2_02对偶问题的基本性质

上页 下页 返回
一、对称定理： 对称定理： 定理： 对偶问题的对偶是原问题。 定理： 对偶问题的对偶是原问题 弱对偶性定理： 二、弱对偶性定理： ——若 X 和 Y 分别是原问题（P） 分别是原问题（ 若 及对偶问题（ 的可行解， 及对偶问题（D）的可行解，则有
CX ≤ Yb
对 偶 问 题
从弱对偶性可得到以下重要结论： 从弱对偶性可得到以下重要结论：
j
2
1
0
0
0
CB
上页 下页 返回
X
B
b
15 4 1
x1
x2 x3 x4 x5
0 2 0
x3 x1 x5
cj − z j
基解（ （ ）基解（0,1/3,0,0,-1/3） 0 D）5 1 0 0） 1 2/6 0 1 /6 0 ——非可行 非可行 0 4/6 0 -1/6 1 0 1/3 0 -1/3 0
c →
j
2
1
0
0
0
上页 下页 返回
CB
0 0 0
X
B
b
15 24 5
x1
x2 x3 x4 x5
x3 x4 x5
0 ）基解（0,0,0,-2,-1） 5 0 ） 0 （D）基解（1 6 2 0 1 0 ——非可行 0 1 1 非可行 0 1
cj − z j
− y4 − y5 − y1 − y2 − y3
解：
x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 ≥ 4 s .t . 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 + x 5 ≥ 3 x ,x ,x ,x ,x ≥ 0 3 4 5 1 2
将（D）最优解 ）
对 偶 问 题
y
* 1
= 4 / 5, y
紧
* 2
返回
上页 下页 返回
对 偶 问 题
原问题
标准型： 标准型：
max
z = CX
max
z = CX + 0 X S
AX ≤ b s.t. X ≥ 0
对偶问题
AX + I X S = b s.t. X , XS ≥ 0
标准型： 标准型：
上页 下页 返回
min w = Yb YA ≥ C s.t. Y ≥ 0
上页 下页 返回
对 偶 问 题
例： 已知 问题 已知LP问题
m i n w = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 ≥ 4 s .t . 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 + x 5 ≥ 3 x ,x ,x ,x ,x ≥ 0 1 2 3 4 5
3
对 偶 问 题
( D ) : min w = 15 y1 + 24 y 2 + 5 y 3
对 偶 问 题
原问题表1： 原问题表 ： 初始表
6 y 2 + y3 − y 4 = 2 5 y1 + 2 y 2 + y 3 − y 5 = 1 y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ≥ 0
2
1
0
0
0
( D ) : min w = 15 y1 + 24 y 2 + 5 y 3
对 偶 问 题
原问题表2： 原问题表 ： 迭代中
6 y 2 + y3 − y 4 = 2 5 y1 + 2 y 2 + y 3 − y 5 = 1 y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ≥ 0
c →
第二节 对偶问题的基本性质
继续 返回
对称性 弱对偶性 最优性 对偶性（强对偶性） 对偶性（强对偶性） 互补松弛性
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
设原问题（ 设原问题（P）
对偶问题（ 对偶问题（D）
max z = CX s.t. AX ≤ b X ≥0
min w = Yb s .t . YA ≥ C Y ≥0
其对偶问题的最优解为
* 1
上页 下页 返回
y
= 4 / 5, y
* 2
= 3 / 5; z = 5
试用对偶理论找出原问题的最优解。 试用对偶理论找出原问题的最优解。
m a x z = 4 y1 + 3 y 2
对 偶 问 题
上页 下页 返回
y1 + 2 y 2 ≤ 2 y − y ≤ 3 2 1 2 y1 + 3 y 2 ≤ 5 s .t . 对偶问题 y1 + y 2 ≤ 2 3 y1 + y 2 ≤ 3 y1 , y 2 ≥ 0 m i n w = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5
上页 下页 返回
对 偶 问 题
（3）（P）可行而（D）不可行＝>（P）无界； ）（P 可行而（ 不可行＝ 无界； 可行而（ 不可行＝ 无界。 （D）可行而（P）不可行＝>（D）无界。
C X
上页
≤ Y b
对偶问题
∗ ∗
原问题
下页 返回
CX = Y b
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
最优性： 三、最优性： ∗ ∗ ——若 X 和 Y 分别是（P）和（D）的 分别是（ 若 可行解， 可行解，且有 CX ∗ = Y ∗b, 则 X ∗ ,Y ∗ 分别是 （P）和（D）的最优解 。
= 3/5
代入到（ ）各约束： 代入到（D）各约束：
y1 + 2 y 2 ≤ 2 y1 − y 2 ≤ 3 2 y1 + 3 y 2 ≤ 5 (1 ) (2) (3) (4) (5 )
松
（P） ）
⇒ x 松 ⇒ x
松 紧
* 2 * 3
= 0 = 0
上页 下页 返回
y1 + y 2 ≤ 2 3 y1 + y 2 ≤ 3
上页 下页 返回
