重庆市渝中区高一上期末数学试卷有答案-优选

合集下载

重庆高一高中数学期末考试带答案解析

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知是第三象限角，且，则所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知，，则（）A．B．C．D．3.若方程的一根小于-2，另一根大于-2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.函数的值域是（）A．B．C．D．二、填空题关于的不等式的解集是________．重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知是第三象限角，且，则所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】是第三象限角，则,.当时，有，所以位于第四象限.故选D.2.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，;;;.故选C.3.若方程的一根小于-2，另一根大于-2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由一元二次方程根的分布结论可得，满足题意时有：，求解不等式组有：，据此可得：实数的取值范围是.本题选择A选项.4.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数有意义，则：，求解不等式可得函数的定义域为：.构造函数，，则函数的图象表示一段线段，函数的图象表示以点为圆心，为半径的圆的位于轴上方的部分，函数的几何意义为当自变量相同时函数值之差，绘制函数图象如图所示，由几何意义可知，需考查与直线平行，且与圆相切的直线方程，设直线方程为，此时圆心到直线的距离为：，解得：，很明显取，此时考查直线与直线之间的距离：，结合几何关系可得函数的最小值为：，很明显当时函数取得最大值，最大值为：，综上可得，函数的值域为.本题选择A选项.点睛：本题的目的在考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．二、填空题关于的不等式的解集是________．【答案】【解析】不等式，可变形为：，所以.即，解得或.故答案为：.。

重庆高一高中数学期末考试带答案解析

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若四边形是正方形，是的中点，且，，则A．B．C．D．3.若，则A．B．C．D．4.若向量，，，则实数为A．B．2C．D．不存在5.，且，则的值为A．B．C．D．6.函数（其中）的部分图象如图所示，则此函数解析式为A．B．C．D．7.把函数的图象沿向量平移后得到函数的图象，则向量是A．B．C．D．8.若其中，则的值域为A．B．C．D．9.已知，是方程两根，且，则等于A．B．或C．或D．10.若为所在平面内一点，且，则A．B．C．D．二、填空题1.若实数，则的最小值是___ ___.2.中，已知，，，则___ ___.3.分的比为，、，则 .4.的值为________.5.下面五个命题：（1）若、都是第一象限角，且，则；（2）在的最小值是；（3）在中，若，则为钝角三角形；（4）若，，，且，则；（5）函数的值域是.其中，正确命题的序号是（写出所有正确命题序号）.三、解答题1.（本小题满分13分）已知，.（1）向量与共线时，求的值；（2）向量与垂直时，求的值.2.（本小题满分13分）已知，，且.（1）求和的值；（2）求.3.（本小题满分13分）已知正数、满足.（1）求的范围；（2）求的范围.4.（本小题满分12分）一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持分钟，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为距离为海里的处，并测得渔船以海里/时的速度正沿方位角为的方向漂移，我军舰艇立即以海里/时的速度前往营救.求出我军舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，问能否营救成功？5.（本小题满分12分）已知，其中，.(1)求的最小正周期；(2)求图象的对称中心；(3)求在上的单调递减区间.6.（本小题满分12分）是否存在实数，使在闭区间上的最大值是？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由.重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】B【解析】略2.若四边形是正方形，是的中点，且，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.若向量，，，则实数为A．B．2C．D．不存在【答案】C【解析】略5.，且，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.函数（其中）的部分图象如图所示，则此函数解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】略7.把函数的图象沿向量平移后得到函数的图象，则向量是A．B．C．D．【答案】A【解析】略8.若其中，则的值域为A．B．C．D．【答案】B【解析】略9.已知，是方程两根，且，则等于A．B．或C．或D．【答案】A【解析】略10.若为所在平面内一点，且，则A．B．C．D．【答案】D【解析】略二、填空题1.若实数，则的最小值是___ ___.【答案】4【解析】略2.中，已知，，，则___ ___.【答案】【解析】略3.分的比为，、，则 .【答案】8【解析】略4.的值为________.【答案】1【解析】略5.下面五个命题：（1）若、都是第一象限角，且，则；（2）在的最小值是；（3）在中，若，则为钝角三角形；（4）若，，，且，则；（5）函数的值域是.其中，正确命题的序号是（写出所有正确命题序号）.【答案】(4)、(5).【解析】略三、解答题1.（本小题满分13分）已知，.（1）向量与共线时，求的值；（2）向量与垂直时，求的值.【答案】【解析】解：（1）由已知可得：，与共线时，即-------------7分（2）与垂直-------------13分2.（本小题满分13分）已知，，且.（1）求和的值；（2）求.【答案】，【解析】解：（1），，且，-------------6分（2）由（1）可知：-------------13分3.（本小题满分13分）已知正数、满足.（1）求的范围；（2）求的范围.【答案】，【解析】解：（1）、为正数即从而-------------6分（2）、为正数即-------------13分4.（本小题满分12分）一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持分钟，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为距离为海里的处，并测得渔船以海里/时的速度正沿方位角为的方向漂移，我军舰艇立即以海里/时的速度前往营救.求出我军舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，问能否营救成功？【答案】最短时间为分钟，能够营救成功.【解析】解：假设小时后在处恰好赶上遇险船只，则，.-------------1分由已知可得-------------7分解得或，而不符题意应舍去.-------------11分又因小时即为分钟，小于分钟，所以能够营救成功答：最短时间为分钟，能够营救成功. -------------12分5.（本小题满分12分）已知，其中，.(1)求的最小正周期；(2)求图象的对称中心；(3)求在上的单调递减区间.【答案】，和-【解析】.解：-------------3分（1）的最小正周期为-------------4分（2）由得，即图象的对称中心为-------------8分（2）由得，又或的单调递减区间为和-------------12分6.（本小题满分12分）是否存在实数，使在闭区间上的最大值是？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由.【答案】，【解析】解：其中令，则其中在时的对称轴为-------------2分（1）当即时，或，又不满足应舍去-------------5分（2）当即时，，但不满足应舍去-------------8分（3）当即时，，但不满足应舍去-------------11分综上所述，满足题意. -------------12分。

重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(含解析)

重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。

重庆市渝中区2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题

重庆市渝中区2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．已知复数86z =+i ，则||z =（） A ．4B ．6C ．8D ．102．由①安梦怡是高三（2）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高三（2）班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为( ) A ．②①③ B ．③①② C ．①②③D ．②③①3．已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11AB AD BD AA =，则异面直线1A B 与11B D 所成角的大小为（）A.6πB.4π C.3π D.2π 4．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形5．用秦九韶算法求多项式当时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③；④.其中说法正确的是（）A ．①③B ．①④C ．②④D ．①③④6．直线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．7．若四边形ABCD 满足()0,0,AB CD AB AD AC +=-⋅=则该四边形一定是（） A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．直角梯形8．函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >，2πϕ<)的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象（）可得()sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象A.向右平移12π个长度单位 B.向左平移24π个长度单位 C.向左平移12π个长度单位D.向右平移24π个长度单位9．若函数的最小值为，则实数a 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．10．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A ．假设三内角都不大于60度；B ．假设三内角至多有两个大于60度；C ．假设三内角至多有一个大于60度；D ．假设三内角都大于60度。

