数的开方复习例题讲解与练习

合集下载

第11章.数的开方知识及习题

第11章《数的开方》知识点及习题一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±a，a称为被开方数．0的平方根只有一个，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。

2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”．3、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”，a称为被开方数，3称为根指数。

5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

6、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

7、实数：有理数与无理数统称为实数。

8、实数与数轴上的点一一对应．二、知识点应用：1、2的平方根是，算术平方根是 .2、9的平方根是，算术平方根是 .3、5是的平方根.4、1是的立方根，-1是的立方根.5、-27的立方根是，0的立方根是 .6、若某数的一个平方根是2，则这个数是，它的另一个平方根是 .7、若某数的立方根是-3，则这个数是 .9、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 . 10、计算：=364 , 3064.049.0+=_________.11、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；12、2-的相反数是，3的倒数是，13-的相反数是；13、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，14、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是；15、当______m时，m-3有意义；当______m时，33-m有意义；16、若一个正数的平方根是12-a和2+-a，则____=a，这个正数是；17、已知0)3(122=++-ba，则=332ab；18、比较大小：3.19、已知a、b为两个连续整数，且a＜5＜b，则a+b=___________.20、下列说法中，正确的是A、9=±3B、 -22的平方根是±2C、64的立方根是±4D、5-是5的一个平方根21、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（）A、1B、2C、3D、422、与数轴上的点一一对应的数是A、整数B、有理数C、无理数D、实数23、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）．A、 1 B 、0 C 、-1 D、1，-1或024、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）． A、2个 B、3个 C、4个 D、5个25、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有（）个． A 、4 B 、3 C 、2 D 、126、若8k （k 为大于0的自然数）的算术平方根是整数，则正整数k 的最小值为 A . 1B . 2C . 4D . 827、若m =30-3，则m 的范围是 A ．1 < m < 2B ．2 < m < 3C ．3 < m < 4D ．4 < m < 528、如图1，数轴上点P 所表示的数可能是 A ．7B ．-7C ．-3.2D ．-1029、如图2，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点．．．为C ，则点C 所表示的数是 A . 2-2B . 2-2C . 2-1D . 1-230、比较22，3，7的大小，正确的是 A ．7＜3＜22 B ．22＜7＜3 C ．22＜3＜7 D ．7＜22＜3 31、一个正方形的面积为12，估计该正方形边长应在 A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 32、根据下表回答下列问题：（1）265.69的平方根是，≈7.265 ；（2）表中与269最接近的数是 . 33、找规律并解决问题. （1）填写下表．想一想上表中已知数a 的小数点的移动与它的算术平方根a 的小数点移动间有何规律? 写出这个规律. （2）利用规律计算．已知15=k ，0.15=m ，1500=n ，用含k 的代数式分别表示m ，n ．（3）如果x =0.01×7，求x 的值．图2•12-1•2图1。

数的开方知识点与例题

.
5 x
11、已知 a b 3 2, b c 3 2 ，则 2(a 2 b2 c 2 ab bc ca) 的值为
.
12、设 a 10, b 7 1, c 3 2 ，则 a, b, c 的大小关系是
.
13、已知 M 101 100, N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是
方根为
.
7、若 x 4 y 3 ， (4x 3y)3 8 ，则 (x y) 2n （n 为正整数）的值为
.
8、若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，则 x
，y
.
9、已知 xy 0 ，则二次根式 x y 化简后为
.
x2
10、把 (x 5) 1 的根号外面的因式移到根号内得
平方根与立方根
一、知识点和方法概述 1、平方根：
（1）平方根的定义：（2）开平方：（3）平方根的意义：（4）平方根的表示：（5）求一个数的平方根的方法：（6）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有 0，算术平方根等于本身的数有 0、1. 2、立方根：（1）立方根的定义：（2）开立方：（3）立方根的意义：（4）立方根的表示：（5）求一个数的立方根的方法：注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有 0、1、-1. 3、 n 次方根：
6.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同
②个数不同：
③ 表示方法不同：

数的开方专题(奥数)

数的开方奥数专题
一、课前热身：
1、已知4x —3的算术平方根是5，求()20128-x 的值
2、已知b a =⋅=⋅352,523，求下列各式的值（含a 或b 的代数式表示）
00023503235223501⋅），），）
3、已知2
44422-+-+-=b b b a ,其中a 、b 为实数，求a+b 的值
二、数的大小比较
例1比较下列两数的大小
1、比较56与56
2、 23-与12-
1、比较下列两数的大小
1）25-与32-
2）32-与23-
3）n n -+1与1--n n
4）231-与341-
5）
572-与352- 6）31+与33-
2、求满足99=+y x 的正整数x 、y 的值
3、已知有理数x 满足2221≥
-x ，求212+--x x 的最小值
三、例：求证：2是无理数（反证法）
1、求证：32是无理数
2、将下列循环小数化成分数
1）⋅07∙
3）0. 2∙3∙
3、若21=-x ，化简21-+-x x
四、例设x 、y 是有理数，并且x 、y 满足等式2417222-=++y y x 求x+y 的值。

练习：1、已知()x x 43432+=-，求实数x 的取值范围。

2、若a 、b 满足,753=+b a 求b a s 32-=的取值范围
3、设a 、b 是有理数，且满足()2212-=-b a ，求b a 的值
4、已知y x +=2009，求所有满足0>>y x 的整数对（x , y)
5、已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab-3a+4b+8的值。

