高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)课时提升作业新人教A版必修4
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有OA·OB=1(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos［2-(α-β)］=cos［(2-α)+β］=cos(2-α)cosβ-sin(2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2均为任意角.的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=s in(cos())s incosc oscosc ossin sinsin，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan tantan(α+β)=1tantan，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan tantan(α-β)=1tantan.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2,β≠kπ+2，α+β≠kπ+2或2α-β≠kπ+2，以上 k∈Z .当 tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或 其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是 化简三角恒等式的重要手段，如 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运 用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° = 232 1 62 22 24 2；tan60tan 45 3 1tan15°=tan(60°-45°)= 2 31 tan 60tan 45 1 3 tan 60 45 1 3，3 1tan 45 tan 303或 tan15°=tan(45°-30°)= 2 31 tan 45tan 303 13. 例 2 求 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中 7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约 分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用 15°=8°+7°或 8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=sin 7 cos 7cos(7 sin(78)sin 8 8)sin 8s in 7 cos 7cos7cos8sin 8 s in7cos8sin8s in 7cos7sin2sin28 8s in 7(sin cos 7sinsin 7cos2 cos 7cos288cos7cos8sin8sin7cos8sin8s in7cos8cos7sin 8c os7cos8sin7sin 8sin15tan1523. cos15巧解提示:原式=sin(15cos(158)8)c os15sin 8sin15sin 8s in15 cos8 c os15 cos8cos15sin8sin 8sin15cos15sin15sin8sin83s in15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)31tan45tan30323.1tan45t an 30313方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值1例3 已知sinα=，求cos( +α)的值.3 3思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条31件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代3入展开式确定cos( +α)的值.31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.3当α是第一象限角时，cosα=1221()2，33∴cos(3+α)=cos3cosα-sin3sinα=1223122232363;22同理，当α是第二象限角时，cosα=，3∴cos(3233+α)=.6方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos( +α)这样的2函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导2公式可能更简单.例4 已知cos(α-2)=1，sin(92-β)=23，并且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos24思路分析：观察给出的角()()，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需222利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos( -β)的值即可.22解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.2242224∴＜α-＜π，- ＜-β＜.424221＜0，∴又∵cos(α-)= .29221∴sin(22)1sin()1()229459.同理，∵sin(2-β)=23>0，∴.222∴cos(22)1sin()1()22353.故cos[()()]cos222=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin(2222-β)1545275.939327例5 在△ABC中，sinA=355,cosB=13，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符解：5,∴B∈( 2∵cosB=13 24 ,212 13)且 sinB=. ∵sinA= 3 ,∴A∈(0, 2 5 24 )∪( 34 ,π).33若 A∈(,π),B∈( , )，则 A+B∈(π,)与 A+B+C=π 矛盾，44 2234∴A(,π).因此 A∈(0, )且 cosA= .445 45 3 12 16从而 cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=. 5 13 5 13 655例 6 如图 3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置，求点 P′(x′,y′)的 坐标.图 3-1-7思路分析：本题相当于已知角 α 的三角函数值，求 α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|= 32 42 5 ，所以cosα=3 5 ,sinα=45 . 因为 x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)3 24 2 2 5( )，5 2 5 22同理,可求得 y′=5sin(α+45°)=7 22 7 ，所以 P′(,2 2 22 ).方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限，则角 α 的其他三角函数值唯 一；已知角 α 的某一三角函数值，不知角 α 所在的象限，应先分类讨论，再求 α 的其他三 角函数值.②一般地，90°±α，270°±α 的三角函数值，等于 α 的余名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已 知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα=5 5 ，sinβ= 10 10,且 α、β 都是锐角，求 α+β 的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出 α+β 的某个三角函数值，如 cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα、cosβ 即可.