数的开方复习例题讲解与练习
第11章.数的开方知识及习题
第11章《数的开方》知识点及习题一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±a，a称为被开方数．0的平方根只有一个，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。
2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”．3、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”，a称为被开方数，3称为根指数。
5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
6、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
7、实数：有理数与无理数统称为实数。
8、实数与数轴上的点一一对应．二、知识点应用：1、2的平方根是，算术平方根是 .2、9的平方根是，算术平方根是 .3、5是的平方根.4、1是的立方根，-1是的立方根.5、-27的立方根是，0的立方根是 .6、若某数的一个平方根是2，则这个数是，它的另一个平方根是 .7、若某数的立方根是-3，则这个数是 .9、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 . 10、计算：=364 , 3064.049.0+=_________.11、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；12、2-的相反数是，3的倒数是，13-的相反数是；13、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，14、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是；15、当______m时，m-3有意义；当______m时，33-m有意义；16、若一个正数的平方根是12-a和2+-a，则____=a，这个正数是；17、已知0)3(122=++-ba，则=332ab；18、比较大小：3.19、已知a、b为两个连续整数，且a＜5＜b，则a+b=___________.20、下列说法中，正确的是A、9=±3B、 -22的平方根是±2C、64的立方根是±4D、5-是5的一个平方根21、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（）A、1B、2C、3D、422、与数轴上的点一一对应的数是A、整数B、有理数C、无理数D、实数23、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）．A、 1 B 、0 C 、-1 D、1，-1或024、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）． A、2个 B、3个 C、4个 D、5个25、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有（ ）个． A 、4 B 、3 C 、2 D 、126、若8k （k 为大于0的自然数）的算术平方根是整数，则正整数k 的最小值为 A . 1B . 2C . 4D . 827、若m =30-3，则m 的范围是 A ．1 < m < 2B ．2 < m < 3C ．3 < m < 4D ．4 < m < 528、如图1，数轴上点P 所表示的数可能是 A ．7B ．-7C ．-3.2D ．-1029、如图2，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点．．．为C ，则点C 所表示的数是 A . 2-2B . 2-2C . 2-1D . 1-230、比较22，3，7的大小，正确的是 A ．7＜3＜22 B ．22＜7＜3 C ．22＜3＜7 D ．7＜22＜3 31、一个正方形的面积为12，估计该正方形边长应在 A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 32、根据下表回答下列问题：（1）265.69的平方根是 ，≈7.265 ；（2）表中与269最接近的数是 . 33、找规律并解决问题. （1）填写下表．想一想上表中已知数a 的小数点的移动与它的算术平方根a 的小数点移动间有何规律? 写出这个规律. （2）利用规律计算．已知15=k ，0.15=m ，1500=n ，用含k 的代数式分别表示m ，n ． （3）如果x =0.01×7，求x 的值．图2•12-1•2图1。
数的开方知识点与例题
.
5 x
11、已知 a b 3 2, b c 3 2 ，则 2(a 2 b2 c 2 ab bc ca) 的值为
.
12、设 a 10, b 7 1, c 3 2 ，则 a, b, c 的大小关系是
.
13、已知 M 101 100, N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是
方根为
.
7、若 x 4 y 3 ， (4x 3y)3 8 ，则 (x y) 2n （n 为正整数）的值为
.
8、若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，则 x
，y
.
9、已知 xy 0 ，则二次根式 x y 化简后为
.