开根号练习题

开根号练习题在数学中，开根号是一种常见的运算方法，用于求解一个数的平方根。

开根号的概念广泛应用于不同领域的数学问题中。

为了帮助大家更好地理解和掌握开根号的运算方法，下面将给出一些开根号的练习题，供大家进行实践和训练。

练习题一：简单的平方根1. 求解√25。

根据平方根的定义，寻找一个数的平方根等价于求解一个数的平方等于该数的问题。

因此，我们可以通过计算来解答该题。

答案：√25 = 5。

2. 求解√144。

同样地，我们可以使用计算来求解这道题。

答案：√144 = 12。

练习题二：复杂的平方根1. 求解√50。

当遇到无法完全开根的情况时，我们可以将该数进行因式分解，然后尝试将某些因子提取出来，再进行开根运算。

答案：√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2。

2. 求解√98。

同样地，我们可以尝试对该数进行因式分解。

答案：√98 = √(49 × 2) = √49 × √2 = 7√2。

练习题三：含有小数的平方根1. 求解√8。

当我们遇到含有小数的平方根时，可以尝试将该数进行简化。

答案：√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2。

2. 求解√18。

同样地，我们可以尝试将该数进行简化。

答案：√18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2。

练习题四：含有变量的平方根1. 求解√(x^2 + 6x + 9)。

对于含有变量的平方根，我们需要利用平方公式或其他方法来进行求解。

在这道题中，我们可以利用完全平方公式进行推导。

答案：√(x^2 + 6x + 9) = √(x + 3)^2 = x + 3。

2. 求解√(4y^2 + 8y + 4)。

同样地，我们可以利用完全平方公式来简化这个平方根。

答案：√(4y^2 + 8y + 4) = √(2y + 2)^2 = 2y + 2。

练习题五：复杂的平方根运算1. 求解√(5 + 2√6)。

数学综合算式专项练习平方根与立方根运算

数学综合算式专项练习平方根与立方根运算数学综合算式专项练习：平方根与立方根运算数学是一门需要实践和探索的学科，其中包含了许多有趣的概念和运算方法。

本文将重点介绍平方根和立方根的运算，为您提供数学综合算式专项练习，帮助您更好地理解和掌握这些概念。

一、平方根运算平方根是数学中常见的一种运算，表示为√x，其中x为被开方数。

平方根的运算可以通过以下步骤进行：步骤1：确定被开方数x的值。

步骤2：判断被开方数x的正负性，平方根只存在于非负数上，即x≥0。

步骤3：找出一个数y，使得y×y≈x。

可以通过估算和试算的方式逐渐逼近x的平方根。

步骤4：使用符号√表示平方根的结果。

例如，√16=4，表示16的平方根为4。

下面是一些平方根的例子：1. √25＝52. √144＝123. √0＝0通过练习不同数值的平方根运算，您可以加深对平方根概念的理解和运用。

二、立方根运算与平方根类似，立方根也是一种常见的数学运算，表示为³√x，其中x为被开方数。

立方根运算可以通过以下步骤进行：步骤1：确定被开方数x的值。

步骤2：判断被开方数x的正负性，立方根可以存在于任意实数上。

步骤3：找出一个数y，使得y×y×y≈x。

通过逐渐逼近x的方法，可以找到近似的立方根。

步骤4：使用符号³√表示立方根的结果。

例如，³√27＝3，表示27的立方根为3。

下面是一些立方根的例子：1. ³√8＝22. ³√64＝43. ³√1＝1通过练习不同数值的立方根运算，您可以更好地理解立方根的概念和运算规律。

综合训练：现在，我们来进行一些综合的算式练习，既包括平方根运算，也包括立方根运算。

例题1：计算√(16 + 9)的值。

解析：首先，计算括号内的数值，16 + 9 = 25。

然后，对25开平方根，得到答案√25 = 5。

因此，√(16 + 9)的值为5。

例题2：计算³√(125 - 27)的值。

专题2 数的开方与二次根式(分层精练)(解析版)