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-，解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =，所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ，得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =，所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确；对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确；因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确；若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可；根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)，解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯，当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（）A ．1sin sin 2αβD ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误；可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______．【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ，故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______．【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，，作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭；（2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=，所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集．【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+，由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈，即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”．【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤，当0a <时，()1af x x x=++，因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增，当0a <时，()1af x x x=++，因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤，综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >，所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>，当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ，当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====，于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<，则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-，则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减，当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解；当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =；当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解，综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题2(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=（）A ．12B C D ．【正确答案】C【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选：C3．已知25a =，则lg 40=（）A ．31a a ++B ．131a a ++C ．13a a ++D ．311a a ++【正确答案】A 【分析】由题意可得lg 5lg 2a =，lg 5lg 2a =⋅，又由lg5lg 21+=，可得1lg 21a =+，化简得lg 4012lg 2=+，代入即可得答案.【详解】解：因为25a =，所以2lg 5log 5lg 2a ==，所以lg 5lg 2a =⋅，又因为lg5lg 21+=，所以1lg 21a =+，所以23lg 40lg(104)lg10lg 412lg 2111a a a +=⨯=+=+=+=++.故选：A.4．函数()11f x x =-+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.【详解】解：因为(),1112,1x x f x x x x ≥⎧=-+=⎨-<⎩，且()11111f =-+=，()00112f =-+=，故符合题意的只有A.故选：A5．设0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <>= ，0.20.2log 0.3log 0.21<=，∴c<a<b ．故选：D6．已知()()()()12324,1log ,1a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．2,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(],2-∞-【正确答案】D【分析】根据1x ≥的解析式()12log f x x =判断出()f x 在R 上为减函数，从而得32020a a -<⎧⎨--≥⎩，求解即可．【详解】解：因为当1x ≥时，()12log f x x =为减函数，又因为()f x 在R 上为单调函数，所以()f x 只能为单调递减函数，当1x <时，一次函数()()324f x a x a =--单调递减，当1x ≥时，指数函数()12log f x x =，所以将1x =代入得：()121log 10f ==，又因为()f x 在R 上为单调递减函数，所以32020a a -<⎧⎨--≥⎩，解得：2a ≤-，故选：D ．7．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，且()30f =，则满足()10xf x +≥的x 的取值范围是（）A ．(]{}[),402,-∞-+∞U UB ．(][][),20,14,-∞-+∞U UC ．[][]4,10,2--⋃D ．(][][),41,02,-∞--+∞U U 【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出()()()0330f f f ==-=，然后对x 、1x +的符号进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性可得出不等式()10xf x +≥的解集.【详解】因为定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，则该函数在()0,∞+上也为增函数，且有()()()0330f f f ==-=，当010x x <⎧⎨+<⎩时，即当1x <-时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=-，此时13x +≤-，解得4x ≤-，此时4x ≤-；当=1x -时，则()00f -=，合乎题意；当010x x <⎧⎨+>⎩时，即当10x -<<时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=，可得13x +≤，解得2x ≤，此时10x -<<；当0x =时，则有()010f ⨯=，合乎题意；当010x x >⎧⎨+>⎩时，即当0x >时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≥=，可得13x +≥，解得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，满足不等式()10xf x +≥的x 的取值范围是(][][),41,02,-∞--+∞U U .故选：D.8．已知函数()|22|x f x =-，若()()f a f b =（a b ¹），则a b +的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【正确答案】B【分析】由()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，可知1,a b <<由()()f a f b =可得224,a b +=根据基本不等式可求a b +的取值范围.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩若1,a b <<由()()f a f b =，则2222,a b a b-=-∴=与a b ≠矛盾；同理1,a b <<也可导出矛盾，故1,2222,224,a b a b a b <<∴-=-∴+=而222242,a b a b ++><=即 2.a b +<故选B本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．函数()42log f x x =与()2xg x =的图象关于y x =对称C ．()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数D ．函数()225f x x x =-+单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞【正确答案】BCD【分析】对于A ，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B ，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C ，根据奇函数定义判断即可；对于D ，根据二次函数单调性判断即可；【详解】因为命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故A 错误；函数()422log log f x x x ==与()2xg x =互为反函数，故其图象关于y x =对称，故B 正确；因为()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，可求得定义域为()1,1-关于原点对称，又()()11ln ln 11x x f x f xx x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，故函数为奇函数，故C 正确；因为22225,0()2525,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，所以函数的单调递增区间为[]1,0-，和[)1,+∞，故D 正确．故选：BCD ．10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，可得242sin cos 25θθ=-，根据θ的范围，可得sin θ，cos θ的正负，即可判断A 的正误；求得sin cos θθ-的值，即可判断D 的正误，联立可求得sin θ，cos θ的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 25θθ=-，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，cos 0θ<，所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确；所以sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误.故选：ABD.11．已知实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，则下列关系式中恒成立的是（）A ．2ab a -C ．44(()55a b>D ．log 1b a >【正确答案】AB【分析】A ，B 选项利用基本不等式的性质即可；C 选项利用函数的单调性即可；取12,2a b ==判断D 选项即可.【详解】实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，所以22a a b a a ab ab a ⋅>⋅⇔>⇔<，故A 选项正确；由0a b >>，所以20a b >2>，所以11022a b<<，所以1122a b->-，所以1122a b a b->-成立，故B 选项正确；由函数45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且0a b >>所以44()()55a b<，故C 选项错误；当12,2a b ==时，12log log 211b a ==-<，故D 选项错误；故选：AB.12．已知函数()sin ,(0,2)4f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数()g x ，且不等式()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是（）A ．1ω=B ．34π为()g x 的一个零点C ．()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()2g x =在(0,10)x π∈上共有30个解【正确答案】BC【分析】确定()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到A 错误，计算3π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到B 正确，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数单调递增，C 正确，计算共有9个根，D 错误，得到答案.【详解】()sin 24g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故πsin 21444g ππω⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ππ22π442k πω⨯+=+，故142k ω=+，Z k ∈，(0,2)ω∈，故0k =时，12ω=满足，故A 错误；()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3πsin 0444g π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()g x 单调递增，C 正确；()sin 42g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，π2π44x k π+=+或3π2π44x k π+=+，Z k ∈，当π2π44x k π+=+，即2πx k =时，Z k ∈，2π,4π,6π,8π是方程得到解；当3π2π44x k π+=+，即π2π2x k =+时，Z k ∈，π5π9π13π17π,,,,22222是方程的解.综上所述：共有9个解，D 错误.故选：BC三、填空题13．已知函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______．【正确答案】12##0.5【分析】根据函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求得α的值，可得()f x ，即可求()2f 的值.【详解】解：函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以11222f α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1α=-所以()1f x x -=，则()11222f -==.故答案为.1214．已知1a >，则21a a +-的最小值为m ，取得最小值时a n =，则2n m -=______．【正确答案】1【分析】利用基本不等式可求得m 的值，利用等号成立的条件可求得n 的值，进而可求得2n m -的值.【详解】因为1a >，所以()22111111a a a a +=-++≥=--，当且仅当1a =时取等号．故1m =，1n =，所以，21n m -=．故答案为.115．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，33OA OC ==，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是______．【正确答案】8π3##8π3【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB 、COD 的面积即可.【详解】由题意可得，扇形AOB 的面积是212π33π23⨯⨯=，扇形COD 的面积是212π11π233⨯⨯=．则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是183ππ33π-=．故83π16．函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如图，则()()()()()()()0122020202120222023S f f f f f f f =+++⋅⋅⋅++++的值为______．【正确答案】2024【分析】根据图象可确定()f x 最小正周期4T =，由此可得()()()()5060123S f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦，由此可求得结果.【详解】由图象可知：()f x 最小正周期4T =，()()()()01234f f f f +++=，()()()()506012350642024S f f f f ∴=⨯+++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故答案为.2024四、解答题17．集合{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+.(1)当2k =时，求A B ⋃；(2)问题：已知______，求k 的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B A ⋃=；②A B B = ；③A B ⋂=∅.【正确答案】(1){}|35A B x x =-≤< (2)答案见解析【分析】（1）先解得{}|34A x x =-≤≤，再根据集合的并集计算即可；（2）分B =∅，B ≠∅两种情况解决即可.【详解】（1）由题知，{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+，因为|21|7x -≤，解得34x -≤≤，所以{}|34A x x =-≤≤，当2k =时，{}|25B x x =<<，所以{}|35A B x x =-≤< .（2）选①或②，由题知B A ⊆，由（1）得，{}|34A x x =-≤≤，由题得，{}|223B x k x k =-<<+，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，532234k k k <⎧⎨-≤-<+≤⎩，解得112k -≤≤，综上，5k ≥或112k -≤≤.选③，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，5224k k <⎧⎨-≥⎩，或533k k <⎧⎨+≤-⎩，解得35k ≤<，或6k ≤-，综上，3k ≥或6k ≤-.18．