x2
10、把 (x 5) 1 的根号外面的因式移到根号内得
平方根与立方根
一、知识点和方法概述 1、平方根：
（1）平方根的定义： （2）开平方： （3）平方根的意义： （4）平方根的表示： （5）求一个数的平方根的方法： （6）算术平方根： 注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之， 若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有 0，算术平方根等于本身的数 有 0、1. 2、立方根： （1）立方根的定义： （2）开立方： （3）立方根的意义： （4）立方根的表示： （5）求一个数的立方根的方法： 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身 的数有 0、1、-1. 3、 n 次方根：
6.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同
②个数不同：
③ 表示方法不同：
数的开方专题(奥数)
数的开方奥数专题
一、课前热身：
1、已知4x —3的算术平方根是5，求()20128-x 的值
2、已知b a =⋅=⋅352,523，求下列各式的值（含a 或b 的代数式表示）
00023503235223501⋅），），）
3、已知2
44422-+-+-=b b b a ,其中a 、b 为实数，求a+b 的值
二、数的大小比较
例1比较下列两数的大小
1、比较56与56
2、 23-与12-
1、比较下列两数的大小
1）25-与32-
2）32-与23-
3）n n -+1与1--n n
4）231-与341-
5）
572-与352- 6）31+与33-
2、求满足99=+y x 的正整数x 、y 的值
3、已知有理数x 满足2221≥
-x ，求212+--x x 的最小值
三、例：求证：2是无理数（反证法）
1、求证：32是无理数
2、将下列循环小数化成分数
1）⋅07∙
3）0. 2∙3∙
3、若21=-x ，化简21-+-x x
四、例设x 、y 是有理数，并且x 、y 满足等式2417222-=++y y x 求x+y 的值。
练习：1、已知()x x 43432+=-，求实数x 的取值范围。
2、若a 、b 满足,753=+b a 求b a s 32-=的取值范围
3、设a 、b 是有理数，且满足()2212-=-b a ，求b a 的值
4、已知y x +=2009，求所有满足0>>y x 的整数对（x , y)
5、已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab-3a+4b+8的值。
开根号练习题
开根号练习题在数学中，开根号是一种常见的运算方法，用于求解一个数的平方根。
开根号的概念广泛应用于不同领域的数学问题中。
为了帮助大家更好地理解和掌握开根号的运算方法，下面将给出一些开根号的练习题，供大家进行实践和训练。
练习题一：简单的平方根1. 求解√25。
根据平方根的定义，寻找一个数的平方根等价于求解一个数的平方等于该数的问题。
因此，我们可以通过计算来解答该题。
答案：√25 = 5。
2. 求解√144。
同样地，我们可以使用计算来求解这道题。
答案：√144 = 12。
练习题二：复杂的平方根1. 求解√50。
当遇到无法完全开根的情况时，我们可以将该数进行因式分解，然后尝试将某些因子提取出来，再进行开根运算。
答案：√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2。
2. 求解√98。
同样地，我们可以尝试对该数进行因式分解。
答案：√98 = √(49 × 2) = √49 × √2 = 7√2。
练习题三：含有小数的平方根1. 求解√8。
当我们遇到含有小数的平方根时，可以尝试将该数进行简化。
答案：√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2。
2. 求解√18。
同样地，我们可以尝试将该数进行简化。
答案：√18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2。
练习题四：含有变量的平方根1. 求解√(x^2 + 6x + 9)。
对于含有变量的平方根，我们需要利用平方公式或其他方法来进行求解。
在这道题中，我们可以利用完全平方公式进行推导。
答案：√(x^2 + 6x + 9) = √(x + 3)^2 = x + 3。
2. 求解√(4y^2 + 8y + 4)。
同样地，我们可以利用完全平方公式来简化这个平方根。
答案：√(4y^2 + 8y + 4) = √(2y + 2)^2 = 2y + 2。
练习题五：复杂的平方根运算1. 求解√(5 + 2√6)。
数学综合算式专项练习平方根与立方根运算
数学综合算式专项练习平方根与立方根运算数学综合算式专项练习：平方根与立方根运算数学是一门需要实践和探索的学科，其中包含了许多有趣的概念和运算方法。
本文将重点介绍平方根和立方根的运算，为您提供数学综合算式专项练习，帮助您更好地理解和掌握这些概念。
一、平方根运算平方根是数学中常见的一种运算，表示为√x，其中x为被开方数。
平方根的运算可以通过以下步骤进行：步骤1：确定被开方数x的值。
步骤2：判断被开方数x的正负性，平方根只存在于非负数上，即x≥0。
步骤3：找出一个数y，使得y×y≈x。
可以通过估算和试算的方式逐渐逼近x的平方根。
步骤4：使用符号√表示平方根的结果。
例如，√16=4，表示16的平方根为4。
下面是一些平方根的例子：1. √25＝52. √144＝123. √0＝0通过练习不同数值的平方根运算，您可以加深对平方根概念的理解和运用。
二、立方根运算与平方根类似，立方根也是一种常见的数学运算，表示为³√x，其中x为被开方数。
立方根运算可以通过以下步骤进行：步骤1：确定被开方数x的值。
步骤2：判断被开方数x的正负性，立方根可以存在于任意实数上。
步骤3：找出一个数y，使得y×y×y≈x。
通过逐渐逼近x的方法，可以找到近似的立方根。
步骤4：使用符号³√表示立方根的结果。
例如，³√27＝3，表示27的立方根为3。
下面是一些立方根的例子：1. ³√8＝22. ³√64＝43. ³√1＝1通过练习不同数值的立方根运算，您可以更好地理解立方根的概念和运算规律。
综合训练：现在，我们来进行一些综合的算式练习，既包括平方根运算，也包括立方根运算。
例题1：计算√(16 + 9)的值。
解析：首先，计算括号内的数值，16 + 9 = 25。
然后，对25开平方根，得到答案√25 = 5。
因此，√(16 + 9)的值为5。
例题2：计算³√(125 - 27)的值。
专题2 数的开方与二次根式(分层精练)(解析版)
专题2 数的开方与二次根式一、基础过关练1．（2022·广东·佛山市中考三模）实数9的算术平方根为（ ）A ．3B 3C ．3D ．3± 【答案】A【分析】根据算术平方根的定义，即可求出结果．【详解】解：∵239=， ∴93=． 故选：A【点睛】本题考查了算术平方根，解本题的关键在熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．2．（2022·陕西·陇县中考二模）27−的立方根为（ ） A ．13− B ．13 C ．13± D ．3【答案】A 【分析】根据立方根的概念求解即可．【详解】解：∵311327⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， ∴127−的立方根为－13， 故选：A ．【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念“一个数x 3=a ，则x 叫a 有立方根”是解题的关键．3．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得式子2x −有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意，得 20x −≥，解得2x ≥．