专题2 数的开方与二次根式一、基础过关练1．（2022·广东·佛山市中考三模）实数9的算术平方根为（）A ．3B 3C ．3D ．3± 【答案】A【分析】根据算术平方根的定义，即可求出结果．【详解】解：∵239=， ∴93=．故选：A【点睛】本题考查了算术平方根，解本题的关键在熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．2．（2022·陕西·陇县中考二模）27−的立方根为（） A ．13− B ．13 C ．13± D ．3【答案】A 【分析】根据立方根的概念求解即可．【详解】解：∵311327⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， ∴127−的立方根为－13，故选：A ．【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念“一个数x 3=a ，则x 叫a 有立方根”是解题的关键．3．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得式子2x −有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意，得 20x −≥，解得2x ≥．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：()1当代数式是整式时，字母可取全体实数；()2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；()3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（2022·上海中考三模）下列式子属于同类二次根式的是（）A222B324C525D612【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、2与22是同类二次根式，符合题意；B、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5．（2022·内蒙古通辽·中考一模）16的平方根是（）A．4B．4±C．2D．2±【答案】D【分析】先根据算术平方根可得164=，再根据平方根的概念即可得．【详解】解：164=，±=，因为()224所以4的平方根是2±，即16的平方根是2±，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键．A42±B()222−=−C382−=−D235【答案】C【分析】根据立方根，算术平方根和二次根式的加法计算法则求解判断即可．【详解】解：A、42=，计算错误，不符合题意；B、()222−=，计算错误，不符合题意；C 、382−=−，计算正确，符合题意；D 、2与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根和二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．【详解】解：A.125的平方根是15±，说法正确，不符合题意； B. ()20.1−的平方根是0.1±，说法正确，不符合题意；C.819＝，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意； D. 3273−=−，说法正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．8．（2022·湖北武汉·中考二模）计算()25−−的结果为______．【答案】5−【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【详解】()22555−−=−=−故答案：5−【点睛】本题考查算术平方根的定义，准确确定符号是解题的关键．9．（2022·河南许昌·中考二模）若代数式275x x −+−有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3.5≤x ≤5【分析】根据被开方数为非负数，进而求解即可．【详解】解：由题意，得27050x x −≥⎧⎨−≥⎩，解得3.5≤x ≤5．故答案为：3.5≤x ≤5．【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式组求解集，解决问题的关键是正确地计算能力．10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考三模）计算327−的结果是________．【答案】-3【分析】根据立方根的性质计算即可．【详解】327−=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．11．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考模拟预测）计算 216(4)−+−＝______．【答案】0【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案．【详解】解：216(4)−+−=-4+4=0故答案为0【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意(0)0(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪−<⎩．12．（2022·黑龙江·哈尔滨市中考三模）计算32542−的结果是______．【答案】26−【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：32542− 62362=⨯− 26=−．故答案为：26−【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．13．（2022·辽宁朝阳·24546−=___________．【答案】1− 【分析】先将二次根式化简，再计算，即可求解．【详解】解：24546− 26366−= 66−= 1=−故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14．（2022·江苏南京·中考二模）计算()()271832−+的结果是______．【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=()()()3332323323−⨯+=⨯−=；故答案为3．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 15．（2022·天津红桥·中考三模）计算()()233233+−的结果等于_______．【答案】3【分析】利用平方差公式解答．【详解】解：()()233233+−()22=2331293−=−=故答案为：3．【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（2022·山东聊城·中考一模）()12156362−⨯+=______．【答案】65【分析】先算小括号，再算乘除，最后算加减．【详解】解：原式2=2153-63+62⨯⨯⨯=65-32+32=65 故答案为：65．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的运用法则和准确的计算是解决本题的关键．二、能力提升练 17．（2022·重庆市中考一模）下列运算正确的是（）A 235=B ．232=C 822÷=D ．3223= 【答案】C【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A 和选项D ，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B ，根据二次根式的除法法则即可判断选项C ．【详解】解：A ．2和3不能合并，故本选项不符合题意；B ．22326⨯=，故本选项不符合题意；C ．882422÷===，故本选项符合题意； D ．32222−=，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．A ．0.08的立方根是0.2B 162±C ．0的倒数是0D ．–1是1的绝对值【答案】B【分析】根据立方根、平方根、倒数和绝对值的定义判断即可．【详解】解：A 、0.008的立方根是0.2，该选项错误，不符合题意；B 、164=，4的平方根是2±，该选项正确，符合题意；C 、0没有倒数，该选项错误，不符合题意；D 、1是-1的绝对值，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查立方根、平方根、倒数和绝对值的问题，关键是根据算术平方根、立方根和平方根的定义分析．19．（2022·广东中考三模）若2423y x x =−+−−，则2022()x y +等于（）A ．1B ．5C ．5−D ．1−【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x −≥⎧⎨−≥⎩，解得：x ＝2，故y ＝-3，∴20222022()(213)=x y +=−．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．20．（2022·贵州遵义·中考模拟预测）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（） A ．1x ≠−B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥−且2x ≠ 【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】根据题意，得：10x +≥，20x −≠，解得1x ≥−且2x ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件的知识，根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数非负列出不等式，是解答本题的关键．21．（2022·陕西·中考模拟预测）9的平方根是_____，立方根是_______．【答案】 ±3 33【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．【详解】∵9＝3，∴9的平方根是±3，立方根是33．故答案为：±3，33．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．22．（2022·山东济南·中考二模）如果2、5、m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m −+−等于_____．【答案】4【分析】根据三角形三边的关系得到37m <<，再根据二次根式的性质得原式37m m =−+−，然后根据m 的取值范围去绝对值后合并即可．【详解】解：∵2、5、m 为三角形三边，∴37m <<，∴原式()3737374m m m m m m =−+−=−−−=−−+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：2a a =及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（2022·浙江·瑞安市中考三模）当31a =时，代数式122a a −−+的值为_______．【答案】323−33− 【分析】把31a =+代入代数式()2122a a −−+，求出其值即可．【详解】解：把31a =+代入代数式()2122a a −−+得：原式=()()23112312+−−++ ()232322=−−+32322=−−+323=−．故答案为：323−．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．=a 数是_________．【答案】 -3 1【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a +4+2a +5＝0，求出a 值，把a 值代回任一个式子平方即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是a +4和2a +5，∴a +4+2a +5＝0，解得：a ＝﹣3，即这个正数是()2341−+=，故答案为：﹣3；1．【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键．25．（2022·贵州黔东南·中考一模）函数y 121x x =−−中自变量x 的取值范围是_____．【答案】x ≤2且x ≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x ≥0且x ﹣1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：x ≤2且x ≠1．【点睛】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．26．（2022·广东·东莞市中考三模）已知()2120x y −+=，则()2014x y +=______ ．【答案】1【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性求出x 与y 的值，代入计算即可得到结果．【详解】解：2(1)20x y −++=Q ，10x ∴−=，20y +=，解得1x =，=2y −，则20142014()(12)1x y +=−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．27．（2022·浙江杭州·中考二模）已知x ＋y ＝﹣5，xy ＝4，则y x x y+=________．【答案】52 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：当x +y =-5，xy =4时，y x xy + 2()y x x y=+ 2y x x y=++ 222x y xy xy++=2()x y xy+= 2(5)4−= =52．故答案为：52．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 28．（2022·广东·深圳市中考三模）计算：2231(2)8(2)2−+−+−+．【答案】52 【分析】化简绝对值，二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解．【详解】解：原式＝12222+−+ 52=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．29．（2022·上海松江·中考二模）计算：11812221⎛⎫− ⎪+⎝⎭【答案】24−−【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2322121=−−+−+− 24=−−【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握负整指数幂与二次根式的化简运算是解题的关键．。