(3)由于 α、β 都是锐角，所以 0＜α+β ＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据 cos(α+β)的值即可求出 α+β 的值. 解：∵sinα=5 5,sinβ=10 10，且 α、β 都是锐角，∴cosα=2 5 1 sin2，cosβ=53 10 1 sin 2.10∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=210 10. 5 3 5 2 5 1051026又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3s inβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.tan12tan18解：∵1tan12tan18=tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边.∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.tan tan解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=1tantan=1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=kπ+4,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；7当 α+β=kπ- 问题•探究 思想方法探究4,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些 公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的， 尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ 化简为__________.将 α-β 看作一个角，β 看 作另一个角,则 cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos ［(α-β)+β］=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.tantan探究结论:两角和的正切公式 tan(α+β)=1 tan tan.除了掌握其正向使用之外，还需掌握 如 下 变 换 ： 1-tanαtanβ=tan tan( tan)； tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ 等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉， 其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题 2 2004年重庆高考有一题为：求函数 y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最 小 值 ， 并 写 出 该 函 数 在 ［ 0,π］ 上 的 单 调 递 增 区 间 .该 函 数 变 形 后 就 需 要 用 到 形 如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角 变换？探究过程:形如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形ab式.asinx+bcosx=b ( sincos )a 22xx ,abab2222令 cosφ=aa2b2,sinφ=ba2b2，则原式= a 2b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= a 2 b 2 sin(x+φ).(其中 φ 角所在象限由 a 、b 的符号确定，φ 角的值由 tanφ=b a 确定，常常取 φ=arctan b a).探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx ，就可以利用这一结 论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2 b 2 13 ，所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ)，(其中 φ 在第四象限，且 tanφ=3)，所以 2sinx-3cosx 2的最大值是 13 ，最小值是 13 .8。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标 1.(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)等于( ) A.-23B.-21C.21D.23 解析:(cos12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π) =cos 12π·cos 12π+cos 12π·sin 12π-cos 12π·sin 12π-sin 12π·sin 12π =cos 12π·cos 12π-sin 12πsin 12π=cos 6π=23. 答案:D2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( ) A.57B.51C.-57D.-51 解析:∵α∈(0, 2π),sin α=53, ∴cos α=542591=-. ∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π) =2(22cos α-22sin α)=cos α-sin α =54-53=51. 答案:B3.cos84°·cos24°-cos114°·cos6°的值为( ) A.23B.0C. 21D.2 解析:cos84°·cos24°-cos114°·cos6°=cos84°·cos24°+cos66°·sin84°=cos84°·cos24°+sin24°·sin84°=cos(84°-24°)=cos60°=21. 答案:C4.sin 47°·cos43°+cos47°·sin43°的值等于( ) A.0B.1C.-1D.21 解析:sin47°cos43°+cos47°·sin43°=sin(47°+43°)=sin90°=1.答案:B5.已知sin α=1312,cos β=54,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于( ) A.6533B.6563C.6516- D.-6556解析:∵α是第二象限角,且sin α=1312,∴cos α=1691441--=-135.β是第四象限角,cos β=54,∴sin β=25161--=-53.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =1312×54-(-135)×(-53) =6533651548=-.答案:A6.已知sin α=54,cos(α+β)=-53,α、β都是第一象限的角,则sin β等于( ) A.2524B.257 C.2524或257 D.-2524解析:∵α,β都是第一象限角,且cos(α+β)=53-,∴α+β为第二象限角.∴sin(α+β)=2591-=54,cos α=1-5325161=-.∴sin β=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)·sin α =54×53+53×54=2524251212=+. 答案:A7.sin113°cos22°+sin203°sin158°的值为( ) A.21B.22C.23D.1 解析:sin113°=sin(180°-67°)=sin67°=sin(90°-23°)=cos23°,sin203°=sin(180°+23°)=-sin23°,sin158°=sin(180°-22°)=sin22°.∴原式=cos23°·cos22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos45°=22. 答案:B8.