（1）已知3cos 5α=-，α为第三象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.【正确答案】（1）4sin 5α=-；（2）57.【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得sin α的值；（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为α为第三象限角，则4sin 5α==-；（2）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.19．已知二次函数()21f x ax bx =++（a ，b ∈R 且0a ≠），x ∈R ．(1)若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间；(2)在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【正确答案】(1)()221f x x x =++，减区间（−∞，−1]，增区间[−1，＋∞）(2)(),1-∞【分析】（1）根据函数()f x 的最小值为()10f -=，可得(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，可得,a b 的值，从而得到()f x 的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；（2）分离参数k ,求解二次函数()f x 在区间[]3,1--上的最小值，即可得k 的范围．【详解】（1）由题意知(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，∴1,2a b ==．∴()221f x x x =++，因为函数()f x 对称轴=1x -，开口向上，∴()f x 单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）；（2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，转化为21x x k ++>在[]3,1--上恒成立．设[]2()1,3,1g x x x x =++∈--，则()g x 在[]3,1--上递减．∴min ()(1)1g x g =-=．∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．20．已知函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠.(1)当4a =，求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =的定义域为R ，求a 的取值范围；【正确答案】(1)函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.(2)(0,1)(1,⋃【分析】(1)根据函数解析式，先求出函数的定义域，然后利用复合的单调性即可求解；(2)根据对数函数的性质可知：230x ax ++>恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解.【详解】（1）因为4a =，所以函数24()log (43)f x x x =++，要使函数有意义，则有2430x x ++>，解得：1x >-或3x <-，所以函数定义域为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞.令22()43(2)1u x x x x =++=+-，开口向下，对称轴为2x =-，则()u x 在(1,)-+∞上单调递增，在(,3)-∞-上单调递减，又因为4log y u =在(0,)+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知：当4a =，函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.（2）因为函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠的定义域为R ，也即230x ax ++>在R 上恒成立，所以2120a ∆=-<，解得：a -<<所以实数a的取值范围为(0,1)(1,⋃.21．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()y f x =的值域；(2)求函数()y f x =严格增区间；(3)若不等式()2()a f x a f x ⋅+≥对任意[0,]2x π∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,2+(2)π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)a ≥【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，ππ5π2444x ≤+≤，结合正弦函数的单调性，即可求解；（3）参变分离得()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；转化为求函数的最值.【详解】（1）π()sin 2cos22)24f x x x x =++=++.因为[0,]2x π∈，所以ππ5π2444x ≤+≤，所以πsin(2)[42x +∈-，所以()f x的值域为[1,2+；（2）因为ππ5π2444x ≤+≤，又sin y x =在ππ[,22-上严格增，所以当442πππ2x ≤+≤时，()f x 严格增，解得π08x ≤≤所以函数()y f x =的严格增区间为π[0,]8；（3）因为()20f x +>，所以不等式等价于()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；即max21()2a f x ⎡⎤≥-⎢⎥+⎣⎦，因为()234f x ⎡+∈+⎣，，所以当()24f x +=+时，()()2f x f x +所以实数a 的取值范围为273a +≥.22．定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若()()31,212x f g x ==-，函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)奇函数，证明过程见详解.(2)413m -≤<-【分析】(1)奇函数，令0x y ==，求得(0)0f =，令y x =-，进行证明即可；(2)先证明函数的单调性，利用单调性将方程化简为()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =换元，再利用根的分布即可求解.【详解】（1）奇函数，证明如下：因为定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得：(0)(0)(0)f f f =+，则有(0)0f =，令y x =-，则有(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为R 上的奇函数.（2）令12,x y x x x +==，则12y x x =-，不妨令12x x >，因为对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，所以1212()()()f x f x f x x =+-，则1212()()()f x f x f x x -=-，因为当0x >时，有()0f x >，所以12)(0f x x ->，也即12())0(f x f x ->，所以12()()f x f x >，则函数()f x 为R 上的单调递增函数，因为3(1)2f =，令1x y ==，则(2)(1)(1)3f f f =+=，因为()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦，即()()()2()323(2)f g x m g x m f ⎡⎤-+-==⎣⎦，又函数()f x 为R 上的单调递增函数，由题意可知，也即()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =，则有2(3)220t m t m -+--=，因为()21x g x =-，所以21x t =-，因为y t =与21x y =-的交点个数为0,1,2，所以2(3)220t m t m -+--=的解得个数为0,1,2，因为函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，所以2(3)220t m t m -+--=必有两个不同的解12,t t ，且1(0,1)t ∈，2{|0t t t ∈=或1}t ≥.①当20t =时，1m =-，此时方程为220t t -=，解得：12t =不满足题意，故舍去；②当21t =时，1(3)220m m -+--=，则有43m =-，此时方程为252033t t -+=，解得：123t =满足题意；③当21t >时，由根的分布可知：220(3)02201(3)1220m m m m ⎧-+⨯-->⎨-+⨯--<⎩，解得：413m -<<-，综上，实数m 的取值范围为413m -≤<-.。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题3(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．设p 2N ,2n n n *∀∈>，则命题p 的否定形式为（）A ．2N ,2n n n *∀∈≤B ．2N ,2n n n *∀∈<C ．2N ,2n n n *∃∈≤D ．2N ,2nn n *∃∈>【正确答案】C【分析】根据全称命题的否定的概念求解即可.【详解】p 2N ,2n n n *∀∈>的否定为2N ,2n n n *∃∈≤，故选：C2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A ．()22log f x x =与()22log g x x =B ．()sin f x x =与2(sin )()sin x g x x=C ．()()22x f x =与()4xg x =D ．()0f x x =与()1g x =【正确答案】C【分析】由表示同一函数的满足条件：定义域相同，对应关系相同，值域相同对选项逐一判断即可得到结果.【详解】对于A ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为{}0x x >，定义域不相同，故A 错误；对于B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，定义域不相同，故B 错误；对于C ：()f x ，()g x 的定义域都为R ，且解析式相同，则对应关系及值域均相同，故C 正确；对于D ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为R ，定义域不相同，故D 错误.故选：C.3．下列各组中两个值大小关系正确的是（）A ．()()tan 50tan 48-<-B ．912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()sin 506sin 145>D ．cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A 、B ：由正切函数的单调性可得()()tan 50tan 48-<-，912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A 正确，B 错误；对于选项C ：()()()sin 506sin 360146sin 146=+=，则根据正弦函数的单调性可得()()sin 146sin 145< ，则C 错误；对于选项D ：根据余弦函数的单调性可得cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 错误；故选：A.4．若函数()f x 的定义域是[3,2]-，则函数()()11f xg x x +=-的定义域是（）A ．[-4，1]B ．[-3，1]C ．[-3，1）D ．[-4，1）【正确答案】D【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．【详解】由312x -≤+≤解得41x -≤≤，又10x -≠，得41x -≤<.故选：D ．5．下列不等式一定成立的是（）A ．212(0)x x x +>>B ．()1sin 2,Z sin x x k k xπ+≥≠∈C ．()211R 1x x ≥∈+D ．12(0)t t t+≥>【正确答案】D【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.【详解】对于A ，当1x =时，212x x +=，A 不正确；对于B ，当,Z x k k π≠∈时，1sin 1x -≤≤，且sin 0x ≠，若1sin 0x -≤<，则1sin 0sin x x+<，B 不正确；对于C ，2R,11x x ∀∈+≥，则21011x <≤+，即C 不正确；对于D ，当0t >时，由均值不等式得12t t+≥成立，当且仅当1t =时取等号，则D 正确.故选：D6．若关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，则关于x 的不等式2120x px x q+->+的解集是（）A ．()()3,24,--+∞B ．()()3,24,-+∞C ．()()0,32,4--D ．()(),23,4-∞- 【正确答案】B【分析】根据关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，利用韦达定理可得1,2=-=-p q ，将不等式等价转化为()()4302x x x -+>-，进而求解.【详解】因为关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，所以20x px q ++=的两根是1-或2，由韦达定理可得：1,2=-=-p q ，所以2120x px x q +->+可转化为()()4302x x x -+>-，解得32x -<<或4x >.所以原不等式的解集为(3,2)(4,)-+∞ ，故选.B7．已知定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x -关于()1,0中心对称，(2)f x +是偶函数，且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()101913f f f <<B ．()()()101319f f f <<C ．()()()131019f f f <<D ．()()()131910f f f <<【正确答案】D【分析】根据函数对称性和奇偶性得到()f x 的周期为8，化简得到()()102f f =，()()191f f =，()()131f f =-，结合函数在[]0,2上的单调性和奇偶性得到()f x 在[]22-,上递增，从而比较出大小.【详解】因为()1f x -关于()1,0中心对称，所以()f x 对称中心是()0,0，故()()f x f x -=-，因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 的对称轴是2x =，即()()22f x f x +=-，所以()()22f x f x +=-中，将x 替换为2x -，得到()()4f x f x =-，故()()4x f f x -=--，将x 替换为4x -，得到()()84x f f x -=--，所以()()8f x f x -=-，因此()f x 的周期为8.所以()()102f f =，()()()1931f f f ==，()()()1351f f f ==-，因为()f x 在[]0,2上递增且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]22-,上递增，所以()()()112f f f -<<，∴()()()131910f f f <<.故选：D8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x ，总有()()22f x f x -=+成立，当()0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x mx x =+，对任意x ∈R ，存在R t ∈，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（）A ．1|3m m ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．1|3m m ⎧≤⎫⎨⎬⎩⎭C ．1|03m m ⎧⎫⎨<⎩≤⎬⎭D ．1|3m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【正确答案】B【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数()f x 的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据0m ≤和0m >分类讨论可得．【详解】由函数()y f x =是奇函数得函数()y f x =的图象关于原点对称，由任意的x ，总有()()22f x f x -=+成立，即()()4f x f x +=恒成立，于是得函数()y f x =的周期是4.又当(0,2)x ∈时，()03f x <<，而()f x 是奇函数，当(2,0)x ∈-时，()30f x -<<，又()()22f f -=，()()22f f -=-，从而行()()()2200f f f -===，即[]2,2x ∈-时，()33f x -<<，而函数()y f x =的周期是4，于是得函数()y f x =在R 上的值域是()3,3-，因为对任意x ∈R ，存在R t ∈，使得()()f x g t >成立，从而得不等式()223g x mx x =+≤-在R 上有解，当0m ≤时，成立，当0m >时，2230mx x ++≤在R 上有解，必有4120m ∆=-≥，解得13m ≤，则有103m <≤.综上得13m ≤.故选：B ．结论点睛：不等式恒成立问题的转化：()f x 的定义域是A ，()g x 的定义域是B ，（1）对任意的1,x A ∈，存在2x B ∈，使得12()()f x g x ≤成立⇔max max ()()f x g x ≤；（2）对任意的1,x A ∈，任意的2x B ∈，12()()f x g x ≤恒成立⇔max min ()()f x g x ≤；（3）存在1,x A ∈，对任意的2x B ∈，使得12()()f x g x ≤成立⇔min min ()()f x g x ≤；二、多选题9．已知集合{}2|30A x x x =∈+=R ，则有（）A ．A∅⊆B ．3A-∈C ．A 有4个子集D ．{3}A⊆【正确答案】ABC【分析】根据题意先求出集合A ，然后利用元素与集合的关系，集合的子集等概念进行判断即可求解.【详解】由题意可得{}3,0A =-，由集合与元素，集合与集合的关系可知A 正确；B 正确；D 错误；由子集的概念可知：集合A 的子集有,{0},{3},{3,0}∅--共4个，所以C 正确；故选：ABC.10．已知函数()2ln(2)f x x x =-，则()A ．()f x 的定义域为(0，2)B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递减区间是(1，2)D ．()f x 的值域为R 【正确答案】AC【分析】由对数的真数大于0得定义域判断A ，根据奇函数的性质判断B ，由对数型复合函数的单调性判断C ，根据对数函数性质求对数型复合函数的值域判断D ．【详解】对于A ，由220x x ->，得02x <<，故A 正确；对于B ，因为定义域不关于原点对称，所以()f x 不是奇函数，故B 错误；对于C ，∵22u x x =-在(1，2)上单调递减，而ln y u =在0u >时单调递增，∴()()2ln 2f x x x =-在(1，2)上单调递减.故C 正确；对于D ，∵()2202111x x x <-=--+≤∴()()10f x f ≤=，故D 错误.故选：AC ．11．已知3sin cos 10θθ=，sin sin θθ=-，则正确的有（）A ．2θ是第二象限角B ．sin cos 5θθ+=-C ．sin cos θθ-=D ．