数的开方解方程练习题

数的开方解方程练习题解方程题是数学中的重要内容之一，而其中关于数的开方与解方程的结合也是常见的题型。

本文将给出一些数的开方解方程练习题，并逐步进行解答，以帮助读者巩固相关知识。

题一：开方方程求解已知等式 $x^2 + 4x + 4 = 36$，求 $x$ 的值。

解：首先，将等式化简为 $x^2 + 4x - 32 = 0$。

由于该等式是一个二次方程，我们可以使用求根公式进行求解。

求根公式如下：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$a = 1$，$b = 4$，$c = -32$。

将这些值代入公式，有：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot -32}}{2 \cdot 1}$$进一步计算，有：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm\sqrt{144}}{2}$$由于 $\sqrt{144} = 12$，所以进一步计算，有：$$x = \frac{-4 \pm 12}{2}$$分别计算 $x$ 的两个可能的值，有：$$x_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$$$x_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$$所以，该方程的解为 $x = 4$ 或 $x = -8$。

题二：开方方程求解（含参数）已知等式 $(x + a)^2 = 25$，其中 $a$ 是满足 $a > 0$ 的实数。

求$x$ 的值。

解：将等式进行展开，有 $x^2 + 2ax + a^2 = 25$。

将 $a^2$ 移至等号右侧，化简为 $x^2 + 2ax = 25 - a^2$。

在这个式子的基础上，我们再观察等式右侧的值 $25 - a^2$。

由于题目中已经限定了 $a > 0$，所以 $25 -a^2$ 必然是一个正数。

华师版八年级上学期第11章《数的开方》知识点整理及针对性训练

【例5】（2010年四川省眉山市）计算的结果是（）
A．3 B． C． D．9
举一反三：
1.下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3B、1的立方根是±1
C、 =±1D、是5的平方根的相反数
2. 1.25的算术平方根是__________；平方根是__________. -27立方根是__________. ___________， ___________， ___________.
方根，记为：“ ”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的
算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示
为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
选学内容：分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
【例1】的平方根是______；【例2】的平方根是_________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（）
A．
【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
3．计算
4．比较大小与

第12章_数的开方单元复习(含答案)

第十二章数的开方复习（1）应知一、基本概念平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。

【注意】一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

【注意】①正数a 的算术平方根a 的双重非负性：⎩⎨⎧≥≥0a 0a②正数a 的平方根记作a ±立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或三次方根）【注意】①一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

②33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

无理数：无限不循环小数叫做无理数。

【注意】无理数归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin 60o 等实数：有理数与无理数统称实数。

二、基本法则1. 实数大小比较法则：见第二章“有理数大小比较法则”(加入无理数即可)。

2. 实数运算法则：见第二章“有理数运算法则”(加入无理数即可)。

【注意】实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行。

（2）应会1. 平方根、立方根的符号表示。

2. ⋯17131052、、、、在数轴上的表示方法。

3. 实数的大小比较和运算。

（3）例题1. 把下列各数填入相应的括号内：２，０，3，∙∙21.0，1-π，1.0-，144，()013-，722，020********.0属整数的有{ …}属无理数的有{ …} 2. 81.0的平方根是，425的算术平方根是，610-的立方根是。

3. 21-的相反数是（） A 、21+B 、12- C 、21-- D 、12+-4. 0.4的算术平方根是（）A 、0.2 B 、±0.2 C 、510 D 、±5105. 下列实数227、sin 60°、3π、0、3.14159－2（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7. 化简273-的结果是( )．(A)7－2 (B) 7+2 (C)3(7－2) (D)3(7+2)。

第一讲数的开方_培优竞赛专题

数的开方专题复习一、知识要点：1、平方根的定义：2、平方根的性质：3、立方根的定义：4、立方根的性质：5、平方与开平方、立方与开立方互为______运算。

6、三个非负数：7、平方根等于本身的数是立方根等于本身的数是算术平方根等于本身的数是 8、叫无理数，统称实数．______与数轴上的点一一对应．二、课前基础训练：（1）0.25的平方根是 ;９2的算术平方根是 ,16 的平方根是。

（2）2-的相反数是，3的倒数是，13-的绝对值是；（3）若，则x= ，的整数部分是，小数部分是。

（4）当x 时, 12-x 有意义；若x x -+有意义，则x ；当x 为时，代数式32+x 有意义；当______m 时，33-m 有意义；（5）81的平方根是______，4的算术平方根是_____，的平方根是_____的立方根是。

（6）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是（7）如果有m 的一个平方根,那么m 的算术平方根是___________;三、典型例题:例1、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是4±，求a+2b 的平方根。

例2（非负性）13x y +-互为相反数，则yx =______。

2x+y=_______。

3、设x 、y 为实数，且104254-+-+=x x y ，则y x -的值是________4、△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2440b b -+=，求c 的取值范围_______。

例3如果a M =a+b+3的算术平方根，322+-+=b a b a N 是a+2b 的立方根，求M －N 的立方根。

例4、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-[变式] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简例5、已知a 、b 分别是613-的整数部分和小数部分，求2a －b 的值。

初中数学专题复习数的开方(含答案)

