复合函数问题

复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

题型一、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域

思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为__________。 解：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）

例2. 若函数f x x ()=

+11

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用

所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩

11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪111

1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且

题型二、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_____。 解：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，

即函数f x ()的定义域为[]-15，

例4. 已知f x x x ()lg 2

2

248-=-，则函数f x ()的定义域为___________。 解：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2

2248-=-，知x x 2

280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞

题型三、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为

____________。

解：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦

⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦

⎥ 又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]

x ∈24， 即f x (log )2的定义域为[]

24， 【评注】函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即

))(())((21x g f x g f <，

故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

（2）复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(u f y =

增 ↗ 减 ↘ )(x g u =

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y = 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：

ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

题型一讨论复合函数的单调性，求单调区间

例1、 求函数)32(log 22

1--=x x y 的单调区间，并用单调性定义给予证明