若A 、B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B 等于( ) A.4πB.43πC.45πD.32π 解析:由(1+tanA)(1+tanB)=2,得1+tanA+tanB+tanAtanB=2.所以tanA+tanB=1-tanAtanB.由tan(A+B)=1tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan =--=-+B A B A B A B A , ∴A+B=4π. 答案:A9.已知sin α-cos β=21,cos α-sin β=31,则sin(α+β)=______________. 解析:把sin α-cos β=21两边平方,得 sin 2α-2sin αcos β+cos 2β=41.① 把cos α-sin β=31两边平方,得 cos 2α-2cos αsin β+sin 2β=91.② ①+②,得1+1-2(sin αcos β+cos αsin β)=3613. ∴2sin(α+β)=2-3613=3659. ∴sin(α+β)=7259. 答案:725910.已知tan α、tan β是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(-2π,2π),则tan(α+β)=__________,α+β=__________.解析:∵tan α,tan β是方程x 2+33x+4=0的两根, ∴⎩⎨⎧>=∙<-=+.04tan tan ,033tan tan βαβα∴tan α＜0,tan β＜0.∴α,β∈(-2π,0).∴-π＜α+β＜0. tan(α+β)=.33334133tan tan 1tan tan ==--=-+βαβα ∴α+β=-32π. 答案:3 -32π 11.求值:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解:原式=(2sin50°+sin10°︒∙︒︒+︒80sin 210cos 10sin 310cos =(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10° =22［sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)］ =22sin(50°+10°)=22·23=6. 12.已知tan α、tan β是方程6x 2-5x+1=0的两根,且0＜α＜2π,π＜β＜23π.求: (1)tan(α+β)及α+β的值;(2)sin 2(α+β)-cos(α+β)sin(α+β)-3cos 2(α+β)的值. 解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+.61tan tan ,65tan tan βαβα ∴tan(α+β)=1tan tan 1tan tan =∙-+βαβα.又∵π＜α+β＜2π,∴α+β=45π. (2)原式=)(cos )(sin )(cos 3)sin()cos()(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =1)(tan 3)tan()(tan 22++-+-+βαβαβα =11311+-++ =-23. 走近高考13.(2006江西高考,13)已知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为______________.解析:a -b =(0,sin θ-cos θ),|a -b |=|sin θ-cos θ|=|2sin(θ-4π)|, ∴最大值为2.答案:214.(2006江苏高考)tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________. 解析:原式=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2·︒︒70cos 70sin ·sin40°-2cos40° =︒︒︒-︒︒70cos )70cos 40cos 40sin 70(sin 2 =.270cos 110cos 2=︒︒- 答案:215.(2006福建高考,4)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71B.7C.-71D.-7 解析:∵α∈(2π,π),且sin α=53,。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正
1．设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4＝(
)
7
1
A.5
B.5
C．－75
D．－15
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解析： 易得 cos α＝45，
则
2cosα＋π4＝
2cos αcos
π4－sin αsin
π4＝15.
答案(dáàn)： B
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2．sin 59°·cos 89°－cos 59°·sin 89°的值为( )
1－172＝4 7 3.
由 0＜β＜α＜π2，得 0＜α－β＜π2.
又∵cos(α－β)＝1134，
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∴sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝
由 β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1134＋4 7 3×3143＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.
(3)求角，结合三角函数值及角的范围求角
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同类练]☆ 1．已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求 α－β 的值．
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解析： ∵α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
第三十六页，共39页。
故co1s A＋co1s C＝cos（601°＋α）＋cos（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:x x cos 22sin （1+tanx·tan 2x ）=tanx. 思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x 的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx ，tan 2x =x x x x x x x sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2-==. 证法1：左端=x x x cos 2cos sin 2（1+xx x x sin cos 1cos sin -•) =sinx （1+xx cos cos 1-） =xx cos sin =tanx=右端. 证法2：左端=x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2tan 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2)2tan(2tan tan cos 22sin =••=--• =x x cos sin =tanx=右端. 温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）若x∈［0，2π］，求f （x ）的最大值，最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45. 当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22； 当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在［0，2π］上的最大值为1， 最小值为2-.