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：()1当代数式是整式时，字母可取全体实数；()2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；()3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（2022·上海中考三模）下列式子属于同类二次根式的是（）A222B324C525D612【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、2与22是同类二次根式，符合题意；B、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5．（2022·内蒙古通辽·中考一模）16的平方根是（）A．4B．4±C．2D．2±【答案】D【分析】先根据算术平方根可得164=，再根据平方根的概念即可得．【详解】解：164=，±=，因为()224所以4的平方根是2±，即16的平方根是2±，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键．A42±B()222−=−C382−=−D235【答案】C【分析】根据立方根，算术平方根和二次根式的加法计算法则求解判断即可．【详解】解：A、42=，计算错误，不符合题意；B、()222−=，计算错误，不符合题意；C 、382−=−，计算正确，符合题意；D 、2与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根和二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．【详解】解：A.125的平方根是15±，说法正确，不符合题意； B. ()20.1−的平方根是0.1±，说法正确，不符合题意；C.819＝，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意； D. 3273−=−，说法正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．8．（2022·湖北武汉·中考二模）计算()25−−的结果为______． 【答案】5−【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【详解】()22555−−=−=−故答案：5−【点睛】本题考查算术平方根的定义，准确确定符号是解题的关键．9．（2022·河南许昌·中考二模）若代数式275x x −+−有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3.5≤x ≤5【分析】根据被开方数为非负数，进而求解即可．【详解】解：由题意，得27050x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得3.5≤x ≤5．故答案为：3.5≤x ≤5．【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式组求解集，解决问题的关键是正确地计算能力．10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考三模）计算327−的结果是________． 【答案】-3【分析】根据立方根的性质计算即可．【详解】327−=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．11．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考模拟预测）计算 216(4)−+−＝______． 【答案】0【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案．【详解】解：216(4)−+−=-4+4=0故答案为0【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意(0)0(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪−<⎩．12．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考三模）计算32542−的结果是______． 【答案】26−【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：32542− 62362=⨯− 26=−．故答案为：26−【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．13．（2022·辽宁朝阳·24546−=___________． 【答案】1− 【分析】先将二次根式化简，再计算，即可求解．【详解】解：24546− 26366−= 66−= 1=−故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14．（2022·江苏南京·中考二模）计算()()271832−+的结果是______． 【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=()()()3332323323−⨯+=⨯−=； 故答案为3．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 15．（2022·天津红桥·中考三模）计算()()233233+−的结果等于_______．【答案】3【分析】利用平方差公式解答．【详解】解：()()233233+−()22=2331293−=−=故答案为：3．【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（2022·山东聊城·中考一模）()12156362−⨯+=______． 【答案】65【分析】先算小括号，再算乘除，最后算加减．【详解】解：原式2=2153-63+62⨯⨯⨯=65-32+32=65 故答案为：65．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的运用法则和准确的计算是解决本题的关键．二、能力提升练 17．（2022·重庆市中考一模）下列运算正确的是（ ）A 235=B ．232=C 822÷=D ．3223= 【答案】C【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A 和选项D ，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B ，根据二次根式的除法法则即可判断选项C ．【详解】解：A ．2和3不能合并，故本选项不符合题意；B ．22326⨯=，故本选项不符合题意；C ．882422÷===，故本选项符合题意； D ．32222−=，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．A ．0.08的立方根是0.2B 162±C ．0的倒数是0D ．–1是1的绝对值【答案】B【分析】根据立方根、平方根、倒数和绝对值的定义判断即可．【详解】解：A 、0.008的立方根是0.2，该选项错误，不符合题意；B 、164=，4的平方根是2±，该选项正确，符合题意；C 、0没有倒数，该选项错误，不符合题意；D 、1是-1的绝对值，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查立方根、平方根、倒数和绝对值的问题，关键是根据算术平方根、立方根和平方根的定义分析．19．（2022·广东中考三模）若2423y x x =−+−−，则2022()x y +等于（ ）A ．1B ．5C ．5−D ．1−【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x −≥⎧⎨−≥⎩， 解得：x ＝2，故y ＝-3，∴20222022()(213)=x y +=−．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．20．