1tan 3θ=或3【正确答案】BD【分析】A 选项，根据题目条件得到sin 0θ<，cos 0θ<，得到θ为第三象限角，判断出2θ可能为第二或第四象限角，故A 错误；B 选项，求出()28sin cos 5θθ+=，结合θ的范围求出B正确；C 选项，求出()2sin cos θθ-，得到sin cos 5θθ-=±，D 选项，在BC 选项的基础上，求出答案.【详解】对于A ，∵sin sin θθ=-，3sin cos 10θθ=，∴sin 0θ<，cos 0θ<，∴θ为第三象限角，∴()3ππ2π2πZ 2k k k θ+<<+∈，∴()π3πππZ 224k k k θ+≤≤+∈，当k 为偶数时，2θ为第二象限角，当k 为奇数时，2θ为第四象限角，2θ可能为第二或第四象限角，故A 错误；对于B ，()28sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=，∵sin 0θ<，cos 0θ<，∴sin cos 0θθ+<，∴sin cos 5θθ+=-，故B 正确；对于C ，由()22sin cos 12sin cos 5θθθθ-=-=，∵sin 0θ<，cos 0θ<，∴sin cos θθ-可能为正，也可能为负，∴sin cos θθ-=±C 错误；对于D ，当sin cos θθ-=，sin cos θθ+=-sin θθ==-故1tan 3θ=，当sin cos 5θθ-=-，sin cos 5θθ+=-时，sin 1010θθ=-=-故tan 3θ=故1tan 3θ=或3，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()11f x ax x =+-，则正确的有（）A ．0a >时，()f x 在(1,)+∞单调递增B ．(cos )f x 为偶函数C ．若方程()0f x =有实根，则()[,04,)a ∞∞∈-⋃+D ．()()sin 11g x x =-+，当1a =时，()f x 与()g x 交点的横坐标之和为4【正确答案】BC【分析】利用双勾函数的单调性可判断A ；利用函数的奇偶性判断B ；解方程可判断C ；结合正弦函数和基本不等式分别求出两函数的值域即可判断D .【详解】对于A ，因为0a >时，由双勾函数的单调性可知：函数()()111f x a x a x =-++-在1,⎫+∞⎪⎭上递增，故A 错误；对于B ，∵()1cos cos cos 1f x a x x =+-的定义域关于原点对称，且()()()cos cos f x f x -=∴()cos f x 是偶函数，故B 正确；对于C ，若()0f x =有实根，即101ax x +=-，当0a =时，方程101ax x +=-无解，故舍去；当0a ≠时可得()211x x x a=-+≠，由二次函数的图象和性质可得：114a ≤，解得a<0或4a ≥，故C 正确；对于D ，由正弦函数的图象和性质可知()g x 的值域为[0，2]，又因为当1a =时，11()(1)111f x x x x x =+=-++--，当1x >时，则1()(1)131f x x x =-++≥-，当且仅当2x =时等号成立；当1x <时，11()(1)1[(1)1111f x x x x x=-++=--++≤---当且仅当0x =时取等号，所以()f x 的值域为(,1][3,)-∞-+∞ ，二者无交点，故D 错误.故选.BC三、填空题13．若()0,x ∞∈+幂函数()211a y a a x -=--为减函数，则实数a 的值为______.【正确答案】1-【分析】先根据函数是幂函数求出a 的值，再代入验证即可.【详解】因为函数()211a y a a x -=--是幂函数，所以211a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，2y x -=，满足在区间()0,∞+上是减函数，当2a =时，y x =，不满足在区间()0,∞+上是减函数，故1-14．已知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm ，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为______cm.【正确答案】15π【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为120602÷=，则每秒大轮转过的圈数为2183484⨯=，所以大轮每秒转过的弧长为3210154ππ⨯⨯=.故答案为.15π15．若2x a -<成立的一个充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】[0，3]【分析】用集合的思想来分析充分不必要条件即可求解.【详解】由2x a -<得22a x a -+<<+，∵2x a -<的充分不必要条件是12x <<∴2122a a-+≤⎧⎨≤+⎩，解得03a ≤≤，经检验0a =或3均满足条件，故答案为.[]0,316．已知()()()()21log 220e 0x x x f x x -⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()23y f x mf x =++有8个不同零点，则实数m 的取值范围为______.【正确答案】7,2⎛-- ⎝【分析】利用换元法令()t f x =及并画出()f x 的函数图像，求得()f x t =有四个不同的解时t 的取值范围，再利用二次函数的性质即可求得实数m 的取值范围.【详解】令()t f x =，作出函数()f x 的图象，可知当12t <<时，()f x t =有四个不同的解.因为()()23y f x mf x =++有8个不同的零点，所以230t mt ++=在()1,2t ∈内有两个不等实根.设()23g t t mt =++，则根据二次函数的图象与性质，等价于:()()2Δ121221020m m g g ⎧=-⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得72m -<<-.故7232m -<<-四、解答题17．平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -(1)求sinα和tanα的值(2)若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值【正确答案】(1)25sin 5α=tan 2α=-(2)()sin 2cos ,4sin cos af αααα-=+【分析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．【详解】（1）∵5OP =25sin 5α=，tan 2α=-；（2）∵()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-sin cos 2cos sin 2cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++，∴()tan 2224tan 11f ααα---===+-.18．已知集合()(){}22220A x x a x a a =-+++>，1{|1}1B x x =<-.(1)若1a =，求A B ⋃，R ()ðA B (2)若A B A = ，求a 的取值范围.【正确答案】(1){|1A B x x =< 或2}x >，{}R ()|23A B x x =<≤ ð；(2){}|01a a ≤≤【分析】(1)解一元二次不等式和分式不等式可求得集合,A B ，再由交，并，补集的定义即可求解；(2)根据交集的结果得到A B ⊆，然后根据集合的包含关系列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）若1a =，所以2{|430}{|(1)(3)0}{|1A x x x x x x x x =-+>=-->=<或3}x >，集合112{|1}{|10}{|0}{|1111xB x x x x x x x x -=<=-<=<=<---或2}x >，由{|1A x x =<或3}x >，{|1B x x =<或2}x >，结合集合的运算可得：{|1A B x x =< 或2}x >，{}R |13A x x =≤≤ð，{}R ()|23A B x x =<≤ ð（2）∵{|A x x a =<或2}x a >+，{|1B x x =<或2}x >，由A B A = 可得A B ⊆，∴1a ≤且22a +≥∴a 的取值范围{}|01a a ≤≤.19．2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x 千台，需另投入成本()R x （单位：万元），()()214501602360005103000(60100)10x x R x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪-⎩，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．(1)写出年利润()P x （单位:万元）关于年产量x （单位:千台）的关系式；(2)当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？【正确答案】(1)()P x ()21501000160 236000200010(60100)10x x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩(2)产量为7万台时，年利润最大为700万元【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数；（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得．【详解】（1）由题意得空调销售收入为0.51000500x x ⨯=（万），则()P x ()215004501000160 23600050051030001000(60100)10x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+--<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩()21501000160 236000200010(60100)10x x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩；（2）由（1）得：当160x ≤≤时，()()21502502P x x =--+∴当50x =时，()P x 取得最大值250；当60100x <≤时()()()36000360019001010190010101010P x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--+=--+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，由勾形函数性质知()P x 在(60,70)上递增，在(70,100)上递减，∴当70x =时，()P x 取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元.20．已知函数()()2R xf x x =∈.(1)解不等式()()()4218f x f x f x ++>++；(2)若[]2,2x ∀∈-，不等式()22f x x m +>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)13x -<<(2)12m <【分析】（1）直接代入方程，通过换元转化为一元二次函数即可求解；（2）恒成立问题，小于最小值，利用函数的单调性，求出定义域的范围，即可求出值域的范围.【详解】（1）由4212228x x x +++>+得()22217280x x -⋅+<，令2x t =，则221780t t -+<，解得182t <<，即1282x <<，解得13x -<<.（2）∵[]2,2x ∀∈-，不等式()22f x x m +>恒成立，∴()22min2x x m +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦由于[]2,2x ∈-，()222111x x x =+-≥-+，当且仅当1x =-时，等号成立；∴()21min 1222f x x -+==∴12m <.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，其最小正周期与()cos g x x =相同.(1)求()f x 单调减区间和对称中心；(2)若方程()0f x a -=在区间[0，76π]上恰有三个实数根，分别为()123123,,x x x x x x <<，求()321sin 2x x x --的值.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为(),0Z 62k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)()3211sin 22x x x --=【分析】（1）由函数的周期求得ω，结合正弦函数的性质，用整体代换法求得单调减区间和对称中心；（2）求得23t x π=-的范围，由正弦函数性质得sin =t a 的解满足的性质：12t t π+=，312t t π=+，然后转化为123,,x x x 的关系，再计算函数值．【详解】（1）∵()g x 的最小正周期为π，∴2(0)ππωω=>，∴2ω=，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，由23x k ππ-=得()62k x k Z ππ=+∈，综上，函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.（2）由70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2233x πππ-≤-≤，设23t x π=-，则sin =t a 有三个实根()123123,,t t t t t t <<，由正弦函数的性质可得12t t π+=，312t t π=+，∴1256x x π+=，31x x π=+，∴()()()321311251sin 2sin sin sin 662x x x x x x x πππ⎛⎫⎡⎤--=--+=-== ⎪⎣⎦⎝⎭22．已知函数()()()log log 2(01)m m f x x m x m m m =-+->≠且.(1)当12m =时，解不等式()2log 50f x +>；(2)若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在5,,2m αβ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使()f x 在区间[α，β]上的值域是[]log ,log m m βα若存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.【正确答案】(1){}13x x <<(2)112m ≤<(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；（2）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤可得；（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5(,)2m+∞上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．【详解】（1）∵12m =∴()()11221log log 12f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域为（1，+∞）.由()()1211222111log 1log 5log 1log 0225x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，化简得()1152x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得332x -<<，又1x >，∴所求不等式的解集为{}13x x <<.（2）对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论:当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去.综上，112m ≤<.（3）∵112m ≤<，∴()f x 在(52m,+∞)上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在(52m ,+∞)上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则22112Δ(31)80315225(02m m m m m m h ⎧≤<⎪⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪⎪>⎪⎩，即211261012103m m m m m ⎧≤<⎪⎪++>⎪⎪⎨<⎪⎪⎪>⎪⎩m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.结论点睛：一元二次方程根的分布：20ax bx c ++=(0)a >，记2()f x ax bx c =++，（1）方程20ax bx c ++=的两根都大于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩；（2）方程20ax bx c ++=的两根都小于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩；（3）方程20ax bxc ++=的一根大于m ，一根小于m ⇔()0f m <；（4）方程20ax bx c ++=的两根都都在区间(,)m n 上⇔Δ02()0()0b m n a f m f n ≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩．。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．750 化成弧度为（）A ．25π6B ．14π3C ．112πD ．17π3【正确答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可【详解】根据角度制转化弧度制公式得π25750π1806︒⨯=︒.故选：A.2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}22150B x x x =--<，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【正确答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<，而{}1,2,3,4,5A =，所以A B = {}1,2，故选：B3．已知p ：正整数x 能被6整除，{}*:3,q x x x k k ∈=∈N ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】分析出q 命题表示正整数x 能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之不成立，即可得到答案.【详解】由题知在q 命题表示正整数x 能被3整除，而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，故p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．已知0.2log 3a =，0.20.3b =，ln πc =，则（）A ．a b c <lne=1c =，所以a b c <<，故选：A.5．命题:p α∃∈R ，使得函数y x α=在()0,∞+上不单调，则命题p 的否定是（）A ．:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上不单调B ．:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调C ．:p α⌝∃∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调D ．:p α⌝∃∉R ，函数y x α=在()0,∞+上单调【正确答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】命题p 的否定是“:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调”.