第15课时数的开方一、知识点1.数的开方: 平方根,立方根,实数。

2.二次根式: 二次根式的乘除法、性质、运算。

二、中考课标要求三、中考知识梳理1.掌握平方根、立方根的概念和性质学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念, 再就是懂得平方根和立方根的符号所表示的含义.注意区分平方根和算术平方根.2.掌握实数的分类,掌握实数可按性质和正负两种方法分类3.二次根式的化简与运算重点掌握二次根式的概念,以及二次根式的性质、化简与运算,,有一定的难度,要弄懂a ,, 再就是要从正反两方面掌握二次根式的加减乘除法则. 四、中考题型例析1．有关概念识别题例1 (2001·德州)下列说法中正确的是( ) 3; B.1的立方根是±1±1 D. 5的平方根的相反数解析:的平方根是±3,∴A 正确.∵=1,1的立方根是1, 5的平方根,∴C 、B 、D 都不正确. 答案:A.例2 (2002·内江市)下列判断中,错误的是( ) A.-1的平方根是-1 B.-1的倒数是-1C.-1的绝对值是1D.-1的平方的相反数是-1解析:本题应结合平方根、倒数、绝对值、相反数的定义来分析,因为-1是负数,而负数没有平方根. 答案:A.点评:一定要注意负数没有平方根.例3 (2000·荆门市)2(6)-的算术平方根是______. 分析:应先求出2(6)-的值,再求其平方根和算术平方根. 解:∵2(6)-=36,∴36的算术平方根是6. 答案:6.点评:一个正数的平方根有两个,互为相反数.例4 (2001·镇江市)2(2)0n -=,则m=_______,n=________.解:0≥,2(2)n -≥0,得20(2)0n =-=⎪⎩, ∴1020m n -=⎧⎨-=⎩, 解得12m n =⎧⎨=⎩2.探索型题例5 (2003·泰安)用计算器探索:==___________;…由此猜想解:121(1+2+1)=22211222⨯=; 12 321(1+2+3+2+1)=2221113333⨯=;1 234 321(1+2+3+4+3+2+1)=222111144444⨯=;……由此猜想:1234 567 654 321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=27777777.基础达标验收卷一、选择题1.(2003·北京)( )2.(2003·北京)函数的自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥3 B.x>3 C.x ≠3 D.x ≤33.(2002·东城)在实数-23,无理数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.若1<x<2,则│x-3│的值为( ).A.2x-4B.-2C.4-2xD.25.(2003·广西省)已知m ≠n,按下列A 、B 、C 、D 的推理步骤, 最后推出的结论是m=n,其中出错的推理步骤是( )A.∵22()()m n n m -=- B.=C.∴m-n=n-mD.∴m=n6.(2004·大连( )A.3-37.(2004·济宁( )8.(2004·深圳)16的平方根是( )A.4B.-4C.±4D.±29.(2004·哈尔滨)a=-,则实数a在数轴上的对应点一定在( )A.原点左侧B.原点右侧;C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧10.(2004·无锡)下列各式中的最简二次根式是( )11.(2004·泰州)2,则a的取值范围是( )A.a≥4B.a≤2C.2≤a≤4D.a=2或a=4二、填空题:1.(2003·河北)函数y=2xx+-x的取值范围是_____.2.a________.3.(2004·徐州)当x>1时,=_______.4.(2004·荆州)5.(2004·乌鲁木齐)-27的立方根是______.6.(2004·山西)实数a在数轴上的位置如图所示,化简│a-1│三、解答题1.(2003·北京)计算0 1).2.(2003·江西)先化简再求值: 22-,其中a=3,b=4.a1能力提高练习一、学科内综合题1.(2003·河北)下列运算中,正确的是( )A.-│-3│=3B.527()a a =C.220.20.20a b a b -=4=-2.若2440y y ++=,则xy 的值等于( ). A.-6 B.-2 C.2 D.63.(2003·河南)(1)计算:112-⎛⎫⎪⎝⎭(2)函数x 的取值范围是__________. (3)若│x-3│+2(1)x y -+ =0,二、创新题阅读下面的解答过程,请你判断是否正确?若不正确,请你写出正确解答. 已知a 为实数,解(a a ==-.答案:基础达标验收卷一、1.A 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C二、1.x ≥-12且x ≠2 2.2三、1. 能力提高练习一、二、不正确.==(a -=-+。

