中考数学考点总动员系列专题34图形的旋转
初中数学专题复习：旋转(类型全面)
旋转旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
求∠BPC的度数。
旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。
题型多以填空题、计算题呈现。
在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。
根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。
中考数学热点专题复习图形旋转.docx
中考数学热点专题复习图形的旋转建南民中张中建♦识记巩固1、旋转：在平面内，把一个图形绕,按旋转的图形运动，叫做旋转.2、图形旋转的三个要素：（1）; （2）; （3）.3、旋转的特征：（1）图形的和都没有发生变化；（2）相等，相等；（3）对应点到旋转中心的距离;（4）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的,对应点与旋转中心连线的夹角是.4、旋转对称图形识别：观察图形是否存在一点，围绕这一点旋转一定角度后能否与图形5、经过两次对称轴相交的轴对称变换，相当于一次.6、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.♦识记巩固参考答案：1、某一点—定方向〜定角度2、（1）旋转中心（2）旋转方向（3）旋转角度3、（1）形状大小（2）对应线段对应角（3）相等（4）角度对应角4、重合5、旋转6、平分♦给你提个醒图形在旋转变换过程中会发生许多变化，但是同样也有许多关系并不会随着图形的变化而变化，这就是旋转变换中的不变关系，是解决旋转变换问题的关键之一。
我们要善于归纳以不变应万变的方法和从特殊到一般的数学思想。
♦典例解析例题1：如图1,已知矩形ABED,点。
是边DE的中点，且AB = 2AD.（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线到图2中（当垂线段AD. 3E在直线初V的同侧），试探究线段A。
、BE, DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线肱N到图3中的位置（当垂线段A。
、3E在直线初V的异侧）.试探究线段A。
、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.图3例题1图例题2： RtAAB C与RtAFED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，C8与DE重合.(1)求证：四边形A8FC为平行四边形；(2)取BC中点。
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳
中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳1．旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；旋转方向；旋转角度．（3）注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．2．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．4．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．5．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心；旋转方向；旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．。
九年级旋转知识点归纳总结
九年级旋转知识点归纳总结旋转是数学中的一个重要概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。
本文将对九年级旋转知识点进行归纳总结，包括旋转的基本定义、旋转图形的性质以及旋转的应用。
一、旋转的基本定义旋转是指将一个点或一幅图形绕着某一点旋转一定角度后，得到的新点或新图形。
在数学中，通常将绕着坐标平面上的原点旋转作为基本定义。
二、旋转图形的性质1. 旋转图形的对应点在一个图形经过旋转后，每一个点都与原来图形上的某一点存在对应关系。
这个对应关系可以通过旋转角度和旋转方向来确定。
2. 旋转图形的对称性绕着一个点旋转的图形在旋转前后保持对称。
如果旋转角度是360度的整数倍，那么旋转后的图形与旋转前的图形完全重合。
3. 旋转图形的角度关系在一个旋转图形中，旋转前后每两个相对的角度之和为360度。
这就是旋转图形中角度的平分原理。
三、旋转的应用旋转在几何图形的变换中有着广泛应用，并且在实际生活中也有一些实际的应用场景。
1. 图形的旋转变换通过旋转变换可以将图形按一定角度旋转，从而使得原本无规律的图形变得有规律，更美观。
例如，一个正方形可以通过旋转变换成一个六边形。
2. 游戏和艺术中的旋转在游戏和艺术领域中，旋转被广泛运用。
例如，电子游戏中的3D 模型，通过旋转操作可以让玩家从不同角度观察模型；绘画和雕塑中的旋转是非常常见的手段，可以展示更多的细节和视角。
3. 旋转的几何证明旋转在几何证明中也有非常重要的地位。
通过旋转变换可以使得一些几何命题的证明更加简洁、明了。
例如，可以通过旋转证明两条平行线之间的角度关系、相似三角形之间的角度关系等。
综上所述，旋转是九年级数学课程中的一个重要知识点。
掌握旋转的基本定义和性质，了解旋转的应用场景，将有助于深入理解几何变换的概念，提高数学解题和几何证明的能力。
希望本文对九年级学生们的数学学习有所启发和帮助。
九年级数学图形的旋转
图形的旋转一、同步知识梳理1、旋(xuán)转(zhuǎn）的定义在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
3、旋转的条件（要素）①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
（改变一个要素，图形就会不一样。
）一、专题精讲题型一、分析旋转现象例1．如图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB 的长度。
△BDE能否看作是△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
变式训练1、如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE。
（1）图中点是旋转中心，按方向旋转了度；（2）如果CF＝3cm，连接EF，求EF的长。
题型二、确定旋转中心A B C是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到的，请你找出旋转中心。
例2. 如图，△111【方法总结】确定旋转中心在图形的旋转过程中，判定谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是在图形外。
若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有变，哪一点就是旋转中心；若是在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
题型三、求旋转角的度数例3．等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成为△AB C''，且AB'⊥BC，垂足为O。
（1）图中旋转中心是点；（2）该旋转中的旋转角是度；（3）经上述旋转后，所得到的B C''边与AC边的位置关系怎样？变式训练如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为。
中考专题 图形的变换-旋转
图形的变换-旋转知识点梳理 一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB ≌△A 1OB 1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰△AOA 1∽等腰△BOB'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB 与A 1B 1所在直线的夹角等 于∠AOA 1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA 1与BB 1)的夹角等于∠AOB 。
旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，△ABC 绕点A 旋转到△AB 1C 1，则有△ABB 1≌△ACC 1（SAS ）；2. 如图1-2，若△ABC 与△AED 式等边三角形，则△ABE ≌△ACD （SAS ）；3. 如图1-3，若△ABC 与△AED 式等腰直角三角形，则△ABD ≌△ACE （SAS ）；旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形 ABCD 中，若∠EBF=45°，将△BAE 绕点B 旋转至△BCG ， 则有①EF=AE+CF ；②BE 平分∠AEF ；③BF 平分教EFC .2. 如图2-2，在四边形ABCD 中，若BA=BC ，∠ABC+∠D=180°，且∠EBF=12∠ABC，则有①EF=AE+CF ；②BE 平分∠AEF ；③BF 平分教EFC .图2-1 图2-23. 如图2-3，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=45°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则有DE 2=BD 2+CE 2；4. 如图2-4，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=45°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则DE 2=BD 2+CE 2；5. 如图2-5，等腰Rt △ABC 中，若∠DAE=135°可将△ABD 绕点A 旋转至△ACF ，则DE 2=BD 2+CE 2；图2-3 图2-4 图2-5旋转运用<3>：对角互补模型1. 如图3-1，已知四边形ABCD 中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC ，则有AB+AC=2AD ；2. 如图3-2，已知四边形ABCD 中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC ，则有AB-AC=2AD ；图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边△ABC ，且∠BPC=120°，则有PA=PB+PC ；4. 如图3-4，已知等边△ABC ，且∠BPC=30°，则有PA 2=PB 2+PC 2；图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰△ABC ，且∠BAC=120°，且∠BPC=60°，则有PB+PC=3PA；6. 