四川省南江中学高二上学期期末考试数学(理)试卷

2017—2018学年度高二上数学期末考试题（考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．命题“x ∀∈R ，都有21x ≥”的否定是 （ ） A ．0x ∃∈R ，使得21x < B ．不存在x ∈R ，使得21x < C ．0x ∃∈R ，使得201x ≥D ．x ∀∈R ，都有21x <2．直线310x +=的倾斜角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒3．如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某空间 几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π4．已知, αβ是两个不同平面，直线m α⊂，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．若直线1l ：04)2(2=+++y m x 与直线2l ：024=-+y mx 平 行，则m 的值为 （ ） A ．2- B ．4- C ．2或4- D ．2-或4-7．圆22(1)1x y -+=与圆22(12x y +-=)的位置关系为 （ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切8．已知向量(2, 4, ), (2, , 2)a x b y ==，若||6a =且a b ⊥，则y x +的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．3-或1 D ．3或19．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：① 若,m n αβ⊂⊂且//αβ，则//m n ； ② 若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ． 其中真命题．．．的序号是 （ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③10．已知变量, x y 满足约束条件1,1,2 4.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≥≤，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．11B ．8C ．6D ．211．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12, 1, 1,AB BC BB ===P 是AB 的中点，则异面直线1BC 与PD 所成角等于 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．过双曲线22 1 (0, 0)yx a b a b-=>>的右焦点F 作直线0bx ay +=的垂线，垂足为A ，该直线与双曲线左支交于B 点，若2FB FA =，则双曲线的离心率为 （ ）A B ．2 C D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知点(0, 1)A ，若直线m 与直线: 20l x y -=关于点A 的对称，则直线m 的方程为 ．14．已知正四棱锥O ABCD -的体积为错误！未找到引用源。

，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 ．15．已知点(1, 0), (1, 0)A B -，若动点M 与点, A B 的连线的斜率之积为4-，则动点M 的轨迹（连同, A B 两点在内）方程为 ．16．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F M ，，分别是线段1AB AD AA 、、的中点，又P Q 、分别在线段1111A B A D 、上，且11 (01)A P AQ x x ==<<．设平面MEF 与平面MPQ 的交线为直线l ，现有下列结论： ①//l 平面ABCD ； ②l AC ⊥； ③直线l 与平面11BCC B 不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线． 其中成立的结论是 ．（写出所有成立结论的序号）三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合2, 4|}0 3{{|11}B x x x A x a x a =+-=-<<+≥，命题p x A ∈：，命题q x B ∈：．（1）若A B A B =∅=R ，，求实数a 的值；（2）若 q ⌝是 p ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面A B C D ，2PD CD BC AD ===，//AD BC ，90BCD ∠=︒．（1）求证：BC PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PBC 所成的正弦值．19．（12分）已知圆C 过点(3,1)A -且与直线:230l x y +-=相切于点(1,1)B ．（1）求圆C 的方程；（2）若直线1l 过点A 且与直线l 平行，求直线1l 被圆C 截得的线段的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M N 、分别为PA BC 、的中点，PD ⊥平面ABCD ，且21PD AD CD ===，．（1）证明：//MN 平面PCD ；（2）求二面角A PB D --的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：2222 1 (0)y x a b a b +=>>的焦距220x y +-=被椭圆C 截得的线段恰以点1(1, )2为中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，过点(1,0)B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记ABM △与ABN △的面积分别为12, S S ，求12||S S -的最大值．22．（12分）已知抛物线C ：22 (0)y px p =>焦点F ，过点F 斜率为1的直线l 与抛物线交于, A B 两点，且||8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 斜率为k 的直线m 与抛物线C 交于, M N 两点，点N 关于x 轴的对称点Q ，求证：直线MQ 过定点，并求出该定点的坐标．2017—2018学年度高二上数学期末考试题参考答案一. 选择题1---5. ACABC CD A 11---12CC 二. 