第三章 扭转
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第三章扭转
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
Me
=
P ×103 × 60 2πn
=
9.549 ×103
P n
(N • m)
Me2
Me1nMe3Fra bibliotek从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
12
二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。
τ dA r0 x
∫ T = τr0 A d A = τr0 A
n δ
A = 2πr0δ
A：平均半径所作圆的面积。
r0
得
τ
=
T r0 A
=
T
2πr02δ
28
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开 裂？纵向截面上是否存在应力？
微体互垂面 上切应力的 关系?
dx
τ1
τ2，
τ1，dy
τ2 dz
x
z
29
二、单元体·切应力互等定理
得 τ′=τ
30
切应力互等定理
y
dz
τ'
dy
z
aτ
b
O τ'
dx
d c
τ
该定理表明：在单元体
相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值 相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向 x 或共同背离该交线。
τ =τ′
τ'
a
d
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力
τ
而无正应力的状态称为纯
4.78
T 图(kN·m)
第三章 扭 转
第三章 扭 转 1 扭转的力学模型①构件特征——构件为圆截面直杆。
②受力特征——外力偶矩的作用面与杆件轴线相垂直。
③变形特征——杆件各横截面绕杆轴作相对转动。
2圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩——扭矩 ①传动轴的速度、传递的功率与外力偶矩之间的关系为{}{}{}minr n KW P M mN e 9950=∙ ②扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T 表示。
③扭矩的正负号规定——用右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面的为负，背离截面的为正。
④扭矩图——表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。
3圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (1)横截面上的切应力①分布规律——一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。
②计算公式 ρτP I T =PP max W TR I T ==τ (2)极惯性矩与扭转截面系数， ①实心圆截面 432D I P π= ， 316D W P π=②空心圆截面 ()()444413232αππ-=-=D dDI P ，()44116απ-=D WP式中， Dd =α (3)圆轴扭转的强度条件 []ττ≤=Pmax W T(4)强度计算的三类问题①强度校核 []ττ≤=Pmax W T②截面设计 []τTW P ≥，由P W 计算D⑧许可荷载计算 []P e W M τ≤，由T 计算e M 4．圆轴扭转时的变形，刚度条件 (1)圆轴扭转时的变形小变形时，圆轴的二任意横截面之间仅产生相对的角位移，称为相对扭转角。
① 相对扭转角 ()rad GI TLP=ϕ ②单位长度扭转角 ()m rad GI Tdx d P'==ϕϕ 计算相对扭转角ϕ的公式，应在长度L 范围内，T ,G 和P I 均为常数，若其中任意参数T 或G 或P I 不为常数，则应分段计算ϕ，然后叠加。
2)圆轴扭转时的刚度条件 []()()m GI max T max 'P '0180ϕπϕ≤⨯=5．矩形截面杆扭转的主要结果 (1)横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力发生在矩形截面的长边中点处；即 3b Tmax βτ=式中，β为与比值h 有关的系数，可查文献1中表3—1获得。
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学 第3章扭转
d 90 ×10 −3 m − 2 × 2.5 × 103 m α= = D 90 × 10 −3 m = 0.944
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
材料力学第5版(孙训方编)第三章
A t dA T
即
G dj 2dA T dx A
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
单位 m4。它是横截面几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ
3. 作扭矩图
第三章 扭转
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
第三章 扭转
4.78
6.37
15.9
4.78
第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式
计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e}Nm
{P}kw 103 2π{n} r
60
9.55 103
{P}kw {n} r
m in
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的
情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
水轮发电机
第三章 扭转
§3-2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指 r0 的圆筒
10
Me
m
Me
第三章 扭转
例
传动轴,已知转速 n=300r/min，主动轮A输入功 率PA=45kW，三个从动轮输出功率分别为PB=10kW, PC=15kW，PD=20kW。试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 M 9549P / n e