温馨提示（1）将cos2x-sin2x 变形为sin （4π-2x ），也会有同样的结果; （2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）（A ，ω，φ均为常数，A ＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f （x ）=3-sin 2x+sinxcosx （1）求f （625π）的值； （2）设α∈（0，π），f （2α）=41-23，求sinα的值 解：（1）∵sin 625π=21，cos 625π=23， ∴f（625π）=-3sin 2625π+sin 625πcos 625π=0 （2）f （x ）=23cos2x-23+21sin2x ∴f（2α）=23cos α+21sin α-23=41-23， 16sin 2α-4sin α-11=0解得sin α=8531±. ∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=8531+ 温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin 4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos 22α-4cos2α=2（cos 22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin 2α）2=8sin 4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin 4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos 22α）=2-4cos2α+2cos 22α =2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1 求证:.tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 12θθθθθθ-++=-+ 证明：左边=θθθtan 24sin )4cos 1(+- =θθθθθcos sin 22cos 2sin 22sin 22+=θθθθθsin sin cos 2)2cos 2(sin 2+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ） 右边=θθθ2tan 14sin )4cos 1(-++ =θθθθθθ2222cos sin cos 2cos 2sin 22cos 2•-+ =θθθθθ2cos 2cos )2sin 2(cos 2cos 2•+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+α， （1）写出函数f （x ）的单调递增区间;（2）求f （x ）的最小正周期.解：（1）f （x ）=2322cos 1+-x sin2x+a =23sin2x-21cos2x+a+21 =sin （2x-6π）+a+21, 2k π-2π≤2x -6π≤2kπ+2π，k∈Z ， k π-6π≤x≤kπ+3π,k∈Z , ∴f（x ）的单调递增区间是［kπ-6π，kπ+3π］，k∈Z （2）T=222πωπ==π， ∴f（x ）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx ）+a 2设t=sinx+cosx ，t 为何值时，函数y 取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=2sin （x+4π），-2≤t≤2， ∴t 2=1+2sinxcosx=1+sin2x ，sin2x=t 2-1，∴y=t 2-1-2t+a 2=（t-1）2+a 2-2∵-2≤t≤2，∴当t=1时，函数y 取得最小值a 2-2类题演练3 已知α为第二象限角，且sinα=415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 解：∵sinα=415，α为第二象限角，∴cosα=-41. ∴sin2α=2sinαcosα=815-. ααπαπαααπα2cos 22sin 4sin cos 4cos sin 12cos 2sin )4sin(++=+++ =151230)41(28152241224152--=-⨯+-⨯-⨯ =.2151)115(2-=--变式提升3函数f （x ）=sin 2（x+4π）-sin 2（x-4π）是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f （x ）=2)22cos(12)22cos(1ππ---+-x x =22sin 122sin 1x x --+=sin2x.∴T=22 =π,f（x ）为奇函数. 答案：B。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公
－1665，得 sin(α＋ β )＝6635，又 sin α＝45，所以 cos α ＝35，
所以 cos β＝cos[(α＋ β )－α]＝ cos(α＋ β )cos α＋sin(α＋ β )sin α＝ －1665×35＋6635×45＝230245.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“α， β∈
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
3．cos(－15°)的值是( )
6－ 2 A. 2
0，π2”改为“α， β∈π2，π”，求 cos β 的值． 解：因为 α， β∈π2，π，所以 π＜α＋ β ＜2π， 由 cos(α＋ β )＝－1665，得 sin(α＋ β )＝－6635， 又 sin α＝45，
所以 cos α＝－35， 所以 cos β＝cos[(α＋ β )－α]＝ cos(α＋ β)cos α＋sin(α＋ β )sin α＝ －1665×－35＋－6635×45＝－230245.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、温故互查：（二人小组互述）(1) 你能说出两角和与差的余弦公式吗？cos (α –β )=(2) 你能说出诱导公式的内容吗？我们利用哪些公式能实现正弦、余弦的相互转化呢？二、设问导读：探究一：两角和与差的正弦公式问题1：由公式C (α-β)、及诱导公式 出发，你能将 转化为余弦吗？ 问题2：你能利用C (α-β)、在问题1的基础上推出两角和的正弦公式吗？1、 =问题3： 的范围是什么？能否用β-替换β？你能推导出两角差的正弦公式吗？ = （其中的取值范围是 ） 探究二：两角和与差的正切公式问题4：你能根据两角和的正弦、余弦公式推导出用有关αβ、的正弦、余弦表示的展开式吗？问题5：在问题4的基础上，怎样将展开式的右端转换成用αβ、的正切表示的关系式呢？ 2、 = 问题6：类比的推导你能推出 的公式吗？ =思考：的取值范围是什么呢？三、自学检测：例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值.例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos 2α的值。
公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos12sin 3ππ+的值四、巩固训练：1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______2、cos 20cos70sin 20sin 70-oooo的值为3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是 ()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、5、不查表分别求cos75°，sin75o ，sin15o 及tan15的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式同步优化