华师大八年级数学上《第11章数的开方》单元测试含答案解析.doc

第11章数的开方一、选择题1.在-3, 0, 4,低这四个数中，最大的数是（）A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D. 8. 在已知实数：・1, 0,吉，・2中，最小的一个实数是 A. - 1 B. 0 C. £ D. - 2 29. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A.・5B. -忑C. 1D. 410. 在・2, 0, 3,頁这四个数中，最大的数是（）A. - 2B. 0C. 3D. ^611. 在1, -2, 4,逅这四个数中，比0小的数是（ A. -2 B. 1C. A /3D. 412. 四个实数・2, 0, -V2，1中，最大的实数是（ A. -2 B. 0 C. - V2D. 113. 与无理数阿最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7A. -3B. 0C. 4D.后2.下列实数中，最小的数是（）A. -3B. 30.1D. 03.在实数1、0、-1、-2中，最小的实数是（）A ・・2 B.・1 C. 1 D. 04.实数 1, - 1, -寺，0,四个数中，最小的数是（A. 0B. 1C. - 1 一 'I5.在实数-2, 0, 2, 3中 ,最小的实数是（）A. -2B. 0C. 2D. 36. a, b 是两个连续整数，若a<V7<b,则a, b 分别是A. 2, 3B. 3, 2C. 3, 4D. 6, 8 7.估算、‘悩・2的值（ )（）在4到5之间（）14. 如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数-2、1、2、3,则表示数3 - <5的点P应落在线15. 估计匹尸介于( )A. 0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0. 7与0. 8之间16. 若m=^-X ( -2),则有( )2A. 0<m<1B. - 1<m<0C. - 2<m< - 1D. - 3<m< - 217. 如图，表示衙的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间( )A B C D~6 1 ~~2~；5 3 "A. C 与DB. A 与BC. A 与CD. B 与C18. 与1+頁最接近的整数是( )A. 4B. 3C. 2D. 119. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示旋的点落在( )/ Y V *、、,2^3^A.段①B.段②C.段③D.段④20. 若a= ( -3) ,3 - ( - 3) 14, b= ( -0. 6) ,2 - ( - 0. 6) 14, c= ( - 1.5) 11 - ( - 1.5) 13,则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a21. 若k<V90<k+1 （k 是整数），则k二（）A. 6B. 7C. 8D. 922. 估计舟履的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）A. 5 和6B. 6 和7C. 7 和8D. 8 和923. 估计用的值在( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间二、填空题24. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_.25. 若a<V6<b，且a、b是两个连续的整数，贝lj申二_.26. 若两个连续整数x、y满足x<{j+1Vy,则x+y的值是J___ £（用“〉”、“二”填空）27. 黄金比妬28. 请将2、舟、码这三个数用“〉”连结起来—.29. 它元的整数部分是—.30. 实数履・2的整数部分是_・第11章数的开方参考答案与试题解析一、选择题1.在・3, 0, 4,頁这四个数中，最大的数是（）A. -3B. 0C. 4D. V6【考点】实数大小比较.【分析】根据有理数大小比较的法则进行判断即可.【解答】解：在-3, 0, 4,真这四个数中，-3<0<V6<4,最大的数是4.故选C.【点评】本题考查了有理数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是本题的关键.2. 下列实数中，最小的数是（）A. -3B. 3C. 4-D. 0 3【考点】实数大小比较.【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论.【解答】解：如图所示：故选A.【点评】本题考查的是实数的大小比较，利用数形结合求解是解答此题的关键.3. 在实数1、0、-1、-2中，最小的实数是（）A. -2B. -1C. 1D. 0【考点】实数大小比较.【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点进行解答即可.【解答】解：如图所示:• • ------ •0 ------- >■2 0 1 2・・•由数轴上各点的位置可知，- 2在数轴的最左侧，・••四个数中-2最小.故选A.【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大是解答此题的关键.4. 实数1,・1,・寺，0,四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C. - 1D.-吉2【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数>o>负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可.【解答】解：根据正数>0>负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，可得1 >0> - *> - 1, 所以在1, -1, -寺，0中，最小的数是-1.故选：C.【点评】此题主要考查了正、负数、0和负数间的大小比较.几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，5. 在实数-2, 0, 2, 3中，最小的实数是（）A. -2B. 0C. 2D. 3【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，可得答案.【解答】解：-2<0<2<3,最小的实数是・2,故选：A.【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于0, 0大于负数是解题关键.6. a, b是两个连续整数，若a<V7<b,则a, b分别是（）A. 2, 3B. 3, 2C. 3, 4D. 6, 8【考点】估算无理数的大小.【分析】根据A/4<V7<V9,可得答案.【解答】解：根据题意，可知五<百<肩,可得a二2, 23.故选：A.【点评】本题考查了估算无理数的大小，V4<V7<V9是解题关键.7. 估算、历_2的值（）A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4到5之间【考点】估算无理数的大小.【分析】先估计何的整数部分，然后即可判断何・2的近似值.【解答】解：・・・5<何<6,A3<V27- 2<4,故选C.【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.8. 在已知实数：-1, 0,寺，-2中，最小的一个实数是（）A. -1B. 0C. |D. -2【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小, 由此可得出答案.【解答】解：-2、-1、0、1中，最小的实数是-2.故选：D.【点评】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键.9. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A. - 5B.-伍C. 1D. 4【考点】实数大小比较.【分析】计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可.【解答】解：I -5|二5； | - *可也，|1|二1,⑷二4,绝对值最小的是1.故选C.【点评】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，注意先运算出各项的绝对值.10. 在-2, 0, 3,頁这四个数中，最大的数是（）A. -2B. 0C. 3D.【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，可得答案.【解答】解：-2V0V低V3,故选：C.【点评】本题考查了实数比较大小，血＜3是解题关键.11•在1, -2, 4, 这四个数中，比0小的数是（）A. -2B. 1C. V3D. 4【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据有理数比较大小的法则：负数都小于0即可选出答案.【解答】解：・2、1、4、yW这四个数中比0小的数是・2,故选：A.【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是熟练掌握有理数大小比较的法则:①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.12. 四个实数-2, 0, -V2, 1中，最大的实数是（）A・・ 2 B. 0 C.・ V2D. 1【考点】实数大小比较.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，正数大于负数，比较即可.【解答】解：J -2＜-伍V0V1,・・・四个实数中，最大的实数是1.故选：D.【点评】本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.13. 与无理数何最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【考点】估算无理数的大小.【分析】根据无理数的意义和二次根式的性质得出履无転，即可求出答案.【解答】解：・・•履＜俑＜负，・••何最接近的整数是仮，V36=6,故选：C.