如图3-6，已知等腰△ABC ，且∠BAC=120°，且∠BPC=120°，则有PC-PB=3PA ；图3-5 图3-6【练习】1. 如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A.B ．C ．D ．2. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若AP ＝6，BP ＝8，CP ＝10．则S △ABP +S △BPC ＝ ．3. 如图，△ABC、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′＝ ．4．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为 ．6.如图，如四边形ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四边形ABCD 的面积.7.（1）如图1，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°,AC ＝BC ＝6，CD ＝CE ，AE ＝3,∠CAE ＝45°,求AD 长． （2）如图2，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝∠CAE ＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 长．8.（1）如图1，已知等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°，且∠ADB=45°，BD=4，CD=41，求AD的长.（2）如图2，已知等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°，且∠ADB=75°，BD=6，AD=52，求CD 的长. （3）如图3，在四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=90°，若AB=4，AD=3，求对角线AC 的最大值.图1 图2 图39. （1）如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？（2）如图2，如果把“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°”改为“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝ ∠ADB ＝45°”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？（3）如图3，如果把“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝60°”改为“∠ACB ＝∠ACD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝α”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？图1 图2 图310. 【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=． 【问题解决】如图②，在等边三角形ABC 中，AC=7，点P 在△ABC 内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC 的面积． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B ，连接PP′，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA ，PB ，PC 三条线段之间的数量关系． …请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可） 【灵活运用】如图③，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE=∠ADC ，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝_________°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝__________．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．（宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，则BDB ∆'的形状是____________．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．【类比应用】如图3，四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，2BC =，求四边形ABCD 的面积．（2019•亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，求PB 的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到ABD ∆；由等边三角形的性质，可证ACP ABD ∆≅∆，得PC BD =；由已知150APC ∠=︒，可知PDB ∠的大小，进而可求得PB 的长． （1）请回答：在图1中，PDB ∠=________︒，PB =____． 【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在ABC ∆内，且1PA =，17PB=，22PC =，求AB 的长． 【灵活运用】（3）如图3，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，且4tan 3α=，点P 在ABC ∆外，且3PB =，1PC =，直接写出PA 长的最大值．。
人教版中考数学考点复习之图形的旋转 课件
命题点4：坐标系中的旋转 4．(2017·青岛)如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对 应点B1的坐标为( B ) A．(－4，2) B．(－2，4) C．(4，－2) D．(2，－4)
命题点5：利用旋转设计图案 5 ． (2017· 绍 兴 ) 一 块 竹 条 编 织 物 ， 先 将 其 按 如 图 所 示 绕 直 线 MN 翻 转 180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( B )
命题点2：旋转的性质 2．(2017·泰安)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆 时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为( C ) A．30° B．60° C．90° D．120°
命题点3：关于原点对称的点的坐标 3．(2017·湖州)在平面直角坐标系中，点 P(1，2)关于原点的对称点 P′的坐标是( D ) A．(1，2) B．(－1，2) C.(1，－2) D．(－1，－2)
1．中心对称与中心对称图形的区别和联系 区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对 称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180° 后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与 原图形重合． 联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么 它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两 个图形，那么这两个图形成中心对称．
3．旋转作图 (1)旋转作图的依据是旋转的特征． (2)旋转作图的步骤如下： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母； ③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形 ，写出结论．
中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题
中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题知识点总结1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
2.旋转的要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。
3.旋转的性质：①旋转前后的两个图形全等。
即有对应边相等，对应角相等。
②对应点到旋转中心的连线距离相等。
③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。
4.旋转对称图形：若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转对称图形。
如正多边形或圆。
5.中心对称：①定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
6. 坐标的旋转变换：①若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转90°，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。
②若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转180°，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。
即()y x P −−，7. 旋转作图：基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。