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.化简sin cos-cos sin的值是( )A. B. C.-sin D.sin解析：原式=-sin cos+cos sin=sin(-)=sin=.答案：B2.（高考北京卷，理5）对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是( )A.sin(α+β)＞sinα+sinβB.sin(α+β)＞cosα+cosβC.cos(α+β)＜sinα+sinβD.cos(α+β)＜cosα+cosβ解析：当α=β=30°时,可排除A、B选项,当α=β=15°时,代入C选项中,即0＜cos30°＜2sin15°,两边平方得＜4sin215°=4×≈0.268,矛盾.故选D.答案：D3.(高考陕西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_________________.解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-s in43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=.答案：4.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________________.解析：∵tan60°=tan(20°+40°)=，则tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°)=-tan20°tan40°，因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.要使得sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是( )A.(-∞，］B.［1，+∞)C.［-1，］D.(-∞，-1］∪［，+∞)解析：由已知化简，得sinα-cosα=2(sinαcosα)=2sin(α-)，∴2sin(α-)=，即sin(α-)=.∵-1≤sin(α-)≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得到-1≤m≤.答案：C2.若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：在△ABC中，由内角和定理A+B+C=π，可以得到π-(A+B)=C.又由于2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sin［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.整理可得到cosBsinA=cosAsinB，移项可得sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0.在△ABC中，∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即得到A=B.因此三角形是等腰三角形.答案：C3.已知=，则的值等于( )A. B. C. D.解析：在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan=1，运算中要能够把1与tan灵活代换.由==tan(-α)，可知，tan(-α)=.而-α与+α互为余角，则有=tan(-α)=.答案：A4.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于( )A.2B.-2C.4D.-4解析：由tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，。
[精品课件]高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦
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(2)由(1)可知， sinπ4＋α＝45，cos34π＋β＝－1123， ∴sinπ4＋α－34π＋β ＝sinπ4＋αcos34π＋β－cosπ4＋αsin34π＋β ＝45×－1123－－35×153＝－3635. 又 sinπ4＋α－34π＋β＝sin（α－β）－π2＝－cos(α－β)，从而 cos(α－β)＝3635.
8° 8°.
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝12× 22－
3 2×
22＝
2－ 4
6 .
sin 7°＋cos 15°sin 8° (2)cos 7°－sin 15°sin 8°
＝scions（（1155°°－－88°°））＋－csoins
s（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs－α 34.
由题设有cocso2αs－α 34＝－cos2B＝－2 2， 整理得：4 2cos2α＋2cos α－3 2＝0. (2cos α－ 2)(2 2cos α＋3)＝0. ∵2 2cos α＋3≠0，∴2cos α－ 2＝0. ∴cos α＝ 22.故 α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
＝－ 1－－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切(第2
要点 1 和角正切公式 tan(α＋β)＝1t－anαtan＋α ttaannββ ． 要点 2 差角正切公式 tan(α－β)＝1t＋anαtan－α ttaannββ ．
要点 3 公式的变形 tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )； tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )． 要点 4 公式 T(α±β)中的符号(±)规律可简记为“分子同，分母 反”
这两项．
解析 由题意，得
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13，① cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，② ①＋②，得 2cosαcosβ＝185，∴cosαcosβ＝145. ①－②，得 2sinαsinβ＝－125，∴sinαsinβ＝－115. ∴tanαtanβ＝csoinsααscionsββ＝－4115＝－14.
＝tan 3 [1－tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)]＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)
π
π
π
π
＝ 3－ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＝ 3.
②原式＝ 33(tan20°＋tan40°)＋tan40°·tan20°
＝ 33tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°
1－ 3tan75° (5) 3＋tan75° .
【解析】 (1)原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)
＝11＋－ttaann3300°°＋11－＋ttaann3300°°
1＋ ＝
33＋1－
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式第二课时两角和与差的正切公式省公开课
第4页
2．若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)等于(
)
A．13
B．12
C．－13 答案：A
D．－3
第5页
3.1t－anta1n7°1＋7°ttaann4433°°＝(
)
A． 3
B．－ 3
C．
3 3
答案：A
D．－
3 3
4．tan 105°＝________．
答案：－2－ 3
第6页
第12页
3 所以 tan α＝csions αα＝54＝34.
5 所以 tan β＝tan[α－(α－β)]＝1＋tatnanα－α·tatna（n（α－α－β）β）＝ 1＋34－34×12 12＝121.