m ax z = 2x1 + x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0 min w = 15 y + 24 y + 5 y s.t 6y + y ≥ 2 5y + 2y + y ≥1 y ,y ,y ≥0
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
（1）（P）可行 ＝>（D）目标函数值有下界； ）（P 目标函数值有下界； 下界 目标函数值有上界 上界； （D）可行 ＝>（P）目标函数值有上界； ）（P 无可行解； （2）（P）无界 ＝>（D）无可行解； 无可行解； （D）无界 ＝>（P）无可行解； (2)的逆命题不成立 的逆命题不成立， 注: (2)的逆命题不成立，即 无界； （P）无可行解 ＝> （D）无界； 无界； （D）无可行解 ＝> （P）无界；
上页 下页 返回
对 偶 问 题
简记： 简记：松＝>紧（等式） 紧 等式） 注意： 注意：紧＝>松 松
(D)的第i个变量松 的第i 的第
(P)的第i个约束紧 的第i 的第
ˆ ˆ yi > 0 ⇒ ∑ aij x j =bi (1)
j =1
n
ˆ ˆ ∑ aij x j < b i ⇒ yi = 0 (2)
j =1
n
上页 下页 返回
(D)的第i个变量紧 的第i 的第 (P)的第i个约束松 的第i 的第
ˆ ˆ x j > 0 ⇒ ∑ aij yi =c j (3)
i =1m∑a Nhomakorabeai =1
m
ij
ˆ ˆ yi >c j ⇒ x j = 0 (4)
对 偶 问 题
互补松弛定理应用： 互补松弛定理应用：
（1）从已知的最优对偶解，求原问题最 ）从已知的最优对偶解， 优解，反之亦然。 优解，反之亦然。 （2）证实原问题可行解是否为最优解。 ）证实原问题可行解是否为最优解。
cj − z j
对 偶 问 题
单纯形算法的对偶解释
初始时，（ ，（P）可行，（ ，（D）不可行； ☆ 初始时，（ ）可行，（ ）不可行； 迭代中，始终保持（ ）可行； ☆ 迭代中，始终保持（P）可行； 一旦（ ）可行，则最优。 ☆ 一旦（D）可行，则最优。
上页 下页 返回
第二节 对偶问题的基本性质
( D ) : min w = 15 y1 + 24 y 2 + 5 y 3
对 偶 问 题
原问题表3： 原问题表 ： 最优表
6 y 2 + y3 − y 4 = 2 5 y1 + 2 y 2 + y 3 − y 5 = 1 y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ≥ 0
c →
j
2
1
0
min w = Yb YA − Ys = C s.t. Y ,Ys ≥ 0
原问题迭代中的单纯形表（当前基 原问题迭代中的单纯形表（当前基——B） ）
对 偶 问 题 基列 XB cj- zj
上页 下页 返回
常数列 B-1b -CBB-1b
XB I 0
XN B-1N
XS B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
* ⇒ x4 = 0
又：变量
y 1* > 0 松 ⇒ x 1* + 3 x * = 4 5
* y 2 > 0 松 ⇒ 2 x 1* + x * = 3 5
所以原问题最优解(1,0,0,0,1)T 所以原问题最优解
对 偶 问 题
检验数与对偶问题解的关系
上页 下页 返回
已有结论
对 偶 问 题
◆ 当采用单纯形法求得原问题的一个最 优解的时候， 优解的时候，检验行上同时得到对偶问题 的一个可行解，且两者具有相同的目标值。 的一个可行解，且两者具有相同的目标值。 ◆ 利用最优性定理，已证明检验行上给 利用最优性定理， 出的对偶问题的解是最优解。 出的对偶问题的解是最优解。 将近一步说明 ◆ 当采用单纯形法求解原问题时，每迭 当采用单纯形法求解原问题时， 代一次，检验行上同时得到对偶问题的一 代一次，检验行上同时得到对偶问题的一 基解，且两者具有相同的目标值。 个基解，且两者具有相同的目标值。
(D)基解 Ys1 = 0 Y = CB B−1
-Ys1
-Ys2
-Y
(D)基解的目标值 w = Yb = CB B−1b = z
Ys 2 = CB B−1N − CN 上述对应关系对任一张单纯形表都成立。 任一张单纯形表都成立 注：上述对应关系对任一张单纯形表都成立。
对 偶 问 题
例、以求解下面LP问题以及它的对偶问题过程为 以求解下面LP问题以及它的对偶问题过程为 LP 例，验证前述结论 原 问 题
0
0
上页 下页 返回
CB
0 2 1
X
B
b
15/2 7/2 3/2
x1
x2 x3 x4 x5
x3 x1 x2
（D）基解（0,1/4,1/2,0,0） ） 0 ）基解（ 1 5/4 -15/2 0 0 0 1/4 -1/2 1 ——可行且最优 可行且最优 0 1 0 -1/4 3/2 0 0 0 -1/4 -1/2
上页 下页 返回
对偶定理（强对偶性）： 四、对偶定理（强对偶性）： ——若原问题及其对偶问题均具有可行解， 若原问题及其对偶问题均具有可行解， 若原问题及其对偶问题均具有可行解 则两者均具有最优解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标 函数值相等。 函数值相等
对 偶 问 题
总结：P与D解的关系 P D 最优 不可行 无界
上页 下页 返回
最优 无界 不可行
对 偶 问 题
对偶问题的基本性质
五、互补松弛性： 互补松弛性：
——在线性规划问题的最优解中，如果对 在线性规划问题的最优解中， 在线性规划问题的最优解中 应某一约束条件的对偶变量值非零， 应某一约束条件的对偶变量值非零，则该约 束条件取严格等式；反之， 束条件取严格等式；反之，如果约束条件取 严格不等式，则其对应的对偶变量一定是零。 严格不等式，则其对应的对偶变量一定是零。