中考数学考点总动员系列专题34图形的旋转
初中数学专题复习：旋转(类型全面)
旋转旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
求∠BPC的度数。
旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。
题型多以填空题、计算题呈现。
在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。
根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。
中考数学热点专题复习图形旋转.docx
中考数学热点专题复习图形的旋转建南民中张中建♦识记巩固1、旋转：在平面内，把一个图形绕,按旋转的图形运动，叫做旋转.2、图形旋转的三个要素：（1）; （2）; （3）.3、旋转的特征：（1）图形的和都没有发生变化；（2）相等，相等；（3）对应点到旋转中心的距离;（4）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的,对应点与旋转中心连线的夹角是.4、旋转对称图形识别：观察图形是否存在一点，围绕这一点旋转一定角度后能否与图形5、经过两次对称轴相交的轴对称变换，相当于一次.6、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.♦识记巩固参考答案：1、某一点—定方向〜定角度2、（1）旋转中心（2）旋转方向（3）旋转角度3、（1）形状大小（2）对应线段对应角（3）相等（4）角度对应角4、重合5、旋转6、平分♦给你提个醒图形在旋转变换过程中会发生许多变化，但是同样也有许多关系并不会随着图形的变化而变化，这就是旋转变换中的不变关系，是解决旋转变换问题的关键之一。
我们要善于归纳以不变应万变的方法和从特殊到一般的数学思想。
♦典例解析例题1：如图1,已知矩形ABED,点。
是边DE的中点，且AB = 2AD.（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线到图2中（当垂线段AD. 3E在直线初V的同侧），试探究线段A。
、BE, DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线肱N到图3中的位置（当垂线段A。
、3E在直线初V的异侧）.试探究线段A。
、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.图3例题1图例题2： RtAAB C与RtAFED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，C8与DE重合.(1)求证：四边形A8FC为平行四边形；(2)取BC中点。
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳1．旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；旋转方向；旋转角度．（3）注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．2．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．4．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．5．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心；旋转方向；旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．。
九年级旋转知识点归纳总结
九年级旋转知识点归纳总结旋转是数学中的一个重要概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。
本文将对九年级旋转知识点进行归纳总结，包括旋转的基本定义、旋转图形的性质以及旋转的应用。
一、旋转的基本定义旋转是指将一个点或一幅图形绕着某一点旋转一定角度后，得到的新点或新图形。
在数学中，通常将绕着坐标平面上的原点旋转作为基本定义。
二、旋转图形的性质1. 旋转图形的对应点在一个图形经过旋转后，每一个点都与原来图形上的某一点存在对应关系。
这个对应关系可以通过旋转角度和旋转方向来确定。
2. 旋转图形的对称性绕着一个点旋转的图形在旋转前后保持对称。
如果旋转角度是360度的整数倍，那么旋转后的图形与旋转前的图形完全重合。
3. 旋转图形的角度关系在一个旋转图形中，旋转前后每两个相对的角度之和为360度。
这就是旋转图形中角度的平分原理。
三、旋转的应用旋转在几何图形的变换中有着广泛应用，并且在实际生活中也有一些实际的应用场景。
1. 图形的旋转变换通过旋转变换可以将图形按一定角度旋转，从而使得原本无规律的图形变得有规律，更美观。
例如，一个正方形可以通过旋转变换成一个六边形。
2. 游戏和艺术中的旋转在游戏和艺术领域中，旋转被广泛运用。
例如，电子游戏中的3D 模型，通过旋转操作可以让玩家从不同角度观察模型；绘画和雕塑中的旋转是非常常见的手段，可以展示更多的细节和视角。
3. 旋转的几何证明旋转在几何证明中也有非常重要的地位。
通过旋转变换可以使得一些几何命题的证明更加简洁、明了。
例如，可以通过旋转证明两条平行线之间的角度关系、相似三角形之间的角度关系等。
综上所述，旋转是九年级数学课程中的一个重要知识点。
掌握旋转的基本定义和性质，了解旋转的应用场景，将有助于深入理解几何变换的概念，提高数学解题和几何证明的能力。
希望本文对九年级学生们的数学学习有所启发和帮助。
九年级数学图形的旋转
图形的旋转一、同步知识梳理1、旋(xuán)转(zhuǎn）的定义在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
3、旋转的条件（要素）①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
（改变一个要素，图形就会不一样。
）一、专题精讲题型一、分析旋转现象例1．如图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB 的长度。
△BDE能否看作是△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
变式训练1、如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE。
（1）图中点是旋转中心，按方向旋转了度；（2）如果CF＝3cm，连接EF，求EF的长。
题型二、确定旋转中心A B C是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到的，请你找出旋转中心。
例2. 如图，△111【方法总结】确定旋转中心在图形的旋转过程中，判定谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是在图形外。
若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有变，哪一点就是旋转中心；若是在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
题型三、求旋转角的度数例3．等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成为△AB C''，且AB'⊥BC，垂足为O。
（1）图中旋转中心是点；（2）该旋转中的旋转角是度；（3）经上述旋转后，所得到的B C''边与AC边的位置关系怎样？变式训练如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为。
中考专题 图形的变换-旋转
图形的变换-旋转知识点梳理 一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB ≌△A 1OB 1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰△AOA 1∽等腰△BOB'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB 与A 1B 1所在直线的夹角等 于∠AOA 1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA 1与BB 1)的夹角等于∠AOB 。
旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，△ABC 绕点A 旋转到△AB 1C 1，则有△ABB 1≌△ACC 1（SAS ）；2. 如图1-2，若△ABC 与△AED 式等边三角形，则△ABE ≌△ACD （SAS ）；3. 如图1-3，若△ABC 与△AED 式等腰直角三角形，则△ABD ≌△ACE （SAS ）；旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形 ABCD 中，若∠EBF=45°，将△BAE 绕点B 旋转至△BCG ， 则有①EF=AE+CF ；②BE 平分∠AEF ；③BF 平分教EFC .2. 如图2-2，在四边形ABCD 中，若BA=BC ，∠ABC+∠D=180°，且∠EBF=12∠ABC，则有①EF=AE+CF ；②BE 平分∠AEF ；③BF 平分教EFC .图2-1 图2-23. 如图2-3，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=45°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则有DE 2=BD 2+CE 2；4. 如图2-4，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=45°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则DE 2=BD 2+CE 2；5. 如图2-5，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=135°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则DE 2=BD 2+CE 2；图2-3 图2-4 图2-5旋转运用<3>：对角互补模型1. 如图3-1，已知四边形ABCD 中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC ，则有AB+AC=2AD ；2. 如图3-2，已知四边形ABCD 中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC ，则有AB-AC=2AD ；图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边△ABC ，且∠BPC=120°，则有PA=PB+PC ；4. 如图3-4，已知等边△ABC ，且∠BPC=30°，则有PA 2=PB 2+PC 2；图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰△ABC ，且∠BAC=120°，且∠BPC=60°，则有PB+PC=3PA；6. 如图3-6，已知等腰△ABC ，且∠BAC=120°，且∠BPC=120°，则有PC-PB=3PA ；图3-5 图3-6【练习】1. 如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A.B ．C ．D ．2. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若AP ＝6，BP ＝8，CP ＝10．则S △ABP +S △BPC ＝ ．3. 如图，△ABC、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′＝ ．4．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为 ．6.如图，如四边形ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四边形ABCD 的面积.7.（1）如图1，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°,AC ＝BC ＝6，CD ＝CE ，AE ＝3,∠CAE ＝45°,求AD 长． （2）如图2，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝∠CAE ＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 长．8.（1）如图1，已知等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°，且∠ADB=45°，BD=4，CD=41，求AD的长.（2）如图2，已知等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°，且∠ADB=75°，BD=6，AD=52，求CD 的长. （3）如图3，在四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=90°，若AB=4，AD=3，求对角线AC 的最大值.图1 图2 图39. （1）如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？（2）如图2，如果把“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°”改为“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝ ∠ADB ＝45°”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？（3）如图3，如果把“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°”改为“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝α”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？图1 图2 图310. 【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=． 【问题解决】如图②，在等边三角形ABC 中，AC=7，点P 在△ABC 内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC 的面积． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B ，连接PP′，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系． …请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可） 【灵活运用】如图③，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE=∠ADC ，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝_________°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝__________．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．（宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，则BDB ∆'的形状是____________．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．【类比应用】如图3，四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，2BC =，求四边形ABCD 的面积．（2019•亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，求PB 的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到ABD ∆；由等边三角形的性质，可证ACP ABD ∆≅∆，得PC BD =；由已知150APC ∠=︒，可知PDB ∠的大小，进而可求得PB 的长． （1）请回答：在图1中，PDB ∠=________︒，PB =____． 【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在ABC ∆内，且1PA =，17PB=，22PC =，求AB 的长． 【灵活运用】（3）如图3，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，且4tan 3α=，点P 在ABC ∆外，且3PB =，1PC =，直接写出PA 长的最大值．。