故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（）A ．21x y x =-B ．35y x-=C ．12,0,11,0.2x xx y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩D ．1e ln1e xxy -=+【正确答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数；对C 项，可判断为奇函数且为减函数；对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数.【详解】对A ：当0x =时，0y =，而当2x =时，23y =，在定义域内一定不是减函数；对B ：当0x <时，0y <，而当0x >时，0y >，在定义域内一定不是减函数；对C ：12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，当0x <时，()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，，当0x >时，()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，，当0x =时，()()0f x f x -=-=也成立，故对R x ∀∈，都有()()f x f x -=-，故12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩为奇函数，当0x ≤时，()120x f x =->为减函数，当0x >时，()210xf x -=-<为减函数，所以12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩为R 上减函数，故C 正确；对D ：1e ln 1exxy -=+定义域为(,0)-∞，故不可能为奇函数.故选：C7．已知函数()lg f x x =，()()f a f b =，a b <，则2023a b +的取值范围是（）A ．)∞⎡+⎣B ．()2023,+∞C ．()2024,+∞D ．()0,∞+【正确答案】C【分析】由题得()lg 0ab =，则有1b a =，首先解出a 的范围，则20232023a b a a+=+，设2023y a a=+，01a <<，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围.【详解】由题知0,lg lg a b a b <<=，显然lg lg a b ≠，则lg lg a b -=，即()lg 0ab =，则1ab =，则1b a =，a b < ，即1a a<，解得01a <<，20232023a b a a+=+，设2023y a a =+，01a <<，令2023a a=，解得a ，根据对勾函数的图象与性质可知函数2023y a a=+在()0,1上单调递减，故其值域为()2024,+∞.故选：C.8．已知函数()244x f x x+=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．233,,4322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()4,+∞D ．()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B 【分析】判断()2414f x x x =+的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.【详解】()2414f x x x=+为偶函数，且在()0,∞+上递减.∵()()132f a f a +<-，∴()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭，∵10a +≠，320a -≠，∴1a ≠-且32a ≠，∴233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．任何集合都至少有两个子集B ．设U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，若()U A B C ⊆⋃ð，则A B C =∅ C ．命题“x ∀∈R ，e e x x ≥”的否定为“x ∃∈R ，e e x x ≤”D ．若p 是q 的必要不充分条件，r 的必要不充分条件是q ，则r 是p 的充分条件【正确答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项A ；根据集合的运算判断选项B ；根据全称命题的否定判断选项C ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项D .【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项A 错误；因为A ，B ，C 是U 的子集，()U A B C ⊆⋃ð，则A 与,B C 没有公共元素，所以A B C =∅ ，故选项B 正确；因为命题“x ∀∈R ，e e x x ≥”的否定为“R,e e x x x ∃∈<”，故选项C 错误；因为p 是q 的必要不充分条件，则q 能推出p ，又因为r 的必要不充分条件是q ，则r 能推出q ，所以r 能推出p ，则r 是p 的充分条件，故选项D 成立，故选.BD10．已知幂函数()()2ln 22m m f x x --=，则（）A ．m ∀∈R ，函数()f x 的图像与坐标轴没有交点B ．m ∃∈R ，使得()f x 是奇函数C ．当4m ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增D ．当1m =-时，函数()f x 的值域为{}1【正确答案】BCD【分析】对A ，B 项：当()2ln 221m m --=时可说明A 错误B 正确；对C 项：分析()2ln 22m m --的取值范围，根据幂函数的单调性判断；对D 项：当1m =-时()0f x x =求定义域与值域即可.【详解】设()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--可知()213m --可取遍全体正数，所以()g m 可取遍全体实数，∴当()213e m --=时，()2ln 221m m --=，()f x x =，A 错误，B 正确；当4m ≥时，()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦，由幂函数性质，()f x 在()0,∞+上单调递增，C 正确；1m =-时，()0f x x =，定义域为{}R 0x x ∈≠，值域为{}1，D 正确.故选：BCD11．已知1a b >>，则（）A>B ．1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 5log 3a b >D ．tan tan a b>【正确答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D.【详解】解：对于A 选项，由1a b >>得1101a b<<<，故111b a a a a b >>，故正确；对于B 选项，由于1a b >>，故111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故正确；对于C 选项，若5a =，3b =，则log 5log 31a b ==，故错误；对于D 选项，若2πa =，πb =，故错误.故选：AB12．已知函数()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩和函数()()21g x x k x =++，关于x 的方程()()0g f x k +=有n 个实根，则下列说法中正确的是（）A ．当2n =时，2k <-B ．当4n =时，2k <-C ．k ∀∈R ，1n ≥D ．k ∃∈R ，5n ≥【正确答案】BC【分析】由()()0g f x k +=解得()1f x =-或()f x k =-，结合()f x 图象分析()f x k =-根的个数与k 的取值关系.【详解】令()t f x =，若()g t k =-，则()21t k t k ++=-，解得1t =-或k -，∴()1f x =-或()f x k =-，对于()1f x =-，该方程有一解，故C 正确；()f x 图象如图，若2n =，可知2k -<且1k -≠-，所以2k >-且1k ≠，故A错误；若4n =，()f x k =-需要有三个根,由图可知2k ->，2k <-，故B 正确；由图可知()f x k =-至多三个解，所以4n ≤，故D 错误.故选:BC三、填空题13．函数()2ln 2y x =-的定义域是______.【正确答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0.【详解】函数()2ln 2y x =-有意义应满足()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()(),11,2x ∈-∞ ，故()(),11,2-∞ 14．cos16cos104sin16cos14-= ______.【正确答案】12-##0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+()sin 161431sin 20=-+=-=-，故12-15．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【正确答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径r ，设割出的圆半径为a ，圆心为C ，由r CO a =+求得a ，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r ，∴21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为a ，圆心为C ，∴2πsin 6aCO a==,33r CO DC a ==+=，故1a =，所以最大的圆周长为2π.故2π四、双空题16．已知函数()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩.若1a =，则()f x 的值域是______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】1a =时，当1x ≤时,()21x f x =-，当1x >时，()22()211f x x x x =-+=-，利用函数的单调性求值域;当0a >且1a ≠时,当1x >时求得211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的两个零点只有一个满足,另一个要在1x ≤时产生,列出满足的条件;当0<a 时，当1x >时求得211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭没有零点,1x ≤时不可能有两个零点.【详解】1a =时，()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当1x ≤时,()21(1,1]x f x =-∈-，当1x >时，()22()2110f x x x x =-+=->，故值域为()1,-+∞；若1a =，由上知此时()f x 只有一个零点；当0a >且1a ≠时，当1x >时211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭有两个零点a ，1a ，其中1a，a 必是一个大于1，另一个小于1，故此时()f x 只有一个零点满足，而1x ≤时(]2,2xy a a a =-∈--，此时需要有一个零点，只需20a -≥，∴()(]0,11,2a ∈⋃，当0<a 时，当1x >时211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为102a a x +=<，在()1,+∞上为增函数，∴21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由120a a-->，知()f x 在()1,+∞上无零点，而1x ≤时2x y a =-，在(],1-∞上单调，∴不可能有两个零点.综上实数a 的取值范围是()(]0,11,2 .故答案为:()1,-+∞;()(]0,11,2 五、解答题17．已知a ∈R ，集合{}0A x x a =-≥，{}13B x x =-≤≤.(1)当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；(2)若()R A B ⊆ð，求a 的取值范围.【正确答案】(1)[]2,3，[)1,-+∞(2)3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出B R ð，根据()R A B ⊆ð列出a 应满足的条件.【详解】（1）当2a =时，[)2,A =+∞，[]2,3A B = ，[)1,A B =-+∞ ；（2）()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð，[),A a =+∞，R A B ⊆ð，∴3a >.18．（1）求()14625lg0.025lg4⨯+的值；（2）已知()1sin π3α+=，求()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-的值.【正确答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】（1）原式()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=⨯+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=；（2）∵()1sin π3α+=，∴1sin 3α=-，原式()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭.19．已知,0x y >，132x y+=.(1)求21x y+的取值范围；(2)求12y x+的最小值.【正确答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52+【分析】(1)根据已知条件得到203x <<，将式子21x y +中的1y 换成23-x ，结合二次函数的图象和性质即可求解；(2)结合132x y +=将式子12y x+变形，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因为132x y +=，则1230x y =->，又因为,0x y >，所以203x <<，则22213132()24x x x x y +=-+=--，因为203x <<，由二次函数的图象和性质可得.214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1522y x +≥16xy xy =且132x y +=，解得63x -=，24y =，∴12y x+的最小值为52+20．已知a ∈R ，集合(){}222220A x x a x a a =-+--≤，()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭.(1)求集合B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式()12log 211x ->的解集，即可得解；（2）由()222220x a x a a -+--≤可得()()220x a x a +--≤，分23a ≥-和23a <-两种情况讨论，求出集合A ，根据B A ⊆得到不等式组，解得即可.【详解】（1）解：由()12log 211x ->，即()11221log 21log 2x ->，所以10212x <-<，解得1324x <<，所以()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭；（2）解：由()222220x a x a a -+--≤，即()()220x a x a +--≤，当22a a -≤+即23a ≥-时，{}22A x a x a =-≤≤+，当22a a ->+即23a <-时，{}22A x a x a =+≤≤-，若B A ⊆，当23a ≥-时，132224a a -≤<≤+，解得12a ≥-，当23a <-时，132224a a +≤<≤-，解得34a ≤-，综上可得31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为x （4x >且*x ∈N ）元，该电影院一天出售爆米花所获利润为y 元.（总收入=总成本+利润）(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【正确答案】(1)*2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N(2)当24x =或25时，利润最多为8400元【分析】(1)分段讨论售价x 确定每天的销售量,用分段函数表示利润;(2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当420x <≤时，销售量为500桶，当2045x <≤时，销售量为()500202090020x x --=-，由900200x -≥得,*2045,x x <≤∈N 故利润**500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N ，即*2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N ；（2）由（1）知当420x <≤时，500(4)y x =-为增函数,故20x =时，max 8000y =，当2045x <≤时，2209803600y x x =-+-,开口向下且对称轴为24.5x =,当(20,24.5]x ∈时为增函数,当[24.5,45]x ∈时为减函数,又*x ∈N ,所以当24x =或25时，max 8400y =，故当24x =或25时，利润最多为8400元.22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln ln f x x x =⋅.(1)求()f x ，判断并证明其单调性；(2)求方程()()ee 1f x f x -=-的根；(3)若不等式()42e x x f a +⋅>对任意1x >恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()()e 0x f x x x =>，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析(2)1x =(3)32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可；（2）结合（1）的结论，可得e e x x =，进而求解；（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为421x x a +⋅>对任意1x >恒成立，然后利用换元法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令ln t x =，e =t x ，()e t f t t =，()e x f x x =，0x >.任取120x x >>，则12e e 0x x >>，∴122112e e e x x x x x x >>，∴()()121212e e 0x x f x f x x x -=->，()()12f x f x >∴()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）∵()()ee 1f x f x -=-，则()()()2e 1e 0f x f x ---=所以()e f x =或()1f x =-（舍），e e x x =，显然1x =是解，又()f x 在()0,∞+上单调递增，∴1x =是唯一解；（3）由题()()421x x f a f +⋅>对任意1x >恒成立∴421x x a +⋅>对任意1x >恒成立，令22x u =>，∴21u au +>对任意2u >恒成立，∴1a u u >-对任意2u >恒成立又1y u u =-在()2,+∞为单调递减函数，∴13222a ≥-=-.。