（2022·贵州遵义·中考模拟预测）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠−B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥−且2x ≠ 【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】根据题意，得：10x +≥，20x −≠，解得1x ≥−且2x ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件的知识，根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数非负列出不等式，是解答本题的关键．21．（2022·陕西·中考模拟预测）9的平方根是_____，立方根是_______． 【答案】 ±3 33【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．【详解】∵9＝3，∴9的平方根是±3，立方根是33．故答案为：±3，33．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．22．（2022·山东济南·中考二模）如果2、5、m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m −+−等于_____．【答案】4【分析】根据三角形三边的关系得到37m <<，再根据二次根式的性质得原式37m m =−+−，然后根据m 的取值范围去绝对值后合并即可．【详解】解：∵2、5、m 为三角形三边，∴37m <<，∴原式()3737374m m m m m m =−+−=−−−=−−+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：2a a =及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（2022·浙江·瑞安市中考三模）当31a =时，代数式122a a −−+的值为_______． 【答案】323−33− 【分析】把31a =+代入代数式()2122a a −−+，求出其值即可．【详解】解：把31a =+代入代数式()2122a a −−+得：原式=()()23112312+−−++ ()232322=−−+32322=−−+323=−．故答案为：323−．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．=a 数是_________．【答案】 -3 1【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a +4+2a +5＝0，求出a 值，把a 值代回任一个式子平方即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是a +4和2a +5，∴a +4+2a +5＝0，解得：a ＝﹣3，即这个正数是()2341−+=，故答案为：﹣3；1．【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键．25．（2022·贵州黔东南·中考一模）函数y 121x x =−−中自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x ≤2且x ≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x ≥0且x ﹣1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：x ≤2且x ≠1．【点睛】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．26．（2022·广东·东莞市中考三模）已知()2120x y −+=，则()2014x y +=______ ． 【答案】1【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性求出x 与y 的值，代入计算即可得到结果．【详解】解：2(1)20x y −++=Q ，10x ∴−=，20y +=， 解得1x =，=2y −，则20142014()(12)1x y +=−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．27．（2022·浙江杭州·中考二模）已知x ＋y ＝﹣5，xy ＝4，则y x x y+=________． 【答案】52 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：当x +y =-5，xy =4时，y x xy + 2()y x x y=+ 2y x x y=++ 222x y xy xy++=2()x y xy+= 2(5)4−= =52． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 28．（2022·广东·深圳市中考三模）计算：2231(2)8(2)2−+−+−+． 【答案】52 【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．【详解】解：原式＝12222+−+ 52=． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．29．（2022·上海松江·中考二模）计算：11812221⎛⎫− ⎪+⎝⎭【答案】24−−【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2322121=−−+−+− 24=−−【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握负整指数幂与二次根式的化简运算是解题的关键．。
数的开方解方程练习题
数的开方解方程练习题解方程题是数学中的重要内容之一，而其中关于数的开方与解方程的结合也是常见的题型。
本文将给出一些数的开方解方程练习题，并逐步进行解答，以帮助读者巩固相关知识。
题一：开方方程求解已知等式 $x^2 + 4x + 4 = 36$，求 $x$ 的值。
解：首先，将等式化简为 $x^2 + 4x - 32 = 0$。
由于该等式是一个二次方程，我们可以使用求根公式进行求解。
求根公式如下：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$a = 1$，$b = 4$，$c = -32$。
将这些值代入公式，有：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot -32}}{2 \cdot 1}$$进一步计算，有：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm\sqrt{144}}{2}$$由于 $\sqrt{144} = 12$，所以进一步计算，有：$$x = \frac{-4 \pm 12}{2}$$分别计算 $x$ 的两个可能的值，有：$$x_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$$$x_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$$所以，该方程的解为 $x = 4$ 或 $x = -8$。
题二：开方方程求解（含参数）已知等式 $(x + a)^2 = 25$，其中 $a$ 是满足 $a > 0$ 的实数。
求$x$ 的值。
解：将等式进行展开，有 $x^2 + 2ax + a^2 = 25$。
将 $a^2$ 移至等号右侧，化简为 $x^2 + 2ax = 25 - a^2$。
在这个式子的基础上，我们再观察等式右侧的值 $25 - a^2$。
由于题目中已经限定了 $a > 0$，所以 $25 -a^2$ 必然是一个正数。
华师版八年级上学期第11章《数的开方》知识点整理及针对性训练
A．3 B． C． D．9
举一反三：
1.下列说法中正确的是（）
A、 的平方根是±3B、1的立方根是±1
C、 =±1D、 是5的平方根的相反数
2. 1.25的算术平方根是__________；平方根是__________. -27立方根是__________. ___________， ___________， ___________.