人教版中考数学考点复习之图形的旋转 课件
命题点4：坐标系中的旋转 4．(2017·青岛)如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对 应点B1的坐标为( B ) A．(－4，2) B．(－2，4) C．(4，－2) D．(2，－4)
命题点5：利用旋转设计图案 5 ． (2017· 绍 兴 ) 一 块 竹 条 编 织 物 ， 先 将 其 按 如 图 所 示 绕 直 线 MN 翻 转 180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( B )
命题点2：旋转的性质 2．(2017·泰安)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆 时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( C ) A．30° B．60° C．90° D．120°
命题点3：关于原点对称的点的坐标 3．(2017·湖州)在平面直角坐标系中，点 P(1，2)关于原点的对称点 P′的坐标是( D ) A．(1，2) B．(－1，2) C.(1，－2) D．(－1，－2)
1．中心对称与中心对称图形的区别和联系 区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对 称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180° 后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与 原图形重合． 联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么 它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两 个图形，那么这两个图形成中心对称．
3．旋转作图 (1)旋转作图的依据是旋转的特征． (2)旋转作图的步骤如下： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母； ③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形 ，写出结论．
中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题
中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题知识点总结1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
2.旋转的要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。
3.旋转的性质：①旋转前后的两个图形全等。
即有对应边相等，对应角相等。
②对应点到旋转中心的连线距离相等。
③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。
4.旋转对称图形：若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转对称图形。
如正多边形或圆。
5.中心对称：①定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
6. 坐标的旋转变换：①若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转90°，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。
②若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转180°，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。
即()y x P −−，7. 旋转作图：基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。
练习题1、（2022•德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B ．2、（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3、（2022•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B 顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（）A．25π+24 B．5π+24 C．25πD．5π【分析】根据勾股定理得到AB，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴Rt△ABC所扫过的面积＝+×6×8＝25π+24，故选：A ．4、（2022•呼和浩特）如图．△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若∠BCD ＝α，则∠EFC 的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．90°+21αB ．90°﹣21αC ．180°﹣23αD ．23α 【分析】由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ，因为∠BCD ＝α，所以∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，由三角形内角和可得，∠A ＝90°﹣∠B ＝．所以∠E ＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．【解答】解：由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ， ∵∠BCD ＝α，∴∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠B ＝． ∴∠E ＝． ∴∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．故选：C ．5、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．33B．23C．3 D．2【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝3，∴点A到直线A'C的距离为3，故选：C．6、（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DEC．∠DFC＝90°D．DG＝3GF【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，∴AB＝AC＝CF＝BF，由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴∠A＝∠ACD，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS），∴DF＝BC＝BE，∵DE＝AB＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CFD，∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，∴GF＝CF，同理可得，DF＝CF，∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；故选：D．7、（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．8、（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴∠CAB ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝60°，∵将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到△AB ′C ′，∴∠C ′AB ′＝∠CAB ＝60°．∵点B ′恰好落在CA 的延长线上，∴∠BAC ′＝180°﹣∠CAB ﹣∠C ′AB ′＝60°．故选：B ．9、（2022•内蒙古）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A ．21B ．33C ．1﹣33D ．1﹣43 【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE＝∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴DE＝1×＝，∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．故选：C．10、（2022•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D 按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是．【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC＝＝4π，∵AE＝＝＝6，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，∵四边形ABCD是矩形，∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∵EB≠CB，∴四边形DCBE是直角梯形，∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，故答案为：24﹣6﹣4π．11、（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝．【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．12、（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．13、（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，∴a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1，故选：C．14、（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故选：D．15、（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m﹣2＝﹣5，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．16、（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．17、（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．18、（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：C．19、（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣2，4）D ．（﹣3，3）【分析】根据旋转的性质解答即可．【解答】解：连接AP ，A 1P ．∵线段A 1B 1是将△ABC 绕着点P （3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A 1B 1C 1的一部分，∴A 的对应点为A 1，∴∠APA 1＝90°，∴旋转角为90°，∴点C 绕点P 逆时针旋转90°得到的C 1点的坐标为（﹣2，3），故选：A ．20、（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），点A （4，2）．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在M 1（﹣33，0），M 2（﹣3，﹣1），M 3（1，4），M 4（2，211）四个点中，直线PB 经过的点是（ ）A．M1B．M2C．M3D．M4【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线PB的解析式为：y＝x+2，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，当x＝1时，y＝+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x＝2时，y＝2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．21、（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为．【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），故答案为：（﹣4，8）．。
中考数学专题复习：旋转
A A1
B
D D1
C
C1 B1 图（1）
A
D D1
A1
C B
B1
图（2）
A
D
A1 C1
B
D1 C
B1
C1
图（3）
• 例1:如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的 小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都 在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标 分别为(1，1)，(4，2)，(2，3).
