第8章_相量法2

A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ | A1 | j( θ θ ) e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 |
1 1 2
例1.
| A1 | 除法：模相除，辐角相减。 ( θ1 θ2 ) | A2 | 547 10 25 ?
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
2. 正弦量的相量表示
两个正弦量的相加
i1 2 I1 cos(w t y 1 )
i2 2 I 2 cos(w t y 2 )
i
角频率： 有效值：
w i1
I1 0
i1
i2
w
i2
i3 i +i i 1 2 3
w
I2
I w3t
初相位： 1
解 547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0(4 j6) 例2. 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 等于初相位之差
u, i
u
i O
yu yi j

wt
规定： |j | (180°)。
j >0， u超前i ，或i 落后u ，( u 比 i 先到达最大值)；
j <0， i 超前 u，或u 滞后i ，( i 比 u 先到达最大值)。
(3)初相位(initial phase angle) y ：
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
正弦量在t=0时刻的相位，反映正弦量的计时起点。
对于一个正弦量，如果计时起点不同，初相位也不同。
i
i(t)=Imcos(w t+y)
通常规定：| | 。
O
t
y =－/2 y =0
例
计算下列两正弦量的相位差。 解：
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
例1 已知
o

试用相量表示i, u .

解 I 100 30 o A i 141.4 cos(314t 30 )A
u 311.1cos(314t 60 )V
o
U 220 60 o V
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
1 f T
周期T ：信号变化一次所需的时间。单位：s，秒 频率f ：信号每秒变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
2. 正弦量的三要素
i
Im O
T
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w
2
wt t
(1)幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im ： 反映正弦量变化幅度的大小。 (2)角频率(angular frequency)w ： 相位变化的角速度， 反映正弦量变化快慢。
可得其相量关系为：U
U
同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。
u1 ( t ) 6 2cos(314t 30 ) V 例 u2 ( t ) 4 2cos(314t 60o ) V
U 1 6 30o V U 2 460o V



jwt
) Re( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U2 e

jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U1 U 2 因此： i1 i2 i3 I 1 I 2 I 3 u1 u2 u3 U1 U 2 U 3
u1 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos(w t Ψ 2 ) Re( 2 U 2 e jw t )
u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e
(1)加减运算 — 采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Re
(2) 乘除运算 — 采用极坐标形式
若 则:
A1 | A1 | 1
1
A2 | A2 | 2
2 1 2
A1 A2 A1 e j A2 e j A1 A2 e j ( ) A1 A2 ( 1 2 ) 乘法：模相乘，辐角相加。
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大 小工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值(effective value)定义
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U 380V U m 2U 537V
说明:
（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭 牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时 应按最大值考虑。 （2）测量中用的电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 i 瞬时值；I有效值；Im最大值。
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 I T
def

T
0
i ( t )dt
2
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
同样，电压有效值定义为：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
实际是变 换的思想
正弦量的相量表示 造一个复函数
A( t ) 2 Ie
j( wt )
是一个正弦量 无物理意义 有物理意义
2 Icos(wt ) j 2 Isin( wt Ψ )
0
Re
几种不同 值时的旋转因子
Im

e
j

2
jI
0
I
,

2
cos

2
j sin
j 2

2
Re
jI
j
I
, e 2
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
8.2 正弦量的相量表示
1. 复数及运算
复数A的表示形式
Im b
A=a+jb (j 1 为虚数单位)
Im b
A
A
|A|

0 a Re 0 a
j
Re
A a jb
A | A | e
j
A | A | e
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e | A |
j
两种表示法的关系：
Im b
直角坐标表示
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算
极坐标表示
或

0 a Re
a | A | cosθ b | A | sinθ
图解法
Im A2 A1 0
0
j 3 4 ( 2) 5 4
j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 ) j 300 (1050 ) 1350
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )

180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数 ej =cos +jsin =1∠ 而模不变，故把 子。 ej 称为旋转因 Im
A• ej
A
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，

A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称 I IΨ 为正弦量 i(t) 对应的相量。