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
MB
MC
MD
MA
B
C
D
A
T3 M A 1432N m
M e Nm
PkW 103 60 PkW 9549 nrpm 2πnrpm
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me T:截面上的扭矩
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手大拇指指向横截面外法线方向为正,反之为负
2、应力分析 取微单元体abcd
A、存在剪（切）应力 有剪切变形，单元体的两 恻必然有剪应力。
a d
B、不存在正应力 扭转过程中，圆筒的周边 线形状、大小、相邻周边线的距 离都不变， →无线应变 无轴相或周相变形 →无正应力
b c
a
b
d
c
C、剪（切）应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的
变形相同，同一圆周线上各点
max
注意：计算 max 应综合考虑T和WP。
5
Tmax [ ] WP
极惯性矩和抗扭截面系数的计算 实心圆轴
D Ip , 32
4
Ip d A
2 A
3
空心圆轴
其中:
D 4 (1 ) Ip (1 ), WP 16 32
《化工设备机械基础3版》第三章
求:各轴横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。
2、计算各轴的扭矩
解：1、计算各轴的功率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
T1=M1=1114 N m T2=M2=557 N m T3=M3=185.7 N m
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 扭转时外力和内力的计算 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转的应力 §3.5 圆轴扭转的强度条件 §3.6 圆轴扭转的变形和刚度条件
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
汽车方向盘
工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向 轴、丝锥、传动轴等。把这些构件的受力情况抽象为一个 共同的力学模型，即圆轴扭转
T Wt
[ ]
Wt
1 D3
16
扭转刚度条件
' max
T GI p
[' ]
Ip
1 D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
69.3103 m 69.3mm
7640N m
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
材料力学,第三章 扭转
，或有使用要求（如机床主轴）要采用空心轴，否则，制
造空心轴并不总是值得的。
45
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
d
l
0
T dx GI p
Tl (若T 值 不 变 ） GI p
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
0 .1 D 4
37
d 对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d (
D 2 d 2
d
O
D
d ) D
32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
Torsion
1
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
2
§ 3–1
概 述
工程中以扭转为主要变形的构件，我们一般称之为“轴”。如：
机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。 工程实例
42
Tmax Wt [ ]
Tmax Wt [ ]
[例] 设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴 材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应 力相等，试比较两轴的重量。 解.（ 1 ）实心轴直径 d与 空心轴外径D之间的关系
max
Tmax 16m [] 3 Wt d
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T
T
O
O
空心轴与实心轴的比较 相同外半径的实心与空心轴，其最大应力相同。
但对空心轴而言，其空心部分假如有材料的话，承
受的是低应力，材料没有得到充分的利用，效率不 高。
§3.5 圆轴扭转时的变形
一、圆轴扭转时的变形
T d dx GI P
T dx 0 GI P
l
扭转角
Tl GI P
IP
对空心圆轴
d4
32
4
0.1d 4
IP
D 32
4
d
4
0.1 D
4
4
d
4
d 令 ，则有 D
IP
D
32
1 0.1D 1
4 4
四、强度计算
圆截面上任意一点切应力 T ρ
r
T IP
切应力具有最大值
max
Tmax WP [ ]
WP
D3
16
（ 1 4）
1 3
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得： D 0.0226m
② 由刚度条件校核刚度
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
离开截面
[例1] 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功 率PB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 PA= 4KW ， PC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 B A C x 解：先计算外力偶矩
M A 9550 PA 4 9550 76.4 Nm n 500
dA
Tபைடு நூலகம்
图所示选取积分微元，有
o
T ρdA
A
将应力应变关系方程代入上式得
d d T G dA G A dx dx
A
dA
2
T ρ IP
I P dA 仅与构件横截面的几何形状
A
2
与尺寸有关，是杆件的固有性质， 称为极惯性矩。
对实心圆轴
1500 16 D1 0.0531m 6 5110 实心轴与空心轴的面积比即为重量比，其比值为
3
A2 ( D d ) 4 6.87 0.31 2 A1 D1 4 22.2
