动力学普遍方程与Lagrange方程
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理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
第十七章 拉格朗日方程
17.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1
O
g MA
A
1 mg g FB
则 yC R1 R 2 (1) 由动力学普遍方程得
g g MA 1 M B 2 (mg FBg )yC 0
17.1 将惯性力及（1）式代入上式，得 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 动 2 整理得 力 (mgR maR 1 mR 2 ) (mgR maR 1 mR 2 ) 0 1 1 2 2
例1 图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为Q1 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为Q2的重物， 设滑轮和绳子的重量不计，求重为Q2的重物下降的 加速度。 g 解：以系统为研究对象，系统具 F2 Q 有理想约束，系统所受的主动力 1 a g g 2 s 2 g Q2 为 Q2 、 ，假想加上惯性力 F1 F2 、 。 F1 s 1 Q1 Q2 g g a 其中 F1 a1 F2 a2 1 g g Q1 给系统以虚位移s1和s2，由动力 学普遍方程，得 Q2 Q1 (Q2 a2 )s2 (Q1 a1 )s1 0 g g 1 1 由运动学关系 s1 s2 a1 a2 代入上式得 2 2
以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合 而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗 伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如 下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系 上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系 所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
拉格朗日方程
程
dt x x
(3m1 4m2 8m3)x 2kx 0
即为系统的运动微分方程。
例5 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在
水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为m2与轮在圆心
1.2 A铰接，试求系统的运动微分方程。
解：以系统为研究对象，
x
拉 系统具有两个自由度。取 x
格 和 为广义坐标。
朗 日
拉
L
3 4
m1 x2
1 2
m2 (x2
格
1 L22 Lxcos )
x
R A
朗
4
C
日 方 程
1 m L22 1 m gL cos
24 2
22
代入拉格朗日方程 d L L 0
dt x x
得
m2 g
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(c
os
)
0
整理得 (3m1 2m2 )x m2Lcos m2L2 sin 0（1）
3、计算对应每个广义坐标的广义力 Q j；当主 动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能
1.2 及拉格朗日函数L T V。
4、计算诸导数：
拉 格 朗 日
T T d ( T ) 或 L L d ( L )
qk qjk dt qk
qk qk dt qk
5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二
阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。
设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，
1.1
动 力
在动成质 力 形点 式Fi ，系 上约运 的束动 平反的衡力任力F一系Ni瞬，及时即其，惯任性一力F质Ii点Mi上m作iai三用者的构主
动力学普遍方程及拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
理论力学-拉格朗日方程
d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件
圆柱的角速度为 O (设圆柱o的半径为r)
m(l
R )2,
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
已求得
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R 2 g sin 0
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
动力学普遍方程与拉格郎日方程
即为系统的运动微分方程。
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
4chap2动力学普遍方程和拉格朗日方程(II)
4.计算广义力（对保守系统可计算势能）； 5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。
6.求解运动微分方程，得到用广义坐标表示的系统的运 动规律。
本章结束！
作业（P79）： 2-1,2-3,2-6,2-10,2-16, 2-25,2-28,2-36
L T pj Cj j q j q
其中 p j 称为广义动量.
5. 碰撞问题的拉各朗日方程
由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程
d T j dt q T Qj q j
t
以 dt 乘上式, 并对碰撞时间 △t 积分, 即
2．能量积分
ri 0 如果约束是定常的，则 t
可知 bk = 0,c = 0, 广义能量积分变为 因此得 T1=0，T0=0， 于是得 T=T2
L k L T V E q k k 1 q
N
这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分，上式即为 保守系统的机械能守恒定律表示式。这就是能量积分的物 理意义。
3．循环积分——初积分之二
拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。 若 L 中不显含与某一广义速度对应的广义坐标，则该坐标称 为循环坐标，或称可遗坐标。
L 0 即： q j
d L 则： 0 j dt q
L 所以： Cj j q
其中Cj 为积分常数。上式称为循环积分，或称可遗积分。 当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。 由于L=T-V，而且势能 V 中不显含广义速度，因此
时有：
dL N L L k k q q k dt k 1 qk q
带入上式得：
d N L qk L 0 k dt k 1 q
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
动力学普遍方程和拉格朗日方程
由动力学普遍方程（达朗贝尔—拉格朗日原理）：
n
(Fi miai ) δ ri 0
i1
n
i1
( Fi
miai )
k j1
ri q j
δqj
0
(23.7)
10
交换求和顺序
k j1
n i1
( Fi
miai )
ri q j
δqj
0
k
j1
n i1
( Fi
miai )
9
推导广义坐标的动力学普遍方程
设完整约束质点系由n个质点组成，系统的自由度为k，其
广义坐标为q1,q2,……,qk，
则各质点相对于定点O的矢径为
ri
ri
(q1,
q2
,,
qk
,t)
(i=1,2,…,n)
(23.5)
各质点的虚位移为
ri
k
ri
j1 q j
δqj
(i=1,2,…,n)
(23.6)
那么能否建立一种不含约束力的非自由质点系的动力学方 程呢？
将达朗贝尔原理和虚位移原理结合起来可以达到这一目的， 因为达朗贝尔原理给出了通过列写形式上的静力学平衡方程求 解质点系的动力学问题的方法，而虚位移原理又建立了不含约 束力的非自由质点系的平衡方程。
3
动力学普遍方程 (general equations of dynamics)
4
第23章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程