方根，记为：“ ”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的
算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示
为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。
选学内容：分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ， 分别互为有理化因式。
若a≥0，则a的平方根是 ，a的算术平方根 ；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是 。
【例1】 的平方根是______；【例2】 的平方根是_________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（）
A．
【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3．计算
4．比较大小 与
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平方根（一）平方根的定义：例1：求下列各数的平方根（1）25 （2）0.49 （3）641（4）16 例2：求下列各式中的x 的值（1）9x 2-25=0， （2）4（2x-1）2=36跟踪练习：1：求下列各数的平方根（1）2.56 （2）12125 （3）9 （4）（-100）2 （5）（±25）22.若a 的平方根是±3，那么a=3.解方程（1）3 x 2=27 （2）4（x-1）2=9（二）平方根的的性质：例3：已知一个正数的两个平方根是2m-4和3m-1,求这个正数。
跟踪练习：1.若3m-4和2m 是同一个数的平方根，求m 的值是多少？2.一个正数的平方根是2a-1和-a-5,求a 和这个正数。
(三)算术平方根例：说出下列各式的意义，并化简①16 ②±96.1 ③-9例：当x 为何值时，下列各式有意义？ ①1+x②x - ③32+x④11-+x x例：已知：a 、b 满足21｜a-1|+b+3 =0,求a 2+b 的值例 ：已知a 是5的整数部分，b 是5的小数部分，求a(b-5)的值。
跟踪练习：1.一个数的算术平方根是a ，比这个数大1的数为（ ） A.a+1 B.a +1 C. a -1 D.a 2+1 2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是（ ） A.0 B.1 C.0或1 D.±1或03.若2)3(x -=x-3，则x 的取值范围为（ ）A.x ＞3B.x ≤3C.x ≥3D.x 为任意数4.估计88大小应在（ ）A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间 5.定义“*”的运算法则为：x*y=4+xy ，那么（2*6）*8值为（ ）A.3B.4C.5D.66.当a= 时，3+2+a 的最小值为7.若x =3，则x= ，若2x =3，则x=8.若x -4+｜3x-y|=0，则 x+y=9.计算27-2)15(-+81-3×97210.已知m 是2+13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值。
11.a 、b 两数在数轴上位置如图：化简：2a -2b －2)(b a -立方根(一).立方根的定义：例 ：求下列各数的立方根①12564②-27 ③729跟踪练习：求下列各数的立方根 ①27102-；②364；③278(二)立方根的性质：规律与方法：①弄清三个公式的变形3a -=3a -，33a =a ，a a =33)(例 、化简①3125343-；②327191--；③33)16( 跟踪练习：求下列各式的值：①38- ②332 ③33)2( ④2)135(1--(三)立方根定义与性质的综合应用 例3：解方程（3x+2）3=1+6461跟踪练习：解方程8（x-1）3+125=0课外拓展1.若a 2=(-5)2,b 3=(-5)3,则a+b 的值为（ ）A.10B.0C.O 或-10D.±10 2.下列各式成立的是（ ）A.243=-B.283-=-C.21813±= D.9273-=-3.若2x =||33x ，则x=（ ）A.0B.±1C.0或±1D.任意数 4.若9的平方根为m ，33=n ，则m-n= 5.若式子212-x +31x -有意义，则x 的取值范围为6.计算①64833100033+-- ②333364125343027.0-+-+-7.解方程①2523=+x ②27（x-1）3+64=08.定义一种运算“*”，规则为a*b=8a 3-b 3,根据这种规则，若x 满足（x+2）*5=0,求x 的值。