2020-2021学年重庆一中高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年重庆一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x−1<2}，B={x|x2≥1}，则A∩B=()A. (−2,−1)∪(1,3)B. (−2,−1]∪[1,3)C. [−1,1]D. [1,3)2.若a>2，则函数f(x)=13x3−ax2+1在(0,2)内零点的个数为()A. 3B. 2C. 0D. 13.已知，且，则锐角的值A. B. C. D.4.已知函数f(x)是奇函数，它的定义域为{x|−1<x<2a−1}，则a的值为()A. −1B. 0C. 12D. 15.函数f(x)=sin x⋅|cosx|的最小正周期与最大值之比为()A. πB. 2πC. 4πD. 8π6.已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数y=sin(2x+2π3)的图象，只要把C上所有的点()A. 向左平行移动2π3个单位长度 B. 向右平行移动2π3个单位长度C. 向左平行移动π3个单位长度 D. 向右平行移动π3个单位长度7.已知a=13log214，b=1−log23，c=cos5π6，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<c<a8.函数f(x)=ax+1a(2−x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为()A. 12B. 0C. 1D. 29.定义一种运算，令(为常数)，且，则使函数的最大值为的的集合是()A. B. C. D.10.若y=f(x)的导函数在区间[0,2π]上的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()A. B.C. D.11.函数y=cos(2x+φ)的图象左移π4个单位后关于直线x=4π3对称，则|φ|的最小值为()A. π3B. π4C. π6D. π212.已知b>0，lo5balgb=c，=10，下列等式一定立的是()A. d=acB. a=cdC. c=adD. d=a+c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，满足cos2A+cos2B=1，则sin2A+sin2B+sin2CsinCcosAcosB=______．14.若α∈(0,π)，且12cos2α=sin(π4+α)，则sin2α的值为______ ．15.若实数α满足log a2>1，则a的取值范围为______．16.设f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，则f(1)，f(−2)，f(−3)的大小关系是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算：(1)4x14⋅(−3x14y−13)÷(−6x−12y−23)；(2)2log32−log3329+log38−5log56．18.设全集U={−1,0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，集合B={0,1}，分别求集合∁U A；A∪B；A∩B．19. 已知α∈(π,3π2)，sinα=−23． (1)求tanα；(2)若cos(α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sinβ．20. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ).(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2α+π3)=√105，且α∈(0,π)，求tanα的值．21. 已知函数f(x)=|x −m|−|x −2|． (1)若函数f(x)的值域为[−4,4]，求实数m 的值；(2)若不等式f(x)≥|x −4|的解集为M ，且[2,4]⊆M ，求实数m 的取值范围．22. 已知函数(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (2)若函数在=1处取得极值，对任意的∈(0,+∞)，≥恒成立，求实数b 的取值范围； (3)当>>时，求证：参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵A={x|−2<x<3}，B={x|x≤−1或x≥1}，∴A∩B=(−2,−1]∪[1,3)．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：Dx3−ax2+1，∴f′(x)=x2−2ax=x(x−2a)，解析：解：∵a>2，则函数f(x)=13显然，当0<x<2时，f′(x)=x(x−2a)<0，故函数f(x)在(0,2)上是减函数．−4a<0，可得函数f(x)在(0,2)上有唯一的零点，再根据f(0)=1>0，f(2)=113故选：D．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，属于基础题．本题主要考查函数零点的判定定理，以及利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：利用两向量平行，则坐标交叉相乘相等，得出sin2，然后求解．解：因为，且，所以，即，又为锐角，所以，所以．即．故选C．4.答案：D解析：本题考查函数奇偶性的性质，注意函数的奇偶性对定义域的要求，属于基础题．根据题意，由函数奇偶性的定义可得(−1)+2a−1=0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)是奇函数，且其定义域为{x|−1<x<2a−1}，则有(−1)+2a−1=0，解可得：a=1，故选：D．5.答案：C解析：解：f(x)=sinx⋅|cosx|={12sin2x(2kπ−π2≤x≤2kπ+π2)−12sin2x(π2+2kπ≤x≤2kπ+3π2)，所以函数的最小正周期为2π，函数的最大值为12．故2π12=4π．故选：C．直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：y=sin(2x+2π3)=sin2(x+π3)，即为了得到函数y=sin(2x+2π3)的图象，只要把C上所有的点向左平行移动π3个单位长度即可，故选：C．根据三角函数的图象关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：a=13log214=13log22−2=−23，b=1−log23=log223，c=cos5π6=−√32<−23=a，则23=(827) 13，(14) 13<(827) 13，∴b>a，故选：B．根据指数幂的运算和对数的运算三角函数的计算即可比较本题考查了指数函数与对数函数的单调性、三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：f(x)=ax+1a (2−x)=(a−1a)x+2a，(1)当a>1时，a>1a，f(x)是增函数，∴f(x)在[0,2]的最小值为f(0)=2a ，∴g(a)=2a；(2)当a=1时，f(x)=2，∴g(a)=2；(3)当0<a<1时，a−1a<0，f(x)是减函数，f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)=2a，∴g(a)=2a，∴g(a)={2a,a≥12a,0<a<1,因此g(a)最大值为2．故选：D．分三种情况：a>1；a=1；0<a<1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g(a)，据g(a)特征可求其最大值．本题考查分段函数最值的求法，考查分类讨论思想，属中档题．9.答案：C解析：试题分析：函数的图像开口向下，对称轴为.当最大值为3时，即解得或．根据定义可知，要使函数最大值为3，时，;当时，.所以或．考点：1新定义；2数形结合思想．10.答案：A解析：根据函数的导数f′(x)为正值，可得函数f(x)单调递增，且增长速度先是变快，后又变慢，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，属于中档题．解：根据y=f(x)的导函数在区间[0,2π]上的图象，可得原函数f(x)在[0,π]上的增长速度不断加快，在[π,2π]上的增长速度又不断减小，结合所给的选项，故选：A．11.答案：C解析：解：原式可变为y=cos2(x+φ2+π4)，∵2(x+φ2+π4)=kπ，4π3=kπ2−φ2−π4，∴φ=kπ−19π6，当k=3时，φ=π6．故选：C．本题先平移，然后求出对称轴方程通式，4π3=kπ2−φ2−π4φ，解出φ=kπ−19π6，进一步解出φ本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．12.答案：B解析：解：5d=10可得d=1lg5，cd=lgb1lg5=log5a．故选：利用指与对数式的互、对数运算性质和换底公可得出．本考查了指数式对数式化、对数的算性质和换底公式，于基础．13.答案：±4解析：解：在△ABC中，满足cos2A+cos2B=1，所以11+tan2A +11+tan2B=1，整理得：2+tan2A+tan2B=(1+tan2A)(1+tan2B)，解得tanAtanB=±1，由于sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A−B)+2sinCcosC=2sinCcos(A−B)−2sinCcos(A+B)=4sinAsinBsinC，所以sin2A+sin2B+sin2CsinCcosAcosB=4tanAtanB=±4．故答案为：±4．直接利用三角函数关系式的变换和切化弦思想的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正切函数和正弦函数和余弦函数的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．14.答案：−1解析：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα−sinα或cosα+sinα的值，从而求得sin2α的值．解：∵α∈(0,π)，且12cos2α=sin(π4+α)，∴cos2α=2sin(π4+α)，∴(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)，∴cosα+sinα=0或cosα−sinα=√2，，，∵α∈(0,π)，，，∴−1<cosα+sinα≤√2，−√2≤cosα−sinα<1，∴cosα−sinα=√2不合题意，∴cosα+sinα=0，∴sin2α=(cosα+sinα)2−(cos 2α+sin 2α)=−1，故答案为：−1．15.答案：(1,2)解析：解：∵log a 2>1=log a a ， ∴{a >12>a 或{0<a <12<a，解得1<a <2或a ∈⌀． ∴a 的取值范围为(1,2)．故答案为：(1,2)．log a 2>1=log a a ，可得{a >12>a 或{0<a <12<a，解出即可．本题考查了对数函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：f(1)<f(−2)<f(−3)解析：解：根据题意，若f(x)为偶函数，则f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，又由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(1)<f(2)<f(3)，则有f(1)<f(−2)<f(−3)，故答案为：f(1)<f(−2)<f(−3)．根据题意，由偶函数的性质可得f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，又由函数的单调性可得f(1)<f(2)<f(3)，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．17.答案：解：(1)原式=4×(−3)−6⋅x 14+14−(−12)⋅y −13−(−23)=2xy 13． (2)原式=log 3(4×932×8)−6=−4．解析：(1)利用有理数指数幂的运算性质求解． (2)利用对数的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．18.答案：解：∵全集U ={−1,0,1,2,3,4,5}，A ={1,2}，B ={0,1}，∴∁U A ={−1,0,3,4,5}；A ∪B ={0,1,2}；A ∩B ={1}．解析：由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 与B 的并集，A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19.答案：解：(1)∵α∈(π,3π2)，sinα=−23，∴cosα=−√53，tanα=2√55； (2)∵α∈(π,3π2)，β∈(0,π2)∴，因为π<α+β<2π，∵cos(α+β)=−35∴sin(α+β)=−45，∴，sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα， =(−45)×(−√53)−(−35)×(−23)=4√5−615．解析：(1)由已知结合同角基本关系即可求解；(2)由，sinβ=sin[(α+β)−α]，结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系及两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础试题．20.答案：解：(1)由题设图象知，周期T =4(4π3−π3)=4π，∴ω=2πT=12．∵点(4π3,0)在函数图象上， ∴Asin(12×4π3+φ)=0，即sin(2π3+φ)=0．又∵0<φ<π2， ∴φ=π3．又点(π3,2)在函数图象上， ∴Asin π3×12+π3=2，即A =2．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x +π3) (2)若f(2α+π3)=√105，即2sin(α+π6+π3)=√105可得：2cosα=√105，即cosα=√1010 α∈(0,π)， ∴sinα=3√1010．则tanα=sinαcosα=3．解析：(1)根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)根据函数解析式之间的关系即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系21.答案：解：(1)由不等式的性质得：||x−m|−|x−2||≤|x−m−x+2|=|m−2|因为函数f(x)的值域为[−4,4]，所以|m−2|=4，即m−2=−4或m−2=4所以实数m=−2或6.…(5分)(2)f(x)≥|x−4|，即|x−m|−|x−2|≥|x−4|当2≤x≤4时，|x−m|≥|x−4|+|x−2|⇔|x−m|≥−x+4+x−2=2，|x−m|≥2，解得：x≤m−2或x≥m+2，即原不等式的解集M=(−∞,m−2]或M=[m+2,+∞)，∵[2,4]⊆M，∴m+2≤2⇒m≤0或m−2≥4⇒m≥6所以m的取值范围是(−∞,0]∪[6,+∞).…(10分)解析：(1)由不等式的性质得：||x−m|−|x−2||≤|x−m−x+2|=|m−2|，即|m−2|=4，解得实数m的值；(2)若不等式f(x)≥|x−4|的解集M=(−∞,m−2]或[m+2,+∞)，结合[2,4]⊆M，可求实数m的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值三角不等式，函数的值域，集合的包含关系，难度中档．22.答案：(1)当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．(2)，(3)详见解析．解析：试题分析：(1)利用导数求极值，首先要明确定义域(0,+∞)，然后求导分析导函数零点情况：，①当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；②当a>0时，f′(x)<0得，f′(x)>0得，∴f(x)在上递减，在上递增，f(x)在处有极小值．(2)恒成立问题一般利用变量分离转化为对应最值问题：∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴a=1，∴，令，可得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，∴，即.(3)利用导数证明不等式，关键在于建立目标函数．因为，所以目标函数为，即只要证明g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，∵，而函数在(e−1,+∞)上单调递增．∴，即g′(x)>0，∴g(x)在(e−1,+∞)上单调递增解：(1)，①当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)单调递减，∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点；②当a>0时，f′(x)<0得，f′(x)>0得，∴f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在处有极小值．∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．4分，(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴a=1，∴，(6分)令，可得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，∴，即.8分(3)证明：，令，则只要证明g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，又∵，显然函数在(e−1,+∞)上单调递增．∴，即g′(x)>0，∴g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，即，∴当x>y>e−1时，有.12分考点：利用导数求极值，利用导数求最值，利用导数证明不等式。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{24},3221A xx B x x x =≤<=-≥+∣∣，则A B = （）A ．(]1,1-B ．[)1,2C ．[]2,3D ．[)3,4【正确答案】D【分析】根据集合交集的定义计算．【详解】由3221x x -≥+，得3x ≥，{|3}B x x =≥,所以{34}A B xx ⋂=≤<∣．故选：D ．2．命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A ．2210x x ∀>-≤，B ．2210x x ∀≤-≤，C ．2210x x ∃>-≤，D ．2210x x ∃≤-≤，【正确答案】C【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.3．若3α=，则它是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】B【分析】将弧度制化为角度制，再判断角度所在象限.【详解】1rad 57≈︒，故3rad 171α=≈︒，故α在第二象限，故选：B.4．设角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么2sin cos θθ+等于（）A ．25B ．25-C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sin ,cos θθ的值，从而可求得答案【详解】解：因为角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以43sin ,cos 55θθ=-=，所以432sin cos 2155θθ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：D5．