∠AOD=∠BOE
1 选择题： ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的 是（ ）C A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
（2） 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对 称图形的是（ ） A A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 （3） 已知：下列命题中真命题的个数是（ ） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 B ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A0 B1 C2 D3
C
C (A2)
OA
B3 A2
OA
OA
B1
B2
O
A1(C2)
A(C1)
A1
乙
B1
甲
B2
下列图形中，不能通过上述方式得到的是（ D）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.以下四家银行行标中，轴对称图形的有 （ A ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法正确的是( B )
A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
中考数学专题复习
1、概念：在平面内，把一个图形绕着某一个定点转 动一个角度的图形变换叫做旋转。 这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
初三数学中考专项练习 《旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：（1）求∠ABC的度数．（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．（3）求BD的长度．【答案】∴BC=4，∴∠ABC=30°（2）如图所示：（3）连接BE．由（2）知：△ACE≌△ADB，∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，∴∠EBC=90°，又BC=2AC=4，4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则，∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．5.已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90° 又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP ∴∠PAB+∠BCP=90 又∵∠ABC=90° ∴点A,P,C 三点共线， 即P 必在对角线AC 上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用. 举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，，K 为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。
九年级数学知识点旋转
九年级数学知识点旋转旋转是几何学中的一个重要概念，也是九年级数学中的一项重要知识点。
通过旋转，我们可以改变几何图形的位置和形状，进而解决一些与几何相关的问题。
本文将介绍九年级数学中的旋转知识点，包括旋转的定义、旋转的性质、旋转的公式以及旋转在几何问题中的应用。
一、旋转的定义旋转是指围绕一个中心点，将一个图形按照一定的角度转动的操作。
在旋转中，中心点是固定不动的，只有图形发生位置和形状的改变。
旋转可以使得图形在平面上发生移动，使得我们可以观察到图形在不同位置和不同角度下的特征。
二、旋转的性质1. 旋转可以改变图形的位置和形状，但不改变图形的面积和周长。
这是因为旋转只是对图形进行了转动操作，而没有改变图形内部的构造和尺寸。
2. 旋转不改变图形的对称性。
如果一个图形具有对称性，那么它的旋转图形也将具有相同的对称性。
3. 旋转操作可以通过多次重复进行。
如果我们将一个图形按照一定的角度旋转一次之后，再按照同样的角度再次进行旋转，那么我们将得到一个新的图形，这个新的图形是原图形旋转后的结果。
三、旋转的公式在几何中，我们可以使用一些公式来描述旋转的操作。
关于旋转的公式有以下几种：1. 计算旋转中心：给定一个图形和它在旋转后的位置，我们可以通过求解方程组来计算旋转中心。
假设原图形中某点坐标为(x, y)，它在旋转后的位置为(x', y')，则有如下方程组：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x', y')为旋转后点的坐标，θ为旋转的角度。
2. 计算旋转后的坐标：将一个点绕旋转中心旋转一定的角度，可以使用如下公式计算旋转后的坐标：x' = (x - h) * cosθ - (y - k) * sinθ + hy' = (x - h) * sinθ + (y - k) * cosθ + k其中，(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为旋转后点的坐标，(h, k)为旋转中心的坐标，θ为旋转的角度。
初三旋转知识点
初三旋转知识点在初三数学的学习中，旋转是一个重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，也有助于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。
接下来，让我们一起深入了解旋转的相关知识。
一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如，钟表的指针在不停地转动，从数字 12 转到数字 3，就是一个旋转的过程，其中钟表的中心就是旋转中心，指针转动的角度就是旋转角。
二、旋转的性质1、对应点到旋转中心的距离相等。
比如，在一个旋转的三角形中，每个顶点到旋转中心的距离在旋转前后都保持不变。
2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
假设一个图形绕着点 O 旋转了 30 度，那么任意一对对应点与点 O所连线段的夹角都是 30 度。
3、旋转前、后的图形全等。
也就是说，经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变，只是位置发生了变化。
三、旋转中心和旋转角的确定旋转中心的确定：对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
旋转角的确定：对应点与旋转中心所连线段的夹角即为旋转角。
四、旋转作图1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角。
2、找出原图形的关键点。
3、将关键点与旋转中心连接，并按旋转方向和旋转角将它们旋转。
4、依次连接旋转后的关键点，得到旋转后的图形。
例如，要将一个三角形 ABC 绕点 O 逆时针旋转 60 度。
首先，确定点 O 为旋转中心，逆时针为旋转方向，60 度为旋转角。
然后找出三角形 ABC 的三个顶点 A、B、C 作为关键点。
将点 A、B、C 分别与点 O 连接，按照逆时针方向旋转 60 度得到点 A'、B'、C'。
最后连接 A'B'、B'C'、C'A'，就得到了旋转后的三角形 A'B'C'。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
初三数学旋转知识点归纳
初三数学旋转知识点归纳
初三数学旋转知识点归纳
1、概念：
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
(1)旋转前后的两个图形是全等形;
(2)两个对应点到旋转中心的距离相等
(3)两个对应点与旋转中心的连线段的.夹角等于旋转角
3、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
4、中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点P(-x，-y)。
九年级图形的旋转知识点
九年级图形的旋转知识点图形的旋转是几何学中一个重要的知识点。
通过旋转，我们可以改变图形的位置和方向，使其呈现出不同的视觉效果。
而对于九年级的学生来说，掌握图形的旋转知识是非常有必要的。
本文将从基本概念、旋转规律以及应用方面介绍九年级图形的旋转知识点。
一、基本概念图形的旋转可以理解为将一个图形绕着某个固定的点进行转动，并保持各点之间的相对位置不变。
这个固定点被称为旋转中心，为了方便起见，通常将旋转中心设在坐标原点（0,0）处。
在平面直角坐标系中，图形的旋转可以通过两个变量来描述：旋转中心和旋转角度。
旋转中心是一个坐标对（hx, hy），表示围绕该点旋转；旋转角度是一个标量，通常用α表示，取值范围是0°到360°之间。
二、旋转规律在进行图形旋转时，有一些基本的规律需要掌握。
1. 顺时针旋转与逆时针旋转顺时针旋转是指图形按照顺时针方向进行转动，逆时针旋转则是相反。
为了描述旋转方向，我们通常使用正角度表示顺时针旋转，负角度表示逆时针旋转。
2. 旋转角度的变化规律当图形按逆时针方向旋转时，旋转角度是正数；当图形按顺时针方向旋转时，旋转角度是负数。
例如，当图形按逆时针方向旋转90°时，记为R90；当图形按顺时针方向旋转90°时，记为R-90。
3. 旋转180°和360°当图形旋转180°时，它将变为自身的镜像，即对称中心与旋转中心重合。
而当图形旋转360°时，它将回到原始位置，与初始位置完全相同。
三、应用方面除了了解基本概念和旋转规律外，图形的旋转在实际生活中也有一些重要的应用。
1. 设计与艺术在设计与艺术领域，图形的旋转提供了更多创意与表现的可能性。
通过合理的旋转设计，艺术家可以创造出丰富多样的视觉效果，使作品更加生动和有魅力。
2. 工程与建筑在工程与建筑领域，图形的旋转被广泛应用于物体的建模和制造过程中。
例如，在汽车设计中，设计师可以通过旋转来实现车身的优化布局；在建筑设计中，旋转可以创造出不同的空间感和流线型。
2022年中考数学考点总动员系列专题34图形的旋转
考点三十四：图形的旋转聚焦考点☆温习理解一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质〔1〕对应点到旋转中心的距离相等。
〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质〔1〕关于中心对称的两个图形是全等形。
〔2〕关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