【点评】本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道负在5和6之间，题目比较典型.14. 如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数・2、1、2、3,则表示数3 ■爸的点P应落在线段（）4 9 兮9 £,-3 -1 0 ^2 3 4A. A0±B. 0B±C. BC±D. CD ±【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【分析】根据估计无理数的方法得出0＜3-丽＜1,进而得出答案.【解答】解：・・・2＜馅＜3,A0<3 - V5<b故表示数3 -頁的点P应落在线段OB上.故选：B.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出后的取值范围是解题关键.15. 估计茫1丄介于( )A. 0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0. 6与0. 7之间D. 0. 7与0. 8之间【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算旋的范围，再进一步估算圣丄，即可解答・【解答】解：V2. 22=4. 84, 2. 32=5, 29,：.2, 2<V5<2. 3,2.2-1 2.3-1・.・一-—=0. 6, ―-— =0. 65, 2 2V5 _ 1AO. 6<———<0. 65.2A/E _ 1所以' 7介于0. 6与0. 7之间.£故选：C.【点评】本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算、‘用的大小.16. 若( -2),则有( )2A. 0<m<1B. - 1<m<0C. - 2<m< - 1D. - 3<m< - 2【考点】估算无理数的大小.【分析】先把m化简，再估算任大小，即可解答.【解答】解；m半X ( -2)二■伍，・・・1<V2<2,A■ 2< -近 V - 1,故选：C.【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算迈的大小.17. 如图，表示衙的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）一 4 B C D0 1 ~L5~2~25 3A. C 与DB. A 与BC. A 与CD. B 与C【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【专题】计算题.【分析】确定出7的范围，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果.【解答】解:V6.25<7<9,・・・2. 5<A/7<3,则表示听的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间.故选A【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.18. 与1朋最接近的整数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【考点】估算无理数的大小.【分析】由于4<5<9,由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数，再估算与1+葩最接近的整数即可求解.【解答】解：・・・4<5<9,A2<V5<3.又5和4比较接近，・・・葩最接近的整数是2,・••与1+真最接近的整数是3,故选：B.【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.19. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示近的点落在（）「②、: Y V 7、、,22―2728~Z9 VA.段①B.段②C.段③D.段④【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【分析】根据数的平方，即可解答.【解答】解：2. 6^6. 76, 2. 72=7. 29, 2. 82=7. 84, 2. 92=8. 41, 32=9,V7. 84<8<8.41,・・・2・8<V8<2. 9,・•・仮的点落在段③，故选：C.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方.20. 若a二(・3)"・(・ 3) ", b二(・0. 6) 12・(・ 0. 6) 14, c=(・ 1.5) 11・(-1.5) 13,则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a【考点】实数大小比较.【分析】分别判断出a・b与c・b的符号，即可得出答案.【解答】解：Ta - b二(-3) ” - ( -3) 14 - ( -0. 6) 12+ ( -0.6) 14= - 313 - 314 -些寻V0,5 5a < b,•/c - b=(・ 1.5) 11 - (- 1.5) 13・(・ 0.6) 12+ (・ 0.6) 14=(・ 1.5) n+1.5,3・ 0. 61Jo. 6“>0,・ \ c > b,c > b > a.故选D.【点评】此题考查了实数的大小比较，关键是通过判断两数的差，得出两数的大小.21 ・若k<V90<k+1 (k 是整数)，则k二( )A. 6B. 7C. 8D. 9【考点】估算无理数的大小.【分析】根据勺示9, ｛而二10,可知9<価<10,依此即可得到k的值.【解答】解：TkvJ亦Vk+1 （k是整数）,9<A/90<10,・•・k=9.故选：D.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题.22. 估计后需+伍的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）A. 5 和6B. 6 和7C. 7 和8D. 8 和9【考点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法.【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算.占 +届=2 后平+3逅二2+3個【解答】解：••・・6V2+3@V7,•I、矽養应的运算结果在6和7两个连续自然数之间，故选：B.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.最后估计无理数的大小.23. 估计的值在（）A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【考点】估算无理数的大小.【专题】计算题.【分析】由于9<11<16,于是翻<届<岳,从而有3<VTi<4.【解答】解:V9<11<16,/. Va< V T L< V16,A3<V11<4.故选c.【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.二、填空题24. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_ -街＜需＜听_.【考点】实数大小比较.【专题】计算题.【分析】先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小.【解答】解：7的平方根为-衍，^7； 7的立方根为2厅，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-听＜需＜衔.故答案为：■衔＜齿＜衔.【点评】本题考查了实数大小比较：正数大于0,负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小.25. 若a＜V6＜b,且a、b是两个连续的整数，贝I] J二8 .【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算出航的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可.【解答】解：・・・2＜低V3,3—2, b—3,r.a b=8.故答案为：&【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出、用的范围.26. 若两个连续整数x、y满足xV徧1Vy,则x+y的值是7 .【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算的范围，再估算叮g+1,即可解答.【解答】解：・・・2＜妬＜3,・・・3＜岳+1＜4,Vx＜V5+Ky，x—3, y—4,A x+y=3+4=7.故答案为:7.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围.A/R - 1 127. 黄金比一> 4 （用“〉”、y“二”填空）2【考点】实数大小比较.【分析】根据分母相同，比较分子的大小即可，因为2<^5<3,从而得出伍-1>1,即可比较大小.【解答】解：・・・2<爸<3,A 1 < V5 ・ 1<2，•后1、1■■I• •r "八'2 2故答案为：>.【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握、用在哪两个整数之间，再比较大小.28. 请将2、号、低这三个数用“〉”连结起来号”斥>2・【考点】实数大小比较.【专题】存在型.【分析】先估算出馅的值，再比较出其大小即可.【解答】解：・・・、念2.236, "1=2.5, ••寺 >后>2.故答案为：-|>V5>2.【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟记A/5^2. 236是解答此题的关键.29. 皿的整数部分是3 .【考点】估算无理数的大小.【分析】根据平方根的意义确定负的范围，则整数部分即可求得.【解答】解:V9<13<16,/.V13的整数部分是3.故答案是：3.【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.30. 实数728-2的整数部分是3 .【考点】估算无理数的大小.【分析】首先得出姮的取值范围，进而得出姬・2的整数部分.【解答】解：・・・5＜履＜6,AV28 - 2的整数部分是：3.故答案为：3.【点评】此题主要考查了估计无理数大小，得出履的取值范围是解题关键.。