练习题1、（2022•德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B ．2、（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3、（2022•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B 顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（）A．25π+24 B．5π+24 C．25πD．5π【分析】根据勾股定理得到AB，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴Rt△ABC所扫过的面积＝+×6×8＝25π+24，故选：A ．4、（2022•呼和浩特）如图．△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若∠BCD ＝α，则∠EFC 的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．90°+21αB ．90°﹣21αC ．180°﹣23αD ．23α 【分析】由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ，因为∠BCD ＝α，所以∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，由三角形内角和可得，∠A ＝90°﹣∠B ＝．所以∠E ＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．【解答】解：由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ， ∵∠BCD ＝α，∴∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠B ＝． ∴∠E ＝． ∴∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．故选：C ．5、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．33B．23C．3 D．2【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝3，∴点A到直线A'C的距离为3，故选：C．6、（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DEC．∠DFC＝90°D．DG＝3GF【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，∴AB＝AC＝CF＝BF，由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴∠A＝∠ACD，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS），∴DF＝BC＝BE，∵DE＝AB＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CFD，∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，∴GF＝CF，同理可得，DF＝CF，∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；故选：D．7、（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．8、（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴∠CAB ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝60°，∵将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到△AB ′C ′，∴∠C ′AB ′＝∠CAB ＝60°．∵点B ′恰好落在CA 的延长线上，∴∠BAC ′＝180°﹣∠CAB ﹣∠C ′AB ′＝60°．故选：B ．9、（2022•内蒙古）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A ．21B ．33C ．1﹣33D ．1﹣43 【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE＝∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴DE＝1×＝，∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．故选：C．10、（2022•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D 按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是．【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC＝＝4π，∵AE＝＝＝6，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，∵四边形ABCD是矩形，∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∵EB≠CB，∴四边形DCBE是直角梯形，∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，故答案为：24﹣6﹣4π．11、（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝．【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．12、（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．13、（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，∴a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1，故选：C．14、（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故选：D．15、（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m﹣2＝﹣5，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．16、（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．17、（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．18、（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：C．19、（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣2，4）D ．（﹣3，3）【分析】根据旋转的性质解答即可．【解答】解：连接AP ，A 1P ．∵线段A 1B 1是将△ABC 绕着点P （3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A 1B 1C 1的一部分，∴A 的对应点为A 1，∴∠APA 1＝90°，∴旋转角为90°，∴点C 绕点P 逆时针旋转90°得到的C 1点的坐标为（﹣2，3），故选：A ．20、（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），点A （4，2）．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在M 1（﹣33，0），M 2（﹣3，﹣1），M 3（1，4），M 4（2，211）四个点中，直线PB 经过的点是（ ）A．M1B．M2C．M3D．M4【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线PB的解析式为：y＝x+2，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，当x＝1时，y＝+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x＝2时，y＝2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．21、（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为．【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），故答案为：（﹣4，8）．。
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考点三十四：图形的旋转
聚焦考点☆温习理解
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
三、中心对称与轴对称的区别与联系：
1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
2.中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
四、中心对称与中心对称图形区别与联系.
1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
2.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中
心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别中心对称图形
【例1】（2015.山东潍坊，第4题，3分）下列汽车标志中不是中心对称图形的是（）
【答案】B
考点：中心对称图形.
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【举一反三】
1．（2015·黑龙江绥化）.下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知， A既是轴对称图形又是中心对称图形；B是轴对称图形但不是中心对称图形； C不是轴对称图形，是中心对称图形； D既是轴对称图形也是中心对称图形.
故选：B
考点：1.轴对称图形;2.中心对称图形
2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．
考点典例二、旋转的性质应用
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）
A．B． C．D．π
【答案】B．
【解析】
考点：旋转的性质；弧长的计算．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．通常在解决此类问题时要注意：(1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
【举一反三】
1.（山东德州第6题，3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．
考点：旋转的性质．
2.（2015.山东菏泽第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）
【答案】A．
考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．
考点典例三、与旋转有关的作图
【例3】.（2015·辽宁丹东）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.。