〔3〕关于中心对称的两个图形，对应线段平行〔或在同一直线上〕且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．名师点睛☆典例分类考点典例一、识别中心对称图形【例1】〔2022.山东潍坊，第4题，3分〕以下汽车标志中不是中心对称图形的是〔〕【答案】B考点：中心对称图形.【点睛】此题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．【举一反三】1．〔2022·黑龙江绥化〕.以下图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知， A既是轴对称图形又是中心对称图形；B是轴对称图形但不是中心对称图形； C不是轴对称图形，是中心对称图形； D既是轴对称图形也是中心对称图形. 应选：B考点：1.轴对称图形;2.中心对称图形2.〔2022·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭〕以下汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕A． B． C． D．【答案】C．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．考点典例二、旋转的性质应用【例2】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，那么点B 转过的路径长为〔 〕A ．3πB ．33πC ．23π D ．π 【答案】B ．【解析】考点：旋转的性质；弧长的计算．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B 转过的路径形状是解题关键．通常在解决此类问题时要注意：(1)抓住旋转中的“变〞与“不变〞；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．【举一反三】1.〔山东德州第6题，3分〕如图，在△ABC 中，∠CAB =65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，那么旋转角的度数为〔 〕A ．35° B．40° C．50° D．65°【答案】C ．【解析】试题分析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．应选C．考点：旋转的性质．2.〔2022.山东菏泽第8题，3分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．假设点B的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为〔〕A．〔﹣1 B．〔﹣2 C．〔，1〕 D．〔，2〕【答案】A．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．考点典例三、与旋转有关的作图【例3】.〔2022·辽宁丹东〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)〔每个方格的边长均为1个单位长度〕.〔1〕请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；〔2〕将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.【答案】〔1〕画图参见解析；〔2〕画图参见解析，路径长为5π.考点：1.轴对称作图；2.旋转作图；3.求弧长.【点睛】此题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【举一反三】(2022·湖北衡阳，23题，分)〔本小题总分值6分〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔3，2〕、B〔3，5〕、C〔1，2〕．〔1〕在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；〔2〕把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．【答案】〔1〕△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下图；〔2〕①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为〔6，2〕．【解析】试题分析：〔1〕关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；〔2〕①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.试题解析：〔1〕△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下图；〔2〕①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；②∵A〔3，2〕、B〔3，5〕∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，∴B2的坐标为〔6，2〕．考点：点的坐标；图形的变换—旋转；作图—图形变化类课时作业☆能力提升一、选择题1. 〔2022.山东莱芜第1题，3分〕在以下四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】B考点：轴对称图形和中心对称图形2.以下图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )【答案】D ．【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．试题解析：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A 选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B 选项错误；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C 选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故D 选项正确．应选：D ．考点：中心对称图形；轴对称图形．3.〔〔2022遂宁〕在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．【解析】试题分析：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，应选C ．考点：中心对称图形．4. 〔2022绵阳〕如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，那么∠CDE 的正切值为 ．【答案】【解析】试题分析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵△ABD 绕A 点逆时针旋转得△ACE ，∴AD =AE =5，∠DAE =∠BNAC =60°，CE =BD =6，∴△ADE 为等边三角形，∴DE =AD =5，过E 点作EH ⊥CD 于H ，如图，设DH =x ，那么CH =4﹣x ，在Rt △DHE 中，2225EH x =-，在Rt △DHE 中，2226(4)EH x =--，∴222256(4)x x -=--，解得x =85，∴EH==8715，在Rt △EDH 中，tan ∠HDE =EH DH=858=CDE的正切值为考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A ′B ′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，那么AA′的长为〔〕A．6 B．C．．3【答案】A．【解析】试题分析：利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．试题解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，∴AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠CAA′=∠A′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．应选：A．考点：旋转的性质．6.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．假设B=60°，那么CD的长为〔〕A．0.5 B．1.5 C D．1【答案】D．由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．应选：D．考点：旋转的性质．7. (2022.天津市，第11题，3分)如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.假设∠ADC=60°，∠ADA′=50°，那么∠DA′E′的大小为( )〔A〕130°〔B〕150°〔C〕160°〔D〕170°【答案】C.考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360°.8.〔2022·辽宁沈阳〕如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．假设正方形ABCD3AK= ．【答案】233-． 【解析】 试题分析：连接BH ，如下图：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴∠BAH =∠ABC =∠BEH =∠F =90°，由旋转的性质得：AB =EB ，∠CBE =30°，∴∠ABE =60°，在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH =BH ，AB =EB ，∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH 〔HL 〕，∴∠ABH =∠EBH =12∠ABE =30°，AH =EH ，∴AH =AB •tan ∠ABH =333⨯=1，∴EH =1，∴FH =31-，在Rt △FKH 中，∠FKH =30°，∴KH =2FH =2(31)-，∴AK =KH ﹣AH =2(31)1--=233-；故答案为：233-．考点：旋转的性质．二、填空题9．如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D.假设∠A ′DC ＝90°，那么∠A ＝【答案】55°．考点：旋转的性质．10. .(2022.上海市，第18题，4分)在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．【答案】434【解析】试题分析：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CFAE ⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，AF =8DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠=，故45E ∠=，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(84DE EF DF =-=--=. 