已知集合1|21x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}|0B x x a =<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】B【分析】先求出分式不等式的解集化简集合A ，再利用集合的包含关系求解即可.【详解】因为121x x +≥-，所以1122320111x x x x x x x ++-+--==≥---，即(3)(1)0x x --≥且1x ≠，解得13x <≤，所以{|13}A x x =<≤，又因为{}|0B x x a =<<，A B ⊆，所以3a >，故选：B6．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为0(0)N >，经过时间(t 天)之后的新闻热度变为0()etN t N α-=，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数0.3α=，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天（参考数据：ln10 2.303≈）（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e0.1tN t N N α-=<，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈，即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.7．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为A ．(]30-，B ．[)30-，C ．[]30-，D ．()30-，【正确答案】D【分析】根据题意可得0Δ0k <⎧⎨<⎩，解之即可得解.【详解】解：因为一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，所以2030k k k <⎧⎨+<⎩，解得30k -<<．故选：D.8．若0πx <<，则使1sin 2x >和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围是（）A ．32x ππ<和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围为536x <<ππ故选:B本题考查了正弦函数与余弦函数图像与性质的简单应用,特殊角三角函数值的求法,属于基础题.9．已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <⎪> ⎭=⎝，即1b a >>，又5log y x =在(0,)+∞上为单调递增函数，所以55log 4log 51c =<=，所以c<a0ax bx c -的解集为{}|2<<1x x -,则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意，20ax bx c -+>的解集为{|21}x x -<<，则方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0.则有2+1=(2)1=<0b a c a a ⎧-⎪⎪⎪-⨯⎨⎪⎪⎪⎩，变形可得==2b a c a -⎧⎨-⎩，故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =++=--=-+是开口向下的二次函数，且与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(2,0).对照四个选项，只有C 符合.故选：C ．11．条件p ：1ln 03x -<，条件q ：(2)(2)0x x a ++<，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,2)-C ．(,2]-∞-D ．(,2)-∞-【正确答案】C【分析】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，根据充分与必要条件和集合的关系可得A B Ü，再根据对数不等式的求解与不等式区间端点满足的关系列式求解即可.【详解】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B Ü，易得1|ln 03x A x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭{|24x x =-<<且}1x ≠，当22a -=-，即1a =时，B =∅，与A B Ü矛盾！当22a ->-，即1a <时，{}|22B x x a =-<<-，由A B Ü得24a ->，即2a ≤-，当22a -<-，即1a >时，{}|22B x a x =-<<-，与A B Ü矛盾！综合上述，得2a ≤-．故选：C ．12．函数()lg 25f x x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】C【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.【详解】解:由题知()lg 25f x x x =+-,由于lg ,25y x y x ==-均为单调递增,所以随着x 的增大()f x 也增大,故()f x 在()0,∞+单调递增,()()()()130,2lg 210,3lg310,4lg 430f f f f =-<=-<=+>=+> ,根据零点存在定理,()f x \零点在区间()2,3内.故选:C13．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】D【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.14．如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【正确答案】D【分析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．15．设25a b m ==，且111a b+=，则m =（）A 10B ．10C ．20D ．100【正确答案】B【分析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解.【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 101m m m a b+=+==，又0m > ，10m ∴=.故选：B.本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于较易题.16．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)4,8B ．()4,8C ．(]1,8D ．()1,8【正确答案】A【分析】根据解析式及满足的不等式()()12120f x f x x x ->-，可知函数()f x 是R 上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于a 的不等式组，解不等式组即可求得a 的取值范围.【详解】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，所以数a 的取值范围为[)4,8，故选：A本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.17．已知函数()22()ln x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】利用函数()f x 为偶函数排除选项D ；利用0x >时()10f =排除选项C ；利用01x <<时()0f x <排除选项A ；进而仅有选项B 正确.【详解】函数()22()ln x xf x x -=+定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()22ln (n )l (22)x x x xf x x x f x ---=+-=+=，可得()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D ；由当0x >时，仅有()111(22)ln 10f -=+=，可知选项C 图象错误；由当01x <<时，ln ln ln10x x =<=，则()(22)ln 0x xf x x -=+<则选项A 图象错误.仅有选项B 正确.故选：B18．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若125S S =，则sin cos αα+的值为（）A B C ．75D ．85【正确答案】A【分析】设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，分别求出12,S S ，再根据125S S =可求得sin cos αα，再根据sin cos αα+即可得解.【详解】解：设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，故()222121,4sin cos 12sin cos 2S a S a a a a αααα==-⨯⋅=-，则121512sin cos S S αα==-，所以2sin cos 5αα=，又α为锐角，则sin 0,cos 0αα>>，所以sin cos αα+=故选：A.19．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)∈-+∞x ，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,e]B ．[e,+)∞C ．(0,e)D ．(e,+)∞【正确答案】A【分析】由题意可得()f x 是R 上的单调递减奇函数，所以原不等式等价于ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，再根据34y x =+的单调性即可得ln 1a ≤，求解即可.【详解】解：因为2()log )f x x =，0x ->，得x ∈R ，又因为22()log )log log )()f x x x f x -=+==-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2()log )log f x x =-=，因为y x +在R 上单调递增，所以=y R 上单调递减，由复合函数的性质可知2()log f x =R 上单调递减，所以(ln )(24)0f x a f x -++<在(1,)∈-+∞x 上恒成立，等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，所以ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，又因为34y x =+在(1,)∈-+∞x 上单调递增，所以343(1)41y x =+>⨯-+=，所以ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以a 的取值范围为(0,e].故选：A.20．已知函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩，若关于x 的方程2()(4)()2(2)f x m f x m +-+-=0有五个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．(]0,2C ．[)1,2D ．()0,1【正确答案】C【分析】根据题意分析得()2f x =和()2f x m =-共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解.【详解】由2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=得()()220f x f x m ⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦，所以()2f x =或()2f x m =-，作出函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩的图象如下：由题可得()f x 的图象与2y =有2个交点，所以()f x 的图象必须和2y m =-有3个交点，所以021m <-≤解得12m ≤<，故选:C.21．定义在R 上的函数f （x ）满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则f （x ）满足（）A ．()11f =B ．()y f x =是偶函数C ．f （x ）在[m ，n ]上有最大值f （m ）D ．()1f x +>0的解集为(),1-∞【正确答案】C【分析】先对,x y 赋值计算得()00f =，再根据定义判断()f x 为奇函数，结合当0x <时，()0f x >判断()f x 单调递减，逐一结合选项判断正误即可.【详解】令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，得()00f =，令x y -=，则()()()0f f x f x =+-，故()f x 为R 上的奇函数，故B 错误；任取12x x <，则120x x -<，则()120f x x ->，()()()()()12122122f x f x x x f x f x x f x ⎡⎤=+-=+->⎣⎦，故函数f （x ）在R 上单调递减，则()()100f f <=，故A 错误；故f （x ）在[m ，n ]单调递减，有最大值f （m ），故C 正确；()()100f x f +>=，又函数f （x ）在R 上单调递减，故10x +<，得(),1x ∈-∞-，故D 错误.故选：C.二、多选题22．下列给出的角中，与π3终边相同的角有（）A ．11π3B ．13π3C ．2π3-D ．29π3-【正确答案】BD【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】与π3终边相同的角为π2π,Z 3k k +∈,因为11ππ10π333-=，故A 错误，令2k =得与π3终边相同的角为π13π4π33+=,B 正确；因为π2ππ33⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故C 错误；令5k =-得与π3终边相同的角为π29π10π33-=-,D 正确；故选:BD.23．下列结论正确的是（）A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，则a 2>abC ．若a >b >0，则ab >b 2D ．若|a |>|b |，则a 2>b 2【正确答案】CD【分析】根据不等式性质分析判断.【详解】对A ：若0c =，则220ac bc ==，A 错误；对B ：若0a =，则20a ab ==，B 错误；对C ：若a >b >0，根据不等式性质可得：ab >b 2，C 正确；对D ：若0a b >≥，根据不等式性质可得：a 2>b 2故选：CD.24．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈ZC ．()f x =，()g xD ．()221f x x x =--，()221g t t t =--【正确答案】AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()f x =(][,2)2,-∞-⋃+∞，()g x 的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.25．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．πsin(2)12y x =++B ．πcos()2y x =+C ．sin ||y x =D ．π)4y x =+【正确答案】AB【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期.【详解】由πsin(2)1cos 212y x x =++=+，则该函数为偶函数，且周期为2π==π2T ，故A 正确；πcos()sin sin 2y x x x =+=-=，∵|sin()||sin ||sin |x x x -=-=，故该函数为偶函数，sin y x =周期为sin y x =周期的一半，故2π==π2T ，故B 正确；sin sin x x -=，故sin ||y x =是偶函数，sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,周期πT ≠，故C 错误；π)4y x =+为非奇非偶函数，故D 错误；故选：AB.26．（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减【正确答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A ；令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B ；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C 、D.【详解】令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞．对于A ，()f x 的定义域与243u x x =++的定义域相同，为R ，故A 正确；对于B ，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞的值域为(]0,2，所以函数()f x 的值域为(]0,2，故B 正确；对于C 、D ，因为243u x x =++在[)2,-+∞上单调递增，且12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减，所以C 不正确，D 正确.故选：ABD.27．已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（）A ．2101x x <<【正确答案】BC【分析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得1201x x <<<是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD ，属于中档题.28．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（）A ．2a >，1b >B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【正确答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+= ，即()2b a a -=，则2a b a =-，则02aa >-，且0,a >解得2a >，2ab ab += ，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确；对B 选项，,0,2a b a b ab >+= ，两边同除ab 得211a b+=，则()123332a b a b a b b a a b ⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎝⎭+⎪当且仅当2a b b a =，且211a b+=，即21a b ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，2a b ab +=≥,0a b > ≥8ab ≥，当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确；对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()222224(2)(2)422a a a a =⎛⎫-+=-+≥= ⎪-⎝⎭-，当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即2a =1b =时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.29．在ABC ∆中,下列关系恒成立的是（）A ．()tan tan ABC +=B ．()cos 22cos 2A B C +=C ．sin sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】BD根据三角形中A B C π++=和倍角和半角公式化简求值即可。