数学复习题平方根与立方根的计算

数学复习题平方根与立方根的计算计算平方根和立方根是数学中常见且重要的操作。

在数学复习题中，我们经常会遇到需要计算平方根和立方根的情况。

本文将介绍如何准确地计算平方根和立方根，并提供一些例题来加深理解。

1. 平方根的计算方法平方根是给定数的平方等于该数时的正实数解。

计算平方根可以使用以下方法：方法一：开根号a的平方根表示为√a。

可以通过计算一个数的平方根来验证平方根的准确性。

例题一：计算√9解答：√9 = 3，因为3的平方等于9。

方法二：使用指数运算平方根也可以用指数运算来表示。

如果数x的平方根为a，那么对x开平方等价于x的1/2次幂。

例题二：计算√16解答：16的平方根等于16的1/2次幂，即16^(1/2) = 4。

2. 立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数时的实数解。

计算立方根可以使用以下方法：方法一：开立方a的立方根表示为∛a。

例题三：计算∛27解答：∛27 = 3，因为3的立方等于27。

方法二：使用指数运算立方根也可以用指数运算来表示。

如果数x的立方根为a，那么对x开立方等价于x的1/3次幂。

例题四：计算∛64解答：64的立方根等于64的1/3次幂，即64^(1/3) = 4。

3. 组合运算的计算顺序在复杂的计算中，可能会涉及到多次平方根和立方根的组合运算。

为了保证计算的准确性，需要按照一定的顺序进行计算。

例题五：计算∛(√16)^2解答：首先计算√16 = 4，然后计算4的平方 = 16，最后计算16的立方根 = 2。

因此，∛(√16)^2 = 2。

4. 应用示例接下来，我们将通过一些实际应用问题来应用平方根和立方根的计算。

例题六：假设一个正方形的面积为64平方单位，请计算正方形的边长。

解答：设正方形的边长为a，则正方形的面积为a^2 = 64。

我们需要计算a的值。

根据题目要求，我们需要计算a的平方根。

因此，√(a^2) = √64 = 8。

因此，正方形的边长为8个单位。

例题七：某个物体的体积为27立方单位，请计算这个物体的边长。

初二数学上册-数的开方讲解及练习

数的开方1．平方根的定义：若x ²=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数： a ²≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6．两个重要公式：（1） ()a a 2=; (a ≥0)（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：若x ³=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方.8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12=732.13=236.25=.练习一、选择题。

备战中考数学基础必练(华师大版)第十一章数的开方(含解析)

备战中考数学基础必练（华师大版）第十一章数的开方（含解析）一、单项选择题1.9的算术平方根是〔〕A. -3B.±3C.3D.2.以下四个实数中，最小的是〔〕A.﹣3B.﹣πC. -D.03.一个立方体的体积为64，那么这个立方体的棱长的算术平方根为〔〕A.±4B.4C.±2D.24.有以下说法：〔1〕带根号的数都是在理数；〔2〕有限小数一定是在理数；〔3〕正数没有立方根；〔4〕﹣是17的平方根，其中正确的有〔〕A.0个B.1个C.2个D.3个5.〔x-1〕2的平方根是〔〕A.x-1B. -〔x-1〕C.±〔x-1〕D.〔x-1〕26.一个正方形的面积为21，它的边长为a，那么a﹣1的边长大小为〔〕A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间7.假设一个有理数的平方根和立方根相反，那么这个数是〔〕A.±1B.0C.1D.0和1二、填空题8.将以下各数填在相应的集合里．，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…〔相邻的两个3之间0的个数逐渐添加〕，0，，，，．有理数集合：{________}；在理数集合：{________}；正实数集合：{________}；整数集合：{________}．9.比拟大小-5 ________ -4 (用〝>〞、〝<〞或〝=〞填空)10.假定的小数局部为a，那么a〔8+a〕=________11.假定x2=9，那么x=________12.计算﹣〔﹣1〕2=________13.〔x﹣1〕2=9，那么x=________．14.写出一个大于1且小于2的在理数________．三、计算题15.计算〔1〕〔2〕3 ﹣| |16.计算：〔1〕〔2〕| |+| |+ ．四、解答题17.如下图，数轴上表示1和对应点区分为A、B，点B到点A的距离等于点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x．〔1〕请你写出数x的值；〔2〕求〔x﹣〕2的立方根．18.如图，a、b、c区分是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：﹣|a﹣c|+．五、综合题19.如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．〔1〕直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长；〔2〕在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形〔四个顶点都在方格的顶点上〕；并把图〔2〕中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．20.阅读下面的文字，解答效果．大家都知道是在理数，而在理数是有限不循环小数，因此的小数局部我们不能够全部写出来，于是小明用﹣1来表示的小数局部，你赞同小明的表示方法吗？理想上，小明的表示方法是有道理的，由于的整数局部是1，差就是小数局部．依据以上资料，请解答：的整数局部是m，小数局部是n，试求m﹣n+ 的算术平方根．21.解答题。

专题01 数的开方的计算(解析版)

=1+ 2
=3
12．计算：
25 + 3 -216 -
æ çè
-
4 5
ö ÷ø
2
【答案】 - 9 5
【详解】解：原式= 5 + -6 - 4
5 =-9．
5
13．计算： 3 - 7 - 25 + 3 -8 ．
【答案】 - 3
【详解】解：原式 = 7 - 3 - 5 - 2
=- 3．
14．计算： -12 + 3 64 - -2´ 9 ；
= -3 1 + 1 22
= -3.
32．计算： 16 + 3 -27 × 原式 = 4 + -3´ 3 - -4
= 4 + -9 - 4
= -9
33．计算： -1 2017 - -22 - 3 -8 + 3 - 2
【答案】1﹣ 3 ；
【详解】解：原式 = -1- 2 - -2 + 2 - 3 = 1- 3 ；
=2- 3；
53．计算： 3 -8 - 4 + π - 3 ．【答案】 π - 7 【详解】解： 3 -8 - 4 + π - 3
= -2 - 2 + π - 3
= π-7．
54．计算： 3 -3 3 + 3 7 -1 - 32 + 42 88
【答案】 -7 ；
【详解】 3 -3 3 + 3 7 -1 - 32 + 42 88
4 =93；
4
51．计算：(2) -52 - 3 - 2 + 5 - 3 + - 5 ．
【答案】 6 + 3
【详解】解：原式＝ 5 - 2 - 3 + 3 - 5 + 5