考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.11.如图，在正方形ABCD 中，AD ＝1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′，此时A ′D ′与CD 交于点E ，那么DE 的长度为【答案】2-【解析】试题分析：利用正方形和旋转的性质得出A ′D=A ′E ，进而利用勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE 的长即可．试题解析：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA ′E=90°，∴∠DEA ′=45°，∴A ′D=A ′E，∵在正方形ABCD 中，AD=1，∴AB=A ′B=1，∴，∴A ′-1，∴在Rt △DA ′E 中，DE=2sin 45DA =︒'- 考点：旋转的性质．12.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF ＝45°，△ECF 的周长为4，那么正方形ABCD 的边长为 ．【答案】2.【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠EAF ′=45°，进而得出△FAE ≌△EAF ′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF ′=FC+BC+BF ′=4，得出正方形边长即可．试题解析：将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF ′位置，由题意可得出：△DAF ≌△BAF ′，∴DF=BF ′，∠DAF=∠BAF ′，∴∠EAF ′=45°，在△FAE 和△EAF ′中AF AF FAE EAF AE AE ='⎧∠=∠'=⎪⎨⎪⎩，∴△FAE ≌△EAF ′〔SAS 〕，∴EF=EF ′，∵△ECF 的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF ′=FC+BC+BF ′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．。
专题34 中考几何旋转类问题 (解析版)
专题34 中考几何旋转类问题1．旋转的定义：在平面内,将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中央,转动的角度叫做旋转角.2. 旋转的性质：〔1〕对应点到旋转中央的距离相等,对应线段相等,对应角相等；〔2〕对应点与旋转中央所连线段的夹角等于旋转角.3．旋转对称中央：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中央,旋转的角度叫做旋转角〔旋转角小于0°,大于360°〕.4．中央对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中央对称.这个点就是它的对称中央.5．中央对称的性质〔1〕关于中央对称的两个图形是全等形.〔2〕关于中央对称的两个图形,对称点连线都经过对称中央,并且被对称中央平分.〔3〕关于中央对称的两个图形,对应线段平行〔或在同一直线上〕且相等.【例题1】〔2021•青岛〕如图,将△ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,那么点A的对应点A′的坐标是〔〕A．〔0,4〕B．〔2,﹣2〕C．〔3,﹣2〕D．〔﹣1,4〕【答案】D【解析】根据平移和旋转的性质,将△ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,即可得点A的对应点A′的坐标．如图,△A′B′C′即为所求,那么点A的对应点A′的坐标是〔﹣1,4〕．【对点练习】〔2021•河南〕如图,在△OAB中,顶点O〔0,0〕,A〔﹣3,4〕,B〔3,4〕,将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,那么第70次旋转结束时,点D的坐标为〔〕A．〔10,3〕B．〔﹣3,10〕C．〔10,﹣3〕D．〔3,﹣10〕【答案】D．【解析】先求出AB＝6,再利用正方形的性质确定D〔﹣3,10〕,由于70＝4×17+2,所以第70次旋转结束时,相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次,每次旋转90°,此时旋转前后的点D关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．∵A〔﹣3,4〕,B〔3,4〕,∴AB＝3+3＝6,∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝AB＝6,∴D〔﹣3,10〕,∵70＝4×17+2,∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次,每次旋转90°,∴点D的坐标为〔3,﹣10〕．【例题2】〔2021•孝感〕如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G．假设BG＝3,CG＝2,那么CE的长为〔〕A ．54B ．154C ．4D ．92 【答案】B【解析】连接EG ,根据AG 垂直平分EF ,即可得出EG ＝FG ,设CE ＝x ,那么DE ＝5﹣x ＝BF ,FG ＝EG ＝8﹣x ,再根据Rt △CEG 中,CE 2+CG 2＝EG 2,即可得到CE 的长．解：如下图,连接EG ,由旋转可得,△ADE ≌△ABF ,∴AE ＝AF ,DE ＝BF ,又∵AG ⊥EF ,∴H 为EF 的中点,∴AG 垂直平分EF ,∴EG ＝FG ,设CE ＝x ,那么DE ＝5﹣x ＝BF ,FG ＝8﹣x ,∴EG ＝8﹣x ,∵∠C ＝90°,∴Rt △CEG 中,CE 2+CG 2＝EG 2,即x 2+22＝〔8﹣x 〕2,解得x =154, ∴CE 的长为154.【对点练习】〔2021广西贺州〕如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是CD 的中点,AF 平分∠BAE 交BC 于点F ,将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ,那么CF 的长为 ．【答案】6﹣2．【解析】作FM ⊥AD 于M ,FN ⊥AG 于N ,如图,易得四边形CFMD 为矩形,那么FM ＝4,∵正方形ABCD 的边长为4,点E 是CD 的中点,∴DE ＝2,∴AE ＝＝2,∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ,∴AG ＝AE ＝2,BG ＝DE ＝2,∠3＝∠4,∠GAE ＝90°,∠ABG ＝∠D ＝90°,而∠ABC ＝90°,∴点G 在CB 的延长线上,∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ,∴∠1＝∠2,∴∠2+∠4＝∠1+∠3,即FA 平分∠GAD ,∴FN ＝FM ＝4,∵AB •GF ＝FN •AG ,∴GF ＝＝2,∴CF ＝CG ﹣GF ＝4+2﹣2＝6﹣2．【例题3】〔2021•南京〕将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°,所得到的图象对应的函数表达式是 ．【答案】y =12x +2．【分析】直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1,进而得出答案．【解析】在一次函数y ＝﹣2x +4中,令x ＝0,那么y ＝4,∴直线y ＝﹣2x +4经过点〔0,4〕,将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°,那么点〔0,4〕的对应点为〔﹣4,0〕,旋转后得到的图象与原图象垂直,那么对应的函数解析式为：y =12x +b ,将点〔﹣4,0〕代入得,12×(−4)+b ＝0, 解得b ＝2,∴旋转后对应的函数解析式为：y =12x +2,故答案为y =12x +2．【对点练习】〔2021•海南省〕如图,将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转á〔0°＜á＜90°〕得到AE ,直角边AC绕点A逆时针旋转â〔0°＜â＜90°〕得到AF,连结EF．假设AB＝3,AC＝2,且á+â＝∠B,那么EF＝．【答案】【解析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3,AC＝AF＝2,由勾股定理可求EF的长．由旋转的性质可得AE＝AB＝3,AC＝AF＝2,∵∠B+∠BAC＝90°,且á+â＝∠B,∴∠BAC+á+â＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝【例题4】〔2021贵州黔西南〕规定：在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α〔0°＜α≤180°〕后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后,能与自身重合〔如图1〕,所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角．根据以上规定,答复以下问题：〔1〕以下图形是旋转对称图形,但不是中央对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形〔2〕以下图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有：________〔填序号〕；〔3〕以下三个命题：①中央对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形,其中真命题的个数有〔〕个；A．0 B．1 C．2 D．3〔4〕如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°,90°,135°,180°,将图形补充完整．【答案】〔1〕B；〔2〕(1)(3)(5)；〔3〕C；〔4〕见解析【解析】〔1〕根据旋转对称图形的定义进行判断；〔2〕先分别求每一个图形中的旋转角,然后再进行判断；〔3〕根据旋转对称图形的定义进行判断；〔4〕利用旋转对称图形的定义进行设计．解：〔1〕矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形,但正五边形不是中央对称图形,应选：B．〔2〕是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．