2 2
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%， 其减轻重量、节约材料是非常明显的。
G
剪切弹性模量(GN/m2)
E G 2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系
dx
M
dx
M
R
T
R
变形前横截面的形状与尺寸
变形后横截面的形状与尺寸
实验现象： 两横截面之间的距离在变形前后没有变化； 横截面本身的形状、半径没有变化，只是相 对于轴的轴线发生了转动。
Tmax
d 90 2 2.5 0.944 D 90 3 D3 90 4 4 3 WP 1 1 0.944 29400mm
16 16
从而
d D
max
T 1500 51MPa 9 WP 29400 10
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
Tmax 702N m
(3) 强度校核
max
Tmax 702 WP 0.2 0.0453 38.8 106 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
圆轴扭转的平面假设： 等直圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形
后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为
直线；且相邻两截面间的距离不变。 由平面假设得出的结论： 1、圆轴横截面上没有正应力； 否则轴就会伸长
否则半径就会变化 2、沿横截面半径方向没有正应力； 3、横截面上离轴线等距离的点的应力是相同的。
MA
PB 10 M B 9550 9550 191 Nm n 500
P 6 M C 9550 C 9550 114 .6 Nm n 500
x
T1
M
T2
X
0
Mc
T1 M A 0
计算扭矩：
AB段 BC段 T1设为正的 T2设为正的
M
X
0, T2 MC 0
(4) 刚度校核:
Tmax 180 702 180 max 9 4 GI P 80 10 0.1 0.045 3.14 1.23 m 2 m [ ]
满足强度和刚度条件。
[例6] 长为L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如 图，若杆的内外径之比为 =0.8 ， G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[′]=2º /m ，试校核此杆的 刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径
MB I
MC
II M
III
A
MD
B I
C II
解： 1.外力偶矩计算
A
III D
M A 1170 N m M B M C 351 N m M D 468 N m
2.扭矩计算 对BC段
MB I
M C II M A
III
MD
T1 M B 351N m
对AC段
二、刚度计算
为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念
T GI P l
单位
rad / m
或
/m
那么，刚度条件为
max
Tmax T 180 max max GI P GI P
[ 例 5] 一传动轴，已知 d=45cm ， n=300r/min 。主动轮输入功率 PA=367kW, 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 的 功 率 PB=147kw ， PC=PD=11kW 。轴的材料为 45 钢， G=80103MPa ， =40MPa ， ′=2/m，试校核轴的强度和刚度。 (1) 计算外力偶矩
d3
16
0.2d
4
3
空心圆截面 WP
D3
16
1 0.2D 1
3 4
d D
[例3] 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚 t=2.5mm ，材料为 45 钢。使用时的最大扭矩为 Tmax=1.5kNm 。 如材料的[τ]=60MPa，试校核AB轴的扭转强度。 Tmax 解：由 AB 轴的截面尺寸 计算抗扭截面模量
x
B'
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用； 力偶矩方向沿圆杆的轴线；
横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算 1、直接计算
2、按输入功率和转速计算
输入功率：P(kW)
M 转速：n (转/分)
1分钟输入功：
第三章 扭转
§ 3.1 扭转的概念和实例 § 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时的应力 § 3.5 圆轴扭转时的变形 § 3.7 非圆截面杆扭转的概述
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
汽车方向盘
丝锥攻丝
扭转变形的特点
Mn
A' A g
Mn
B j
W 60N1000 60000N
1分钟M 作功：
W M M 2n 1 2nM
W W'
P N m M 9550 n
单位
若功率单位为马力，而1马力 =735.5Nm/s，则有
M 7024
N 马力 n rpm
N m
二、扭矩和扭矩图 1、扭矩的概念
C
H
H
C
A
D
D
二、物理关系
G
T
d ρ G G dx
截面某点的应力方向的确定
o
其方位垂直于该点到截面圆心
的连线 ( 径向应力对截面扭矩没有 贡献) 应力绕截面圆心的转向与该截 面的扭矩的转向相同 ( 因为扭矩就
是截面应力对截面圆心产生的矩)
三、静力关系 因为扭矩就是截面应力 对截面圆心产生的矩，如右
(否则横截面的形状就会发生变化)
m
dx
n
o2
M
o1
B
A
C C d D D m n
o1
M
dx
o2
r
F
G
G
d
由右图分析，并考虑到小变 形假设，可得变形几何关系
CC rd tan BC dx GG d ρ tan ρ FG dx
B
E
PA 36.7 9550 1170N m n 300 P 14.7 TB 9550 B 9550 468N m n 300 P 11 TC TD 9550 C 9550 351N m n 300 TA 9550
(2) 画扭矩图，求最大扭矩 用截面法求得AB、AC、CD各段的扭矩分别如图所示
M
z
0 ，得
Me 2 r r
Me 2 r 2
二、切应力互等定理
从图(c)的横截面取出一个单 元体。 各个截面上只有切应力没有 正应力的情况称为纯剪切。 将(d)图投影到铅垂坐标平面，
得到一个平面单元。