填空题.13. 042=+-y x 14.π20 15. 1422=+y x 16.①②③三解答题.17解：Ⅰ）B={x |x 2﹣4x +3≥0}={x |x ≤1，或x ≥3}，A={x |a ﹣1＜x ＜a +1}， ................................2分由A ∩B=∅得：11,1 3.a a -⎧⎨+⎩≥≤，解得：2a = ................................3分A ∪B=R ，得11,1 3.a a -⎧⎨+⎩≥≤，得a=2， ...............................4分所以满足A ∩B=∅，A ∪B=R 的实数a 的值为2； .........................................5分（Ⅱ）因q ⌝是p ⌝的充分条件，所以p 是q 的充分条件， .............................6分即A ⊆B ，且A ≠∅， ...................................7分 所以a +1≤1或a ﹣1≥3，解得a ≤0，或a ≥4， ..................................9分 所以p 是q 的充分条件的实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．.....10分 18.证明：（1）∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴ PD ⊥BC. .............................2分 由∠BCD=90°知BC ⊥CD ， .............................3分 ∵ CD∩PD ＝D∴ BC ⊥平面PCD ， ............................4分 ∴ BC ⊥PC ． ..............................5分（2）由AD ∥BC ，∠BCD=90°，知： AD ⊥DC=90°．又由PD ⊥平面ABCD ，知PD ⊥AD ，PD ⊥DC ...........................6分建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，设AD=1，直线PA 与平面PBC 所成的角为θ， 由PD=CD=BC=2AD ，知：A(1，0，0)，P(0，0，2），C （0，2，0），B （2，2，0），，，.........8分设平面PBC 的法向量为：， 由，得：，............................9分 取z ＝1得：， .......................10分∴inθ=cos=． ........12分19解.（1）设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，则 ······································································ 1分由已知得：222222(3)(1),(1)(1),1(2) 1.1a b r a b r b a ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-⋅-=-⎪-⎩ 解得：21,0,5.a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ ·························································· 4分 ∴圆C 的方程为22(1)5x y ++=． ··················································································· 6分 另解：∵ 圆C 过点(3,1)A -和(1,1)B∴ 圆心C 在线段AB 的中垂线1x =-上 ············································································ 1分 又 圆C 与直线:230l x y +-=相切于点(1,1)B∴ 圆心C 在过点B 直线l 的垂线(1)2(1)0x y ---=上 ···················································· 2分由1,(1)2(1)0.x x y =-⎧⎨---=⎩解得：1,0.x y =-⎧⎨=⎩·················································································· 4分 ∴ 圆C 的方程为22(1)5x y ++=． ··················································································· 6分（2）由直线1l 过点A 且与直线l 平行，得直线1l 的方程为：2(3)(1)0x y ++-=，化简得：250x y ++= ·········································································· 8分 设点C 到直线1l 的距离为d ，直线1l 被圆C 截得的线段长为m ，则：d ··········································································································· 10分 ∴m = ···································································································· 12分 20.