〔3〕①中央对称图形,旋转180°一定会和本身重合,是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α〔0°＜α≤180°〕后,不一定能与自身重合,只有等边三角形是旋转对称图形,故②不正确；③圆具有旋转不变性,绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合,是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确,应选：C．〔4〕图形如下图：【点拨】此题考查旋转对称图形,中央对称图形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．【对点练习】〔2021•广西贵港〕：△ABC是等腰直角三角形,∠BAC＝90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为á,当90°＜á＜180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E．〔1〕如图1,当∠CA′D＝15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角á的度数；②求证：EA′+EC＝EF；〔2〕如图2,在〔1〕的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,假设AB＝,求线段PA+PF的最小值．〔结果保存根号〕【答案】见解析.【解析】〔1〕①解：旋转角为105°．理由：如图1中,∵A′D⊥AC,∴∠A′DC＝90°,∵∠CA′D＝15°,∴∠A′CD＝75°,∴∠ACA′＝105°,∴旋转角为105°．②证实：连接A′F,设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC,连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°,∴∠CEA′＝120°,∵FE平分∠CEA′,∴∠CEF＝∠FEA′＝60°,∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°,∴∠FCO＝∠A′EO,∵∠FOC＝∠A′OE,∴△FOC∽△A′OE,∴＝,∴＝,∵∠COE＝∠FOA′,∴△COE∽△FOA′,∴∠FA′O＝∠OEC＝60°,∴△A′OF是等边三角形,∴CF＝CA′＝A′F,∵EM＝EC,∠CEM＝60°,∴△CEM是等边三角形,∠ECM＝60°,CM＝CE,∵∠FCA′＝∠MCE＝60°,∴∠FCM＝∠A′CE,∴△FCM≌△A′CE〔SAS〕,∴FM＝A′E,∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．〔2〕解：如图2中,连接A′F,PB′,AB′,作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知,∠EA′F＝′EA′B′＝75°,A′E＝A′E,A′F＝A′B′,∴△A′EF≌△A′EB′,∴EF＝EB′,∴B′,F关于A′E对称,∴PF＝PB′,∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′,在Rt△CB′M中,CB′＝BC＝AB＝2,∠MCB′＝30°,∴B′M＝CB′＝1,CM＝,∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．一、选择题1．〔2021•天津〕如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E 恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,那么以下结论一定正确的选项是〔〕A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF【答案】D【解析】依据旋转可得,△ABC≌△DEC,再根据全等三角形的性质,即可得出结论．由旋转可得,△ABC≌△DEC,∴AC＝DC,故A选项错误,BC＝EC,故B选项错误,∠AEF＝∠DEC＝∠B,故C选项错误,∠A＝∠D,又∵∠ACB＝90°,∴∠A+∠B＝90°,∴∠D+∠B＝90°,∴∠BFD＝90°,即DF⊥AB,故D选项正确.2．〔2021•菏泽〕如图,将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α,得到△ADE ,假设点E 恰好在CB 的延长线上,那么∠BED 等于〔 〕A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α 【答案】D【分析】证实∠ABE +∠ADE ＝180°,推出∠BAD +∠BED ＝180°即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC ＝∠ADE ,∠ABC +∠ABE ＝180°,∴∠ABE +∠ADE ＝180°,∴∠BAD +∠BED ＝180°,∵∠BAD ＝α,∴∠BED ＝180°﹣α．3.〔2021山东枣庄〕如图,点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．假设四边形AECF 的面积为20,DE ＝2,那么AE 的长为〔 〕A．4B．2C．6D．2【答案】D．【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾股定理得出答案．∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20,∴AD＝DC＝2,∵DE＝2,∴Rt△ADE中,AE＝＝24.〔2021•南京〕如图,△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？以下结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是〔〕A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】D．【解析】此题主要考查了几何变换的类型,在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线〔段〕或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换,即可使△ABC与△A'B'C'重合．先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°,再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°,即可得到△A'B'C'；先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折,即可得到△A'B'C'.5.〔2021•湖北孝感〕如图,在平面直角坐标系中,将点P〔2,3〕绕原点O顺时针旋转90°得到点P',那么P'的坐标为〔〕A．〔3,2〕B．〔3,﹣1〕C．〔2,﹣3〕D．〔3,﹣2〕【答案】D．【解析】此题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．作PQ⊥y轴于Q,如图,把点P〔2,3〕绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′,利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°,∠QOQ′＝90°,P′Q′＝PQ＝2,OQ′＝OQ＝3,从而可确定P′点的坐标．作PQ⊥y轴于Q,如图,∵P〔2,3〕,∴PQ＝2,OQ＝3,∵点P〔2,3〕绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′, ∴∠P′Q′O＝90°,∠QOQ′＝90°,P′Q′＝PQ＝2,OQ′＝OQ＝3,∴点P ′的坐标为〔3,﹣2〕．二、填空题6．〔2021•泰安〕如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 的坐标分别为A 〔0,3〕,B 〔﹣1,1〕,C 〔3,1〕．△A 'B 'C ′是△ABC 关于x 轴的对称图形,将△A 'B 'C '绕点B '逆时针旋转180°,点A '的对应点为M ,那么点M 的坐标为 ．【答案】〔﹣2,1〕．【解析】延长A 'B '后得出点M ,进而利用图中坐标解答即可．将△A 'B 'C '绕点B '逆时针旋转180°,如下图：所以点M 的坐标为〔﹣2,1〕.7．〔2021•衡阳〕如图,在平面直角坐标系中,点P 1的坐标为〔√22,√22〕,将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP 1的2倍,得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP 2的2倍,得到线段OP 3；如此下去,得到线段OP 4,OP 5,…,OP n 〔n 为正整数〕,那么点P 2021的坐标是 ．【答案】〔﹣22021×√2,﹣22021×√2〕．【分析】根据题意得出OP 1＝1,OP 2＝2,OP 3＝4,如此下去,得到线段OP 4＝8＝23,OP 5＝16＝24…,OP n ＝2n ﹣1,再利用旋转角度得出点P 2021的坐标与点P 5的坐标在同一直线上,进而得出答案． 【解答】解：∵点P 1的坐标为〔√22,√22〕,将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP 1的2倍,得到线段OP 2；∴OP 1＝1,OP 2＝2, ∴OP 3＝4,如此下去,得到线段OP 4＝23,OP 5＝24…,∴OP n ＝2n ﹣1,由题意可得出线段每旋转8次旋转一周,∵2021÷8＝252…4,∴点P 2021的坐标与点P 5的坐标在同一直线上,正好在第三象限的角平分线上,∴点P 2021的坐标是〔﹣22021×√2,﹣22021×√2〕． 故答案为：〔﹣22021×√2,﹣22021×√2〕．8.〔2021•湖南邵阳〕如图,将等边△AOB 放在平面直角坐标系中,点A 的坐标为〔4,0〕,点B 在第一象限,将等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′,那么点B ′的坐标是 ．【答案】故答案为〔﹣2,﹣2〕．【解析】作BH⊥y轴于H,如图,∵△OAB为等边三角形,∴OH＝AH＝2,∠BOA＝60°,∴BH＝OH＝2,∴B点坐标为〔2,2〕,∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,∴点B′的坐标是〔﹣2,﹣2〕．故答案为〔﹣2,﹣2〕．9.(2021山西〕如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,那么CF的长为______cm.