07第7讲《机械能》

- 103 -第七讲 功与机械能【例1】一子弹以某一速度打入一木块而没有穿出，子弹深入木块的深度为d ，木块在地面上前进了L ，木块对子弹的作用力为f ，求木块对子弹作用力所作的功和子弹对木块作用力所做的功？解：以子弹为对象，设子弹位移方向为正方向，则f 为负方向：)(d L f W +＝－子以木块为对象，设木块位移方向为正方向，则f 为正方向：fL W ＝木【例2】质量为M 的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m 的滑块以某一速度沿木块表面从A 点滑至B 点在木板上前进了L ，而木板前进了S ，如图，若滑块与木板间摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？解：（1）摩擦力对m 做功：)(180cos )(L S mg L S mg W m +-=︒+=μμ（2）摩擦力对M 做功：mgS S mg W M μμ=︒∙∙=0cos【例3】带有光滑斜面的物体块B 放在水平地面上，斜面底端有一重为G ＝2N 的金属块A ，斜面高h=cm 315,倾角α＝60°，用一水平力推A ，在将A 从底端推到顶端的过程中，A 和B 都做匀速运动，且B 运动的距离L ＝30cm ，求此过程中力F 所做的功和金属块克服支持力所做的功？解：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=︒==︒=N GN N G F 460cos 3260tan h- 104 -⑵⎪⎩⎪⎨⎧=++==︒=cm h L L S cm h L 330)(1560cot 2200 ⑶⎪⎩⎪⎨⎧︒︒=⇒=+120306090S 3033tan S 2101）＝－＋（＝的夹角：跟＝的夹角：跟θθθN L L h F ⑷⎪⎩⎪⎨⎧-=====JNS W J FS W N F 36.0cos 390cos 21θθ【例4】小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，如图所示，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ） A ）垂直于接触面，做功为0 B ）垂直于接触面，做功不为0 C ）不垂直于接触面，做功为0 D ）不垂直于接触面，做功不为0（）重要提示 关于S ：⑴ 对于“动滑轮”，物体的位移与作用点的位移是不相同的。

方法一就是以“作用点”为对象，先求出作用点的位移。

⑵另一方法：以“动滑轮”为对象，把两段绳视作定点在动滑轮的两个分力，“先分后合法”【例5】如图所示，恒定的拉力大小F=8N ，方向与水平线夹θ=60°角，拉着绳头使物体沿水平面移动d =2m 的过程中，拉力做了多少功？解析：如图所示，随着物体沿水平面前进d =2m ，绳头从A 点被拉到B 点，由此可见：拉F 所作用点的（绳头）的位移S 可由几何关系求得为m d S 3230cos 2=︒=而力F 与位移S 间的夹角为︒=30α 所以，这过程中拉F 作用于绳头所做的功为J J Fs W 2423328cos =⨯⨯==α 解法二 “先分后合法”：如图绳子张力大小为F ，但张力对物体做功包括沿F 方向的张力所做的功W 1和水平向右的张力所做的功W 2，即2cos 2cos 221ααFs Fs Fs W W W =+=+= 解法三 如图6-6，绳子对物体拉力的合力大小为2cos 2αF ，此合力做的功为2cos 2 2cos2cos22αααFs s F W =⋅=【变式】如图所示，在倾角为30°的斜面上，一条轻绳的一端固定在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N 的拉力，使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行)的过程中，拉力F 做的功是( )Ａ．100J Ｂ．150JＣ．200J Ｄ．条件不足，无法确定 解析：拉力F 做的功等效为图8中F 1、F 2两个恒力所做功的代数和。