第13页
(2)因为 tan A，tan B 是方程 3x2＋8x－1＝0 的两个实根，所以 tan A＋tan B＝－83，tan Atan B＝－13， 所以 tan(A＋B)＝1t－antaAn＋AttaannBB＝ 1－－－83 13＝－2.又 A＋B＋C＝π， 所以 tan C＝tan[π－(A＋B)] ＝－tan(A＋B)＝2.
第20页
(2)由条件知ssiinn
α＋cos α－cos
αα＝ttaann
αα－＋11＝3，
则 tan α＝2.
因为 tan(α－β)＝2，
所以 tan(β－α)＝－2，
故 tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝1t＋ant（anβ（－βα－）α－）ttaannαα＝1＋（－－2－2）2 ×2＝43.
tan(α＋β) ＝ tan α＋tan β
1_－__t_a_n_α_t_a_n__β
两角差 的正切
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第2课时两角(20191105101238)
学习目标： 1. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
.2. 能
利用两角和与差的正切公式进行化简、 求值、 证明． ( 重点 )3. 熟悉两角和与差的正切公式的
常见变形，并能灵活应用． ( 难点 )
[ 自 主 预 习·探 新 知 ]
两角和与差的正切公式
＝ 4
1 ＝ 3.]
1＋3× －3
1＋tan 15 °
(1)
＝ ________.
1－tan 15 °
两角和与差的正切公式的逆用
1－ 3tan 75 °
(2)
＝ ________. 【导学号： 84352318】
3＋tan 75 °
[ 思路探究 ] 注意特殊角的正切值和公式 T(α±β) 的结构，适当变形后逆用公式求值．
CD 1
tan
∠
CAD＝
AD＝
， 2
tan ∠ BAC＝ tan( ∠ CAD－∠ BAD) tan ∠CAD－ tan ∠ BAD
＝ 1＋ tan ∠ CADtan ∠ BAD
11 2－3 ＝ 11 1＋ 2× 3
1 ＝ 7.]
[ 规律方法 ] 1. 公式 T(α±β )的结构特征和符号规律：
(1) 结构特征：公式 T( α± β) 的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，
)
tan α＋ tan β (3)tan( α ＋ β ) ＝ 1－ tan α tan β 等价于 tan α ＋ tan β ＝ tan( α ＋ β ) ·(1 － tan
αtan β ) ． (
)
π
π
π
[ 解析 ] (1) √. 当 α ＝ 0， β ＝ 3 时， tan( α ＋β ) ＝tan 0＋ 3 ＝ tan 0 ＋ tan 3 ，但
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·漳州高一检测)已知α∈，sinα=，则tan等于
( )
A. B. 7 C. - D.-7
【解析】选A.因为α∈，sinα=，
所以cosα=-=-=-，
所以tanα===-，
所以tan===.
2.(2014·烟台高一检测)已知tanα=，tan(α-β)=，则tanβ等于( )
A. B.- C.- D.
【解题指南】注意β=α-(α-β)，用两角差的正切公式求值.
【解析】选C.由tanα=，tan(α-β)=，得
tanβ=tan[α-(α-β)]=
==-.
【变式训练】已知tan=，tan=，则tan的值为
( )
A. B. C. D. 1
【解析】选D.tan=tan
===1.
3.若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°= ( )
A.m
B.(1-m)
C.(m-1)
D.(m+1)
【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°
===，
所以tan 28°+tan 32°=(1-m).
4.若α+β=，则= ( )
A.tanα
B.tanβ
C.tan
D.tan
【解析】选A.因为α+β=，所以tan=1，
所以=
=tan[-β]=tanα.
5.(2013·大连高一检测)在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不能确定
【解题指南】可借助公式T(α±β)，也可以采用切化弦求解.
【解析】选B.由条件知，tanB>0，
tanC>0，1-tanBtanC>0，
所以tan(B+C)=>0.
所以B+C为锐角，从而A为钝角.
【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1，
所以B，C均为锐角，
所以<1，所以cos(B+C)>0，
所以cosA<0，所以A为钝角.
6.(2014·襄阳高一检测)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD=2∶3∶6，则tan∠BAC= ( )
A.1
B.
C. D.
【解析】选B.因为AD⊥BC，BD∶CD∶AD=2∶3∶6，
所以在Rt△ABD中tan∠BAD==，
在Rt△ACD中，tan∠CAD==，
所以tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)
=
==.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2014·吉林高一检测)tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是.