【答案】6210-【解析】过点A 作AG ⊥DE 于点G,由旋转可知：AD=AE,∠DAE=90°,∠CAE=∠BAD=15°∴∠AED=45°；在△AEF 中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60°在Rt △ADG 中：=在Rt △AFG 中：2GF AF FG ====∴10CF AC AF =-=-故答案为：6210-10.〔2021▪黑龙江哈尔滨〕如图,将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ,其中点A ′与A 是对应点,点B ′与B 是对应点,点B ′落在边AC 上,连接A ′B ,假设∠ACB ＝45°,AC ＝3,BC ＝2,那么A ′B 的长为 ．【答案】【解析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3,∠ACB＝∠ACA'＝45°,可得∠A'CB＝90°,由勾股定理可求解．∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,∴AC＝A'C＝3,∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝11．〔2021新疆〕如图,在△ABC中,AB＝AC＝4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC 的延长线于点E,那么DE的长为．【答案】2﹣2．【解析】根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB,AC＝AD＝4．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H点,在Rt△ACH中,CH＝AC＝2,AH＝2．∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2．在Rt△CHE中,∵∠E＝45°,∴EH＝CH＝2．∴DE＝EH﹣HD＝2﹣〔4﹣2〕＝2﹣2．12．〔2021齐齐哈尔〕如图,矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴,y轴上,顶点A在第二象限,点B的坐标为〔﹣2,0〕．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD,假设反比例函数y＝〔k≠0〕的图象经过A、D两点,那么k值为．【答案】﹣．【解析】过点D作DE⊥x轴于点E,∵点B的坐标为〔﹣2,0〕,∴AB＝﹣,∴OC＝﹣,由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°,∴∠DOE＝30°,∴DE＝OD＝﹣k,OE＝OD cos30°＝×〔﹣〕＝﹣k,即D〔﹣k,﹣k〕,∵反比例函数y＝〔k≠0〕的图象经过D点,∴k＝〔﹣k〕〔﹣k〕＝k2,解得：k＝0〔舍〕或k＝﹣13．〔2021广西梧州〕如图,在菱形ABCD中,AB＝2,∠BAD＝60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,那么DP的长是．【答案】﹣1．【解析】连接BD交AC于O,由菱形的性质得出CD＝AB＝2,∠BCD＝∠BAD＝60°,∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°,OA＝OC,AC⊥BD,由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1,OA＝OB＝,得出AC＝2,由旋转的性质得：AE＝AB＝2,∠EAG＝∠BAD＝60°,得出CE＝AC﹣AE＝2﹣2,证出∠CPE＝90°,由直角三角形的性质得出PE＝CE＝﹣1,PC＝PE＝3﹣,即可得出结果．解：连接BD交AC于O,如下图：∵四边形ABCD是菱形,∴CD＝AB＝2,∠BCD＝∠BAD＝60°,∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°,OA＝OC,AC⊥BD,∴OB＝AB＝1,∴OA＝OB＝,∴AC＝2,由旋转的性质得：AE＝AB＝2,∠EAG＝∠BAD＝60°,∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2,∵四边形AEFG是菱形,∴EF∥AG,∴∠CEP＝∠EAG＝60°,∴∠CEP+∠ACD＝90°,∴∠CPE＝90°,∴PE＝CE＝﹣1,PC＝PE＝3﹣,∴DP＝CD﹣PC＝2﹣〔3﹣〕＝﹣1三、解做题14．〔2021•绥化〕如图,在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,点B,点O均为格点〔每个小正方形的顶点叫做格点〕．〔1〕作点A关于点O的对称点A1；〔2〕连接A1B,将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1,画出旋转后的线段A1B1；〔3〕连接AB1,求出四边形ABA1B1的面积．【答案】见解析.【解析】〔1〕依据中央对称的性质,即可得到点A关于点O的对称点A1；〔2〕依据线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1,即可得出旋转后的线段A1B1；〔2〕依据割补法进行计算,即可得到四边形ABA1B1的面积．解：〔1〕如下图,点A1即为所求；〔2〕如下图,线段A1B1即为所求；〔3〕如图,连接BB1,过点A作AE⊥BB1,过点A1作A1F⊥BB1,那么四边形ABA1B1的面积=S△ABB1+S△A1BB1=12×8×2+12×8×4＝24．15．〔2021•甘孜州〕如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点D落在线段AB 上,连接BE．〔1〕求证：DC平分∠ADE；〔2〕试判断BE与AB的位置关系,并说明理由；〔3〕假设BE＝BD,求tan∠ABC的值．【答案】见解析.【分析】〔1〕利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．〔2〕结论：AB⊥BE．证实C,E,B,D四点共圆即可解决问题．〔3〕设BC交DE于O．连接AO．想方法证实△ACO是等腰直角三角形,OA＝OB即可解决问题．【解答】〔1〕证实：∵△DCE是由△ACB旋转得到,∴CA＝CD,∠A＝∠CDE∴∠A＝∠CDA,∴∠CDA＝∠CDE,∴CD平分∠ADE．〔2〕解：结论：BE⊥AB．由旋转的性质可知,∠DBC＝∠CED,∴D,C,E,B四点共圆,∴∠DCE+∠DBE＝90°,∵∠DCE＝90°,∴∠DBE＝90°,∴BE⊥AB．〔3〕如图,设BC交DE于O．连接AO．∵BD＝BE,∠DBE＝90°,∴∠DEB＝∠BDE＝45°,∵C,E,B,D四点共圆,∴∠DCO＝∠DEB＝45°,∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝∠OCD,∵CD＝CD,∠ADC＝∠ODC,∴△ACD∽△OCD〔ASA〕,∴AC＝OC,∴∠AOC＝∠CAO＝45°,∵∠ADO＝135°,∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°,∴∠ABC＝22.5°,∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO,∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°,∴OA＝OB,设AC＝OC＝m,那么AO＝OB=√2m,∴tan∠ABC=ACCB=mm+√2m=√2−1．16．〔2021•江西〕如图1是一种平板支架,由托板、支撑板和底座构成, 放置在托板上,图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm,支撑板长CD＝80mm,底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C 处,且CB＝40mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动．〔结果保存小数点后一位〕〔1〕假设∠DCB＝80°,∠CDE＝60°,求点A到直线DE的距离；〔2〕为了观看舒适,在〔1〕的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B 落在直线DE上即可,求CD旋转的角度．〔参考数据：sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,tan40°≈0.839,sin26.6°≈0.448,cos26.6°≈0.894,tan26.6°≈0.500,√3≈1.732〕【答案】见解析.【分析】〔1〕通过作垂线,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,求出CB、AF,即可求出点A到直线DE的距离；〔2〕画出旋转后的图形,结合图形,明确图形中的的边角,再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解析】〔1〕如图2,过A作AM⊥DE,交ED的延长线于点M,过点C作CF⊥AM,垂足为F,过点C作CN⊥DE,垂足为N,由题意可知,AC＝80,CD＝80,∠DCB＝80°,∠CDE＝60°,在Rt△CDN中,CN＝CD•sin∠CDE＝80×√32=40√3〔mm〕＝FM,∠DCN＝90°﹣60°＝30°,又∵∠DCB＝80°,∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°,∵AM⊥DE,CN⊥DE,∴AM∥CN,∴∠A＝∠BCN＝50°,∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°,在Rt△AFC中,AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44,∴AM＝AF+FM＝51.44+40√3≈120.7〔mm〕,答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；〔2〕旋转后,如图3所示,根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°, 在Rt△BCD中,CD＝80,BC＝40,∴tan∠D=BCCD=4080=0.500,∴∠D＝26.6°,因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°, 答：CD旋转的角度约为33.4°．17.〔2021•新疆〕如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A〔1,3〕,将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A′MN,设点P的纵坐标为m．①当△A′MN在△OAB内部时,求m的取值范围；②是否存在点P,使S△A′MN=56S△OA′B,假设存在,求出满足条件m的值；假设不存在,请说明理由．【答案】见解析.