即W=F 1·S+F 2Scos60°，而F 1=F 2=F=100N ，所以W=F·S(1+cos60°)=150J 。

即B 选项正确- 105 -- 106 -F CBA【例1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是 A、1)d B、1)d C解：()22kd kd k d d d d'++'⋅= ∴1)d d '=【例2】如图所示，在湖里有一长管，管内有一活塞，其质量和摩擦不计，且下端位于水面上，活塞面积为22cm ，大气压强为50101⨯=p Pa ，现把活塞缓慢地提高H ＝20m ，则拉力对活塞做的功为多少？（g 取2/10s m ） 分析：⑴由于是广阔的湖面，则管外水面的下降高度不计， ⑵水位差达前10m 为变力做功，力与水位成正比，后10m 水位差为恒力做功（水位不再上升） ⑶缓慢提升，即活塞匀速，活塞受力平衡解：设大气压支持的水位差为h ，则有：m gP h 100==水ρ前10m 的水位差变力做功： J g Sh h shgh F W 10021221====ρρ 后10m 为恒力做功：J Shg h H S P Fh W 200)(02=-==ρ或 则拉力对活塞做功：21W W W +=＝300J说明：本题也可以用“功能关系”（1）前10m 外力做功等于机械能的增量mg ×0.5h ,（2）后10m 外力为恒力做功，W ＝FS ＝200J 。

【例3】将一根木桩打入泥土中，已知木桩在泥土中遇到的阻力与木桩进入泥土中的深度成正比，比例系数为k ，把木桩分成n 等份，将第一段打入土中的能量为E ，求把第n 段打入的土中需要的能量为多少？整个木桩打入土中时给予木桩的总能量是多少？解：⑴第一段的能量为E 得：kEx x kx E W 2212=⇒⋅== ⑵第n 段打入的能量：E n x nkxkx n W E n n )12(2)1(''-=⋅+-==⑶全部打入的总能量：E n nx nkxW E n n 22=⋅== 【例4】边长为a 的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面。

现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平。

求在这一过程中压力做的功，水的密度为ρ。

解析：力的最小值为0，而上表面与水面平齐时，压力为mg 所以平均力为2mg力做的功为 22a mg W ⋅= 而23a g m g ρ=所以48122ga a mg W ρ=⋅=【例1】如图在光滑的水平面上，物块在恒力F ＝100Ｎ的作用下从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4 ｍ，α＝37°,β＝53°,求拉力F 做的功.（100 J ）【例2】如图，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1．W 2，滑块经B ．C 两点时的动能分别为E KB ．E Kc ，图中- 107 -AB=BC ，则一定有（05江苏）（ ）(A)W l >W 2 (B)W 1<W 2 (C)E KB >E KC (D)E KB <E KC【例题】如图，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为 A 、 0J B 、20πJ C 、10J D 、20J解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F×2πR=10×2πJ=20πJ ，故B 正确。

【例题】质量为5t 的汽车以恒定的输出功率75kW 在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s ，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。

解析：汽车的功率不变，根据P Fv =知，随着速度v 的增大，牵引力将变小，不能用W Fl =求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功J Pt W F 1010753⨯⨯==J 5105.7⨯=再由动能定理得：W W mv f F +=-1202所以W mv W J f F =-=-⨯1251025⑴左边是合力功，先要作“受力分析“，再作“做功分析”明确哪些力做了功，哪个阶段做功，是正功还是匀功。

⑵多力多过程，可以“分段列式”，也可“全程列式”。

⑶动能定理是以“个体”为对象列式，是“独孤系”，而机械能守恒是以系统为对象，是“多物系”。

【例1】如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。

在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。

在此过程中，拉力F 做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉； ⑵F 为恒力；⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。

可供选择的答案有A ．θcos FLB ．θsin FLC ．()θcos 1-FLD ．()θcos 1-mgL 解析：⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解。

F 做的功等于该过程克服重力做的功。

选D⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功。

选B ⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。

选B 、D【例2】如图所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。

求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

解析：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做正功，水平面上摩擦力做负功，由于物体在AB 段受的阻力是变力也做负功，做的功不能直接求。

根据动能定理可知：W 合=0，所以0=--AB W mgL mgR μ J W AB 6= 【例3】如图所示，质量m kg =1的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB 是弯曲的，且A 点高出B 点h m =08.。

物体到达B 点时的速度为2m s /，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。

BC- 108 -解析：物体由A 运动到B 的过程中共受到三个力作用：重力G 、支持力F N 和摩擦力F f 。

由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。

但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。

由动能定理W E k 外=∆，其中W W W E mv mv G fk B A外=+=-∆121222所以mgh W mv f B +=122代入数据解得W J f =-584.【例4】如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A 点离滑轮的距离为H 。