理论力学-11-动能定理及其应用

11.2 质点与质点系的动能
1、质点系的动能 2、刚体的动能
11.2 质点与质点系的动能 1、质点系的动能
质点动能——
T 1 2 mv
2
（标量）
质点系的动能——
T
2m v
i i
1
2 i
动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能是正 标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。
1 l m ml 3 2 2
2
T总
1 12
9M
4m v
2
第11章 动能定理及其应用
11.3 动能定理及其应用
11.3 动能定理及其应用
1、质点系的动能定理 2、动能定理的应用举例
11.3 动能定理及其应用
质点系的动能定理
1、质点系的动能定理
例题3
例题3
一长为l，质量密度为 ρ 的链条放置在光滑的水平桌面 上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自 重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。 lb 解：链条在初始及终止两状态的动能 分别为 1 2
T1 0
T2
2
lv 2
b
在运动过程中所有的力所作的功为 由
根据运动学补充关系
v A R A
11.3 动能定理及其应用
例题4
解： 对象：整个系统 受力：如图所示 运动：轮A作平面运动；轮B 作定轴转动；物块C作平移。 方程： 1. 系统的动能为：
T1 0 , 1 1 1 1 2 2 2 2 T2 mv A J A A J B B mvC 2 2 2 2
2
1
k d
1
2
k1
2
1
2
k 2
2
11.1 力的功 3、内力的功
内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
O x
W = mgdz
W12 mg( z1 z 2 )
11.1 力的功
对于质点系：
W 1 2 m i g ( z i1 z i 2 ) ( m i z i1 m i z i 2 ) g ( M zC1 M zC 2 ) g M g ( zC1 zC 2 )
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
2、刚体的动能 平移刚体的动能
T

i
1 2
m ivi
2


i
1 2
m iv
2
2 C

1 2
2 m i v C i

1 2
mvC
刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于 质心时的动能。
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
mv
1 2
2 C

2
1 2
J C
2
JC
mR , v C R
2
T
3 4
mvC
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
例题1 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，
下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心 相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线 的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。 I B 解（法1）： T总 T A T A B
11.3 动能定理及其应用
2、动能定理的应用举例
11.3 动能定理及其应用
例题2
已知： m ，R, f ， 。圆盘初始静止。求纯滚动时盘心的加速度。 解：对象：圆盘 受力：如图 运动：平面运动 s C 方程：取系统为研究对象，假设圆 F vC 盘中心向下产生位移 s时速度达到vc。
2
2

1 2
J C
2
1 2
m (d )
2
因为d· ＝vC ,于是得
T
1
mv
2 C
1
2 2 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕 质心转动的动能的和。
J C
2
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
思考题：求均质圆盘在地面上作纯滚动时的 动能。
C
vC
T
1 2
11.1 力的功
理想约束力的功 理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束。
1、不可伸长的柔性约束也是理想约束。
2、光滑的固定支承面 3、光滑的铰链（轴承、光滑的活动铰链支座、二力杆）
11.1 力的功
4、纯滚动时，摩擦力(约束力)不作功 C* 为瞬时速度中心， 在这一瞬时C*点的速度为 零。作用在C*点的摩擦力 F所作元功为 F
TA 1 Mv 2
2 C

1
2
J C
2

3 4
Mv C
2
I 为AB杆的瞬心
v
v AB IA
v C AB
T AB 1 4 1 2
2
l sin v l v IC l sin 2 2 sin
2

v A
2

C
mv C 1 12
1 2
4 m v
2
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
解（法2）：T
TA 3 4
总
2
T A T AB
I
B C
Mv
I 为AB杆的瞬心 v IA AB

v l sin
JI
T AB 1 2 J I AB
2
v A
2 2

1 12
ml
2
1 1 v 1 2 ml mv 2 3 l sin 45 3
d( mv ) W12 2
2
1
积分形式动能定理为
1 2
mv
2 2
1 2
mv1 W12
2
质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。
11.3 动能定理及其应用
质点系的动能定理
对于质点系：
1
2
d( mv ) δW 2
2
1
d T d ( mi vi ) Fi d ri δ Wi 2
Nanjing University of Technology
理论力学课堂教学软件（11）
理论力学
第三篇 动力学
第三篇 动力学
第11章 动能定理及其应用
第11章 动能定理及其应用
11.1 力的功 11.2 质点与质点系的动能 11.3 动能定理及其应用 11.4 势能的概念 机械能守恒定律及其应用 11.5 动力学普遍定理的综合应用 11.6 结论与讨论
定轴转动刚体的动能
T


i
1 2 1
2
m ivi
2

i
m i ri
2
1 2
m r
2 i i i
2

1 2
J z
2
11.2 质点与质点系的动能
刚体的动能
平面运动刚体的动能
T
J P J C md
1 2
2
J P
2
C

P
T
1 2
( J C md )
第11章 动能定理及其应用
11.1 力的功
11.1 力的功
1、力的功的定义 2、定轴转动刚体上力的功、力偶的功 3、内力的功
11.1 力的功 1、力的功的定义
M1
力Fi的元功
δW Fi d ri Fi dscos Fi ，d ri
Fx dx Fy dy Fz dz
M z (F ) F R
——力F对轴z的矩
刚体由角度1转到角度2时F所作的功为
W12

2
1
M z ( F )d
11.1 力的功
W12
外力偶的功 若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为
W12

2
1
M z ( F )d

2
1
M d
若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无 关。 重力的功 对于质点： W12 mg( z1 z 2 ) 对于质点系：
W12 Mg ( z C1 z C 2 )
11.1 力的功
弹性力的功 弹性力的元功
W = F d r = k ( r l 0 ) r0 d r
W12
Mz——力偶矩矢M在z轴上的投影

2
1
M z d
11.1 力的功
扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于 水平时扭簧未变形，且变 形时在弹性范围之内。变 形时扭簧作用于杆上的力 对点O之矩为
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为
W12
vO O
C*
FN
WF F drC F v dt 0 C

约束力为无功力的约束称为理想约束
11.1 力的功
总结： 内力不能改变质点系的动量和动量矩，但 它可能改变质点系的能量； 外力能改变质点系的动量和动量矩，但不 一定能改变其能量。
第11章 动能定理及其应用
11.2 质点与质点系的动能