解：（1）证明：取PD 中点E ，连接ME ，CE ，∵ M 是PA 的中点∴ ME //=21A D ， .......................1分又 N 是BC 的中点，且CB //=AD∴ ME //=CN .......................2分 ∴ 四边形MNCE 为平行四边形.................3分∴ MN ∥C E .......................4分又CE ⊂平面PCD所以，MN ∥平面PCD ......................5分（2）证明：由题意，PD ，CD ，DA 两两垂直如图，以D 为坐标原点，射线DC ，DA ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由21PD AD CD ===，得： D （0，0，0），A （0，2，0），B （1，2，0）C （1，0，0），P （0，0，2），()1,1,0M .........6分 ∴AB (1, 0, 0), (0, 2, 2), (0, 0, 2), (1, 2, 0)PA DP DB ==-== .....................7分 ∵ 1001010, 00121(2)0DM AB DM PA ⋅=⨯+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯+⨯-= ∴ , DM AB DM PA ⊥⊥∴ ()1,1,0=DM 是PAB 平面的一个法向量.....................8分设PDB 平面的一个法向量为()z y x n ,,=，则由,.n DB n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n n，即⎩⎨⎧=+=0202y x z....................9分 令2=x 得：()0,1,2-=n.....................10分∴n =cos =521⨯-=1010-.....................11分由四棱锥的空间结构知：二面角D PB A --为锐角∴ 二面角D PB A --的余弦值为1010. .....................12分 21. 解：（1）由题知：椭圆焦距322=c ，∴3=c .....................1分由22220,1.x ab x y y ++-=⎧=⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()()0842222222=-+-+b a b y b y b a ∵ 直线022=-+y x 被椭圆C 截得的线段恰以点⎪⎭⎫⎝⎛21,1为中点，∴ 148222=+b a b ，化简得：224b a = .....................3分 又∵222c b a +=，联立解得：1,422==b a .....................4分 ∴ 椭圆C 的方程为1422=+y x .....................5分 （2）由题意，设直线l 的方程为1x ny =+，1122(, ), (, )M x y N x y .....................6分由221,4 1.x y x ny ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩消去x 得：22(4)230n y ny ++-= ∴ 12122223, 044n y y y y nn-+==<++ .....................7分 于是，由面积的性质，得：12122|2|133||||||||||||2224ABM ABN n S S AB y y y y n -=⨯⨯-=+=⨯+△△ .....................9分∵ 20,0,|2|2,0.44||||n n n n n n =⎧⎪=≠⎨++⎪⎩ .....................10分又4||4||n n +≥，当且仅当2n =±时取等号.....................11分∴ 当且仅当2n =±时，max 3||ABM ABN S S -=△△ .....................12分22.解：（1）设),(11y x A ,),(22y x B ，由题知)0,2(p F ，则直线l 方程为：2px y -=，.....................1分 代入)0(22>=p px y 得04322=+-p px x ， ∴ p x x 321=+ .....................2分由抛物线定义，知21p x AF +=，22px BF +=,.....................3分∴ p x x BF AF AB ++=+=21=843==+p p p .....................4分∴ 2=p .....................5分∴ 抛物线C 的方程为x y 42= .....................6分 （2）由题设直线m 的方程为()1-=x k y ，()33,y x M ，()44,y x N则 ()44,y x Q -，直线MQ 的方程为()443434x x x x y y y y --+=+ ①.........7分由2(1),4.y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 整理得：()0422222=++-k k x k∴ 224342k k x x +=+, 143=x x ② .....................8分代②入①整理得:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+=4343344343y y y x y x x x x y y y =()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+---+11114343344343kx kx kx x kx x x x x y y =()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---+224343434343x x k x x k x kx x x x y y =()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----+2243434343x x k x x k x x x y y =()14343+-+x x x y y ....................11分 所以，直线MQ 过定点()0,1- .....................12分另解：由0≠k ，设直线MN 的方程为⎪⎭⎫⎝⎛=+=k t ty x 11代入抛物线方程x y 42=整理得：0442=--ty y 设()33,y x M ，()44,y x N 则()44,y x Q -则 t y y 443=+，443-=y y .....................7分由抛物线对称性知直线MN 过的定点在x 轴上，设定点()0,m p 即Q M P ,,三点共线，即//.....................8分∵ ()33,y m x -=，()43,y m x --=∴ ()()m x y y m x -⋅=⋅--4343 .....................9分即 433443y y x y x y m ++==()()t ty y ty y 4113443+++=t y y y ty 424343++=ttt 448+-=1- .....................11分∴ 直线MN 过定点()0,1- .....................12分说明：1、本答案与评分标准仅供参考，因水平有限加之时间仓促，错误与疏漏之处在所难免，请大家包涵并谅解！若对答案有异议，请阅卷组长组织阅卷老师商议。