 1
0 0
0

0

A5

0 0 0 0 0
§1 矩阵的初等变换
定义:矩阵A3和 A4都称为行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0 ; 每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.
(1) 变换ri↔rj 的逆变换就是其本身ri↔rj ; (2)变换ri×k的逆变换为ri÷k ;
(3)变换ri+krj的逆变换为ri- krj .
§1 矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等行变换变成
矩阵B,就称矩阵A与B行等价,记作
A
r
~
B
;
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成
矩阵B,就称矩阵A与B列等价,记作
§1 矩阵的初等变换
主要内容：一、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等变换三、矩阵之间等价四、行阶梯形矩阵五、行最简形矩阵六、初等矩阵七、三种初等变换对应着三种初等矩阵八、初等矩阵的相关定理
§1 矩阵的初等变换
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4

线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质

性质
行倍乘会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
行倍加
定义
行倍加是指将矩阵中的某一行的所有元素加上另一个行的对应元素。
性质
行倍加会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
03
矩阵的初等列变换
定义与性质
定义
矩阵的初等列变换是指通过三种基本操作（列交换、列倍乘、列倍加）对矩阵进行变换。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且与行变换具有相似的性质，如可逆性、结合性和分配性。
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质
目录
• 矩阵的初等变换 • 矩阵的初等行变换 • 矩阵的初等列变换 • 矩阵的初等变换的应用
01
矩阵的初等变换
定义与性质
定义
矩阵的初等变换是指通过三种基本操作（交换两行、某行乘以非零数、某行加上另一行的倍数）将矩阵变为标准型。
性质
初等变换不改变矩阵的秩，且矩阵经过初等变换后，其等价标准型是唯一的。
列交换
总结词
列交换是指交换矩阵中的两列。
详细描述
通过交换矩阵中的两列，可以得到一个新的矩阵。这种变换在解决线性方程组时非常有用，可以改变系数矩阵的顺序，使其更容易进行后续的行变换。
列倍乘
总结词
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
详细描述
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
列倍加
具体来说，可以通过消元法或迭代法等算法，对方程组的增广矩阵进行初等行变换或列变换，将其化为阶梯形矩阵，然后回代求解。
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，它反映了矩阵中线性无关的行或列的个数。通过矩阵的初等变换，可以求得矩阵的秩。
具体来说，可以通过将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵，然后数矩阵中非零行的个数，得到矩阵的秩。

第三章第一讲矩阵的初等变换

= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