知识讲解_《常用逻辑用语》全章复习与巩固_提高

《常用逻辑用语》全章复习与巩固 编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p ，则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】要点一：命题的四种形式如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题： 若p ，则q ； 逆命题： 若q ，则p ； 否命题： 若p ⌝，则q ⌝； 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝. 四种命题的关系：①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点二：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法： （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A =B ，可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B .如图：“A B ⊆”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点三：逻辑联结词“或”“且”“非” “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”. ③“非p ”与p 的真假相反. 要点诠释：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立.可以类比于集合中“x A ∈或x B ∈”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p 或q ”的否定是“⌝p 且⌝q ”； “p 且q ” 的否定是“⌝p 或⌝q ”. （3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论.要点四：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ∀”表示，读作“对任意 ”.含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可表示为“,()x M p x ∀∈”，其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“∃”表示，读作“存在 ”.含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”可表示为“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的命题.对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ： ,()x M p x ∀∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∃∈⌝.全称命题的否定是特称命题.（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ： ,()x M p x ∃∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∀∈⌝.特称命题的否定是全称命题.要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）.（2）一些常见的词的否定：【典型例题】类型一：命题的四种形式例1. 写出命题“已知a ，b 是实数，若0ab =，则0a =或0b =”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.【解析】逆命题：已知a ，b 是实数，若0a =或0b =, 则0ab =, 真命题； 否命题：已知a ，b 是实数，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠，真命题； 逆否命题：已知a ，b 是实数，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真命题. 【总结升华】1.“已知a ，b 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式1】已知命题：若1q <，则方程220x x q ++=有实根. 写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.【答案】逆命题：若方程220x x q ++=有实根，则1q <， 假命题；否命题：若q ≥1，则方程220x x q ++=无实根， 假命题； 逆否命题：若方程220x x q ++=无实根，则q ≥1， 真命题. 【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】 【变式2】写出下列命题的否命题：（1）若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为0； （2）若220x y +=，则x y ，全是0. 【答案】（1）若0abc ≠，则a ，b ，c 都不为0； （2）若220,x y +≠则x y ，不都为0. 类型二：充要条件的判断例2. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）.（1）已知：p ：0m >；q ：方程20x x m +-=有实根.则p 是q 的条件； （2）已知：p :|1|4x +≤；q :256x x <-.则p ⌝是q ⌝的条件. 【解析】(1)方法一：定义法∵0m >⇒方程20x x m +-=有实根，且方程20x x m +-=有实根0⇔∆≥140m ⇔+≥⇒/0m >.所以p 是q 的充分而不必要条件.方法二：从集合的观点入手p ：{|0}m A m m ∈=>q ：{|m B m ∈=方程20x x m +-=有实根}1{|}4m m =≥-因为A ◊B ，所以p 是q 的充分而不必要条件.（2）p :|1|4x +≤53x ⇔-≤≤；q :256x x <-2560x x ⇔-+<23x ⇔<<.由图知：q ⇒p 但p ⎭q ,故q 是p 的充分不必要条件,故p ⌝是q ⌝的充分不必要条件. 【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是p ⌝与q ⌝关系. 举一反三：【变式1】指出下列各组命题中,A 是B 的什么条件（1）A ：2,p p R ≥∈； B ：方程230x px p +++=有实根； （2）A ：231x ->；B ：2106x x >+-；（3）A ：圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切；B ：2222()c a b r =+. 【答案】(1)必要非充分条件． ∵2p ≥⇔2p ≥或2p ≤-，方程230x px p +++=有实根⇔0∆≥⇔214(3)02p p -+≥⇔≤-或6p ≥， ∴{|2A p p =≥或2}p ≤-{|6B p p =≥或2}p ≤-，即x A∈x B ∈.所以A 是B 的必要非充分条件． (2)必要非充分条件 ∵23112x x x ->⇔<>或；210326x x x x >⇔<->+-或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ， 故A 是B 的必要非充分条件． (3)充要条件直线0ax by c ++=与圆222x y r +=相切⇔ 圆(0，0)到直线的距离d r =， 222222()c r c a b r a b =⇔=++.所以A 是B 的充要条件.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例2】 【变式2】设a ∈R ，则1a >是11a -<的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A类型三：复合命题真假的判断例3. 已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.（1）p ：2x =是方程2560x x -+=的根， q ：5x =是方程2560x x -+=的根； p 或q .（2）p ：3π>，q ：π是有理数； p 且q . （3）p ：若2x =，则x ∈N 或0x <； 非p . 【解析】（1）p 或q ：2x =或5x =是方程2560x x -+=的根，真命题. （2）p 且q ：π是大于3的有理数， 假命题. （3） 非p ： 若2x =，则x ∉N 且0x ≥， 假命题. 【总结升华】1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x ∈N 或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】若命题p ：()x AB ∈，则命题“非p ”是（ ）A ．x A ∉且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．()x A B ∉D ．()x AB ∈【答案】A【解析】∵因为命题p 可陈述为：x 属于集合A 或x 属于集合B ，∴非p ：x 即不属于集合A 且也不属于集合B ，即非p ：x A ∉且x B ∉，故选A.【变式2】满足“p 或q ”为真，“非p ”为真的是 （填序号）（1）p ：在ABC ∆中，若cos2cos2A B ＝，则A=B ； q ：sin y x =在第一象限是增函数（2）p ：,)a b a b +≥∈R ；q ：不等式x x >的解集为(),0-∞（3）p ：圆()221(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；q ：椭圆22143x y +=的一条准线方程是4x =.【答案】(2)【解析】由已知条件，知命题p 假、命题q 真. 选项(1)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(2)中命题p 假、命题q 真；选项(3)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故填(2)．类型四：全称命题与特称命题真假的判断 例4. 判断下列命题的真假：（1）41x x ∀∈≥，N ； （2）3001x x ∃∈<，Ζ. 【思路点拨】如何判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个．．．．元素，使得命题为真，否则为假；要判断一个全称命题为真，必须对给定集合中的每一个．．．元素，使得命题为真，否则为假.【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，41x ≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假. （1）21,04x x x ∀∈-+≥R ； （2）所有的正方形都是矩形； （3）2000220x x x ∃∈++≤R ，； （4）至少有一个实数0x ，使得2020x +=. 【答案】（1）p ⌝：20001,04x R x x ∃∈-+<（假命题）； （2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20x R x ∀∈+≠（真命题）.。