【解析】因为tan60°=tan
=，
又tan60°=，
所以=，
所以tan20°+tan40°=，
所以tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
答案：
【变式训练】(2013·宁波高一检测)若tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0，α，β∈，则α+β为.
【解析】tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，
因为tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0，
所以1-tanαtanβ=-tan(α+β)(1-tanαtanβ)，
所以tan(α+β)=-1，
又因为α，β∈，
所以π<α+β<2π，
所以α+β=.
答案：
8.(2014·泰州高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知以x轴非负半轴为始边的角α，β的终边分别经过点(-4，3)，(3，4)，则tan(α+β)= .
【解析】由题意结合三角函数的定义可得
tanα=-，tanβ=，由两角和的正切公式可得
tan(α+β)===.
答案：
9.计算= .
【解析】原式==·tan30°=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.求证：tan3α-tan2α-tanα=tan3αtan2αtanα.
【证明】左边=tan-tanα
=tanα·-tanα
=tan3αtan2αtanα=右边，所以原等式成立.
11.(2014·吉安高一检测)已知sinx+cosx=，且x∈.
(1)求cosx.
(2)求.
【解题指南】(1)先根据题目条件求sin和cos，再由cosx=cos用两角差的余弦公式求值.
(2)将所求式与tan联系起来.
【解析】由sinx+cosx=得sin=.
因为x∈，所以+x∈，
所以cos=-.
(1)cosx=cos
=cos cos+sin sin
=-×+×
=-.
(2)由(1)知tan=-，
所以==-.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·潍坊高一检测)设向量a=，b=，若a⊥b，则tan等于( )
A.-
B.
C.-3
D.3
【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=·=2cosα-sinα=0，所以tanα==2，所以tan===.
2.若tanα=lg(10a)，tanβ=lg，且α+β=，则实数a的值为( )
A.1
B.
C.1或
D.1或10
【解析】选C.因为tan(α+β)=1，
所以==1.
所以lg10+lga -lga=1-(lg10+lga)(-lga)
所以(lga)2+lga=0，
所以lga=0或lga=-1，即a=1或.
【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误.
3.已知tanα和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a，b，c的关系是
( ) A.b=a+c B.2b=a+c
C.c=a+b
D.c=ab
【解析】选C.tanα+tan=-，
tanαtan=，
所以tan==1.
所以-=1-.
所以-b=a-c，所以c=a+b.
4.在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3，tan2B=tanAtanC，则∠B= ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【解题指南】利用已知条件和tan=构建关于tanB的方程，求tanB再求∠B. 【解析】选C.因为A+B+C=180°，
所以tan(A+C)=-tanB，
又tanA+tanB+tanC=3，
所以tanA+tanC=3-tanB.
又tan2B=tanAtanC，
所以由tan=
得-tanB=
所以-tanB=3-tanB，
所以tan3B=3，所以tanB=.
又因为0°<∠B<180°，所以∠B=60°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014·天津高一检测)已知tan=，tan=，则
tan(α+β)= .
【解析】tan(α+β)=tan(α+β-π)
=tan
=
==1.
答案：1
6.(2014·正定高一检测)= .
【解析】=
=
=-tan(75°+45°)
=-tan120°=.
答案：
【变式训练】(2013·宿迁高一检测)的值为.
【解析】原式==tan(105°-60°)
=tan 45°=1.
答案：1
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知tan=2，tanβ=，
(1)求tanα的值.
(2)求的值.
【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开，转化为关于tanα的方程求tan α.
(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开sin(α+β)，cos(α+β)，化简原式，然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切，并用公式求值.
【解析】(1)因为tan=2，
所以=2，
所以=2，解得tanα=.
(2)
=
==
=tan=
==.
8.(2014·珠海高一检测)在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B两点，已知A点的纵坐标为，B点的纵坐标为.
(1)求tanα和tanβ的值.
(2)求2α+β的值.
【解析】(1)由已知得sinα=，sinβ=，
因为α，β均为锐角，
所以cosα==，
cosβ==，所以tanα=，tanβ=.
(2)因为tan(α+β)===，
所以tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]
===1.
因为0<α<，y=tanx在上单调递增，
且tanα<1=tan，所以0<α<，
同理0<β<，所以0<2α+β<，
所以2α+β=.。