9.若04|16|22=--++xx y x ，求16x+16y 的立方根10.寻规律：①=44.1 144= =0144.0由以上结果可以看出，当被开方数的小数点向右（或向左）移动2位时，算术平方根的小数点相应向右（若向左）移动 1 位②计算3125.0= 0.5 =3125 =3125000由以上结果可以看出：当被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，立方根的小数点相应向右（或向左）移动1位。
③根据①、②规律填空：1）若865.3=1.966，则03865.0=若x =196.6，则x=2）若33=1.442，则33000= 3003.0=若3y =144.2，则y=实数的有关概念例1：指出下更各数哪些为有理数？哪些是无理数？哪些是实数？0、3、2π、｜-3｜、722-、2.4、16、36、0.3·、0、1010010001……（两个1之间依次多一个0）；21-例2.把下列无限循环小数化成分数：①②③例3：直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长为2；请在如图所示的数轴上表示2的点跟踪练习:1．如图，数轴表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 表示的数是（ ）A ．2－1B ．1－2C ．2－2D ．2－2 2．下列说法正确的有（ ） （1）零是最小的实数；（2）数轴上的所有点都表示实数；（3）无限循环小数不能化成分数；（4）3π是分数；（5）两个无理数的和一定是无理数；(6)当a ≥0时，a 是无理数。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在数轴上到原点的距离为3的点表示的数是 。
4．在数轴上找出表示5的点，写出作法。
实数的性质及运算考点1：实数的大小比较在实数范围内比较大小，常用的方法有：（1）平方比较法；（2）将根号外的非负数平方后移到根号内，比较被开方数法；（3）求差比较等。
【例1】比较23与32的大小； 【试一试】比较3－3与4－2大小：考点2：实数的运算【例2】计算：|5－3|－2)3(-－|5－6|【试一试】已知4-x 有意义，化简|4－x|－|x －1|跟踪练习1．已知：如图，数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的实数都是整数，若A 对应实数a ，B 对应实数b ，且b 一2a=7，则数轴上的原点应为（ ）。
A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D2．负数a 与它的相反数的差的绝对值是( )。
A ．2aB ．0C ．－2aD ．a －a1 3．满足一3<x<2的整数x 有（ ）。
A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．在数轴上表示5和－3的两点间的距离是( )。
A ．5+3 B ．5－3 C ．－(5+3) D ．3－55．下列选项中，不正确的是( ) A.－6>－7 B.3－1.732>0 C.1.414－2>0 D.π>3.146．小于10的最大整数是 。
7．若aa ||=－l ，则a 为 ，若|a|－a=0，则a 为 。
8．计算下列各题： (1))36)(9(121322--+-;（2）+---⨯-2233)3()21()4(3278-÷2)31(（3）|1－2|+|2－3|+|3－2|【数的开方提高训练】1、如果a 是2008的算术平方根，则2008100的平方根是 （ ） Ａ、100a Ｂ、10a Ｃ、10a - Ｄ、10a ±2、 若a =-121，b =+21，则a 、b 的关系是（ ） A. 互为倒数B. 互为相反数C. 相等D. 互为有理化因式3、已知,a b 是实数，则下列命题正确的是 （ ）Ａ、若a b ≠，则22a b ≠ Ｂ、若22a b >，则a b > Ｃ、若a b >，则a b > Ｄ、若a b >，则22a b >4 （ ）Ａ、24(1)a + Ｂ、22(1)a + Ｃ、2(1)a + 5、如果a>0，ab<0，则()()b a a b ----+4122的值是（ ） A. 3B. -3C. 223a b ++D. -+-225a b6、若,a b 都是无理数，且2a b +=，则,a b 的值可以是__________.（填上一组满足条件的值即可）7、当x = _________________.8、已知a 是小于3+22a a -=-，那么a 的所有可能值是___________. 9、若312-a 和331b -互为相反数，求ba的值。
10、已知实数,,a b c a b c a -+-11、已知实数,,a b c 满足211()022a b c -+-=，求()a b c +的值.12、a 、b 、c 都是实数，且0,1,0=-==+c c abab a a .试求()a c b c b a b -+--+-22的值.。