【分析】〔1〕抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A〔1,3〕,可以假设抛物线的解析式为y＝a〔x﹣1〕2+3,求出点B的坐标,利用待定系数法即可解决问题．〔2〕①根据△A′MN在△OAB内部,构建不等式即可解决问题．②求出直线OA,AB的解析式,求出MN,利用面积关系构建方程即可解决问题．【解析】〔1〕∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A〔1,3〕,∴抛物线的解析式为y＝a〔x﹣1〕2+3,∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,∴B〔3,﹣1〕,把B〔3,﹣1〕代入y＝a〔x﹣1〕2+3可得a＝﹣1,∴抛物线的解析式为y＝﹣〔x﹣1〕2+3,即y＝﹣x2+2x+2, 〔2〕①如图1中,∵B〔3,﹣1〕,∴直线OB的解析式为y=−13x,∵A〔1,3〕,∴C〔1,−1 3〕,∵P〔1,m〕,AP＝PA′, ∴A′〔1,2m﹣3〕,由题意3＞2m﹣3＞−1 3,∴3＞m＞4 3．②当点P 在x 轴上方时,∵直线OA 的解析式为y ＝3x ,直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +5,∵P 〔1,m 〕,∴M 〔m 3,m 〕,N 〔5−m 2,m 〕,∴MN =5−m 2−m 3=15−5m 6, ∵S △A ′MN =56S △OA ′B ,∴12•〔m ﹣2m +3〕•15−5m 6=56×12×|2m ﹣3+13|×3, 整理得m 2﹣6m +9＝|6m ﹣8|解得m ＝6+√19〔舍弃〕或6−√19,当点P 在x 轴下方时,同法可得12•〔3﹣m 〕•〔5−m 2+3m 〕=56×12×[−13−〔2m ﹣3〕]×3, 整理得：3m 2﹣12m ﹣1＝0,解得m =6−√393或6+√393〔舍弃〕, ∴满足条件的m 的值为6−√19或6−√393． 18．〔2021内蒙古通辽〕如图,点P 是正方形ABCD 内的一点,连接CP ,将线段CP 绕点C 顺时旋转90°,得到线段CQ ,连接BP ,DQ ．〔1〕如图1,求证：△BCP ≌△DCQ ；〔2〕如图,延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图2,求证：BE ⊥DQ ；②如图3,假设△BCP 为等边三角形,判断△DEP 的形状,并说明理由．【答案】见解析.【解析】〔1〕证实：∵∠BCD＝90°,∠PCQ＝90°,∴∠BCP＝∠DCQ,在△BCP和△DCQ中,,∴△BCP≌△DCQ〔SAS〕；〔2〕①如图b,∵△BCP≌△DCQ,∴∠CBF＝∠EDF,又∠BFC＝∠DFE,∴∠DEF＝∠BCF＝90°,∴BE⊥DQ；②∵△BCP为等边三角形,∴∠BCP＝60°,∴∠PCD＝30°,又CP＝CD,∴∠CPD＝∠CDP＝75°,又∠BPC＝60°,∠CDQ＝60°,∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°, 同理：∠EDP＝45°,∴△DEP为等腰直角三角形．。
中考复习3-图形的运动之旋转
上海初中中考复习图形的运动之旋转教学内容一．图形的运动：平移，翻折，旋转。
二．性质：1.【共性】全等性。
（对应边相等，对应角相等。
）2.【特性】①平移：平移后的对应点的连线平行且相等。
②翻折：翻折后的对应点的连线被折痕(对称轴）垂直平分。
③旋转：旋转后的对应点与旋转中心的连线相等，其夹角是旋转角，也相等。
平移：翻折：旋转：知识点一（旋转求线段的长）【例题精讲】例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm，△A′B′C是Rt△ABC绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的，设A′B′边交BC边于点D，则△CDB′的面积是例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A1B1C的位置，其中B1C⊥AB，B1C、A1B1交AB于M、N两点，则线段MN的长为．（0.8）【课堂练习】1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点F，则BF=．（14）2.如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠A=90°，AB=5cm，BC=13cm．以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转90°至BE，BE交CD于F点．如果点E恰好落在射线AD上，那么DF 的长为cm．（）知识点二（旋转求角的度数）【例题精讲】例1.如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点C′处，点A落在点A′处，联结BA′，如果点A、C、A′在同一直线上，那么∠BA′C′的度数为．（200）例2.将矩形ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在对角线AC上的点D′，点C落到C′，如果AB=3，BC=4，那么CC′的长为．（10）【课堂练习】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，若将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，点A、B分别旋转至点A′、B′，连接AA’，则A′B′=．（150）2.如图，等腰△ABC的顶角A的度数是36°，点D是腰AB的黄金分割点（AD＞BD），将△BCD绕着点C按照顺时针方向旋转一个角度后点D落在点E处，联结AE，当AE∥CD 时，这个旋转角是度．（70或108）知识点三（旋转求三角比）【例题精讲】例1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=9，AC=12，点D 在边AC 上，且CD=AC ，过点D 作DE ∥AB ，交边BC 于点E ，将△DCE 绕点E 旋转，使得点D 落在AB 边上的D′处，则sin ∠DED′= ．（2524）例2.已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（1，1）和（4，0），如果将△OAB 绕着原点O 旋转后，点A 落在x 轴上，点B 落在点C 处，那么cot ∠OCB 的值为 ．（1-212或 ）【课堂练习】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，将△ABC 绕点A 旋转后，点C 落在射线BA 上，点B 落到点D 处，那么sin ∠ADB 的值等于 ．（55255或） 2.如图，在等腰△ABC 中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 顺时针旋转，使旋转后的点D 与A 重合，得到△A′B′C′，如果旋转后的底边B′C′与BC 交于点N ，那么∠ANB 的正切值等于 ．（43）知识点四（旋转求面积）【例题精讲】例1.如图1，将△ABC 绕点B 逆时针旋转30°后得到△A 1BC 1，BC =2，那么△BC 1C 的面积是 1 ．例2. 如图，已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE=2，EC=1。
初中数学图形的旋转知识点总复习.doc
初中数学图形的旋转知识点总复习
今天给大家分享有关图形的旋转的知识点，图形的旋转作为几何三大变换之一，图形的旋转在中考出现的频率非常高，包括选择题的中心对称图形的判断、几何压轴大题。
要学好图形的旋转，必须要掌握旋转的基础知识，旋转的定义与性质，中心对称的定义和性质。
如何在条件很少且不知道怎么利用的情况下，如何通过旋转构造把条件利用起来。
常见的构造旋转有三种：构造60°旋转，构造90°旋转，半角旋转。
这些旋转构造前的题目特征是什么，常见的结论又是什么，需要熟悉并理解记住。
可解决大部分学生无法解决的几何难题，让你的优势充分展露出来！。
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考点三十四：图形的旋转
聚焦考点☆温习理解
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
三、中心对称与轴对称的区别与联系：
1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
2.中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
四、中心对称与中心对称图形区别与联系.
1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
2.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中
心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别中心对称图形
【例1】（2015.山东潍坊，第4题，3分）下列汽车标志中不是中心对称图形的是（）
【答案】B
考点：中心对称图形.
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【举一反三】
1．（2015·黑龙江绥化）.下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知， A既是轴对称图形又是中心对称图形；B是轴对称图形但不是中心对称图形； C不是轴对称图形，是中心对称图形； D既是轴对称图形也是中心对称图形.
故选：B
考点：1.轴对称图形;2.中心对称图形
2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．
考点典例二、旋转的性质应用
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）
A．B． C．D．π
【答案】B．
【解析】
考点：旋转的性质；弧长的计算．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．通常在解决此类问题时要注意：(1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
【举一反三】
1.（山东德州第6题，3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．
考点：旋转的性质．
2.（2015.山东菏泽第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）
【答案】A．
考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．
考点典例三、与旋转有关的作图
【例3】.（2015·辽宁丹东）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.。