(general equations of dynamics and lagrange equations)
§23.1 动力学普遍方程 (general equations of dynamics)
拉格朗日方程
方 程
T
1 2
m1 x 2
1 2
(1 2
m1R2 ) 2
1 2
m2 (x
R )2
系统的广义力为
Qx
W (x) x
(m1
m2 )gx k(x L0 )x x
(m1 m2 )g k(x L0 )
Q
W ( )
m2 gR
g
MI
PI
a
QI
Q
MI
PI
P
P
程
s
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其 位置
可由N个广义坐标 1.2
来确定。则有
拉 格
d ( T ) dt qk
T qk
Qk
(k 1,2,, N )
朗 日
式中
T
程。
1.2
k
x2
拉 格 朗
解：以系统为研究对象，系统具两个
自由度。选取 、 为广义坐标。
x1
x2
系统的动能为
x1 A
kR
B
日 方
T
1 2
m1x12
1 2
m2 x22
1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x2 R
)2
1 2
m1x12
3 4
m2 x22
系统的广义力为
程
Qx1
W (1) x1
T
3 4
动力学普遍方程和拉格朗日方程
第十四章 动力学普遍方程和拉格朗日方程一、目的要求1．掌握动力学普遍方程的推导过程及式中各项的含义，会对具体问题分析、画受力图后代入动力学普遍方程求解。
2．熟记拉格朗日方程的各种形式，清楚拉格朗日方程与动力学普遍方程的关系。
熟练应用拉格朗日方程求解动力学问题（主要是列运动微分方程、求出加速度或角加速度）。
3．知道在多自由度情况下，用拉格朗日方程求解动力学问题方法简单、步骤规范、容易掌握。
二、基本内容1．基本概念动力学普遍方程、拉格朗日方程的推导及表达式2．主要公式（1）动力学普遍方程∑==⋅-ni i i i i r δa m F 10)( []∑==⋅-+⋅-+⋅-n i i i i iz i i i iy i i i ix z z m F y y m F x x m F10)()()(δδδ （2）拉格朗日方程K k k Q q L q L dt d '=∂∂-∂∂)( N k ,,2,1 = V T L -=，叫拉格朗日函数或动势，T 为质点系的功能，是广义速度k q 和广义坐标k q 的函数V 是势能，是广义坐标的函数。
N 是质点系的自由度数。
k kk q W Q δδ∑'=' 是质点系的非保守力对应于第k 个广义坐标的广义力。
三、重点和难点1．重点（1）质点系自由度的判断；（2）应用拉格朗日方程解题的步骤，拉格朗日方程中各项的计算；（3）不同形式拉格朗日方程的用途。
2．难点（1）正确地选取广义坐标；（2）有保守力时，势能零点的选择及势能的计算；（3）将动能写成广义速度和广义坐标的函数。
四、学习提示1．建议（1）强调用动力学普遍方程和拉氏方程解题均以整体为研究对象。
（2）广义坐标、广义速度的个数均与质点系自由度相同。
（3）强调拉氏方程和动力学普遍方程适用于求多自由度系统的运动量，如加速度、角加速度，建立系统的运动微分方程。
2．例题：P317～P325例14-1，14-2，14-4，14-5，14-6。
【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
2) ri d ( ri ) q j dt q j
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、s个完整约束的完整约束系统
ri ri (t, q1, q2 ,, qN )
(i 1,2,, n)
ri
N j 1
ri q j
q j
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 V V (q)
dV dq
qqo
0
d2 V d q2
q qo
0
平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
FQj
( j 1,2,, N )
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式
系统的主动力均为有势力
FQj
V q j
d dt
(
T q j
)
T q j
V q j
d T V T V
dt
(q j
q j
)( q j
q j
d dt
q j
n
(
i 1
1 2
mivi2 )
q j
n
(
i 1
1 2
mi
vi2
)
d dt
(
T q j
)
T q j
N
j 1
FQj
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M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
第一组
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。
二自由度系统具有两组虚 位移：
2006-09-10
δ x 0，δ 0
第二组
δ x 0，δ 0
12
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
i r q k
2006-09-10
＝
d ri dt qk
第二个拉格朗日关系式
19
n n ri ri d d ri m r m ( r ) m r ( ) i i i i i i qk i 1 dt qk dt qk i 1 i 1 n
dqk k q 广义速度 dt
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
j无关 与广义速度 q
i r ri 第一个拉格朗日关系式 k q qk
2006-09-10 18
N ri ri k ri q t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
2006-09-10
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g y1
2m1lsin 2lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
n
i r T m r i qk qk i 1
得到
i i
i
Ni
δ ri 0
(i 1,2, , n)
(F m a ) δ r 0
i i i
(i 1,2, , n)
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。
2006-09-10 4
2006-09-10 6
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
x
ε
aC
MIC
FIR
C
求：圆盘纯滚时质心的加速度。 解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC J C
1 其中： J C mR 2 , aC R 2
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
i 1,2, , n 动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 其他外力的系统。
2006-09-10 5
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
2 aC g sin 3
0
7
mgsin x - FIR x M IC
2006-09-10
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = 1、分析运动、确定惯性力
(F m a ) δ r 0
i i i i i
(i 1,2, , n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
[( F
i
xi
i ) δxi ( Fyi mi i ) δyi ( Fzi mi i ) δzi ] 0 mi x y z
a1
C1
x
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对 加速度为ar；圆轮的角加速度为2。
2006-09-10 11
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
N i r 2 ri 2 ri k q q j q j t k 1 q j qk
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
2006-09-10 15
拉格朗日(Lagrange)方程
主动力
F ( F1 , F2 , , Fn )
由n个质点所 组成的质点系
虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r ( r1 , r2 ,, rn )
q ( q1 , q2 , , q N )
ri ri ( q1 , q2 , , q N , t )
Qk —广义力
由动力学普遍方程，得
Fi δr i mi ai δr i 0
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※
2006-09-10
结论与讨论
1
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
(m1 m2 ) g m1lcos
2
2006-09-10 10
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。
i
δ ri
Ni
(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
3
(F F
i
2006-09-10
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
n
n
N
ri ri qk k 1 qk
N
ri Fi δ r i mi ai δ r i (Qk mi r )qk 0 i qk i 1 i 1 k 1 i 1
n n N n
ri Qk mi r 0 (k 1,2,, N ) i qk i 1
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
2006-09-10 13
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
O1 l l FIA m1g l
C
A
x1
FIB l m1g
B
m2g
球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
y1
FIA FIB mlsin 2
2006-09-10 8
2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系
2006-09-10
拉格朗日力学
2
动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
第一组
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。
二自由度系统具有两组虚 位移：
2006-09-10
δ x 0，δ 0
第二组
δ x 0，δ 0
12
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
i r q k
2006-09-10
＝
d ri dt qk
第二个拉格朗日关系式
19
n n ri ri d d ri m r m ( r ) m r ( ) i i i i i i qk i 1 dt qk dt qk i 1 i 1 n
dqk k q 广义速度 dt
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
j无关 与广义速度 q
i r ri 第一个拉格朗日关系式 k q qk
2006-09-10 18
N ri ri k ri q t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
2006-09-10
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g y1
2m1lsin 2lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
n
i r T m r i qk qk i 1
得到
i i
i
Ni
δ ri 0
(i 1,2, , n)
(F m a ) δ r 0
i i i
(i 1,2, , n)
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。
2006-09-10 4
2006-09-10 6
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
x
ε
aC
MIC
FIR
C
求：圆盘纯滚时质心的加速度。 解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC J C
1 其中： J C mR 2 , aC R 2
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
i 1,2, , n 动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 其他外力的系统。
2006-09-10 5
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
2 aC g sin 3
0
7
mgsin x - FIR x M IC
2006-09-10
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = 1、分析运动、确定惯性力
(F m a ) δ r 0
i i i i i
(i 1,2, , n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
[( F
i
xi
i ) δxi ( Fyi mi i ) δyi ( Fzi mi i ) δzi ] 0 mi x y z
a1
C1
x
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对 加速度为ar；圆轮的角加速度为2。
2006-09-10 11
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
N i r 2 ri 2 ri k q q j q j t k 1 q j qk
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
2006-09-10 15
拉格朗日(Lagrange)方程
主动力
F ( F1 , F2 , , Fn )
由n个质点所 组成的质点系
虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r ( r1 , r2 ,, rn )
q ( q1 , q2 , , q N )
ri ri ( q1 , q2 , , q N , t )
Qk —广义力
由动力学普遍方程，得
Fi δr i mi ai δr i 0
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※
2006-09-10
结论与讨论
1
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
(m1 m2 ) g m1lcos
2
2006-09-10 10
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。
i
δ ri
Ni
(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
3
(F F
i
2006-09-10
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
n
n
N
ri ri qk k 1 qk
N
ri Fi δ r i mi ai δ r i (Qk mi r )qk 0 i qk i 1 i 1 k 1 i 1
n n N n
ri Qk mi r 0 (k 1,2,, N ) i qk i 1
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
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解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
O1 l l FIA m1g l
C
A
x1
FIB l m1g
B
m2g
球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
y1
FIA FIB mlsin 2
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2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系
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拉格朗日力学
2
动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有