重庆市渝中区2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题

重庆市渝中区2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若变量满足约束条件则的最小值等于（）A ．B ．C ．D ．22．不等式28610x x -+<的解集为（） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞3．已知向量()13a =，，向量()3b x ，=，若向量b 在向量a 方向上的投影为x 等于（） A ．3B ．2C ．2-D ．3-4．要得到函数2sin(2)6y x π=+的图像，只需将函数2sin 2y x =的图像（）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位5．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=r，a R ∈，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（）A.3B.2C.1D.06．设227a =，则3log 2等于( ) A ．3aB ．3aC ．13aD ．3a7．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin a C =，1a =，则ABC ∆周长的最大值为（）A 1B 1C ．3D ．48．下列函数中，在R 上既是奇函数又是减函数的是（） A ．1y x=B ．1ln1xy x-=+ C ．||y x x =-D ．3xy -=9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里10．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.811．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A ．21B ．20C ．19D ．1812．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+二、填空题13．在ABC 中，D 为AC 的中点，2AE EB =，6BA BC ⋅=，3CA CB ⋅=，4BD CE ⋅=-，则AB AC ⋅=______．14．在ABC △中，已知()5,2A -，()7,3B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：()1顶点C 的坐标； ()2直线MN 的方程．15．设,则与的大小关系是__________.16．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则的最小值为．三、解答题17．已知函数()22f x x ax b =+-。

重庆市渝中区2021届高一数学上学期期末检测试题

重庆市渝中区2021届高一数学上学期期末检测试题一、选择题 1．为了得到函数1sin(2)23y x π=-的图象，只需将函数sin cos y x x =的图象() A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4815S S =，则816S S =（） A.13B.15 C.513D.225 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错误．．的是（）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBDD ．三棱锥D PBQ -的体积为144．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（）A ．3B ．72C ．154D ．不确定5．已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 6．函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.7．已知函数()31()2xf x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48．已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：则函数在区间上的零点至少有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数3()f x x =的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．310．函数()f x 满足：()()4f x f x +-=，已知函数21()x g x x+=与()f x 的图象共有4个交点，交点坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y ,44(,)x y ，则：1234y y y y +++=（） A ．0B ．4C ．8D ．1611．已知m,n 是两条不同直线,α，β，γ是三个不同平面,则下列命题正确的是（） A ．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ B ．若m ∥α，n ∥α,则m ∥n C ．若m ∥α，m ∥β,则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，则a ∥β12．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π二、填空题13．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间[0,]π上恰有8个最大值，则ω的取值范围是____14．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()(2)f x f x =+；③当01x <…时，()21x f x =-，则135(1)(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若2222190a b c +=，则tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅⋅+的值为__________.16．P 是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是_______. 三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是1C C 、11B C 、11C D 的中点．（1）求证：DC MN ⊥；（2）求证：平面MNP ∥平面1A BD ． 18．已知向量()3cos ,2cos a x x =，向量()2sin ,cos b x x =，函数()3f x ka b k =+．()1当0k >时，求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；()2若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为6，求函数()f x 在x R ∈的最小值．19．是否存在实数a ，使得函数211cos sin 42y x a x a =+--在闭区间[,]62ππ-上的最大值是1？若存在，求对应的a 值？若不存在，试说明理由. 20．设全集为U =R ，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{|2C x x a =>且}1x a <+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．21．在平面直角坐标xOy 中，圆与圆相交与PQ 两点．（I ）求线段PQ 的长．（II ）记圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 上滑动，求面积最大时的直线的方程．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=，点(0,1)Q ，过点(0,4)P 的直线l 与圆O 交于不同的两点,A B （不在y 轴上)．（1）若直线l 的斜率为3，求AB 的长度；（2）设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值，并求出该定值；（3）设AB 的中点为M ，是否存在直线l ，使得MO =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【参考答案】*** 一、选择题13．8597{|}66ωω≤<141 15．1009 16．三、解答题17．（1）详略；（2）详略.18．（1）11,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0 19．21a a ==-或20．(1)()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞；(2) [)1,-+∞. 21．（I ）；（II ）或．22．（12）略；（3）略。